4. Caªki

‚w. 4.1 Oblicz caªki R

A

f (x)µ(dx),

gdzie

1. A := R,

f (x) := x

2

,

µ := δ

−1

+ δ

1

,

2. A := (0, 10],

f (x) := x

2

,

µ :=

∞

P

k=1

1
k

δ

k

,

3. A := R

+

,

f (x) := exp(x),

µ :=

∞

P

k=0

1

k!

δ

k

,

4. A := R

+

,

f (x) := (1/2)

x

,

µ :=

∞

P

k=0

(1/3)

k

δ

k

,

5. A := R,

f (x) := cos(πx),

µ :=

∞

P

k=1

(1/2)

k

k

δ

k

,

6. A := [0, π/2], f(x) = sin(x),

µ := l,

7. A := R,

f (x) := |x| exp(−|x|),

µ := l +

∞

P

k=1

1

k2

k

δ

k

.

‚w. 4.2 Zbadaj, czy okre±lone s¡ caªki R

A

f (x)µ(dx),

gdzie

1. A := R,

f (x) := exp(−x) cos(x

2

− ln(x)),

µ :=

∞

P

k=1

δ

k

,

2. A := R

+

,

f (x) :=

ln(x)

cos(x

2

)

,

µ := l,

3. A := (0, 1], f(x) := x,

µ :=

∞

P

k=1

δ

1/k

.

‚w. 4.3 (*) Niech miara µ ma posta¢

µ :=

n

X

k=1

φ

k

δ

x

k

,

gdzie φ

k

∈ R

+

, x

k

∈ R dla ka»dego 1 ≤ k ≤ n.

1. Poka» , »e µ jest jednoznacznie wyznaczona przez warto±ci caªek R x

k

µ(x)

dla

k = 0, 1, 2, ...

2. Wywnioskuj, »e µ jest jednoznacznie wyznaczona przez swoj¡ transformat¦ Lapla-

ce'a

L

µ

(t) :=

Z

exp(tx)µ(dx).

Wskazówka:

 ∂

k

∂t

k

L

µ



(0) =

Z

x

k

µ(dx).

3. Caªkowanie przez cz¦±ci: Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ o no±niku zwartym i

ró»niczkowaln¡ w sposób ci¡gªy. Wówczas

Z

f dµ = −

Z

∞

−∞

f

0

(x)µ((−∞, x])dx.

Wskazówka:

Z

f dµ =

n

X

k=1

φ

k

f (x

k

) = −

n

X

k=1

φ

k

Z

∞

x

k

f

0

(x)dx.