MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 8

23.04.2008 r

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

W rzeczywistości dokładnych rozwiązao
w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele.

Bardzo często posługujemy się rozwiązaniami
przybliżonymi bazującymi na rozwinięciach
w szeregi.

W Układzie Słonecznym korzystamy często z
faktu, że orbity różnią się niewiele od koła
(rozwijanie względem małych e), tworzą małe
kąty z płaszczyzną ekliptyki (małe I).

Innym zagadnieniem, w którym często korzysta
się z rozwinięd w szereg jest teoria perturbacji

Zagadnienie dwóch ciał

Trygonometryczny szereg Fouriera

Dana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzględnie całkowalna w przedziale
(-T/2, T/2), gdzie T jest okresem.

Rozwinięcie f(x) w szereg Fouriera ma postad:

współczynniki a

n

i b

n

są określone wzorami:

1

n

n

n

0

x

T

n

2

sin

b

x

T

n

2

cos

a

2

a

x

S





,

3

,

2

,

1

n

xdx

T

n

2

sin

x

f

T

2

b

,

3

,

2

,

1

,

0

n

xdx

T

n

2

cos

x

f

T

2

a

2

T

2

T

n

2

T

2

T

n

Zagadnienie dwóch ciał

Trygonometryczny szereg Fouriera

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

sM

sin

e

b

E

sin

e

1

s

s

0

0

0

s

E

sin

e

sMd

cos

s

2

sM

cos

E

sin

e

s

2

sMdM

sin

E

sin

e

2

e

b

Napiszmy równanie Keplera w postaci:

różnica E-M jest nieparzystą funkcją okresową stąd prawą stronę możemy rozwinąd
w szereg Fouriera biorąc tylko wyrazy nieparzyste:

gdzie:

pierwszy czynnik w tym wyrażeniu jest równy 0.

E

sin

e

M

E

Korzystając znów z równania Keplera możemy napisad:

wtedy:

Pierwsza z tych całek jest równa 0, natomiast drugą można przekształcid (znów przy
użyciu równania Keplera) do postaci:

Całka występująca w tym równaniu może byd zapisana przy użyciu funkcji Bessela
pierwszego rodzaju.

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

0

0

s

sMdE

cos

s

2

sMdM

cos

s

2

e

b

M

E

d

E

sin

e

d

0

s

dE

E

sin

se

sE

cos

s

2

e

b

se

J

s

2

e

b

s

s

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

s

2

s

1

s

!

2

x

1

2

x

!

s

1

x

J

2

0

s

s



Dla dodatnich wartości s możemy napisad:

ten szereg jest zbieżny dla wszystkich x.

Funkcje Bessela dla s=1,…,5

7

5

5

6

4

4

7

5

3

3

6

4

2

2

7

5

3

1

x

O

x

3840

1

x

J

x

O

x

384

1

x

J

x

O

x

768

1

x

48

1

x

J

x

O

x

96

1

x

8

1

x

J

x

O

x

384

1

x

16

1

x

2

1

x

J

Możemy ostatecznie napisad rozwiązanie równania Keplera w postaci:

szereg jest szybko zbieżny dla małych wartości e. W przypadku e>0.6627434 staje
się jednak rozbieżny.

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

s

1

s

e

O

M

2

sin

6

1

M

4

sin

3

1

e

M

sin

8

1

M

3

sin

8

3

e

M

2

sin

2

1

e

M

sin

e

M

sM

sin

se

J

s

1

2

M

E

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

e

O

M

4

cos

M

2

cos

3

e

M

3

cos

M

cos

8

e

3

M

2

cos

1

2

e

M

cos

e

1

a

r

1

s

s

2

2

se

J

de

d

s

1

e

2

e

2

1

1

a

r

Zależnośd między promieniem i wielką półosią daje:

rozwijając czynnik ecosE dostajemy:

po uwzględnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie:

To rozwinięcie będzie wykorzystywane m.in. w tzw. przybliżeniu „guiding centre” oraz
przy analizie perturbacji.

E

cos

e

1

a

r

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

1

s

s

2

e

O

M

5

cos

384

125

M

3

cos

128

45

M

cos

192

5

e

M

2

cos

3

1

M

4

cos

3

1

e

M

cos

M

3

cos

8

e

3

1

M

2

cos

2

e

M

cos

sM

cos

se

J

de

d

s

1

2

e

2

1

E

cos

E

cos

e

1

a

r

Przekształcając znów wyrażenie:

dostajemy:

Uwzględniając otrzymane wcześniej rozwinięcie r/a możemy wyznaczyd rozwinięcie
cosE:

e

a

r

1

E

cos

Różniczkując równanie Keplera dostaniemy:

prawa strona jest równa a/r.

Różniczkując otrzymane wcześniej wyrażenie:

otrzymujemy:

stąd mamy rozwinięcie a/r w szereg przy użyciu funkcji Bessela

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

sM

sin

se

J

s

1

2

M

E

s

1

s

E

cos

e

1

1

dM

dE

1

s

s

sM

cos

se

J

2

1

dM

dE

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

3

e

O

M

4

cos

8

77

M

2

cos

2

7

8

15

e

M

3

cos

8

53

M

cos

8

27

e

M

2

cos

2

9

2

3

e

M

cos

e

3

1

r

a

Korzystając z otrzymanego rozwinięcia a/r możemy wyznaczyd:

które jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

1

s

s

2

e

O

M

5

cos

384

625

M

3

cos

128

225

M

cos

192

25

e

M

2

cos

M

4

cos

3

e

4

M

cos

M

3

cos

8

e

9

1

M

2

cos

e

M

cos

sM

cos

se

J

e

e

1

2

e

cos

Korzystając z równania biegunowego elipsy:

możemy napisad:

które po uwzględnieniu rozwinięcia a/r daje:

cos

e

1

e

1

a

r

2

r

a

e

e

1

e

1

cos

2

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

Rozwinięcie sinν otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposób.
Równanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci:

Różniczkujemy po M:

korzystając z całki pól, definicji anomalii średniej i trzeciego prawa Keplera:

otrzymamy:

cos

e

1

e

1

a

r

2

dM

d

sin

a

r

e

1

e

a

r

dM

d

2

2

3

2

2

2

a

n

;

T

t

n

M

;

e

1

a

const

r 

2

2

2

e

1

a

dM

d

r

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

1

s

s

2

e

O

M

5

sin

384

625

M

3

sin

128

207

M

sin

192

17

e

M

2

sin

6

7

M

4

sin

3

4

e

M

sin

8

7

M

3

sin

8

9

e

M

2

sin

e

M

sin

sM

sin

se

J

de

d

s

1

e

1

2

sin

Korzystając z otrzymanego wyrażenia mamy:

skąd:

i ostatecznie:

Te rozwinięcia są użyteczne przy badaniu rezonansu typu „spin-orbita” oraz przy
badaniu perturbacji.

sin

e

1

e

a

r

dM

d

dM

d

sin

a

r

e

1

e

a

r

dM

d

2

2

2

a

r

dM

d

e

e

1

sin

2

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

2

2

2

e

1

na

r 

dM

dM

dE

e

1

dM

E

cos

e

1

e

1

d

2

2

2

2

Kolejne rozwinięcie dotyczy różnicy anomalii ν-M zwanego równaniem środka.
Dzięki niemu jesteśmy w stanie wyrazid anomalię prawdziwą w funkcji czasu jaki
upłynął od przejścia ciała przez perycentrum. Korzystamy z całki pól w postaci:

Korzystając z:

otrzymamy:

3

2

a

n

;

E

cos

e

1

a

r

;

ndt

dM

Uwzględniając w otrzymanym wyrażeniu wyznaczoną wcześniej postad dE/dM i
całkując dostajemy:

które będzie używane w przybliżeniu „guiding centre”.

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

5

4

3

2

e

O

M

2

sin

24

11

M

4

sin

96

103

e

M

sin

4

1

M

3

sin

12

13

e

M

2

sin

e

4

5

M

sin

e

2

M

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

1

e

e

z

j

1

j

1

j

1

j

j

z

dz

d

!

j

e

z

2

2

2

e

1

na

r

c



Lagrange opracował użyteczną metodę odwracania rozwinięd w szeregi, która może
byd przydatna w mechanice nieba. Pokazał, że jeśli zmienna z jest wyrażona
jako funkcja ζ w postaci:

to zmienna ζ może byd przedstawiona jako funkcja z poprzez zależnośd:

Przykładem zastosowania tej własności może byd wyrażenie anomalii prawdziwej w
funkcji anomalii średniej. Z całki pól mamy:

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

0

2

2

3

2

cos

e

1

d

e

1

M

3

2

e

O

2

sin

e

4

3

sin

e

2

M

Całkując to wyrażenie i podstawiając za r równanie biegunowe elipsy dostajemy:

Wyrażenie podcałkowe możemy rozwinąd wykorzystując uogólniony dwumian
Newtona. Następnie całkując wyraz po wyrazie:

Przekształcamy:



2

sin

e

4

3

sin

2

e

M

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

j

1

j

1

j

1

j

j

M

2

sin

e

4

3

M

sin

2

dM

d

!

j

e

M



Otrzymane wyrażenie możemy zapisad wykorzystując twierdzenie Lagrange’a
o odwracaniu:

które po rozwinięciu daje otrzymane już wcześniej równanie:

Metoda Lagrange’a jest często wykorzystywana przy wyznaczaniu punktów
równowagi w kołowym ograniczonym zagadnieniu trzech ciał

5

4

3

2

e

O

M

2

sin

24

11

M

4

sin

96

103

e

M

sin

4

1

M

3

sin

12

13

e

M

2

sin

e

4

5

M

sin

e

2

M

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

Problem zbieżności szeregów w mechanice nieba różni się nieco od zbieżności
w matematyce. Poincaré (1892) podał przykład dwóch szeregów:

Pierwszy szereg jest zbieżny bo od wyrazu milionowego następne bardzo szybko
maleją. Drugi szereg jest rozbieżny bo wyraz ogólny rośnie nieograniczenie.

W mechanice nieba pierwszy szereg jest nieużyteczny w praktycznych zastosowaniach ,
gdyż początkowy tysiąc wyrazów wzrasta. Odwrotnie jest w przypadku drugiego
szeregu gdzie początkowe tysiąc wyrazów bardzo szybko maleją.

n

n

1000

n

3

2

1

n

3

2

1

1000





Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Planety oddziałują na siebie i wzajemnie
zaburzają (perturbują?) swój ruch wokół
Słooca.

Z tego względu musimy pamiętad, że
parametry orbit obiektów w Układzie
Słonecznym ulegają zmianom.

Jeżeli mamy wyznaczone położenie i
prędkośd danego obiektu to możemy
wyliczyd tzw. parametry oskulacyjne
(orbita po jakiej poruszałoby się ciało
tylko pod wpływem Słooca)

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Burns (1976) pokazał jak wyznaczyd zmiany elementów orbity
wychodząc od elementarnej dynamiki.

Rozpatrzmy małą siłę zaburzającą:

gdzie R, T i N są odpowiednio składową radialną, tangencjalną (poprzeczną) i
normalną siły zaburzającej.

Wyrazimy pochodne elementów orbitalnych po czasie za pomocą powyższych
składowych

Burns, J.A. 1976, Am. J. Phys., 44, 10

zˆ

N

ˆ

T

rˆ

R

F

d









Zmiana energii jest wykonaną pracą, liczoną na jednostkę masy i jednostkę czasu,
przez siłę zaburzającą:

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

1. Wielka półoś

Stała energii w ruchu po elipsie jest równa:

Jeśli teraz zróżniczkujemy to równanie po czasie otrzymamy:

pierwsze równanie elementu perturbowanego. Można stąd zauważyd, że zaburzenie,
które „odbiera” energię powoduje skurczenie orbity.

T

r

R

r

dF

r

h









a

2

h

h

a

2

dt

da

1

2



h

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Jeżeli uwzględnimy równania:

to otrzymamy:

opisujące zmiany wielkiej półosi. Widad stąd, że zmiany te mogą byd wywołane
jedynie przez składowe siły zaburzającej leżące w płaszczyźnie orbity.

cos

e

1

e

1

na

r

sin

e

e

1

na

r

2

2





cos

e

1

T

sin

e

R

e

1

a

2

dt

da

2

2

3

Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

2. Mimośród

Używając równao:

możemy napisad:

po zróżniczkowaniu:

a

2

h

a

m

m

G

c

1

e

2

1

2

2

2

h

c

2

1

e

h

h

c

c

2

e

2

1

e

dt

de

2





Zagadnienie dwóch ciał

Orbity perturbowane

Ponieważ zmiana momentu pędu jest równa przyłożonemu momentowi więc:

Drugi czynnik zmienia jedynie kierunek wektora c, ale nie wpływa na jego długośd
stąd:

Wykorzystując to równanie, wyrażenie na da/dt oraz równania:

otrzymujemy ostatecznie:

co oznacza, że kształt orbity może byd zmieniony jedynie przez składowe siły
działające w płaszczyźnie orbity

ˆ

N

r

zˆ

T

r

F

d

r

dt

c

d











T

r

dt

dc

a

a

2

h

a

n

a

2

h

E

cos

e

1

a

r

2

3

2





E

cos

cos

T

sin

R

e

1

a

dt

de

2

1