Mechanika nieba wykład 3

background image

MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 3

19.03.2008 r

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

M

A

B

Pole, w którym praca przy przesunięciu
punktu z A do B nie zależy od drogi po
jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy
polem potencjalnym (zachowawczym).

W polu potencjalnym praca wykonana po
dowolnej linii zamkniętej jest równa zero.

W związku z tym praca jest tylko funkcją
współrzędnych:

Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem

)

z

,

y

,

x

(

mU

W

AB

m

E

U

p

Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnej
na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty
sposób wyznaczyd składowe siły grawitacyjnej:

z

y

x

F

z

U

m

;

F

y

U

m

;

F

x

U

m

W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnieo mechaniki nieba) siła F zależy
tylko od odległości od środka pola, wtedy:

)

r

(

f

F

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

A(x,y,z)

α

β

γ

O

α,β,γ – kąty jakie kierunek OA tworzy z
osiami układu współrzędnych

r

z

cos

;

r

y

cos

;

r

x

cos

składowe siły:

r

z

F

F

;

r

y

F

F

;

r

x

F

F

z

y

x

r

Pamiętając, że:

2

2

2

2

z

y

x

r

otrzymujemy:

r

z

z

r

;

r

y

y

r

;

r

x

x

r

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

A(x,y,z)

α

β

γ

O

r

Wprowadźmy funkcję:

dr

)

r

(

f

Fdr

mU

wtedy dla składowej x:

i analogicznie dla y oraz z:

x

F

r

x

F

r

x

)

r

(

f

x

r

dr

dU

m

x

U

m

z

y

F

z

U

m

;

F

y

U

m

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

m

2

O

r

Wynika stąd, że funkcja :

jest potencjałem.

m

Fdr

U

m

1

W polu grawitacyjnym (punkt m

1

przyciąga

punkt m

2

):

a więc:

2

2

1

r

m

m

G

F

r

m

G

U

1

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał grawitacyjny

z

y

x

m

2

O

r

m

1

Praca wykonana przy rozsunięciu punktów
m

1

i m

2

od r do r

1

jest równa różnicy:

r

1

r

1

m

Gm

)

r

(

U

m

)

r

(

U

m

W

1

2

1

2

1

2

Jeżeli punkt m

2

odsuniemy do

nieskooczoności (r

1

->∞), to:

otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną.

p

2

2

1

E

)

r

(

U

m

r

m

m

G

W

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał układu punktów

Suma pól potencjalnych pochodzących od
różnych mas jest również polem
potencjalnym. Potencjał tego pola jest
sumą potencjałów poszczególnych mas:

Wyznaczmy potencjały dla kilku prostych
przypadków…

z

y

x

0

n

n

3

3

2

2

1

1

r

m

r

m

r

m

r

m

G

U

M

m

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

Q(x,y,z)

background image

Całkując dostajemy:

Ta funkcja zależy tylko od z. Aby
otrzymad natężenie pola musimy
policzyd pochodną:

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał na osi pierścienia

Potencjał od elementu δM:

2

2

z

a

M

G

U

2

2

z

a

GM

U

2

/

3

2

2

z

a

Mz

G

dz

dU

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał na osi jednorodnego dysku

Potencjał dysku jest sumą
potencjałów pochodzących od
elementarnych pierścieni:

2

/

1

2

2

2

/

1

2

2

z

r

r

r

2

G

z

r

M

G

dU

z

z

a

1

z

a

GM

2

z

r

rdr

G

2

U

2

/

1

2

2

2

a

0

2

/

1

2

2

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał na osi jednorodnego dysku

W przypadku dużych z, możemy
rozwinąd wyrażenie w nawiasie
korzystając z uogólnienia dwumianu
Newtona na dowolne potęgi.

Otrzymujemy:

z

M

G

U

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał od jednorodnego pręta

Pręt o gęstości σ

Potencjał w punkcie P, pochodzący
od elementu δx:

cos

G

r

x

G

U

Sumaryczny potencjał dostajemy
całkując:

L

2

r

r

L

2

r

r

ln

G

cos

d

G

U

2

1

2

1

r

δx

δθ

θ

2L

P

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał od jednorodnego pręta

r

δx

δθ

θ

2L

Dla r>>L możemy logarytmy
rozwinąd w szereg Maclaurina.

Otrzymujemy:

czyli potencjał masy punktowej.

r

M

G

U

r

L

1

ln

r

L

1

ln

L

2

M

G

U

Gdy r

1

i r

2

są duże możemy założyd:

wtedy:

r

r

r

2

1

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał od jednorodnego pręta

r

δx

δθ

θ

2L

L

2

r

r

L

2

r

r

ln

G

U

2

1

2

1

W niewielkich odległościach od
pręta powierzchnie ekwipotencjalne
są elipsami (r

1

+r

2

=2a)

o wielkich półosiach równych:

L

a

L

a

ln

G

U

G

U

G

U

e

1

e

1

L

a

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał dowolnej masy

Suma pól potencjalnych pochodzących od
różnych mas jest również polem
potencjalnym. Potencjał tego pola jest
sumą potencjałów poszczególnych mas:

z

y

x

0

n

1

i

i

i

n

n

3

3

2

2

1

1

r

m

G

r

m

r

m

r

m

r

m

G

U

M

m

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

Q(x,y,z)

gdzie:

2

i

2

i

2

i

2

i

)

z

z

(

)

y

y

(

)

x

x

(

r

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał dowolnej masy

z

y

x

0

M

m

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

Q(x,y,z)

Pochodne potencjału (podobnie dla y i z):

n

1

i

5

i

2

i

i

3

i

i

2

2

n

1

i

i

3

i

i

r

)

x

x

(

m

3

r

m

G

x

U

)

x

x

(

r

m

G

x

U

Można pokazad, że:

które jest równaniem Laplace’a

0

z

U

y

U

x

U

2

2

2

2

2

2

background image

Pole grawitacyjne i potencjał

Potencjał dowolnej masy

z

y

x

0

M

m

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

Q(x,y,z)

Ogólnie:

Potencjał w punkcie leżącym na
zewnątrz masy przyciągającej
spełnia r-nie Laplace’a:

Potencjał w punkcie leżącym
wewnątrz masy przyciągającej
spełnia r-nie Poisson’a:

0

z

U

y

U

x

U

2

2

2

2

2

2

G

4

z

U

y

U

x

U

2

2

2

2

2

2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mechanika nieba wykład 9
Mechanika nieba wykład 14
Mechanika nieba wykład 7
Mechanika nieba wykład 6
Mechanika nieba wykład 4
Mechanika nieba wykład 5
Mechanika nieba wykład 10
Mechanika nieba wykład 11
Mechanika nieba wykład 13
Mechanika nieba wykład 2
Mechanika nieba wykład 12
Mechanika nieba wykład 8
Mechanika nieba wykład 9
Mechanika nieba wykład 14

więcej podobnych podstron