MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 7

16.04.2008 r

Położenie punktu na orbicie

h<0 c.d.

S’

S

a

a

P

P’

r

O

Π

Q

υ

H

Porównując równania:

otrzymujemy:

a następnie:

)

1

E

cosh

e

(

a

r

cos

e

1

1

e

a

r

2

1

E

cosh

e

E

cosh

e

cos

1

E

cosh

e

E

sinh

1

e

sin

2

2

E

tgh

1

e

1

e

2

tg

Położenie punktu na orbicie

h<0

S’

S

a

a

P

P’

r

O

Π

Q

υ

H

Uzyskane równania można wyrazid za
pomocą funkcji trygonometrycznych
wprowadzając nową zmienną H:

wtedy:

Z definicji funkcji hiperbolicznych:

można pokazad, że:

H

sec

E

cosh

;

H

tg

E

sinh

2

H

tg

2

E

tgh

4

2

H

tg

E

exp

E

exp

E

exp

E

cosh

2

E

exp

E

exp

E

sinh

2

Położenie punktu na orbicie

h<0

S’

S

a

a

P

P’

r

O

Π

Q

υ

H

E

E

sinh

e

T

t

n

Wobec tego równanie:

można zapisad jako:

Oprócz tego:

4

2

H

tg

ln

H

tg

e

T

t

n

3

2

a

n

2

H

tg

e

1

e

1

2

tg

1

H

sec

e

a

r

Położenie punktu na orbicie

h<0

S’

S

a

a

P

P’

r

O

Π

Q

υ

H

Ten zestaw równao pozwala wyznaczyd
położenie i prędkośd ciała w ruchu po
hiperboli.

H

sec

1

e

r

n

a

y

r

H

tg

n

a

x

H

tg

1

e

a

sin

r

y

H

sec

e

a

cos

r

x

2

2

2

2





Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



c

r

r







Równanie:

jest nazywane całką momentu pędu.
Jednak należy pamiętad, że jest to moment
liczony na jednostkę masy m

2

i nie jest

odzwierciedleniem całkowitego momentu
pędu układu dwóch ciał.

Rozpatrzymy teraz zagadnienie dwóch ciał
używając układu współrzędnych mających
początek w środku masy ciał

1

R



2

R



R



O

O’

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



1

R



2

R



R



O

O’

Wektor R jest definiowany przez równanie:

uwzględniając:

otrzymujemy:

0

R

m

m

r

m

r

m

2

1

2

2

1

1







R

r

R

;

R

r

R

2

2

1

1













0

R

m

R

m

2

2

1

1





Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



1

R



2

R



R



O

O’

0

R

m

R

m

2

2

1

1





stąd:

a) R

1

ma zawsze zwrot przeciwny do R

2

b) środek masy leży zawsze na linii łączącej

obie masy więc R

1

+R

2

=r, gdzie r jest

separacją mas

c) odległości mas od środka masy są

związane zależnością: m

1

R

1

=m

2

R

2

stąd otrzymujemy:

r

m

m

m

R

r

m

m

m

R

2

1

1

2

2

1

2

1

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

r

m

m

m

R

r

m

m

m

R

2

1

1

2

2

1

2

1

Wynika stąd, że niezależnie od tego jaką krzywą stożkową dostaliśmy stosując współrzędne
względne, ciało wokół środka masy zakreśla taką samą krzywą przeskalowaną jedynie
o pewien czynnik zależny od masy.

O’

m

1

m

2

oś

układu

O’

m

1

m

2

oś

układu

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



1

R



2

R



R



O

O’

W ruchu względnym jedną ze stałych był
całkowity moment pędu:

ponieważ R

1

i R

2

są proporcjonalne do r

więc możemy napisad:



2

r

c

c

m

m

m

c

const

R

c

m

m

m

c

const

R

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1





Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

z

y

x

m

2

(x

2

,y

2

,z

2

)

m

1

(x

1

,y

1

,z

1

)

1

r



2

r



1

R



2

R



R



O

O’

Całkowity moment pędu układu jest równy:

stąd:

czyli, jeżeli m

2

<<m

1

, c c

2

to c jest w

przybliżeniu równe momentowi pędu
układu liczonego na jednostkę masy m

2

c

m

m

m

m

c

m

c

m

L

2

1

2

1

2

2

1

1

*

*

2

1

L

m

1

m

1

c

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

O’

m

1

m

2

oś

układu

Okres obiegu każdej z mas wokół środka masy
jest taki sam = P. Jednocześnie jest on równy
okresowi obiegu masy m

2

wokół m

1

Stąd ruchy średnie są także równe: n

1

=n

2

=n

ale wielkie półosie nie:

uwzględniając:

otrzymujemy:

a

m

m

m

a

a

m

m

m

a

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

e

1

na

c

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

O’

m

1

m

2

oś

układu

2

2

2

2

2

2

1

1

e

1

na

c

e

1

na

c

co oznacza, że elipsy są różnej wielkości
ale mają jednakowe mimośrody.

Z rysunku można także zauważyd, że
perycentra obu mas różnią się o π.

Rozpatrzymy teraz całkowitą energię
w układzie dwóch punktów obiegających
wspólny środek masy.

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

O’

m

1

m

2

oś

układu

Energia całkowita układu (E

*

) jest sumą energii

kinetycznej (liczonej w inercjalnym układzie
barycentrycznym) i potencjalnej:

przechodząc do współrzędnych biegunowych:

skąd dostajemy:

r

m

m

G

v

m

2

1

v

m

2

1

E

2

1

2

2

2

2

1

1

*

r

m

m

G

R

R

m

2

1

R

R

m

2

1

E

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

*









h

m

m

m

m

E

2

1

2

1

*

Dla orbit eliptycznych mieliśmy h=-μ/2a, więc:

poza tym przekształcając wyrażenie na E

*

:

co oznacza, że dla m

1

<<m

2

, h E

*

/m

2

, stała h

jest w przybliżeniu równa całkowitej energii
układu liczonej na jednostkę masy m

2

.

Zagadnienie dwóch ciał

Współrzędne barycentryczne

O’

m

1

m

2

oś

układu

a

2

m

m

G

h

m

m

m

m

E

2

1

2

1

2

1

*

*

2

1

E

m

1

m

1

h

Orbita w przestrzeni

Elementy orbitalne

Ω

I

ω

Zˆ

Y

ˆ

X

ˆ

ognisko

z

ˆ

y

ˆ

x

ˆ

orbita

płaszczyzna
odniesienia

perycentrum

kierunek
odniesienia

węzeł
wstępujący

a – wielka półoś
e – mimośród
Ω – długośd węzła wstępującego
I

– nachylenie orbity do płaszczyzny

odniesienia

ω – długośd perycentrum w orbicie
T – czas przejścia przez perycentrum

= Ω+ω – długośd perycentrum
λ=M+ – długośd średnia
u=ω+υ – argument szerokości

Orbita w przestrzeni

Elementy orbitalne

Ω

I

ω

Zˆ

Y

ˆ

X

ˆ

ognisko

z

ˆ

y

ˆ

x

ˆ

orbita

płaszczyzna
odniesienia

perycentrum

kierunek
odniesienia

węzeł
wstępujący

Przejście od układu współrzędnych
związanego z orbitą do układu
odniesienia polega na obrocie
wokół trzech osi:

a. obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy

oś x pokrywa się z linią węzłów

b. obrót wokół osi x o kąt I, obie

płaszczyzny pokrywają się

c. obrót wokół osi z o kąt Ω

Orbita w przestrzeni

Elementy orbitalne

Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu:

1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

P

I

cos

I

sin

0

I

sin

I

cos

0

0

0

1

P

1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos

P

3

2

1

Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez:

Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne
są po prostu macierzami transponowanymi

Z

Y

X

P

P

P

z

y

x

z

y

x

P

P

P

Z

Y

X

1

3

1

2

1

1

1

2

3

Orbita w przestrzeni

Elementy orbitalne

Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity:

Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się

I

sin

sin

I

cos

sin

cos

cos

sin

I

cos

sin

sin

cos

cos

r

0

sin

r

cos

r

P

P

P

Z

Y

X

1

2

3

Orbita w przestrzeni

Położenie planety z elementów orbitalnych

Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyd jej współrzędne w
dowolnym układzie odniesienia.

Przykład:

wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza
na dzieo 25 września 1993 r, 6:32 UT

1. Parametry orbity:

parametr

Epoka 2000.0

25.09.1993 r

a [AU]

5.20336301

5.20332

e

0.04839266

0.0484007

I

1.̊30530

1.̊30537

Ω

100.̊55615

100.̊535



14.̊75385

14.̊7392

λ

34.̊40438

204.̊234

Murray, C.D. i Dermott, S.F.
1999, Solar System Dynamics,
Cambridge University Press

Orbita w przestrzeni

Położenie planety z elementów orbitalnych

2. M=λ-=189 .̊495

3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 .̊059

4. Korzystając ze wzorów:

wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity

E

sin

e

1

a

y

e

E

cos

a

x

2

Orbita w przestrzeni

Położenie planety z elementów orbitalnych

5. Następnie używając wartości I, Ω,  wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście
do układu odniesienia (heliocentrycznego):

skąd:

X=-5.00336,

Y=-2.16249,

Z=0.121099

99974

.

0

00167014

.

0

0227198

.

0

00416519

.

0

967097

.

0

254373

.

0

0223971

.

0

254401

.

0

966839

.

0

P

P

P

P

1

2

3

Orbita w przestrzeni

Zmiany elementów orbitalnych

t

N

360

3600

t

3600

t

3600

t

3600

I

I

I

t

e

e

e

t

a

a

a

r

0

0

0

0

0

0













Murray, C.D. i Dermott, S.F.
1999, Solar System Dynamics,
Cambridge University Press

gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliaoskich
począwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0)
stulecie juliaoskie = 36525 dni

Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyd
perturbowane parametry orbitalne planet
Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’
(w przedziale 1800 r. – 2050 r.)

Orbita w przestrzeni

Zmiany elementów orbitalnych

a

0

(AU)

e

0

I

0

(

o

)



0

(

o

)

Ω

0

(

o

)

λ

0

(

o

)

Merkury

0.38709893

0.20563069

7.00487

77.45645

48.33167

252.25084

Wenus

0.72333199

0.00677323

3.39471

131.53298

76.68069

181.97973

Ziemia

1.00000011

0.01671022

0.00005

102.94719

348.73936

100.46435

Mars

1.52366231

0.09341233

1.85061

336.04084

49.57854

355.45332

Jowisz

5.20336301

0.04839266

1.30530

14.75385

100.55615

34.40438

Saturn

9.53707032

0.05415060

2.48446

92.43194

113.71504

49.94432

Uran

19.19126393

0.04716771

0.76986

170.96424

74.22988

313.23218

Neptun

30.06896348

0.00858587

1.76917

44.97135

131.72169

304.88003

Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc

Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

Orbita w przestrzeni

Zmiany elementów orbitalnych

Merkury

66

2527

-23.51

573.57

-446.30

261628.29

415

Wenus

92

-4938

-2.86

-108.80

-996.89

712136.06

162

Ziemia

-5

-3804

-46.94

1198.28

-18228.25

1293740.63

99

Mars

-7221

11902

-25.47

1560.78

-1020.19

217103.78

53

Jowisz

60737

-12880

-4.15

839.93

1217.17

557078.35

8

Saturn

-301530

-36762

6.11

-1948.89

-1591.05

513052.95

3

Uran

152025

-19150

-2.09

1312.56

1681.40

246547.79

1

Neptun

-125196

2514

-3.64

-844.43

-151.25

786449.21

0

0

a

0

e

0

I

0



0



0



r

N

Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 10

8

, podczas gdy zmiany wielkości

kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie
Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyd elementy
orbitalne a, e, I, Ω, ν, T.

Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m

1

i m

2

.

Mamy (w układzie odniesienia):

2

2

2

2

2

2

2

2

Z

Y

X

V

Z

Y

X

R







Wtedy:

2

2

2

R

c

V

R

X

Y

Y

X

,

Z

X

X

Z

,

Y

Z

Z

Y

c

Z

Z

Y

Y

X

X

R

R



























Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

2

2

2

R

c

V

R

X

Y

Y

X

,

Z

X

X

Z

,

Y

Z

Z

Y

c

Z

Z

Y

Y

X

X

R

R



























R – długośd promienia wodzącego

Ṙ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu ponieważ

R jest zawsze dodatnie

Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu:

górny znak wybieramy jeśli
c

z

>0, a dolny dla c

z

<0

R

R





Y

X

Z

c

cos

I

sin

c

c

sin

I

sin

c

c

I

cos

c



Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

Możemy teraz przystąpid do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej):

1. Wielką półoś wyznaczamy z równao:

skąd dostajemy:

a

1

R

2

V

Z

Y

X

V

Z

Y

X

R

2

2

2

2

2

2

2

2

2







1

2

1

2

m

m

G

V

R

2

a

Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

2. mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz

ze wzoru:

otrzymujemy:

2

e

1

a

c

a

m

m

G

c

1

e

2

1

2

3. Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy

wektorem momentu pędu a jego składową h

z

:

c

c

arccos

I

Z

Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy:

skąd otrzymujemy:

znak wybieramy w zależności od znaku h

z

Y

X

c

cos

I

sin

c

c

sin

I

sin

c



I

sin

c

c

cos

I

sin

c

c

sin

Y

X



Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeo na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R):

czyli:

I

sin

sin

I

cos

sin

cos

cos

sin

I

cos

sin

sin

cos

cos

r

Z

Y

X

I

cos

sin

sin

R

X

sec

cos

I

sin

R

Z

sin

Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długośd perycentrum (w płaszczyźnie
orbity) przy użyciu:

wtedy:

sin

e

e

1

na

R

cos

e

1

e

1

a

R

2

2



R

ce

e

1

a

sin

1

R

e

1

a

2

1

cos

2

2



Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

7. Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T.

Aby tego dokonad wyznaczamy E ze wzoru:

a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera:

otrzymujemy:

E

cos

e

1

a

R

3

2

a

n

E

sin

e

E

T

t

n

3

2

1

a

m

m

G

E

sin

e

E

t

T

Orbita w przestrzeni

Wyznaczanie elementów orbitalnych

Powyższa procedura pozwala uzyskad elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej.

Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyd się z równao czynnika G(m1+m2)
poprzez wybór innych jednostek.

Można tego dokonad skalując niezależną zmienną t przez czynnik
i wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że:

Można zauważyd, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu:

jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartośd wielkiej półosi, to mamy
układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy
2π jednostek czasowych.

2

1

m

m

G

d

dt

0

r

r

dt

r

d

3

2

2



