Przykłady do zadania 5.1:
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach

(a)

Z Z

R

sin(x + y) dxdy, R =

−

π

4

,

π

4

×

0,

π

4

•

Z Z

R

sin(x + y) dxdy =

π

4

Z

−

π

4

dx

π

4

Z

0

sin(x + y)dy =

• =

π

4

Z

−

π

4

(− cos(x + y)

y=

π

4

y=0

dx =

π

4

Z

−

π

4

(− cos(x +

π

4

) + cos x)dx =

• = (− sin(x +

π

4

) + sin x

x=

π

4

x=−

π

4

= − sin

π

2

+ sin

π

4

+ sin 0 − sin

−

π

4

=

√

2 − 1

(b)

Z Z

R

(x

2

+ y

2

x) dxdy, R = [−1, 1] × [2, 4]

•

Z Z

R

(x

2

+ y

2

x) dxdy =

4

Z

2

dy

1

Z

−1

(x

2

+ y

2

x)dx =

• =

4

Z

2

x

3

3

+ y

2

·

x

2

2

x=1

x=−1

dy =

4

Z

2

2

3

+ 0

dy =

• =

2

3

· 2 =

4

3

Przykłady do zadania 5.2:
Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych

(a)

Z Z

R

e

x+y

dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]

•

Z Z

R

e

x+y

dxdy =

Z Z

R

e

x

e

y

dxdy =

• =





1

Z

0

e

x

dx





·





1

Z

0

e

y

dy





=





1

Z

0

e

x

dx





2

=

• =





e

x

x=1

x=0





2

= (e − 1)

2

(b)

Z Z

R

xy(x + y) dxdy, R = [−1, 1] × [−1, 1]

•

Z Z

R

xy(x + y) dxdy =

Z Z

R

x

2

y dxdy +

Z Z

R

xy

2

dxdy =

• =





1

Z

−1

x

2

dx





·





1

Z

−1

ydy





+





1

Z

−1

xdx





·





1

Z

−1

y

2

dy





= 2





1

Z

−1

x

2

dx





·





1

Z

−1

ydy





= 0,

bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale
symetrycznym względem 0.

1

Przykłady do zadania 5.3:

Całke podwójną

Z Z

D

f (x, y) dxdy (gdzie f (x, y) jest ciągła na D) zamienić na całki iterowane, jeżeli

obszar D ograniczony jest krzywymi o równaniach:

(a) y = x

2

, y =

√

x

• rysunek

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y

x

1

1

0

y=x

2

y=x

1/2

• szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:

x

2

=

√

x

x

4

= x

2

, x ­ 0

x

2

(x

2

− 1) = 0, x ­ 0

x = 0 ∨ x = 1

,

dla x = 0 mamy y = 0

2

= 0, dla x = 1 mamy y = 1

2

= 1

• D to obszar normalny względem osi 0x, bo

D = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, x

2

¬ y ¬

√

x}

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

1

Z

0

dx

√

x

Z

x

2

f (x, y)dy

• rysunek

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y

x

1

1

0

x=y

1/2

x=y

2

• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo

D = {(x, y) : 0 ¬ y ¬ 1, y

2

¬ x ¬

√

y}

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

1

Z

0

dy

√

y

Z

y

2

f (x, y)dx

2

(b) (x − 1)

2

+ (y + 2)

2

= 4

• krzywa to okrąg o środku (1, −2) i promieniu 2

• wyznaczenie dolnej i górnej funkcji:

(x − 1)

2

+ (y + 2)

2

= 4

y + 2 = ±

q

4 − (x − 1)

2

y = −2 ±

q

4 − (x − 1)

2

, −1 ¬ x ¬ 3

d(x) = −2 −

q

4 − (x − 1)

2

, g(x) = −2 +

q

4 − (x − 1)

2

, −1 ¬ x ¬ 3

• rysunek

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

−1

3

(1,−2)

y=−2+(4−(x−1)

2

)

1/2

y=−2−(4−(x−1)

2

)

1/2

0

y

x

• D to obszar normalny względem osi 0x, bo

D =

n

(x, y) : −1 ¬ x ¬ 3, −2 −

q

4 − (x − 1)

2

¬ y ¬ −2 +

q

4 − (x − 1)

2

o

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

3

Z

−1

dx

−2+

√

4−(x−1)

2

Z

−2−

√

4−(x−1)

2

f (x, y)dy

• wyznaczenie lewej i prawej funkcji:

(x − 1)

2

+ (y + 2)

2

= 4

x − 1 = ±

q

4 − (y + 2)

2

x = 1 ±

q

4 − (y + 2)

2

, −4 ¬ y ¬ 0

l(y) = 1 −

q

4 − (y + 2)

2

, p(y) = 1 +

q

4 − (y + 2)

2

, −4 ¬ y ¬ 0

• rysunek

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

−4.5

−3.5

−2.5

−1.5

−0.5

0.5

y

x

(1,−2)

−4

0

x=1+(4−(y+2)

2

)

1/2

x=1−(4−(y+2)

2

)

1/2

• D to także obszar normalny względem osi 0y, bo

D =

n

(x, y) : −4 ¬ y ¬ 0, 1 −

q

4 − (y + 2)

2

¬ x ¬ 1 +

q

4 − (y + 2)

2

o

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

0

Z

−4

dy

1+

√

4−(y+2)

2

Z

1−

√

4−(y+2)

2

f (x, y)dx

3

(c) y = −1, y = 1, x = 2 −

√

1 − y

2

, x = −1 +

√

1 − y

2

• dwie ostatnie krzywe to półokręgi:

x = 2 −

√

1 − y

2

x − 2 = −

√

1 − y

2

(x − 2)

2

= 1 − y

2

(x − 2)

2

+ y

2

= 1, x ¬ 2

lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1

x = −1 +

√

1 − y

2

x + 1 =

√

1 − y

2

(x + 1)

2

= 1 − y

2

(x + 1)

2

+ y

2

= 1, x ­ 1

prawy półokrąg o środku (−1, 0) i promieniu 1

• rysunek

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

(−1,0)

(2,0)

1

−1

x=2−(1−y

2

)

1/2

x=−1+(1−y

2

)

1/2

• D to obszar normalny względem osi 0y, bo

D =

n

(x, y) : −1 ¬ y ¬ 1, −1 +

√

1 − y

2

¬ x ¬ 2 −

√

1 − y

2

o

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

1

Z

−1

dy

2−

√

1−y

2

Z

−1+

√

1−y

2

f (x, y)dx

4

• D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o roz-

łącznych wnętrzach

D = D

1

∪ D

2

∪ D

3

∪ D

4

∪ D

5

gdzie D

1

=

n

(x, y) : −1 ¬ x ¬ 0, −1 ¬ y ¬ −

q

1 − (x + 1)

2

o

D

2

=

n

(x, y) : −1 ¬ x ¬ 0,

q

1 − (x + 1)

2

¬ y ¬ 1

o

D

3

= [0, 1] × [−1, 1]

D

4

=

n

(x, y) : 1 ¬ x ¬ 2, −1 ¬ y ¬ −

q

1 − (x − 2)

2

o

D

5

=

n

(x, y) : 1 ¬ x ¬ 2,

q

1 − (x − 2)

2

¬ y ¬ 1

o

• rysunek

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

x

−1

0

1

2

y=1

y=−1

y=(1−(x−2)

2

)

1/2

y=−(1−(x−2)

2

)

1/2

y=(1−(x+2)

2

)

1/2

y=−(1−(x+2)

2

)

1/2

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

0

Z

−1

dx

−

√

1−(x+1)

2

Z

−1

f (x, y)dy +

0

Z

−1

dx

1

Z

√

1−(x+1)

2

f (x, y)dy+

+

1

Z

0

dx

1

Z

−1

f (x, y)dy +

2

Z

1

dx

−

√

1−(x−2)

2

Z

−1

f (x, y)dy +

2

Z

1

dx

1

Z

√

1−(x−2)

2

f (x, y)dy

5

(d) x = y

2

, y = x − 2

• D to obszar między parabolą x = y

2

a prostą x = y + 2

• rysunek

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

−2.5

−1.5

−0.5

0.5

1.5

2.5

x

y

−1

2

x=y

2

x=y+2

• szukamy punktów wspólnych tych krzywych:

y

2

= y + 2

y

2

− y − 2 = 0

∆ = 9
y

1

=

1−3

2

= −1, y

2

=

1+3

2

= 2

• D to obszar normalny względem osi 0y, bo

D = {(x, y) : −1 ¬ y ¬ 2, y

2

¬ x ¬ y + 2 }

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

2

Z

−1

dy

y+2

Z

y

2

f (x, y)dx

• D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę

takich obszarów o rozłącznych wnętrzach

D = D

1

∪ D

2

gdzie D

1

= {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, −

√

x ¬ y ¬

√

x }

D

2

= {(x, y) : 1 ¬ x ¬ 4, x − 2 ¬ y ¬

√

x }

• rysunek

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

−2.5

−1.5

−0.5

0.5

1.5

2.5

y

x

y=x−2

y=x

1/2

y=−x

1/2

4

1

0

• Stąd

Z Z

D

f (x, y) dxdy =

1

Z

0

dx

√

x

Z

−

√

x

f (x, y)dy +

4

Z

1

dx

√

x

Z

x−2

f (x, y)dy

6