MECHANIKA NIEBA
WYKŁAD 3
19.03.2008 r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
M
A
B
Pole, w którym praca przy przesunięciu
punktu z A do B nie zależy od drogi po
jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy
polem potencjalnym (zachowawczym).
W polu potencjalnym praca wykonana po
dowolnej linii zamkniętej jest równa zero.
W związku z tym praca jest tylko funkcją
współrzędnych:
Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem
)
z
,
y
,
x
(
mU
W
AB
m
E
U
p
Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnej
na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty
sposób wyznaczyd składowe siły grawitacyjnej:
z
y
x
F
z
U
m
;
F
y
U
m
;
F
x
U
m
W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnieo mechaniki nieba) siła F zależy
tylko od odległości od środka pola, wtedy:
)
r
(
f
F
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
A(x,y,z)
α
β
γ
O
α,β,γ – kąty jakie kierunek OA tworzy z
osiami układu współrzędnych
r
z
cos
;
r
y
cos
;
r
x
cos
składowe siły:
r
z
F
F
;
r
y
F
F
;
r
x
F
F
z
y
x
r
Pamiętając, że:
2
2
2
2
z
y
x
r
otrzymujemy:
r
z
z
r
;
r
y
y
r
;
r
x
x
r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
A(x,y,z)
α
β
γ
O
r
Wprowadźmy funkcję:
dr
)
r
(
f
Fdr
mU
wtedy dla składowej x:
i analogicznie dla y oraz z:
x
F
r
x
F
r
x
)
r
(
f
x
r
dr
dU
m
x
U
m
z
y
F
z
U
m
;
F
y
U
m
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
m
2
O
r
Wynika stąd, że funkcja :
jest potencjałem.
m
Fdr
U
m
1
W polu grawitacyjnym (punkt m
1
przyciąga
punkt m
2
):
a więc:
2
2
1
r
m
m
G
F
r
m
G
U
1
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
z
y
x
m
2
O
r
m
1
Praca wykonana przy rozsunięciu punktów
m
1
i m
2
od r do r
1
jest równa różnicy:
r
1
r
1
m
Gm
)
r
(
U
m
)
r
(
U
m
W
1
2
1
2
1
2
Jeżeli punkt m
2
odsuniemy do
nieskooczoności (r
1
->∞), to:
otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną.
p
2
2
1
E
)
r
(
U
m
r
m
m
G
W
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał układu punktów
Suma pól potencjalnych pochodzących od
różnych mas jest również polem
potencjalnym. Potencjał tego pola jest
sumą potencjałów poszczególnych mas:
Wyznaczmy potencjały dla kilku prostych
przypadków…
z
y
x
0
n
n
3
3
2
2
1
1
r
m
r
m
r
m
r
m
G
U
M
m
i
(x
i
,y
i
,z
i
)
Q(x,y,z)
Całkując dostajemy:
Ta funkcja zależy tylko od z. Aby
otrzymad natężenie pola musimy
policzyd pochodną:
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi pierścienia
Potencjał od elementu δM:
2
2
z
a
M
G
U
2
2
z
a
GM
U
2
/
3
2
2
z
a
Mz
G
dz
dU
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi jednorodnego dysku
Potencjał dysku jest sumą
potencjałów pochodzących od
elementarnych pierścieni:
2
/
1
2
2
2
/
1
2
2
z
r
r
r
2
G
z
r
M
G
dU
z
z
a
1
z
a
GM
2
z
r
rdr
G
2
U
2
/
1
2
2
2
a
0
2
/
1
2
2
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi jednorodnego dysku
W przypadku dużych z, możemy
rozwinąd wyrażenie w nawiasie
korzystając z uogólnienia dwumianu
Newtona na dowolne potęgi.
Otrzymujemy:
z
M
G
U
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
Pręt o gęstości σ
Potencjał w punkcie P, pochodzący
od elementu δx:
cos
G
r
x
G
U
Sumaryczny potencjał dostajemy
całkując:
L
2
r
r
L
2
r
r
ln
G
cos
d
G
U
2
1
2
1
r
δx
δθ
θ
2L
P
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
r
δx
δθ
θ
2L
Dla r>>L możemy logarytmy
rozwinąd w szereg Maclaurina.
Otrzymujemy:
czyli potencjał masy punktowej.
r
M
G
U
r
L
1
ln
r
L
1
ln
L
2
M
G
U
Gdy r
1
i r
2
są duże możemy założyd:
wtedy:
r
r
r
2
1
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
r
δx
δθ
θ
2L
L
2
r
r
L
2
r
r
ln
G
U
2
1
2
1
W niewielkich odległościach od
pręta powierzchnie ekwipotencjalne
są elipsami (r
1
+r
2
=2a)
o wielkich półosiach równych:
L
a
L
a
ln
G
U
G
U
G
U
e
1
e
1
L
a
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
Suma pól potencjalnych pochodzących od
różnych mas jest również polem
potencjalnym. Potencjał tego pola jest
sumą potencjałów poszczególnych mas:
z
y
x
0
n
1
i
i
i
n
n
3
3
2
2
1
1
r
m
G
r
m
r
m
r
m
r
m
G
U
M
m
i
(x
i
,y
i
,z
i
)
Q(x,y,z)
gdzie:
2
i
2
i
2
i
2
i
)
z
z
(
)
y
y
(
)
x
x
(
r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
z
y
x
0
M
m
i
(x
i
,y
i
,z
i
)
Q(x,y,z)
Pochodne potencjału (podobnie dla y i z):
n
1
i
5
i
2
i
i
3
i
i
2
2
n
1
i
i
3
i
i
r
)
x
x
(
m
3
r
m
G
x
U
)
x
x
(
r
m
G
x
U
Można pokazad, że:
które jest równaniem Laplace’a
0
z
U
y
U
x
U
2
2
2
2
2
2
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
z
y
x
0
M
m
i
(x
i
,y
i
,z
i
)
Q(x,y,z)
Ogólnie:
Potencjał w punkcie leżącym na
zewnątrz masy przyciągającej
spełnia r-nie Laplace’a:
Potencjał w punkcie leżącym
wewnątrz masy przyciągającej
spełnia r-nie Poisson’a:
0
z
U
y
U
x
U
2
2
2
2
2
2
G
4
z
U
y
U
x
U
2
2
2
2
2
2