MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 10

14.05.2008 r

Zagadnienie n ciał

Całki ruchu

z

y

x

0

P

j

(x

j

,y

j

,z

j

)

Q

i

(x

i

,y

i

,z

i

)

ij

r



B

t

A

r

m

n

1

i

i

i







całka środka masy:

całka pól:

całka energii (sił żywych):

const

c

i

i



h

U

T

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

k

k

k

k

k

r

U

m

1

v

v

r









gdzie:

Powyższy układ może nie mied rozwiązania
dla pewnego momentu czasu t=t

1

– osobliwośd

Osobliwości należą do dwóch klas:

1. zderzeniowe
2. niezderzeniowe

N

k

j

1

jk

k

j

r

m

m

G

U

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Problem analizy osobliwości w zagadnieniu n
ciał został zapoczątkowany przez
P.Painlevé w 1895 r.

Szczególnie istotne było poruszenie przez
niego problemu istnienia osobliwości
niezderzeniowych (rozwiązanie zostało
podane sto lat później).

Równanie ruchu n ciał (przyjmując taki układ
współrzędnych gdzie G=1):

i

n

1

j

3

ij

j

i

j

i

i

i

r

U

r

r

r

m

m

r

m











Zagadnienie n ciał

Osobliwości

zdefiniujmy zbiór zderzeo:

gdzie:

to zbiór takich konfiguracji układu, w których
dochodzi do zderzenia pewnej
liczby punktów

ji

i

j

Z

:

Z



i

j

n

3

n

,

,

1

ji

r

r

R

r

r

r

:

Z













P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

zdefiniujmy zbiór zderzeo:

gdzie:

to zbiór takich konfiguracji układu, w których
dochodzi do zderzenia pewnej
liczby punktów

ji

i

j

Z

:

Z



i

j

n

3

n

,

,

1

ji

r

r

R

r

r

r

:

Z













P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Poza zbiorem zderzeo (R

3n

\Z), prawa strona

układu:

jest funkcją gładką.

n

1

j

3

ij

j

i

j

i

i

i

r

r

r

m

m

r

m









Zagadnienie n ciał

Osobliwości

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Załóżmy, że rozwiązanie r(t) zagadnienia n ciał
posiada osobliwośd w pewnej chwili t*
(przy czym t*<∞), wtedy mamy dwie możliwości:

1.

w tym wypadku wektor q
jest pewnym ustalonym
punktem – zderzenie

2. trajektoria nie dąży do ustalonego punktu

(należącego do zbioru Z) – mamy osobliwośd
niezderzeniową

Z

q

,

q

)

t

(

r

*

t

t







Zagadnienie n ciał

Osobliwości

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Osobliwośd niezderzeniowa – ruch n punktów
materialnych, w którym nie dochodzi do zderzenia
żadnej ich pary, a jednocześnie po skooczonym
czasie suma wszystkich odległości tych par dąży
do nieskooczoności

Painlevé zadał pytanie o możliwośd istnienia
osobliwości niezderzeniowej – pokazał
jednocześnie, że w zagadnieniu trzech ciał takie
osobliwości nie występują.

W 1908 r. von Zeipel pokazał, że jeśli istnieje
osobliwośd niezderzeniowa, to maksymalna
odległośd między n punktami, poruszającymi się
zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, może w
skooczonym czasie wzrastad do nieskooczoności.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POSTĘPY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2

Dopiero w McGehee (1974) oraz Mather i
McGehee (1975) pokazują, że jest możliwe
istnienie osobliwości niezderzeniowej w
układach czterech i pięciu ciał. Jednak w ich
pracach osobliwośd niezderzeniowa pojawia
się po nieskooczonej ilośd zlinearyzowanych
zderzeo (tzw. „rozdmuchiwanie” osobliwości).

Ostatecznie rozwiązanie problemu
poruszonego przez Painlevé podaje Xia (1988)
dla układu pięciu ciał.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Aby zrozumied konstrukcję Xia dobrze jest
zacząd od układu trzech ciał takiego jak na
rysunku

Układ dwóch ciał poruszających się bardzo
szybko po ciasnych elipsach (przyciąganie
zależy wtedy również od odległości między
m1 i m2), tak że w pewnym położeniu
prawie dochodzi do zderzeo.

Trzeci ciało (cząstka) porusza się wzdłuż
prostej przechodzącej przez barycentrum
mas m

1

i m

2

.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Układ działa w taki sposób, że gdy m

3

mija

barycentrum to m

1

i m

2

również i dochodzi

do „prawie” zderzenia. W efekcie m

3

zostaje

gwałtownie przyspieszona i zawrócona

Xia ilustruje to za pomocą piłki do koszykówki

z umieszczoną tuż nad nią piłką tenisową
upuszczonych na ziemię

Jeżeli piłka do koszykówki uderza w ziemię to
piłka tenisowa odbija się od poruszającej się
do góry piłki do koszykówki

Pęd przekazany mniejszej piłce jest ogromny
i powoduje jej „wystrzelenie” w górę

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Aby uniknąd wyrzucenia lekkiego ciała do
nieskooczoności , w układzie Xia mamy do
czynienia z dwoma gwiazdami podwójnymi o
parami równych masach.

Do tego układu dodajemy, jako piąte ciało,
lekki wahadłowiec poruszający się wzdłuż
osi z.

Środek masy pięciu ciał znajduje się w
początku układu współrzędnych.

Łączny moment pędu układu jest równy zeru.

W chwili początkowej wahadłowiec znajduje
się pomiędzy układami podwójnymi i porusza
się w kierunku jednego z nich.

Zagadnienie n ciał

Osobliwości

Kiedy mija dany układ zostaje gwałtownie
zawrócony i skierowany w stronę drugiego
układu.

Kiedy dociera do drugiego układu sytuacja
powtarza się.

Xia wykazał, że masy ciał i warunki początkowe
można dobrad tak, że ruch wahadłowca można
powtórzyd nieskooczenie wiele razy w
skooczonym czasie

Osobliwośd niezderzeniowa pojawia się, bo w
granicy t->t* odległośd płaszczyzn obu gwiazd
podwójnych rośnie do nieskooczoności

Przykład podany przez Xia może byd uogólniony
na dowolny układ n>5 ciał.

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

„Zwykłe” całkowanie numeryczne
równao ruchu.

Jest bardzo powolne, bo czas
obliczeo zależy od n

2

Można go zredukowad używając
pewnych technik

Jest bardzo czułe na błędy użytej
metody całkowania (

przykład

)

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

metoda Barnes-Hut – przykład analizy
zagadnienia n ciał przy zredukowanej
liczbie kroków obliczeniowych (czas obliczeo
rośnie zgodnie z nlogn)

Polega na utworzeniu „drzewa oddziaływao”
poprzez podzielenie przestrzeni na komórki,
które na najniższym poziomie zawierają
pojedyncze ciała

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

Ruch danej cząstki jest zdeterminowany
przez oddziaływania grawitacyjne innych ciał.

W metodzie B-H zakłada się, że tylko ciała
leżące najbliżej danej cząstki muszą byd
traktowane indywidualnie.

Oddziaływanie od bardziej odległych ciał
wyznaczane jest poprzez uśrednianie po
dużych komórkach.

Metoda B-H nie ma nic wspólnego z modelami
typu PIC (Particle In Cell)!

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

Dzięki metodzie B-H można obecnie
efektywnie badad zderzenia galaktyk,
które modeluje się jako zbiory milionów (!)
gwiazd.

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

Modyfikacje metody Barnes-Hut polegają
np. na innym sposobie dzielenie przestrzeni

Mogą to byd na przykład kule lub elipsy

W niektórych wypadkach pozwala to
uzyskad liniową zależnośd czasu obliczeo od
liczby punktów

Fast Multipole Method (Greengard i

Rokhlin 1987)

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania numeryczne

Metoda najbliższego sąsiada:

1. dla danego punktu liczymy odległości

od innych

2. jako sąsiadów traktujemy punkty, których

odległości są mniejsze od zadanego
warunku (nie zapominamy o masie)

3. wyznaczmy przyspieszenie pochodzące

od sąsiadów

Metoda pozwala uzyskad czas obliczeo
proporcjonalny do liczby punktów (b. szybka)

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania szczególne

Pierwsze, stabilne rozwiązania dla n>2 ciał podali
Lagrange i Euler

Skupili się oni głównie na zagadnieniu 3 ciał szukając
symetrii pozwalających uzyskad dokładne rozwiązania.

W trzech przypadkach ciała zawsze znajdowały się
na jednej prostej (wcześniej taki przykład podał
Euler), a w dwóch innych masy leżały w wierzchołkach
trójkąta równobocznego.

Ostatnio (

Chenciner i Montgomery 2001

) podany został

jeszcze jeden przypadek, w którym trzy ciała poruszają
się po figurze o kształcie ósemki (nieskooczoności…?).

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania szczególne

Duża częśd rozwiązao szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązao dla układu 3 ciał.

Ogólnie znane rozwiązania dla n ciał można podzielid na kilka klas:

1. płaskie – jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniowad

płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała.

2. współliniowe – w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała

znajdują się na jednej prostej

3. homograficzne – kształt utworzony przez n ciał względem

barycentrum jest zachowany, przykład:

Zagadnienie n ciał

Rozwiązania szczególne - przykłady

http://burtleburtle.net/bob/physics/