Matematyka Ogólna, RMT

2010/2011, sem. zimowy

Pochodne funkcji elementarnych

l.p.

f (x)

f

0

(x)

Założenia

∗

1.

c

0

2.

x

n

n · x

n−1

n ∈ N

+

3.

x

α

α · x

α−1

α ∈ R

4.

e

x

e

x

5.

a

x

ln a · a

x

a ∈ R

+

6.

ln |x|

1

x

7.

log

a

|x|

1

x·ln a

a ∈ R

+

\ {1}

8.

sin x

cos x

9.

cos x

− sin x

10.

tg x

1

cos

2

x

11.

ctg x

−

1

sin

2

x

12.

arcsin x

1

√

1−x

2

13.

arccos x

−

1

√

1−x

2

14.

arctgx

1

x

2

+1

15.

arcctgx

−

1

x

2

+1

Twierdzenie 1 Jeśli funkcje f (x) oraz g(x) są różniczkowalne w pewnym zbiorze D oraz c ∈ R,
to funkcje c · f (x), f (x) + g(x), f (x) · g(x) są różniczkowalne w D i zachodzą wzory :

(c · f )

0

(x) = c · f

0

(x),

(f + g)

0

(x) = f

0

(x) + g

0

(x),

(f · g)

0

(x) = f

0

(x) · g(x) + f (x) · g

0

(x)

dla dowolnego x ∈ D.

Twierdzenie 2 Jeśli funkcje f (x) oraz g(x) są różniczkowalne w pewnym zbiorze D, a ponadto g(x) 6= 0

dla x ∈ D, to funkcja

f (x)
g(x)

jest różniczkowalna w D i :

 f

g



0

(x) =

f

0

(x) · g(x) − f (x) · g

0

(x)

g

2

(x)

dla dowolnego x ∈ D.

∗

Podane założenia dotyczą parametrów, nie dziedziny funkcji.

1

Matematyka Ogólna, RMT

2010/2011, sem. zimowy

Twierdzenie 3 Niech g(x) będzie różniczkowalna w x ∈ D, natomiast f (x) będzie różniczkowalna w g(x).
Wtedy funkcja f ◦ g(x) = f (g(x)) jest rożniczkowalna i :

(f ◦ g(x))

0

(x) = f

0

(g(x)) · g

0

(x)

dla dowolnego x ∈ D.

Twierdzenie 4 Niech f (x) będzie funkcją ściśle monotoniczną i ciągłą, określoną w D. Niech ponadto
x

0

∈ D, y

0

= f (x

0

). Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w x

0

oraz f

0

(x

0

) 6= 0, to funkcja odwrotna –

f

−1

jest różniczkowalna w punkcie y

0

i :

(f

−1

)(y

0

) =

1

f

0

(x

0

)

.

2