Elementy układów mechatronicznych – opis matematyczny
1. Elementy rozpraszające energię
a) opór tarcia wiskotycznego (płynnego) w ruchu postępowym.
F
T
– siła tarcia, z – przemieszczenie, C
v
– współczynnik tarcia wiskotycznego
z&
– prędkość liniowa
b) opór tarcia wiskotycznego (płynnego) w ruchu obrotowym.
M
T
– moment tarcia,
ϕ
– kąt obrotu, C
ω
– współczynnik rozproszenia energii
ϕ
&
– prędkość kątowa
c) opór przepływu laminarnego w układach hydraulicznych i pneumatycznych.
∆
p – spadek ciśnienia, Q – objętość medium, R
p
– współczynnik oporu przepływu
Q&
– objętościowe natężenie przepływu
d) opór elektryczny
U – napięcie, q – ładunek elektryczny, R
e
– opór omowy
q&
– natężenie prądu
Równanie ogólne procesu rozpraszania energii:
y – „siła” uogólniona (w rzeczywistości, jest to siła jedynie przez analogię)
x – współrzędna uogólniona
Funkcja rozproszenia energii jest zdefiniowana zależnością :
2
2
1
x
R
D
&
⋅
=
Uwaga. Nie jest to energia !!!
x
R
y
&
⋅
=
≡
e
p
v
R
R
C
C
R
ω
∆
≡
U
p
M
F
y
T
T
≡
q
Q
z
x
ϕ
2. Elementy magazynujące energię potencjalną.
a) magazynowanie energii w ruchu postępowym
F
s
– siła sprężystości, k
s
– współczynnik sztywności liniowej
b) magazynowanie energii w ruchu obrotowym
M
s
– moment skręcający, k
s
– współczynnik sztywności skrętnej
c) kondensator w układzie elektrycznym
C
– pojemność kondensatora
d) napełnianie zbiornika płynem nieściśliwym.
p – ciśnienie, C
h
– stała hydrauliczna, V(Q) – objętość medium
Ogólne równanie procesu magazynowania energii potencjalnej
gdzie:
Ogólne równanie energii potencjalnej:
∫
+
=
t
y
dt
x
k
t
y
0
)
0
(
)
(
&
2
2
1
x
k
U
⋅
=
≡
h
S
l
C
C
k
k
k
1
1
≡
)
(Q
V
q
z
x
ϕ
≡
p
U
M
F
y
s
s
3. Elementy magazynujące energię kinetyczną.
a) masa w ruchu postępowym
F – siła zewnętrzna wywołująca ruch postępowy
b) bryła sztywna w ruchu obrotowym
M – moment sił zewnętrznych wywołujący ruch obrotowy
c) cewka indukcyjna włączona w obwód elektryczny
L – indukcyjność cewki
Równanie ogólne procesu magazynowania energii kinetycznej
gdzie:
Energia kinetyczna magazynowana w poszczególnych elementach opisana jest
zależnością:
)
(x
dt
d
k
y
&
=
2
)
(
2
1
x
k
T
&
=
≡
q
z
x
ϕ
≡
L
I
m
k
0
≡
U
M
F
y
Równania dynamiki we współrzędnych uogólnionych
1. metody szczegółowe
W celu utworzenia równań dynamiki wykorzystujemy znane prawa fizyczne np.
zasady dynamiki Newtona, prawo zachowania ładunku, prawo zachowania
energii, równanie ciągłości strugi.
2. metoda z wykorzystaniem równań Lagrange’a drugiego rodzaju.
Jeżeli w układzie fizycznym wyodrębniono współrzędne uogólnione x
i
możemy
wówczas zapisać następujące wyrażenie:
Oznacza ono równanie Lagrange’a drugiego rodzaju, sformułowane dla
współrzędnej uogólnionej x
i
; f
i
oznacza pobudzenie (siłę uogólnioną) w kierunku
współrzędnej x
i
.
Przykład 1.
W układzie przedstawionym na rysunku należy sformułować równanie dynamiki
wykorzystując metody szczegółowe oraz metodę równań Lagrange’a drugiego
rodzaju.
i
i
i
i
i
f
x
D
x
U
x
T
x
T
dt
d
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
&
&
•
Metoda szczegółowa
Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa :
Uwzględniając
otrzymamy:
•
metoda równania Lagrange’a drugiego rodzaju
współrzędna uogólniona:
Funkcja rozproszenia energii:
Energia potencjalna układu:
Energia kinetyczna układu:
dt
di
L
U
L
=
i
R
U
R
⋅
=
∫
=
idt
C
U
C
1
∫
+
+
=
Ri
idt
C
dt
di
L
U
1
1
2
2
1
2
1
)
(
1
2
1
q
C
x
C
U
=
=
2
2
)
(
2
1
)
(
2
1
q
L
x
L
T
&
&
=
=
q
i
&
=
q
C
q
R
q
L
U
1
1
+
+
=
&
&
&
q
x
x
i
≡
=
2
2
2
1
)
(
2
1
q
R
x
R
D
&
&
=
=
Przykład 2.
−
S
F
siła oporu sprężyny
−
t
F
siła oporu tłumika
Q – przepływ medium przez szczelinę, objętość płynu.
•
metoda szczegółowa
Na podstawie obserwacji ruchu masy m możemy zapisać równanie dynamiki w
postaci:
z
A
Q
⋅
=
– objętość płynu przepływającego przez szczelinę wynika z
przemieszczenia tłoczka, określonego współrzędną z
Różnica ciśnień między komorami tłoczka wynika z zależności:
z
k
F
F
F
t
F
z
m
S
t
S
⋅
=
−
−
=
)
(
&
&
1
U
f
i
≡
q
C
q
U
1
=
∂
∂
q
L
q
T
dt
d
&
&
&
=
∂
∂
0
=
∂
∂
q
T
q
c
q
R
q
L
U
q
R
q
D
1
1
+
+
=
=
∂
∂
&
&
&
&
&
Różniczkując względem czasu pierwsze równanie, a następnie porównując
stronami, otrzymujemy :
Mnożąc obustronnie przez powierzchnię A i dzieląc przez α otrzymamy:
Podstawiając do równania dynamiki oraz porządkując to równanie otrzymamy:
•
metoda równań Lagrange’a
Energia kinetyczna:
Energia potencjalna:
Funkcja rozproszenia energii:
α
=
P
R
1
p
Q
∆
⋅
=
α
&
p
z
A
∆
⋅
=
α
&
t
F
p
A
z
A
=
∆
⋅
=
⋅
&
α
2
)
(
2
t
F
kz
z
A
z
m
=
+
+
&
&
&
α
2
2
1
z
m
T
&
=
2
2
1
kz
U
=
2
1
2
1
1
Q
D
p
R
Q
Q
R
p
p
p
&
&
&
α
=
∆
=
⇒
=
∆
2
2
1
Q
R
D
p
&
=
Związek między współrzędnymi Q i z: Q=A z
Przykład 3. Wyznaczyć równanie dynamiki układu hydraulicznego.
Q
1
=Q
S
+Q
2
– Stosujemy równanie ciągłości strugi
Q
1
–
ilość cieczy dopływająca przez rurociąg
Q
2
– ilość cieczy przepływająca przez zwężkę
Q
S
– ilość cieczy gromadzona w zbiorniku
Funkcja rozproszenia energii:
Energia potencjalna:
gdzie:
z
m
z
T
dt
d
z
A
D
&
&
&
&
=
∂
∂
=
2
2
2
1
α
kz
z
U
=
∂
∂
0
=
∂
∂
z
T
z
A
z
D
&
&
α
2
=
∂
∂
)
(
2
t
F
kz
z
A
z
m
=
+
+
&
&
&
α
2
2
2
1
Q
R
D
p
&
⋅
=
2
2
1
2
1
2
1
S
h
S
Q
C
Q
A
g
U
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
ρ
g
A
C
h
⋅
=
ρ
Uwzględniając:
otrzymamy:
Stosujemy metodę równań Lagrange’a drugiego rodzaju różniczkując względem
„współrzędnej” Q
S
, gdyż Q
1
jest wielkością zadaną.
Otrzymujemy:
Po podstawieniu do równania różniczkowego otrzymamy:
T – wielkość stała (stała czasowa)
k –stały współczynnik
S
S
S
p
S
Q
A
g
Q
U
Q
Q
R
Q
D
⋅
=
∂
∂
−
−
=
∂
∂
ρ
)
(
1
&
&
&
h
A
Q
h
A
Q
Q
R
Q
A
g
Q
R
S
S
p
S
S
p
&
&
&
&
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
+
⋅
1
ρ
1
1
q
Q
≡
&
2
1
)
(
2
1
s
p
Q
Q
R
D
&
&
−
⋅
⋅
=
S
Q
Q
Q
−
=
1
2
1
1
1
:
q
k
g
R
h
h
T
g
A
R
g
q
R
h
g
h
A
R
q
R
h
A
A
g
h
A
R
p
p
p
p
p
p
⋅
⋅
=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
3
2
1
&
3
2
1
&
&
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Przykład 4. W skład układu wchodzą:
- bęben dwuwalcowy (masy i wymiary geometryczne podane na rysunku)
- sprężyna liniowa (sztywność k)
- tłumik hydrauliczny
-
Bęben 2-walcowy toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie.
Masy krążka nie uwzględniamy
Współrzędne przyjęte do opisu
y
z,
,Q,
z
,
z
,
2
1
ϕ
.
Przedstawić równanie dynamiki układu
U – energia potencjalna
T – energia kinetyczna
D – funkcja rozproszenia energii
(
)
(
)
(
)
( )
{
(
)
( )
(
)
z
R
R+r
α
A
-
y
R
R+r
α
A
R
R+r
-
y
R
R+r
-
z
α
A
y
δ
δD
k*y
δy
δU
y
T=T
δy
δT
y
m*
y
δ
δT
dt
d
y
R
R+r
-
z
A
α
D=
y
m*
y
m*
R
+mr
MR
M+m+
T=
y
k*
y
k*
k
U=
y
R
R+r
-
z
=A
Q
y
R
R+r
z-
A
z-z
Q=A
R
R+r
y
R+r
y z
R=
z
R
y
R
y
=
Q
D=
α
R
+mr
MR
+
y
M+m
T=
kz
U=
p
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
4
4
4
4
3
4
4
4
4
2
1
&
&
&
&
&
&
&
&
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⇒
=
=
=
⋅
=
=
⇒
⋅
=
⋅
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
0
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
4
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
ϕ
Po wstawieniu uzyskanych wyrażeń otrzymujemy równanie dynamiki
w następującej postaci:
z
R
R+r
α
A
+k*y=
y
R
R+r
α
A
+
y
m*
&
&
&
&
⋅
2
2
2