Przykłady do zadania 5.1:
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach
(a)
Z Z
R
sin(x + y) dxdy, R =
−
π
4
,
π
4
×
0,
π
4
•
Z Z
R
sin(x + y) dxdy =
π
4
Z
−
π
4
dx
π
4
Z
0
sin(x + y)dy =
• =
π
4
Z
−
π
4
(− cos(x + y)
y=
π
4
y=0
dx =
π
4
Z
−
π
4
(− cos(x +
π
4
) + cos x)dx =
• = (− sin(x +
π
4
) + sin x
x=
π
4
x=−
π
4
= − sin
π
2
+ sin
π
4
+ sin 0 − sin
−
π
4
=
√
2 − 1
(b)
Z Z
R
(x
2
+ y
2
x) dxdy, R = [−1, 1] × [2, 4]
•
Z Z
R
(x
2
+ y
2
x) dxdy =
4
Z
2
dy
1
Z
−1
(x
2
+ y
2
x)dx =
• =
4
Z
2
x
3
3
+ y
2
·
x
2
2
x=1
x=−1
dy =
4
Z
2
2
3
+ 0
dy =
• =
2
3
· 2 =
4
3
Przykłady do zadania 5.2:
Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych
(a)
Z Z
R
e
x+y
dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]
•
Z Z
R
e
x+y
dxdy =
Z Z
R
e
x
e
y
dxdy =
• =
1
Z
0
e
x
dx
·
1
Z
0
e
y
dy
=
1
Z
0
e
x
dx
2
=
• =
e
x
x=1
x=0
2
= (e − 1)
2
(b)
Z Z
R
xy(x + y) dxdy, R = [−1, 1] × [−1, 1]
•
Z Z
R
xy(x + y) dxdy =
Z Z
R
x
2
y dxdy +
Z Z
R
xy
2
dxdy =
• =
1
Z
−1
x
2
dx
·
1
Z
−1
ydy
+
1
Z
−1
xdx
·
1
Z
−1
y
2
dy
= 2
1
Z
−1
x
2
dx
·
1
Z
−1
ydy
= 0,
bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale
symetrycznym względem 0.
1
Przykłady do zadania 5.3:
Całke podwójną
Z Z
D
f (x, y) dxdy (gdzie f (x, y) jest ciągła na D) zamienić na całki iterowane, jeżeli
obszar D ograniczony jest krzywymi o równaniach:
(a) y = x
2
, y =
√
x
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
x
1
1
0
y=x
2
y=x
1/2
• szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
x
2
=
√
x
x
4
= x
2
, x 0
x
2
(x
2
− 1) = 0, x 0
x = 0 ∨ x = 1
,
dla x = 0 mamy y = 0
2
= 0, dla x = 1 mamy y = 1
2
= 1
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, x
2
¬ y ¬
√
x}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dx
√
x
Z
x
2
f (x, y)dy
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
x
1
1
0
x=y
1/2
x=y
2
• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, y
2
¬ x ¬
√
y}
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dy
√
y
Z
y
2
f (x, y)dx
2
(b) (x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4
• krzywa to okrąg o środku (1, −2) i promieniu 2
• wyznaczenie dolnej i górnej funkcji:
(x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4
y + 2 = ±
q
4 − (x − 1)
2
y = −2 ±
q
4 − (x − 1)
2
, −1 ¬ x ¬ 3
d(x) = −2 −
q
4 − (x − 1)
2
, g(x) = −2 +
q
4 − (x − 1)
2
, −1 ¬ x ¬ 3
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
−1
3
(1,−2)
y=−2+(4−(x−1)
2
)
1/2
y=−2−(4−(x−1)
2
)
1/2
0
y
x
• D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D =
n
(x, y) : −1 ¬ x ¬ 3, −2 −
q
4 − (x − 1)
2
¬ y ¬ −2 +
q
4 − (x − 1)
2
o
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
3
Z
−1
dx
−2+
√
4−(x−1)
2
Z
−2−
√
4−(x−1)
2
f (x, y)dy
• wyznaczenie lewej i prawej funkcji:
(x − 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4
x − 1 = ±
q
4 − (y + 2)
2
x = 1 ±
q
4 − (y + 2)
2
, −4 ¬ y ¬ 0
l(y) = 1 −
q
4 − (y + 2)
2
, p(y) = 1 +
q
4 − (y + 2)
2
, −4 ¬ y ¬ 0
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−4.5
−3.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
y
x
(1,−2)
−4
0
x=1+(4−(y+2)
2
)
1/2
x=1−(4−(y+2)
2
)
1/2
• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D =
n
(x, y) : −4 ¬ y ¬ 0, 1 −
q
4 − (y + 2)
2
¬ x ¬ 1 +
q
4 − (y + 2)
2
o
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
0
Z
−4
dy
1+
√
4−(y+2)
2
Z
1−
√
4−(y+2)
2
f (x, y)dx
3
(c) y = −1, y = 1, x = 2 −
√
1 − y
2
, x = −1 +
√
1 − y
2
• dwie ostatnie krzywe to półokręgi:
x = 2 −
√
1 − y
2
x − 2 = −
√
1 − y
2
(x − 2)
2
= 1 − y
2
(x − 2)
2
+ y
2
= 1, x ¬ 2
lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1
x = −1 +
√
1 − y
2
x + 1 =
√
1 − y
2
(x + 1)
2
= 1 − y
2
(x + 1)
2
+ y
2
= 1, x 1
prawy półokrąg o środku (−1, 0) i promieniu 1
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
x
(−1,0)
(2,0)
1
−1
x=2−(1−y
2
)
1/2
x=−1+(1−y
2
)
1/2
• D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D =
n
(x, y) : −1 ¬ y ¬ 1, −1 +
√
1 − y
2
¬ x ¬ 2 −
√
1 − y
2
o
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
−1
dy
2−
√
1−y
2
Z
−1+
√
1−y
2
f (x, y)dx
4
• D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o roz-
łącznych wnętrzach
D = D
1
∪ D
2
∪ D
3
∪ D
4
∪ D
5
gdzie D
1
=
n
(x, y) : −1 ¬ x ¬ 0, −1 ¬ y ¬ −
q
1 − (x + 1)
2
o
D
2
=
n
(x, y) : −1 ¬ x ¬ 0,
q
1 − (x + 1)
2
¬ y ¬ 1
o
D
3
= [0, 1] × [−1, 1]
D
4
=
n
(x, y) : 1 ¬ x ¬ 2, −1 ¬ y ¬ −
q
1 − (x − 2)
2
o
D
5
=
n
(x, y) : 1 ¬ x ¬ 2,
q
1 − (x − 2)
2
¬ y ¬ 1
o
• rysunek
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
x
−1
0
1
2
y=1
y=−1
y=(1−(x−2)
2
)
1/2
y=−(1−(x−2)
2
)
1/2
y=(1−(x+2)
2
)
1/2
y=−(1−(x+2)
2
)
1/2
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
0
Z
−1
dx
−
√
1−(x+1)
2
Z
−1
f (x, y)dy +
0
Z
−1
dx
1
Z
√
1−(x+1)
2
f (x, y)dy+
+
1
Z
0
dx
1
Z
−1
f (x, y)dy +
2
Z
1
dx
−
√
1−(x−2)
2
Z
−1
f (x, y)dy +
2
Z
1
dx
1
Z
√
1−(x−2)
2
f (x, y)dy
5
(d) x = y
2
, y = x − 2
• D to obszar między parabolą x = y
2
a prostą x = y + 2
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
x
y
−1
2
x=y
2
x=y+2
• szukamy punktów wspólnych tych krzywych:
y
2
= y + 2
y
2
− y − 2 = 0
∆ = 9
y
1
=
1−3
2
= −1, y
2
=
1+3
2
= 2
• D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : −1 ¬ y ¬ 2, y
2
¬ x ¬ y + 2 }
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
2
Z
−1
dy
y+2
Z
y
2
f (x, y)dx
• D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę
takich obszarów o rozłącznych wnętrzach
D = D
1
∪ D
2
gdzie D
1
= {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, −
√
x ¬ y ¬
√
x }
D
2
= {(x, y) : 1 ¬ x ¬ 4, x − 2 ¬ y ¬
√
x }
• rysunek
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
y
x
y=x−2
y=x
1/2
y=−x
1/2
4
1
0
• Stąd
Z Z
D
f (x, y) dxdy =
1
Z
0
dx
√
x
Z
−
√
x
f (x, y)dy +
4
Z
1
dx
√
x
Z
x−2
f (x, y)dy
6