Elementy układów mechatronicznych – opis matematyczny 1. Elementy rozpraszające energię

a) opór tarcia wiskotycznego (płynnego) w ruchu postępowym.

FT – siła tarcia, z – przemieszczenie, Cv– współczynnik tarcia wiskotycznego z& – prędkość liniowa

b) opór tarcia wiskotycznego (płynnego) w ruchu obrotowym.

MT – moment tarcia, ϕ – kąt obrotu, Cω – współczynnik rozproszenia energii ϕ& – prędkość kątowa

c) opór przepływu laminarnego w układach hydraulicznych i pneumatycznych.

∆ p – spadek ciśnienia, Q – objętość medium, Rp – współczynnik oporu przepływu Q& – objętościowe natężenie przepływu

d) opór elektryczny

U – napięcie, q – ładunek elektryczny, Re – opór omowy q& – natężenie prądu

Równanie ogólne procesu rozpraszania energii:

y = R ⋅ x&

y – „siła” uogólniona (w rzeczywistości, jest to siła jedynie przez analogię) x – współrzędna uogólniona



 z

FT

 C





 v

ϕ

 MT



x ≡

ω



y ≡ 

R ≡ C



 Q

 ∆ p

 Rp





 q

 U

 Re

Funkcja rozproszenia energii jest zdefiniowana zależnością : 1

2

D =

R ⋅ x&

2

Uwaga. Nie jest to energia !!!

2. Elementy magazynujące energię potencjalną.

a) magazynowanie energii w ruchu postępowym

Fs – siła sprężystości, ks – współczynnik sztywności liniowej b) magazynowanie energii w ruchu obrotowym

Ms – moment skręcający, ks – współczynnik sztywności skrętnej c) kondensator w układzie elektrycznym

C – pojemność kondensatora

d) napełnianie zbiornika płynem nieściśliwym.

p – ciśnienie, Ch – stała hydrauliczna, V( Q) – objętość medium Ogólne równanie procesu magazynowania energii potencjalnej t

y t

( ) = ∫ & d

x

k

t + y(0)

0

gdzie:

 k

 Fs

 l

 z



 k



S

 M s



 ϕ

1

y ≡ 

k ≡ 

x ≡ 

 U

 C

 q



 1



 p

 V ( Q)

 Ch

Ogólne równanie energii potencjalnej:

1

2

U =

k ⋅ x

2

3. Elementy magazynujące energię kinetyczną.

a) masa w ruchu postępowym

F – siła zewnętrzna wywołująca ruch postępowy b) bryła sztywna w ruchu obrotowym

M – moment sił zewnętrznych wywołujący ruch obrotowy c) cewka indukcyjna włączona w obwód elektryczny

L – indukcyjność cewki

Równanie ogólne procesu magazynowania energii kinetycznej d

y = k

( x&)

dt

gdzie:

 F

 z





 m

y ≡  M

x ≡ ϕ





k ≡  I



0

 U

 q

 L

Energia kinetyczna magazynowana w poszczególnych elementach opisana jest zależnością:

1

2

T =

k( x&)

2

Równania dynamiki we współrzędnych uogólnionych

1. metody szczegółowe

W celu utworzenia równań dynamiki wykorzystujemy znane prawa fizyczne np.

zasady dynamiki Newtona, prawo zachowania ładunku, prawo zachowania energii, równanie ciągłości strugi.

2. metoda z wykorzystaniem równań Lagrange’a drugiego rodzaju.

Jeżeli w układzie fizycznym wyodrębniono współrzędne uogólnione xi możemy wówczas zapisać następujące wyrażenie:

d  T

∂ 

T

∂

U

∂

D

∂



 −

+

+

= fi

dt  x

∂& 

x

∂

x

∂

x

∂&

i

i

i

i

Oznacza ono równanie Lagrange’a drugiego rodzaju, sformułowane dla współrzędnej uogólnionej xi ; fi oznacza pobudzenie (siłę uogólnioną) w kierunku współrzędnej xi.

Przykład 1.

W układzie przedstawionym na rysunku należy sformułować równanie dynamiki wykorzystując metody szczegółowe oraz metodę równań Lagrange’a drugiego rodzaju.

• Metoda szczegółowa

di

U = L

L

dt

1

UC =

∫ idt

C

U = R ⋅ i

R

Korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa :

1

U 1 =

di

L

+ ∫ idt + Ri

dt

C

Uwzględniając

i = q&

1

otrzymamy:

U = Lq&

& + q

R & +

q

1

C

• metoda równania Lagrange’a drugiego rodzaju

współrz

= ≡

ędna uogólniona:

x

x

q

i

Funkcja rozproszenia energii:

1

1

2

2

D =

R( x&) =

Rq&

2

2

Energia potencjalna układu:

1  1 

1 1

2

2

U =



( x) =

q

2  C 

2 C

Energia kinetyczna układu:

1

1

2

2

T =

L( x&) =

L( q&)

2

2

 ∂ 

∂ T

D

∂

U

∂

1

d

T

= 0

= q

R &

= q



 = Lq&

&

∂ q

&

q

q

∂

∂

C

dt  q

∂ & 

f ≡ U

1

i

1

U = Lq&

& + q

R & + q

1

c

Przykład 2.

FS − siła oporu sprężyny

Ft − siła oporu tłumika

Q – przepływ medium przez szczelinę, objętość płynu.

• metoda szczegółowa

Na podstawie obserwacji ruchu masy m możemy zapisać równanie dynamiki w postaci:

z

m &

& = F t

( ) − F − F

S

t

F = k ⋅ z

S

Q = A ⋅ z – objętość płynu przepływającego przez szczelinę wynika z przemieszczenia tłoczka, określonego współrzędną z Różnica ciśnień między komorami tłoczka wynika z zależności:

Q& = α ⋅ p

∆

Różniczkując względem czasu pierwsze równanie, a następnie porównując stronami, otrzymujemy :

Az& = α ⋅ p

∆

Mnożąc obustronnie przez powierzchnię A i dzieląc przez α otrzymamy: A 2 ⋅ z& = A⋅ p

∆ = Ft

α

Podstawiając do równania dynamiki oraz porządkując to równanie otrzymamy: 2

A

mz&

& +

z& + kz = F ( t) α

• metoda równań Lagrange’a

Energia kinetyczna:

1

2

T =

z

m&

2

Energia potencjalna:

1

2

U =

kz

2

Funkcja rozproszenia energii:

1

2

D

R Q&

= 2 p

1

p

∆ = R Q& ⇒ Q& =

p

∆

1

p

Rp

= α

RP

1 1

2

D =

Q&

α

2

Związek między współrzędnymi Q i z: Q= A z 1 A 2

D =

z&2

2 α

d

T

∂

∂

=

U

mz&

&

= kz

dt

z

∂&

z

∂

∂ T

2

=

D

∂

A

0

=

∂

z&

z

z

∂&

α

2

A

z

m &

& +

z& + kz = F ( t) α

Przykład 3. Wyznaczyć równanie dynamiki układu hydraulicznego.

Q 1= QS+ Q 2 – Stosujemy równanie ciągłości strugi Q 1 – ilość cieczy dopływająca przez rurociąg Q 2 – ilość cieczy przepływająca przez zwężkę Q S – ilość cieczy gromadzona w zbiorniku

1

Funkcja rozproszenia energii:

& 2

D =

R ⋅ Q

p

2

2

1 ρ ⋅ g

2

1

1

2

A

Energia potencjalna: U =

⋅

⋅ Q = ⋅

⋅ Q

gdzie: C =

S

S

h

ρ ⋅

2

A

2 C

g

h

Uwzględniając:

otrzymamy:

1

2

Q 2 = Q 1 − QS

D =

⋅ R ⋅ ( Q& − Q& )

p

1

2

s

Stosujemy metodę równań Lagrange’a drugiego rodzaju różniczkując względem

„współrzędnej” QS , gdyż Q 1 jest wielkością zadaną.

Q& ≡ q

1

1

D

∂ = − R Q

( &

&

1 − Q )

p

S

Q

∂ & S

U

∂

ρ ⋅ g

=

QS

Q

∂

A

S

Otrzymujemy:

ρ ⋅ g

R ⋅ Q& +

Q = R ⋅ Q&

p

S

A

S

p

1

Q = A⋅ h

S

Q& = A⋅ h&

S

Po podstawieniu do równania różniczkowego otrzymamy:

ρ ⋅ g

R ⋅ A ⋅ h& +

⋅ A ⋅ h = R ⋅ q

p

p

1

A

R ⋅ A ⋅ h& + ρ ⋅ g ⋅ h = R ⋅ q

: ρ ⋅ g

p

p

1

R ⋅ A

R

p

p

⋅ h& + h =

⋅ q 1

ρ ⋅ g

ρ ⋅ g

3

2

1

3

2

1

T

k

T – wielkość stała (stała czasowa)

k –stały współczynnik

Przykład 4. W skład układu wchodzą:

- bęben dwuwalcowy (masy i wymiary geometryczne podane na rysunku)

- sprężyna liniowa (sztywność k)

- tłumik hydrauliczny

-

Bęben 2-walcowy toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie.

Masy krążka nie uwzględniamy

Współrzędne przyjęte do opisu ,

ϕ z , z ,Q, z, y

1

2

.

Przedstawić równanie dynamiki układu

U – energia potencjalna

T – energia kinetyczna

D – funkcja rozproszenia energii

1

1

1 1

1

1 1

U=

kz 2

T=

ϕ

1

( M+m) y& +

2

⋅ ( MR +

2

mr 2 ) 2

R =

D=

⋅ Q&

&

2

p

α

2

2

2 2

2 α

y

y&

=

ϕ

⇒ &

ϕ =

z

ϕ 2 2

ϕ

1 =

⋅ R= y z 2 = ( R+r)

R+r

= y

R

R

R









Q= (

A z-z 2 )

R+r

R+r

= A z-

y  ⇒ & =

Q A z-

&

y& 



R





R



1

1

1 

1

1 

1

U=

k ⋅ 4 y 2 =

k* ⋅ y 2

T=  M+m+ ( MR +

2

mr 2 )

2

2

{

 y& = m* ⋅ y&

2

2

2 

2

R 2 

k*

2

1

4

4

4

4

2

4

4

4

4

3

m*

1 1



2

 δ 

δ

2

R+r

d

T

T

D=

A  z-

&

y& 



 = m y

* &

&

= 0 ( T=T ( &) δU

y

= k*y

α

δ

2





 &

δ

δ

R

dt

y 

y

y

2

δD

A 2 

R+r





R+r 

A 2  R+r 

A 2  R+r 

=

 -

z&

y& 

 -

 =



 & -

y



 z&

δ &

α

α

α

y



R





R 

 R 

 R 

Po wstawieniu uzyskanych wyrażeń otrzymujemy równanie dynamiki w następującej postaci:

2

A 2  R+r 

A 2 R+r

m* +

y&

&



 & +

y k*y=

⋅

z&

α

α

 R 

R