MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 9

30.04.2008 r

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Wyznaczyliśmy równania opisujące zmiany dwóch elementów orbitalnych:

Mogą one byd zmieniane w wyniku działania składowych siły perturbującej leżących
w płaszczyźnie orbity.

E

cos

cos

T

sin

R

e

1

a

dt

de

2

1

cos

e

1

T

sin

e

R

e

1

a

2

dt

da

2

2

3

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Nachylenie orbity to kąt między wektorem momentu pędu a jego składową z-ową:

Zróżniczkujmy to równanie:

Musimy teraz znaleźd składowe wektora ċ w
układzie XYZ

c

c

cos

arc

I

c

I

cos

c

Z

Z

1

c

c

c

c

c

c

dt

dI

2

Z

Z

Z





Ω

I

ω

Zˆ

Y

ˆ

X

ˆ

ognisko

z

ˆ

y

ˆ

x

ˆ

orbita

płaszczyzna
odniesienia

perycentrum

kierunek
odniesienia

węzeł
wstępujący

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Rys. 3 z Burns (1976)
Inne oznaczenia momentu pędu, anomalii
prawdziwej, nachylenia orbity!

ˆ

N

r

zˆ

T

r

F

d

r

dt

c

d











Wcześniej było pokazane, że zmiana momentu
pędu jest równa przyłożonemu momentowi:

a więc składowe zmiany momentu pędu w
układzie związanym z orbitą:

T

r

N

r

0

c



Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Składowe w układzie odniesienia dostaniemy dokonując odpowiednich obrotów:

skąd:

T

r

N

r

0

1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

P

P

c

c

c

2

3

Z

Y

X

I

sin

cos

N

I

cos

T

r

c

cos

I

cos

cos

N

sin

sin

N

cos

I

sin

T

r

c

sin

I

cos

cos

N

cos

sin

N

sin

I

sin

T

r

c

Z

Y

X







Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Używając równao:

możemy przepisad wyrażenie na dI/dt w postaci:

lub:

W takim razie dI/dt zależy tylko od N, a więc nachylenie orbity może byd zmienione
jedynie przez siły prostopadłe do płaszczyzny orbity.

I

sin

cos

N

I

cos

T

r

c

T

r

dt

dc

c

I

cos

c

e

1

a

c

Z

Z

2



cos

e

1

cos

N

e

1

a

dt

dI

2

1

c

cos

N

r

dt

dI

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Dzieląc przez siebie wyrażenia na X-ową i Y-ową składową momentu pędu otrzymamy:

różniczkując to wyrażenie względem czasu:

lub:

Y

X

c

c

tg

2

Z

2

X

Y

Y

X

c

c

c

c

c

c

dt

d





I

sin

c

cos

c

sin

c

dt

d

X

Y





Ω

I

ω

Zˆ

Y

ˆ

X

ˆ

ognisko

z

ˆ

y

ˆ

x

ˆ

orbita

płaszczyzna
odniesienia

perycentrum

kierunek
odniesienia

węzeł
wstępujący

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Podstawiając do otrzymanego równania otrzymane wcześniej wyrażenia na ċ

X

ċ

Y

oraz następujące wzory:

możemy je przepisad w postaci:

lub:

Licznik jest składową momentu powodującą precesję, a mianownik – składową
leżącą w płaszczyźnie XY normalną względem linii węzłów

cos

e

1

e

1

a

r

e

1

a

c

2

2

cos

e

1

I

sin

sin

N

e

1

a

dt

d

2

1

I

sin

c

sin

N

r

dt

d

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Perturbacje dwóch pozostałych elementów orbitalnych otrzymuje się w nieco bardziej
skomplikowany sposób ponieważ ω i T nie są jawnymi funkcjami h i c. W celu
wyznaczenia wyrażenia na dω/dt wródmy do równania biegunowego elipsy:

podstawiamy do niego uzyskane wcześniej wyrażenia na e i c:

co daje:

gdzie u jest wprowadzonym wcześniej argumentem szerokości.

cos

e

1

e

1

a

r

2

2

2

2

h

c

2

1

e

e

1

a

c

u

cos

h

2

1

1

r

c

2

2

2

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Różniczkujemy otrzymane wyrażenie przy założeniu, że perturbująca siła wywołuje
natychmiastowy efekt. To znaczy, że zmieniają się parametry orbitalne ale r możemy
traktowad jako stałe. Otrzymujemy:

pochodna du/dt pojawia się dlatego, że nagła zmiana Ω pociąga za sobą zmianę u,
który jest odległością obiektu od linii węzłów.

u

ctg

h

e

c

u

u

sin

e

u

cos

e

h

r

c

c

2

dt

d

2

2

2

1

1







Rys. 4 z Burns (1976)

Ω

I

ω

Zˆ

Y

ˆ

X

ˆ

ognisko

z

ˆ

y

ˆ

x

ˆ

orbita

płaszczyzna
odniesienia

perycentrum

kierunek
odniesienia

węzeł
wstępujący

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

wyrażenie na dω/dt można przekształcid przy użyciu:

do postaci:

T

r

c

a

a

2

h

2







I

cos

cos

e

1

cos

e

2

sin

T

cos

R

e

1

a

e

dt

d

2

1

1



Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Ostatnim parametrem jaki pozostał do znalezienia jest dT/dt. W tym celu
zróżniczkujemy równanie Keplera. Po podstawieniu χ=-nT otrzymujemy:

uwzględniając, że dχ/dt=-ndT/dt-Tdn/dt mamy ostatecznie:

Powyższe wyrażenia na zmianę T zawierają zależnośd od czasu. To powoduje,
trudności przy analizie rzeczywistych przypadków ponieważ te pochodne
rosną z czasem.

ctg

e

e

1

c

c

cos

e

1

sin

e

2

cos

e

cos

e

2

e

1

nt

2

3

h

h

dt

d

2

2

3

2

2

2

2

3

2





T

cos

e

1

e

cos

e

2

sin

e

1

a

cos

e

1

e

1

a

t

T

3

R

cos

e

1

2

e

cos

e

1

a

sin

e

e

1

a

t

T

3

dt

dT

2

1

2

2

2

1

2

2

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

M ν

r

a

P

G

x

y

W wielu zagadnieniach mechaniki nieba użyteczne są przybliżenia dające dokładnośd
co do rzędu e, gdzie wygodnie jest opisywad wielkośd odchyłki ruchu od przypadku
kołowego.

Tego rodzaju przybliżenie jest między innymi wykorzystywane przy opisie ruchu
perturbowanego w sąsiedztwie punktów równowagi, efektów spłaszczenia ciał, ruchu
bliskiego kołowemu dla orbit prawie równikowych itd..

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

M ν

r

a

P

G

x

y

W przybliżeniu „guiding centre” ruch cząstki P wokół ogniska F jest opisywany w układzie
odniesienia umieszczonym w punkcie G. G jest tzw. „guiding centre”, który porusza się
dookoła ogniska F po kole o promieniu a, gdzie a jest wielką półosią orbity cząstki.

Prędkośd z jaką porusza się G jest równa ruchowi średniemu punktu P.

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

M ν

r

a

P

G

x

y

Tego rodzaju przybliżenie jest bardzo użyteczne również
poza mechaniką nieba.

Np. ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym.
Taki ruch najłatwiej jest badad opisując go jako złożenie
ruchu środka poruszającego się wzdłuż linii sił
pola magnetycznego oraz ruchu cząstki wokół tego środka.

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

M ν

r

a

P

G

x

y

M

sin

r

y

a

M

cos

r

x

Przejdźmy do układu współrzędnych mającego początek w punkcie G. Wtedy współrzędne
prostokątne punktu P wyrażają się poprzez:

Jeśli wykorzystamy uzyskane wcześniej rozwinięcie ν-M i ograniczymy się do rzędu e, to:

w takim wypadku współrzędne punktu P:

wykorzystujemy:

skąd otrzymujemy:

Co oznacza, że jeżeli G porusza się wokół F po kole o promieniu a ze średnim ruchem n
i okresem 2π/n, to P porusza się wokół G w przeciwnym kierunku po elipsie o wielkiej
półosi równej 2ae, małej półosi ae z okresem równym 2π/n.

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

M

sin

e

2

M

M

sin

ae

2

y

M

cos

ae

x

1

ae

2

y

ae

x

2

2

2

2

E

cos

e

1

a

r

Punkt P zakreśla wokół F figurę Lissajou otrzymaną przez złożenie dwóch ruchów
harmonicznych o tej samej częstotliwości n, różnicy w fazie π/2 i stosunku amplitud 2:1.

Figura Lissajou jest krzywą zdefiniowaną równaniami parametrycznymi:

Jest to krzywa przedstawiająca tory wypadkowe ruchów harmonicznych w
przypadku gdy stosunek częstości ruchów składowych jest liczbą wymierną.

Różne krzywe otrzymujemy w zależności od różnicy faz początkowych.

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

bt

sin

B

y

at

sin

A

x

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

cos

aer

2

ae

r

R

2

2

2

2

2

sin

e

2

1

1

a

R

F’

F

ν

r

P

E

g

R

2a-r

ae

ae

Odległośd punktu P od środka elipsy:

Przekształcając i korzystając z rozwinięcia
czynnika r/a dostajemy:

a następnie, wykorzystując otrzymaną
wcześniej zależnośd ν=M+O(e):

M

sin

e

2

1

1

a

R

2

2

O

Zależność między anomalią prawdziwą, średnią
i mimośrodową w przybliżeniu „guiding centre”

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

ν

r

P

E

g

R

2a-r

ae

ae

Otrzymany wynik pokazuje, że z
dokładnością do rzędu e, droga po jakiej
porusza się punkt P jest kołem o środku O.

W takim wypadku orbita i koło pomocnicze
(opisywane na elipsie, pozwalające
zdefiniowad E) pokrywają się i wtedy
kąt POF jest anomalią mimośrodową.

Można pokazad, że w takim przybliżeniu
kąt g jest anomalią prawdziwą M.

O

Stosując wzór cosinusów do trójkąta PF’F:

stąd mamy:

Jeżeli wykorzystamy teraz otrzymane
wcześniej rozwinięcie w szereg
wyrażenia a/r:

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

ν

r

P

E

g

R

2a-r

ae

ae

g

cos

r

a

2

ae

4

ae

4

r

a

2

r

2

2

2

e

a

r

1

e

e

a

r

1

g

cos

2

O

M

3

cos

M

cos

e

8

3

M

2

cos

1

e

2

1

M

cos

e

a

r

1

3

2

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

F’

F

ν

r

P

E

g

R

2a-r

ae

ae

O

Ostatecznie:

Skąd, z dokładnością do liniowego wyrazu e
otrzymujemy: g=M.

W takim razie linia łącząca punkt P i puste
ognisko F’ rotuje z jednostajną prędkością

3

2

e

O

M

3

cos

M

cos

e

8

1

M

cos

g

cos

Taki wynik wskazuje, że model Ptolemeusza odzwierciedlał rzeczywiste ruchy obiektów
z dokładnością do e. W jego modelu Ziemia była odsunięta od środka koła (ognisko F)
a ruch planet odbywał się wokół ekwantu (ognisko F’) a więc był jednostajny (doskonały!).

Zagadnienie dwóch ciał

Przybliżenie „guiding centre”

Rozpatrzmy satelitę, którego obrót
jest zsynchronizowany z jego okresem
orbitalnym.

Linia poprowadzona od niego do
pustego ogniska porusza się ruchem
średnim n.

Satelita zwraca cały czas tę samą
stronę w kierunku F’, przez co z
ciała centralnego widoczne są nieco
inne fragmenty powierzchni w
różnych fazach jego ruchu.

To przybliżenie może byd pomocne
w zrozumieniu działania mechanizmu
pływów libracyjnych (ang. librational
tide).

Zagadnienie n ciał

Równania ruchu

Potrafimy rozwiązad analitycznie
zagadnienie dwóch ciał, ale
w rzeczywistych układach dynamicznych
jest ich zwykle więcej…

Często wystarczy posłużyd się metodami
perturbacyjnymi.

W ogólności chcielibyśmy umied
rozwiązywad zagadnienia, w których mamy
układy wielu ciał.

Zagadnienie n ciał

Równania ruchu

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Zakładamy, że odległości między ciałami
są na tyle duże, że możemy je traktowad
jak punkty materialne.

Mamy układ n punktów materialnych
działających na siebie siłami zgodnie z
prawem powszechnej grawitacji.

Oznaczamy masy tych punktów przez m

i

,

a ich współrzędne prostokątne przez
x

i

,y

i

,z

i

gdzie i=1,2,3,…,n

Zagadnienie n ciał

Równania ruchu

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Punkt m

j

działa na punkt m

i

siłą:

gdzie r

ij

jest odległością tych punktów

Całkowita siła z jaką wszystkie punkty
działają na punkt m

i

wyraża się przez:

3

ij

j

i

j

i

ij

r

r

r

m

Gm

F





n

1

j

3

ij

j

i

j

i

r

r

r

m

Gm

F







Zagadnienie n ciał

Równania ruchu

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Możemy teraz napisad równania ruchu
punktu m

i

:

a następnie, sumując po wszystkich
n punktach:

n

1

j

3

ij

j

i

j

i

i

i

r

r

r

m

Gm

r

m









n

1

i

n

1

j

3

ij

j

i

j

i

n

1

i

i

i

r

r

r

m

m

G

r

m









Zagadnienie n ciał

Równania ruchu

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Pamiętając, że:

możemy pogrupowad w pary odpowiednie
wyrazy prawej strony równao ruchu:

tak aby dały w efekcie zero. Otrzymujemy
wtedy:

n

1

i

n

1

j

3

ij

j

i

j

i

n

1

i

i

i

r

r

r

m

m

G

r

m









i

j

j

i

r

r

r

r









0

r

m

n

1

i

i

i





Zagadnienie n ciał

Równania ruchu

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Całkujemy otrzymane równanie:

Lewa strona jest z definicji środkiem masy
badanego układu.

Z prawej strony mamy sześd zmiennych
niezależnych.

Stąd nawet dla układu n ciał ich środek
masy porusza się w przestrzeni ruchem
jednostajnym prostoliniowym

Znalezienie sześciu stałych ruchu niewiele
zmienia. Układ równao zagadnienia n ciał
składa się z n równao drugiego rzędu, które
wymagają 6n stałych całkowania.

B

t

A

r

m

n

1

i

i

i







Zagadnienie n ciał

Całka pól

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Aby znaleźd całkę pól mnożymy równanie
ruchu przez r

i

(wektorowo):

pamiętając, że:

znowu możemy, sumując po wszystkich
punktach, zauważyd, że prawa
strona jest równa zero.

i

j

3

ij

j

i

j

i

i

j

3

ij

j

i

i

i

j

i

i

i

i

r

r

r

m

Gm

r

r

r

r

r

m

Gm

r

m

r



















i

j

j

i

r

r

r

r









Zagadnienie n ciał

Całka pól

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



W takim razie mamy:

czyli całkowity moment pędu układu n ciał
jest stały.

To oznacza również, że istnieje pewna
płaszczyzna w przestrzeni (płaszczyzna
niezmiennicza) prostopadła do tego
wektora. Należy jednak pamiętad, że dotyczy
to tylko układu mas, których kształt można
zaniedbad, nie ma między nimi połączeo,
są ciałami sztywnymi itd.

0

dt

dC

c

dt

d

p

r

dt

d

p

r

r

m

r

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

















Zagadnienie n ciał

Całka energii (sił żywych)

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Zdefiniujmy funkcję sił układu n punktów:

wtedy:

podobnie dla pozostałych współrzędnych,
więc równanie ruchu możemy zapisad jako:

gdzie:

n

1

i

n

i

j

1

j

ij

j

i

r

m

m

G

U

n

i

j

1

j

3

ij

j

i

j

i

n

i

j

1

j

ij

j

i

i

i

r

x

x

m

Gm

r

m

x

Gm

x

U

U

r

m

i

i

i





i

i

i

i

x

z

ˆ

y

jˆ

x

iˆ

Zagadnienie n ciał

Całka energii (sił żywych)

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



Pomnóżmy równanie ruchu:

obustronnie (skalarnie) przez wektor
prędkości i dodajmy wszystkie równania:

całkujemy:

energia kinetyczna układu:

a więc:

Otrzymaliśmy dziesiątą, ostatnią całkę w
zagadnieniu n ciał – całkę energii

U

r

m

i

i

i





n

1

i

i

i

i

i

n

1

i

i

dt

dU

U

r

r

r

m









n

1

i

2

i

i

const

U

r

m

2

1



n

1

i

2

i

i

r

m

2

1

T



h

U

T