2010/2011, sem. zimowy Pochodne funkcji elementarnych l.p.
f (x)
f 0(x)
Założenia∗
1.
c
0
2.
xn
n · xn−1
n ∈ N+
3.
xα
α · xα−1
α ∈ R
4.
ex
ex
5.
ax
ln a · ax
a ∈ R+
6.
ln |x|
1
x
7.
log |x|
1
a ∈
a
x·ln a
R+ \ {1}
8.
sin x
cos x
9.
cos x
− sin x
10.
tg x
1
cos2 x
11.
ctg x
− 1
sin2 x
12.
arcsin x
1
√1−x2
13.
arccos x
−
1
√1−x2
14.
arctgx
1
x2+1
15.
arcctgx
− 1
x2+1
Twierdzenie 1 Jeśli funkcje f (x) oraz g(x) są różniczkowalne w pewnym zbiorze D oraz c ∈ R , to funkcje c · f (x) , f (x) + g(x) , f (x) · g(x) są różniczkowalne w D i zachodzą wzory : (c · f )0(x) = c · f 0(x), (f + g)0(x) = f 0(x) + g0(x), (f · g)0(x) = f 0(x) · g(x) + f (x) · g0(x) dla dowolnego x ∈ D .
Twierdzenie 2 Jeśli funkcje f (x) oraz g(x) są różniczkowalne w pewnym zbiorze D , a ponadto g(x) 6= 0
dla x ∈ D , to funkcja f(x) jest różniczkowalna w D i : g(x)
f 0
f 0(x) · g(x) − f (x) · g0(x) (x) =
g
g2(x)
dla dowolnego x ∈ D .
∗Podane założenia dotyczą parametrów, nie dziedziny funkcji.
1
2010/2011, sem. zimowy Twierdzenie 3 Niech g(x) będzie różniczkowalna w x ∈ D , natomiast f (x) będzie różniczkowalna w g(x) .
Wtedy funkcja f ◦ g(x) = f (g(x)) jest rożniczkowalna i : (f ◦ g(x))0(x) = f 0(g(x)) · g0(x) dla dowolnego x ∈ D .
Twierdzenie 4 Niech f (x) będzie funkcją ściśle monotoniczną i ciągłą, określoną w D . Niech ponadto x0 ∈ D , y0 = f (x0) . Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w x0 oraz f 0(x0) 6= 0 , to funkcja odwrotna –
f −1 jest różniczkowalna w punkcie y0 i : 1
(f −1)(y0) =
.
f 0(x0)
2