Elementy układów mechatronicznych – opis matematyczny

1. Elementy rozpraszające energię

a) opór tarcia wiskotycznego (płynnego) w ruchu postępowym.

F

T

– siła tarcia, z – przemieszczenie, C

v

– współczynnik tarcia wiskotycznego

z&

– prędkość liniowa

b) opór tarcia wiskotycznego (płynnego) w ruchu obrotowym.

M

T

– moment tarcia,

ϕ

– kąt obrotu, C

ω

– współczynnik rozproszenia energii

ϕ

&

– prędkość kątowa

c) opór przepływu laminarnego w układach hydraulicznych i pneumatycznych.

∆

p – spadek ciśnienia, Q – objętość medium, R

p

– współczynnik oporu przepływu

Q&

– objętościowe natężenie przepływu

d) opór elektryczny

U – napięcie, q – ładunek elektryczny, R

e

– opór omowy

q&

– natężenie prądu

Równanie ogólne procesu rozpraszania energii:

y – „siła” uogólniona (w rzeczywistości, jest to siła jedynie przez analogię)
x – współrzędna uogólniona

Funkcja rozproszenia energii jest zdefiniowana zależnością :

2

2

1

x

R

D

&

⋅

=

Uwaga. Nie jest to energia !!!

x

R

y

&

⋅

=













≡

e

p

v

R

R

C

C

R

ω













∆

≡

U

p

M

F

y

T

T













≡

q

Q

z

x

ϕ

2. Elementy magazynujące energię potencjalną.

a) magazynowanie energii w ruchu postępowym

F

s

– siła sprężystości, k

s

– współczynnik sztywności liniowej

b) magazynowanie energii w ruchu obrotowym

M

s

– moment skręcający, k

s

– współczynnik sztywności skrętnej

c) kondensator w układzie elektrycznym

C

– pojemność kondensatora

d) napełnianie zbiornika płynem nieściśliwym.

p – ciśnienie, C

h

– stała hydrauliczna, V(Q) – objętość medium

Ogólne równanie procesu magazynowania energii potencjalnej

gdzie:

Ogólne równanie energii potencjalnej:

∫

+

=

t

y

dt

x

k

t

y

0

)

0

(

)

(

&

2

2

1

x

k

U

⋅

=



















≡

h

S

l

C

C

k

k

k

1

1













≡

)

(Q

V

q

z

x

ϕ













≡

p

U

M

F

y

s

s

3. Elementy magazynujące energię kinetyczną.

a) masa w ruchu postępowym

F – siła zewnętrzna wywołująca ruch postępowy

b) bryła sztywna w ruchu obrotowym

M – moment sił zewnętrznych wywołujący ruch obrotowy

c) cewka indukcyjna włączona w obwód elektryczny

L – indukcyjność cewki

Równanie ogólne procesu magazynowania energii kinetycznej

gdzie:

Energia kinetyczna magazynowana w poszczególnych elementach opisana jest
zależnością:

)

(x

dt

d

k

y

&

=

2

)

(

2

1

x

k

T

&

=











≡

q

z

x

ϕ











≡

L

I

m

k

0











≡

U

M

F

y

Równania dynamiki we współrzędnych uogólnionych

1. metody szczegółowe

W celu utworzenia równań dynamiki wykorzystujemy znane prawa fizyczne np.
zasady dynamiki Newtona, prawo zachowania ładunku, prawo zachowania
energii, równanie ciągłości strugi.

2. metoda z wykorzystaniem równań Lagrange’a drugiego rodzaju.

Jeżeli w układzie fizycznym wyodrębniono współrzędne uogólnione x

i

możemy

wówczas zapisać następujące wyrażenie:

Oznacza ono równanie Lagrange’a drugiego rodzaju, sformułowane dla
współrzędnej uogólnionej x

i

; f

i

oznacza pobudzenie (siłę uogólnioną) w kierunku

współrzędnej x

i

.

Przykład 1.















W układzie przedstawionym na rysunku należy sformułować równanie dynamiki
wykorzystując metody szczegółowe oraz metodę równań Lagrange’a drugiego
rodzaju.

i

i

i

i

i

f

x

D

x

U

x

T

x

T

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

&

&

•

Metoda szczegółowa

Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa :

Uwzględniając


otrzymamy:

•

metoda równania Lagrange’a drugiego rodzaju

współrzędna uogólniona:

Funkcja rozproszenia energii:

Energia potencjalna układu:

Energia kinetyczna układu:

dt

di

L

U

L

=

i

R

U

R

⋅

=

∫

=

idt

C

U

C

1

∫

+

+

=

Ri

idt

C

dt

di

L

U

1

1

2

2

1

2

1

)

(

1

2

1

q

C

x

C

U

=













=

2

2

)

(

2

1

)

(

2

1

q

L

x

L

T

&

&

=

=

q

i

&

=

q

C

q

R

q

L

U

1

1

+

+

=

&

&

&

q

x

x

i

≡

=

2

2

2

1

)

(

2

1

q

R

x

R

D

&

&

=

=

Przykład 2.

−

S

F

siła oporu sprężyny

−

t

F

siła oporu tłumika

Q – przepływ medium przez szczelinę, objętość płynu.

•

metoda szczegółowa

Na podstawie obserwacji ruchu masy m możemy zapisać równanie dynamiki w
postaci:

z

A

Q

⋅

=

– objętość płynu przepływającego przez szczelinę wynika z

przemieszczenia tłoczka, określonego współrzędną z

Różnica ciśnień między komorami tłoczka wynika z zależności:

z

k

F

F

F

t

F

z

m

S

t

S

⋅

=

−

−

=

)

(

&

&

1

U

f

i

≡

q

C

q

U

1

=

∂

∂

q

L

q

T

dt

d

&

&

&

=













∂

∂

0

=

∂

∂

q

T

q

c

q

R

q

L

U

q

R

q

D

1

1

+

+

=

=

∂

∂

&

&

&

&

&

Różniczkując względem czasu pierwsze równanie, a następnie porównując
stronami, otrzymujemy :

Mnożąc obustronnie przez powierzchnię A i dzieląc przez α otrzymamy:

Podstawiając do równania dynamiki oraz porządkując to równanie otrzymamy:

•

metoda równań Lagrange’a

Energia kinetyczna:

Energia potencjalna:

Funkcja rozproszenia energii:

α

=

P

R

1

p

Q

∆

⋅

=

α

&

p

z

A

∆

⋅

=

α

&

t

F

p

A

z

A

=

∆

⋅

=

⋅

&

α

2

)

(

2

t

F

kz

z

A

z

m

=

+

+

&

&

&

α

2

2

1

z

m

T

&

=

2

2

1

kz

U

=

2

1

2

1

1

Q

D

p

R

Q

Q

R

p

p

p

&

&

&

α

=

∆

=

⇒

=

∆

2

2

1

Q

R

D

p

&

=

Związek między współrzędnymi Q i z: Q=A z

Przykład 3. Wyznaczyć równanie dynamiki układu hydraulicznego.











Q

1

=Q

S

+Q

2

– Stosujemy równanie ciągłości strugi

Q

1

–

ilość cieczy dopływająca przez rurociąg

Q

2

– ilość cieczy przepływająca przez zwężkę

Q

S

– ilość cieczy gromadzona w zbiorniku

Funkcja rozproszenia energii:


Energia potencjalna:

gdzie:

z

m

z

T

dt

d

z

A

D

&

&

&

&

=

∂

∂

=

2

2

2

1

α

kz

z

U

=

∂

∂

0

=

∂

∂

z

T

z

A

z

D

&

&

α

2

=

∂

∂

)

(

2

t

F

kz

z

A

z

m

=

+

+

&

&

&

α

2

2

2

1

Q

R

D

p

&

⋅

=

2

2

1

2

1

2

1

S

h

S

Q

C

Q

A

g

U

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

ρ

g

A

C

h

⋅

=

ρ

Uwzględniając:

otrzymamy:

Stosujemy metodę równań Lagrange’a drugiego rodzaju różniczkując względem
„współrzędnej” Q

S

, gdyż Q

1

jest wielkością zadaną.

Otrzymujemy:

Po podstawieniu do równania różniczkowego otrzymamy:

T – wielkość stała (stała czasowa)
k –stały współczynnik

S

S

S

p

S

Q

A

g

Q

U

Q

Q

R

Q

D

⋅

=

∂

∂

−

−

=

∂

∂

ρ

)

(

1

&

&

&

h

A

Q

h

A

Q

Q

R

Q

A

g

Q

R

S

S

p

S

S

p

&

&

&

&

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

+

⋅

1

ρ

1

1

q

Q

≡

&

2

1

)

(

2

1

s

p

Q

Q

R

D

&

&

−

⋅

⋅

=

S

Q

Q

Q

−

=

1

2

1

1

1

:

q

k

g

R

h

h

T

g

A

R

g

q

R

h

g

h

A

R

q

R

h

A

A

g

h

A

R

p

p

p

p

p

p

⋅

⋅

=

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

3

2

1

&

3

2

1

&

&

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

Przykład 4. W skład układu wchodzą:

- bęben dwuwalcowy (masy i wymiary geometryczne podane na rysunku)
- sprężyna liniowa (sztywność k)
- tłumik hydrauliczny
-
Bęben 2-walcowy toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie.
Masy krążka nie uwzględniamy

Współrzędne przyjęte do opisu

y

z,

,Q,

z

,

z

,

2

1

ϕ

.

Przedstawić równanie dynamiki układu

U – energia potencjalna
T – energia kinetyczna
D – funkcja rozproszenia energii

(

)

(

)

(

)

( )

{

(

)

( )

(

)

z

R

R+r

α

A

-

y

R

R+r

α

A

R

R+r

-

y

R

R+r

-

z

α

A

y

δ

δD

k*y

δy

δU

y

T=T

δy

δT

y

m*

y

δ

δT

dt

d

y

R

R+r

-

z

A

α

D=

y

m*

y

m*

R

+mr

MR

M+m+

T=

y

k*

y

k*

k

U=

y

R

R+r

-

z

=A

Q

y

R

R+r

z-

A

z-z

Q=A

R

R+r

y

R+r

y z

R=

z

R

y

R

y

=

Q

D=

α

R

+mr

MR

+

y

M+m

T=

kz

U=

p

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

4

4

4

4

3

4

4

4

4

2

1

&

&

&

&

&

&

&

&

























=

























=

=

=

=

























⋅

=













⋅

=

⋅













⇒













=

=

=

⋅

=

=

⇒

⋅

=

⋅

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

0

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

4

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

α

ϕ

Po wstawieniu uzyskanych wyrażeń otrzymujemy równanie dynamiki
w następującej postaci:

z

R

R+r

α

A

+k*y=

y

R

R+r

α

A

+

y

m*

&

&

&

&

⋅













2

2

2