Przykład do zadania 5.9:
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi xy = 1, y = x, y = 2x, (x, y 0).
• pole obszaru D to |D| =
Z Z
D
dxdy
• szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
x
−1
= x
x
2
= 1, x 0
x = 1
,
x
−1
= 2x
x
2
=
1
2
, x 0
x =
√
2
2
,
x = 2x
x = 0
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
y
x
y=x
−1
y=2x
y=x
1
1/2
1/2
0
• D = D
1
∪ D
2
, gdzie D
1
=
n
(x, y) : 0 ¬ x ¬
√
2
2
, x ¬ y ¬ 2x
o
,
D
2
=
n
(x, y) :
√
2
2
¬ x ¬ 1, x ¬ y ¬ x
−1
o
• Stąd |D| =
Z Z
D
dxdy =
Z Z
D
1
dxdy +
Z Z
D
2
dxdy =
√
2
2
Z
0
dx
2x
Z
x
dy +
1
Z
√
2
2
dx
x
−1
Z
x
dy =
=
√
2
2
Z
0
(2x − x)dx +
1
Z
√
2
2
(x
−1
− x)dx =
x
2
2
√
2
2
0
+
ln |x| −
x
2
2
1
√
2
2
=
1
4
− ln
√
2
2
−
1
2
+
1
4
= ln
√
2 > 0
1
Przykłady do zadania 5.10:
Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:
(a) bryła V ograniczona przez z =
1
√
x
2
+ y
2
, z = 0, x
2
+ y
2
= 1, x
2
+ y
2
= 9
• Uwaga: dwa ostatnie równania określają tu powierzchnie boczne walców, a nie okręgi
• rysunek
−2
0
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
0
0.5
1
1.5
y
z
x
r=1
r=3
z=1/(x
2
+y
2
)
1/2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
x
1
3
D
• V =
(
(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ¬ z ¬
1
√
x
2
+ y
2
)
,
gdzie D = {(x, y) : 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 9}
• Objętość bryły V to |V | =
Z Z
D
1
√
x
2
+ y
2
− 0
!
dxdy
• Zastosujemy współrzędne biegunowe.
Obszarowi D odpowiada wtedy obszar ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 1 ¬ ρ ¬ 3}
• |V | =
Z Z
D
dxdy
√
x
2
+ y
2
=
Z Z
∆
1
√
ρ
2
ρ dρdϕ =
2π
Z
0
dϕ
3
Z
1
dρ =
2π
Z
0
dϕ
·
3
Z
1
dρ
=
= 2π · 2 = 4π > 0
2
(b) bryła V ograniczona przez z = e
y−x
, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
z
z=e
y−x
1
1
1
y
x+y=1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
y=1−x
1
1
0
x
y
D
• V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ¬ z ¬ e
y−x
},
gdzie D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x}
• Objętość bryły V to |V | =
Z Z
D
e
y−x
− 0
dxdy =
1
Z
0
dx
1−x
Z
0
e
y−x
dy =
1
Z
0
e
y−x
y=1−x
y=0
dx =
=
1
Z
0
e
1−2x
− e
−x
dx =
−
e
1−2x
2
+ e
−x
x=1
x=0
= −
e
−1
2
+ e
−1
+
e
2
− 1 =
1
2e
+
e
2
− 1 > 0
3
Przykłady do zadania 5.11:
Obliczyć pola podanych płatów:
(a) płat Σ to fragment wykresu funkcji f (x, y) =
√
x
2
+ y
2
dla (x, y) ∈ D, gdzie D = {(x, y) :
x
2
+ y
2
¬ 2x}
• Uwaga: Σ to fragment bocznej powierzchni stożka wycięty walcem (x − 1)
2
+ y
2
¬ 2x
• rysunek
−3
−2
−1
0
1
2
−3
−2
−1
0
1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
z
y
x
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
y
(1,0)
2
0
D
• Σ
n
(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = f (x, y) =
√
x
2
+ y
2
o
,
gdzie D = {(x, y) : (x − 1)
2
+ y
2
¬ 1}
• pole płata Σ to |Σ| =
Z Z
D
v
u
u
t
1 +
∂f
∂x
!
2
(x, y) +
∂f
∂y
!
2
(x, y) dxdy
•
∂f
∂x
=
2x
2
√
x
2
+ y
2
,
∂f
∂y
=
y
√
x
2
+ y
2
– ciągłe na D
• 1 +
∂f
∂x
!
2
(x, y) +
∂f
∂y
!
2
(x, y) = 1 +
x
√
x
2
+ y
2
!
2
+
y
√
x
2
+ y
2
!
2
= 2
• |Σ| =
Z Z
D
√
2 dxdy =
√
2 |D| =
√
2 · π · 1
2
= π
√
2 > 0,
bo D to koło o promieniu 1.
4
(b) płat Σ to fragment wykresu funkcji f (x, y) =
√
16 − x
2
− y
2
pomiędzy płaszczyznami z = 1 i
z = 2
• 1 ¬
√
16 − x
2
− y
2
¬ 2 ⇐⇒ 15 x
2
+ y
2
12,
zatem Σ to fragment powierzchni sfery dla (x, y) ∈ D, gdzie D = {(x, y) : 12 ¬ x
2
+ y
2
¬
15},
Σ
n
(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = f (x, y) =
√
16 − x
2
− y
2
o
• rysunek
−4
−2
0
2
4
−4
−2
0
2
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
z
y
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
y
12
1/2
15
1/2
• pole płata Σ to |Σ| =
Z Z
D
v
u
u
t
1 +
∂f
∂x
!
2
(x, y) +
∂f
∂y
!
2
(x, y) dxdy
•
∂f
∂x
=
−2x
2
√
16 − x
2
− y
2
,
∂f
∂y
=
−y
√
16 − x
2
− y
2
– ciągłe na D
• 1+
∂f
∂x
!
2
(x, y)+
∂f
∂y
!
2
(x, y) = 1+
−x
√
16 − x
2
− y
2
!
2
+
−y
√
16 − x
2
− y
2
!
2
=
16
16 − x
2
− y
2
• |Σ| =
Z Z
D
4
√
16 − x
2
− y
2
dxdy
• Zastosujemy współrzędne biegunowe.
Obszarowi D odpowiada wtedy obszar ∆ = {(ϕ, ρ) : 0 ¬ ϕ ¬ 2π,
√
12 ¬ ρ ¬
√
15}
• |Σ| =
Z Z
D
4
√
16 − x
2
− y
2
dxdy =
Z Z
∆
4
√
16 − ρ
2
ρ dρdϕ =
2π
Z
0
dϕ
√
15
Z
√
12
4
√
16 − ρ
2
ρ dρ =
=
2π
R
0
dϕ
!
·
√
15
R
√
12
−2
√
16 − ρ
2
(−2ρ)dρ
!
= 2π ·
−2 · 2
√
16 − ρ
2
√
15
√
12
= −8π(1 − 2) = 8π > 0
5
Przykłady do zadania 5.12:
Obliczyć masy podanych obszarów D o wskazanych gęstościach powierzchniowych σ(x, y):
(a) D - obszar ograniczony krzywymi x = 0, y = 0, x + y = 2; σ(x, y) = xy
• Uwaga: dla (x, y) ∈ D funkcja σ(x, y) 0
• M =
Z Z
D
σ(x, y) dxdy =
Z Z
D
xy dxdy
• D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2 − x}
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
x
2
2
0
x+y=2
• M =
Z Z
D
xy dxdy =
2
Z
0
dx
2−x
Z
0
xy dy =
2
Z
0
x
y
2
2
y=2−x
y=0
dx =
2
Z
0
x ·
(2 − x)
2
2
dx =
=
1
2
2
Z
0
(4x − 4x
2
+ x
3
)dx =
x
2
−
2x
3
3
+
x
4
8
2
0
= 4 −
16
3
+ 2 =
2
3
> 0.
6
(b) D - obszar ograniczony krzywymi x
2
+ y
2
= 4, y = 1, (y 1); σ(x, y) =
1
(x
2
+ y
2
)
2
• Uwaga: funkcja σ(x, y) 0
• M =
Z Z
D
σ(x, y) dxdy =
Z Z
D
1
(x
2
+ y
2
)
2
dxdy
• D = {(x, y) : y 1, x
2
+ y
2
¬ 4}
• rysunek
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
x
y=1
x
2
+y
2
=4
2
• Zastosujemy współrzędne biegunowe.
Obszarowi D odpowiada wtedy obszar ∆ = {(ϕ, ρ) :
π
6
¬ ϕ ¬
5π
6
,
1
sin ϕ
¬ ρ ¬ 2}, gdyż
y = 1 = 2 sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π] ⇐⇒ ϕ =
π
6
∨
5π
6
;
1 ¬ y ⇐⇒ 1 ¬ ρ sin ϕ ⇐⇒
1
sin ϕ
¬ ρ
• M =
Z Z
D
1
(x
2
+ y
2
)
2
dxdy =
Z Z
∆
1
ρ
4
ρ dρdϕ =
5π
6
Z
π
6
dϕ
2
Z
1
sin ϕ
ρ
−3
dρ =
=
5π
6
Z
π
6
−
1
2
ρ
−2
ρ=2
ρ=
1
sin ϕ
dϕ =
5π
6
Z
π
6
−
1
8
+
1
2
sin
2
ϕ
dϕ =
1
4
5π
6
Z
π
6
−
1
2
+ 1 − cos(2ϕ)
dϕ =
=
1
4
1
2
ϕ −
1
2
sin(2ϕ)
5π
6
π
6
=
1
4
5π
12
−
1
2
sin
5π
3
−
π
12
+
1
2
sin
π
3
=
=
π
12
+
1
8
·
√
3
2
· 2 =
π
12
+
√
3
8
> 0
7