MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 4

26.03.2008 r

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

O – centrum grawitacji
P – element masy dm

Potencjał w punkcie Q:

M

PQ

dm

G

U

Niech PO=r, QO=R wtedy:

i wyrażenie na potencjał przyjmuje
postad:

cos

Rr

2

R

r

PQ

2

2

2

M

2

1

2

2

dm

R

r

cos

R

r

2

1

R

1

G

U

z

y

x

0

P

dm

θ

Q

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

Ponieważ R>>r więc możemy wyrażenie
podcałkowe rozwinąd wykorzystując
uogólnienie dwumianu Newtona:

gdzie:



4

3

2

2

1

X

128

35

X

16

5

X

8

3

X

2

1

1

X

1

R

r

cos

2

R

r

X

z

y

x

0

P

dm

θ

Q

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

czyli:



4

4

3

3

2

2

2

1

R

r

cos

2

R

r

128

35

R

r

cos

2

R

r

16

5

R

r

cos

2

R

r

8

3

R

r

cos

2

R

r

2

1

1

R

r

cos

2

R

r

1

z

y

x

0

P

dm

θ

Q

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

które po przekształceniu i
uporządkowaniu ze względu na kolejne
potęgi r/R daje:

M

2

2

2

1

M

2

1

2

2

dm

R

r

)

(cos

P

R

r

)

(cos

P

1

R

1

G

dm

R

r

cos

R

r

2

1

R

1

G

U



gdzie P

n

(cosθ) są wielomianami Legendre’a

z

y

x

0

P

dm

θ

Q

Pole grawitacyjne i potencjał

Wielomiany Legendre’a

Wielomiany Legendre’a stanowią zbiór funkcji ortogonalnych na odcinku (-1,1).
Są zdefiniowane za pomocą tzw. wzoru Rodriguesa:

n

2

n

n

n

n

n

2

n

n

n

n

)

x

1

(

dx

d

!

n

2

1

)

1

x

(

dx

d

!

n

2

1

)

x

(

P

Jak było pokazane wcześniej w. Legendre’a mają funkcję tworzącą postaci:

0

n

1

n

n

0

n

n

n

2

1

s

dla

s

1

)

x

(

P

,

1

s

dla

s

)

x

(

P

s

sx

2

1

1

Pole grawitacyjne i potencjał

Wielomiany Legendre’a

)

3

x

30

x

35

(

8

1

)

x

(

P

)

x

3

x

5

(

2

1

)

x

(

P

)

1

x

3

(

2

1

)

x

(

P

x

)

x

(

P

1

)

x

(

P

2

4

4

3

3

2

2

1

0

kilka początkowych wielomianów:

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

z

y

x

0

P

dm

θ

Q

Wyznaczmy kilka kolejnych wyrazów
rozwinięcia potencjału:





3

2

1

0

M

2

2

2

1

U

U

U

U

dm

R

r

)

(cos

P

R

r

)

(cos

P

1

R

1

G

U

R

M

G

dm

R

1

G

U

M

0

Pierwszy czynnik daje potencjał masy
punktowej:

Pole grawitacyjne i potencjał

Środek masy

z

y

x

0

(x

i

,y

i

,z

i

)

r

i

r

c

(x

c

,y

c

,z

c

)

n

1

i

i

n

1

i

i

i

c

n

1

i

i

n

1

i

i

i

c

n

1

i

i

n

1

i

i

i

c

m

z

m

z

;

m

y

m

y

;

m

x

m

x

n

1

i

i

n

1

i

i

i

c

m

r

m

r





M

dV

r

r

r

V

c







Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

z

y

x

0

P

dm

θ

Q

(x

0

,y

0

,z

0

)

(x,y,z)

M

1

dm

cos

R

r

R

1

G

U

Drugi czynnik:

Iloczyn skalarny wektorów PO i PQ
daje:

R

zz

yy

xx

cos

r

0

0

0

wtedy:

Ponieważ początek układu
współrzędnych pokrywa się ze środkiem
masy, więc wszystkie trzy całki są
równe 0.

zdm

z

ydm

y

xdm

x

R

1

G

U

0

0

0

3

1

Pole grawitacyjne i potencjał

Tensor momentu bezwładności

Tensor momentu bezwładności wiąże moment pędu ciała z jego prędkością kątową:

pozwala liczyd moment bezwładności ciała w przypadku
obrotu wokół dowolnej osi.

















Iˆ

r

r

m

v

m

r

L

L

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

zz

zy

zx

y z

y y

y x

xz

xy

xx

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Iˆ

momenty główne:

momenty dewiacyjne:

i

2

i

2

i

i

zz

i

2

i

2

i

i

y y

i

2

i

2

i

i

xx

y

x

m

I

;

x

z

m

I

;

z

y

m

I

i

i

i

i

i

i

zy

yz

i

i

i

zx

xz

i

i

i

yx

xy

z

y

m

I

I

;

z

x

m

I

I

;

y

x

m

I

I

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

dm

z

y

x

2

1

dm

R

zz

yy

xx

2

3

R

m

G

dm

1

cos

3

2

1

R

r

R

m

G

U

2

2

2

2

2

0

0

0

3

M

2

2

2

2

Trzeci wyraz:

Pamiętając, że:

są momentami bezwładności względem osi układu współrzędnych.

dm

y

x

C

dm

z

x

B

dm

z

y

A

2

2

2

2

2

2

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szereg

oraz momenty odśrodkowe względem par płaszczyzn xy i zx, xy i yz oraz xz i zy:

są równe 0 w przypadku gdy osie układu pokrywają się z osiami bezwładności,
możemy napisad:

xydm

F

xzdm

E

yzdm

D

2

2

0

2

0

2

0

3

2

R

Cz

By

Ax

2

3

)

C

B

A

(

2

1

R

m

G

U

Pole grawitacyjne i potencjał

Przypadek rzeczywisty: 4769 Castalia

Werner, R., Scheeres, D. 1997, CeMDA 65, 313

CeMDA – Celestial Mechanics and Dynamical

Astronomy

Pole grawitacyjne i potencjał

4769 Castalia

Rozmiary planetoidy:

r

max

800 m

r

min

300 m

r

śr

543 m

gęstośd 2.1 g/cm

3

masa

1.4x10

12

kg

Model planetoidy składa się z
3300 elementów powierzchni
tworzących wielościan. Oznacza to, że
dokładnośd odtworzenia powierzchni (rozdzielczośd przestrzenna) sięga około 60m

Pole grawitacyjne i potencjał

4769 Castalia: model potencjału

Korzystając z prawa Gaussa można wyznaczyd
natężenie pola grawitacyjnego przez powierzchnię
planetoidy przy założeniu stałej gęstości.

Pole grawitacyjne i potencjał

Prawo Gaussa

V

S

dV

G

4

A

d

g





Strumieo natężenia pola g przez
powierzchnię zamkniętą równy jest
całkowitej masie zamkniętej przez tę
powierzchnię pomnożonej przez -4πG

Pole grawitacyjne i potencjał

4769 Castalia: model potencjału

Potencjały związane z miejscami „zszycia”
wielokątów są liczone tak jak w przypadku pręta.

Pole grawitacyjne i potencjał

4769 Castalia: model potencjału

Pole grawitacyjne i potencjał

4769 Castalia: natężenie pola grawitacyjnego

Już w odległości rzędu 200 m
od powierzchni dobrym
przybliżeniem potencjału
jest potencjał pręta
(powierzchnie ekwipotencjalne
są elipsami)

Pole grawitacyjne i potencjał

4769 Castalia: porównanie z metodą szeregów

potencjał

natężenie pola grawitacyjnego

Pole grawitacyjne i potencjał

Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos

Bartczak, P., Breiter, S. 2003, CeMDA 86, 131

Pole grawitacyjne i potencjał

Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos

Potencjał od dwóch prostopadłych prętów:

gdzie:

oraz:

3

1

3

3

1

1

m

m

m

Gm

Gm

Pole grawitacyjne i potencjał

Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos

Potencjał elipsoidy postaci:

porównywany był z trzema modelami:

P2 – rozwinięcie potencjału w szereg
DR – przybliżenie pojedynczym prętem
BB – dwa prostopadłe pręty

Pole grawitacyjne i potencjał

Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos

Ida

Fobos

Zagadnienie dwóch ciał

Zagadnienie dwóch ciał

Równania ruchu

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



Dwa punkty o masach m

1

i m

2

odległe o r

Działają na siebie siłą o wartości:

2

2

1

r

m

m

G

F

Równania ruchu tych punktów:

3

1

2

2

1

2

2

3

2

1

2

1

1

1

r

r

r

m

Gm

r

m

r

r

r

m

Gm

r

m

















Otrzymujemy układ sześciu równao
różniczkowych drugiego rzędu (czyli układ
dwunastego rzędu).

Zagadnienie dwóch ciał

Równania ruchu

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



Na początek dodajemy stronami oba
równania:

a następnie całkujemy dwukrotnie:

i otrzymujemy pierwszych sześd całek i
sześd stałych całkowania.

0

r

m

r

m

2

2

1

1









B

t

A

r

m

r

m

A

r

m

r

m

2

2

1

1

2

2

1

1















Zagadnienie dwóch ciał

Równania ruchu

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



Z def. środka masy:

zastosowanego dla układu dwóch
punktów mamy:

i

i

i

i

i

c

m

r

m

r





2

1

2

2

1

1

c

m

m

r

m

r

m

r







Oznaczmy M=m

1

+m

2

, wtedy:

2

2

1

1

c

r

m

r

m

r

M







Zagadnienie dwóch ciał

Równania ruchu

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



B

t

A

r

m

r

m

2

2

1

1









Wtedy równanie:

przyjmuje postad:

To równanie określa nam zachowanie
środka masy (barycentrum). Dla t=0
znajduje się ono w punkcie B/M.
Po zróżniczkowaniu tego równania
otrzymujemy, że barycentrum porusza
się ze stałą prędkością równą A/M

B

t

A

r

M

c







Zagadnienie dwóch ciał

Równania ruchu względnego

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



3

1

2

2

1

2

2

3

2

1

2

1

1

1

r

r

r

m

Gm

r

m

r

r

r

m

Gm

r

m

















wprowadźmy:

1

2

r

r

r







1

2

r

r

r













czyli:

3

2

3

1

r

r

Gm

r

r

Gm

r









Zagadnienie dwóch ciał

Równania ruchu względnego

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



oznaczmy:

wtedy r-nie ruchu względnego przyjmuje
ostatecznie postad:

2

1

m

m

G

0

r

r

r

3







W ten sposób układ sześciu równao
drugiego rzędu został zredukowany do
układu trzech równao drugiego rzędu.
Jego rozwiązanie polega na znalezieniu
sześciu stałych.

Zagadnienie dwóch ciał

Całki pól

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



0

r

r

r

3







Mnożymy obustronnie przez (wektorowo)
i otrzymujemy:

po całkowaniu:

- moment pędu na jednostkę masy ,

(stała ruchu)

r



0

r

r







c

r

r







c



Rozpatrzmy dwa przypadki:

1.

Ponieważ r musi byd prostopadłe do c więc
ruch odbywa się w płaszczyźnie
prostopadłej do c.

Zagadnienie dwóch ciał

Całki pól

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



0

c



2.

Ponieważ:

więc mamy:

co oznacza, że ruch odbywa się po prostej
przechodzącej przez centrum grawitacji

0

c



0

r

r

c

r

r

dt

d

3







const

r

r



Zagadnienie dwóch ciał

II prawo Keplera

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



r



Ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej
do wektora momentu pędu.

Jeśli wybierzemy płaszczyznę xy jako
pokrywającą się z płaszczyzną ruchu i
wprowadzimy współrzędne biegunowe to:

c

,

0

,

0

c

0

,

sin

r

,

cos

r

r





wtedy:









2

r

r

r

c

c

Zagadnienie dwóch ciał

II prawo Keplera

m

1

m

2

t=0

t=δt

r+δr

r

δθ

δA

Powierzchnia zakreślona przez wektor
wodzący:

stąd:

2

r

2

1

sin

r

r

r

2

1

A





2

r

2

1

A

Pamiętając, że:

otrzymujemy:

czyli drugie prawo Keplera



2

r

c

const

c

2

1

A



Zagadnienie dwóch ciał

I prawo Keplera

r

r

r

mf

r

m







mnożymy je obustronnie przez (skalarnie) i otrzymujemy:

r



r

r

f

r

r

r

r

f

r

r













Rozpatrzmy cząstkę o masie m poddanej działaniu siły centralnej f(r). Siła jest
skierowana od cząstki do początku układu współrzędnych. Równanie ruchu
cząstki:

r

r

r

f

r







dr

r

f

2

v

d

2

W przypadku oddziaływania grawitacyjnego mamy:

h

r

v

2

1

2

Całkujemy:

2

r

r

f

Zagadnienie dwóch ciał

I prawo Keplera

h

r

v

2

1

2

Ostatecznie otrzymujemy tzw. całkę sił żywych:

która wyraża zachowanie energii w układzie. h jest energią całkowitą.

Przechodząc do współrzędnych biegunowych otrzymujemy:

h

r

r

r

2

1

2

2

2







2

r

c

h

r

r

2

c

r

2

1

2

2

2



energia kinetyczna

czynnik związany z
działaniem siły
odśrodkowej

energia potencjalna

Zagadnienie dwóch ciał

I prawo Keplera

Wprowadźmy tzw. potencjał efektywny:

r

r

2

c

U

2

2

eff

E

r

Potencjał efektywny w łatwy sposób tłumaczy
kształty orbit:

kołowa – minimum energii planety
eliptyczna – planeta zmienia odległośd między

dwoma skrajnymi wartościami

paraboliczna – zerowa energia (ciało nadlatuje

z nieskooczonosci)

hiperboliczna– energia większa od 0