ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

(AWP)

Jednostka prowadz

ą

ca:

Instytut Metrologii i In

ż

ynierii Biomedycznej

Autor programu:

dr in

ż

. Jerzy Arendarski

Wyznaczanie niepewno

ś

ci rozszerzonej

pomiaru

Niepewno

ść

podawana w ko

ń

cowym wyniku pomiaru

nosi nazw

ę

niepewno

ś

ci rozszerzonej

.

T

ę

za

ś

, Przewodnik ISO definiuje w nast

ę

puj

ą

cy

sposób:

„Niepewno

ść

rozszerzona to wielko

ść

okre

ś

laj

ą

ca

przedział wokół wyniku pomiaru, od którego

oczekuje si

ę

,

ż

e obejmuje du

żą

cz

ęść

rozkładu

warto

ś

ci, które w uzasadniony sposób mo

ż

na

przypisa

ć

warto

ś

ci mierzonej.”

Definicja niepewno

ś

ci pomiaru

Niepewno

ść

rozszerzona pomiaru:

U(Y) = k*u

c

(Y)

„Ile wynosi k, dla poziomu ufno

ś

ci 1-

α

= 0,95?”

W modelu teoretycznym przyj

ę

to rozkład normalny i wtedy:

U(Y) = 2uc(Y)

W dotychczas omawianych przykładach przyjmowano k = 2.

Przypadki szczególnych modeli rzeczywistych b

ę

d

ą

przedstawiane w dalszej cz

ęś

ci wykładu.

X

1

X

2

X

4

X

3

X

5

X

6

X

8

X

7

( )

( )

( )

j

i

j

m

i

m

i

j

i

i

m

i

i

c

x

x

u

x

f

x

f

x

u

x

f

y

u

,

2

1

1

1

2

2

1



























+













≅

∑ ∑

∑

−

=

+

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(

)

m

X

X

X

f

Y

,...,

,

2

1

=

Składowe maj

ą

rozkłady normalne

U(Y) = 2u

c

(Y

)

„Je

ż

eli wszystkie wielko

ś

ci wej

ś

ciowe maj

ą

rozkłady normalne, to rozkład wielko

ś

ci wynikowej

jest te

ż

normalny”

X

1

X

2

X

4

X

3

X

5

X

6

X

8

X

7

(

)

m

X

X

X

f

Y

,...,

,

2

1

=

Wiele składowych o ró

ż

nych rozkładach

( )

( )

( )

j

i

j

m

i

m

i

j

i

i

m

i

i

c

x

x

u

x

f

x

f

x

u

x

f

y

u

,

2

1

1

1

2

2

1



























+













≅

∑ ∑

∑

−

=

+

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Je

ż

eli składowych jest wiele (praktycznie n

≥

4) i nie ma

w

ś

ród nich du

ż

ego zró

ż

nicowania rozrzutów, to zgodnie z

centralnym twierdzeniem granicznym, niezale

ż

nie od

rodzajów rozkładów składowych, rozkład zmiennej

wypadkowej d

ąż

y do rozkładu normalnego.

U(Y) = 2u

c

(Y)

Przykład 1.

Kompozycja dwóch rozkładów prostok

ą

tnych o rozst

ę

pach R

x

= 2a

i odchyleniach standardowych

Efekt:

rozkład trójk

ą

tny o rozst

ę

pie

R

y

= 2 R

x

= 4a

i odchyleniu standardowym

x

1

µ

1

µ

1

- a

µ

1

+

a

x

2

µ

2

µ

2

-a

µ

2

+ a

µ

y

- 2a

µ

y

µ

y

+ 2a

y

1

=x

1

+ x

2

6

5

,

0

y

y

R

=

σ

3

2

1

a

=

=

σ

σ

Rozkład dwóch składowych

o rozkładach prostok

ą

tnych

Przykład 2

Kompozycja dwóch rozkładów prostok

ą

tnych o rozst

ę

pach R = 3a

i odchy-leniach standardowych

Efekt:

rozkład trójk

ą

tny o rozst

ę

pie

R = 6a

i odchyleniu standardowym:

3

5

,

1

4

3

a

=

=

σ

σ

x

3

µ

3

µ

3

-1,5a

µ

3

+1,5a

x

4

µ

4

µ

4

-

1,5a

µ

4

+1,5a

µ

2

*

-3a

µ

2

*

µ

2

*

+3a

6

3

2

a

=

σ

y

2

=x

3

+ x

4

Rozkład dwóch składowych

o rozkładach prostok

ą

tnych

Przykład 3.

Kompozycja rozkładów wynikowych z przykładów 1 i 2.

Efekt:

rozkład zbli

ż

ony do normalnego, rozst

ę

p R = 10a,

odchylenie standardowe:

6

13

6

9

6

4

2

2

2

2

2

1

a

a

a

y

y

z

=

+

=

+

=

σ

σ

σ

y

1

µ

1

*

-2a

µ

1

*

µ

1

*

+2

a

y

2

µ

2

*

-3a

µ

2

*

µ

2

*

+3

a

µ

3

*

µ

3

*

-5a

µ

3

*

+5

a

z = y

1

+ y

2

Rozkład dwóch składowych

o rozkładach Simpsona

Je

ż

eli wielko

ś

ci wej

ś

ciowe s

ą

dwie i dominuj

ą

c

ą

, pod wzgl

ę

dem rozrzutu, jest

składowa o rozkładzie prostok

ą

tnym, to współczynnik rozszerzenia wyznacza si

ę

dla

tego dominuj

ą

cego rozkładu:

k = 1,65

a

b

R=2a

x

( )

a

b

x

f

−

=

1

σ

σ

σ

73

,

1

σ

73

,

1

µ

12

2

2

R

σ

=

3

2

R

σ

=

3

a

u

=

)

( X

)

(

65

,

1

65

,

1

3

95

,

0

95

,

0

)

(

X

u

a

X

=

=

⋅

=

=

3

3

a

a

U

;

Współczynnik rozszerzenia

dla rozkładu prostok

ą

tnego

k = 1,90

24

R

2

2

=

σ

6

a

=

=

6

2

R

σ

)

(

90

,

1

90

,

1

78

,

0

)

(

X

u

a

X

=

≈

=

6

a

U

σ

σ

µ

a

b

R=2

a

x

σ

2

σ

2

σ

45

,

2

σ

45

,

2

Współczynnik rozszerzenia

dla rozkładu Simpsona

Je

ż

eli wielko

ś

ci wej

ś

ciowe s

ą

dwie i dominuj

ą

c

ą

, pod wzgl

ę

dem rozrzutu, jest

składowa o rozkładzie prostok

ą

tnym, to współczynnik rozszerzenia wyznacza si

ę

dla

tego dominuj

ą

cego rozkładu:

Przykład 4.
Kompozycja dwóch rozkładów prostok

ą

tnych o rozst

ę

pach R

1

= 2a

1,

R

2

= 2a

2

Efekt:

rozkład trapezowy równoramienny o rozst

ę

pie

x

1

µ

x1

µ

x1

-a

1

µ

x1

+a

1

x

2

µ

x2

µ

x2

-a

2

µ

x2

+a

2

y

µ

y

-(a

1

+a

2

)

µ

y

µ

y

+(a

1

+a

2

)

3

)

(

2

2

2

1

a

a

Y

U

c

+

=

Współczynnik rozszerzenia

dla rozkładu trapezowego

)

(

2

2

1

a

a

R

+

=

Współczynnik rozszerzenia

dla rozkładu trapezowego

6

1

)

1

)(

1

(

1

2

2

β

β

+

−

−

−

≈

P

k

gdzie:

)

(

)

(

95

,

0

1

2

1

2

a

a

a

a

P

+

−

=

=

β

Współczynnik rozszerzenia

a bud

ż

et niepewno

ś

ci

Bud

ż

et niepewno

ś

ci - wariant 1.

Symbol
Wielkości

Estymata
wielkości

Szerokość
połówkowa

Współcz.

rozrzutu

Niepewn.
standard.

Współcz.
wpływu

Składowe

niepewn.

złożonej

1

2

3

4

5

6

7

X

i

x

i

0,5R

i

k

*

u(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

X

1

x

1

0,5R

1

k

1

*

u

B

(X

1

)

c

1

u

1

(Y)

X

2

x

2

-

-

u

A

(X

2

)

c

2

u

2

(Y)

X

3

x

3

0,5R

3

k

3

*

u

B

(X

3

)

c

3

u

3

(Y)

...

...

...

...

...

...

...

X

m

x

m

-

-

u

A

(X

m

)

c

m

u

m

(Y)

Y

y

u

c

(Y)

Symbol
wielkości

Estymata
wielkości

Niepewność
standardowa

Rozkład
prawdopodo-
bieństwa

Współczynnik

wpływu

Składowe
niepewności
stand. złożonej

1

2

3

4

5

6

X

i

x

ipop

u(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

X

1

x

1

u (X

1

)

normalny

c

1

u

1

(Y)

X

2

x

2

u (X

2

)

trapezowy

c

2

u

2

(Y)

X

3

x

3

u (X

3

)

trójkątny

c

3

u

3

(Y)

...

...

...

prostokątny

...

...

X

m

x

m

u (X

m

)

prostokątny

c

m

u

m

(Y)

Y

y

u

c

(Y)

Bud

ż

et niepewno

ś

ci - wariant 2.

Współczynnik rozszerzenia

a bud

ż

et niepewno

ś

ci

Symbol
wielkości

Estymata
wielkości

Niepewność
standardowa

Rozkład
prawdopodo-
bieństwa

Współczynnik

wpływu

Składowe
niepewności
stand. złożonej

1

2

3

4

5

6

X

i

x

ipop

u(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

X

1

x

1

u (X

1

)

t-Studenta

c

1

u

1

(Y)

X

2

x

2

u (X

2

)

t-Studenta

c

2

u

2

(Y)

X

3

x

3

u (X

3

)

t-Studenta

c

3

u

3

(Y)

Y

y

u

c

(Y)

Bud

ż

et niepewno

ś

ci - wariant 3.

k = ?

Współczynnik rozszerzenia

a bud

ż

et niepewno

ś

ci

( )

( )

∑

=

m

1

j

4

j

4

c

eff

ν

Y

u

Y

u

ν

( )

[

]

( )

[

]

∑

=

m

1

j

4

j

j

4

4

c

eff

ν

/X

X

u

/Y

Y

u

ν

( )

( )

j

2

2

j

2

j

X

u

X

Y

Y

u

⋅















∂

∂

=

Efektywna liczba stopni swobody

Wyznaczanie współczynnika k

na podstawie

ν

eff

Przykład 1
Przeprowadzono eksperyment, w którym metod

ą

typu A wyznaczono

niepewno

ś

ci standardowe pomiaru wielko

ś

ci wej

ś

ciowych X, Y, Z.

Celem wyznaczenia obj

ę

to

ść

i, dłogo

ść

, szeroko

ść

i

wysoko

ść

kostki prostopadło

ś

ciennej mierzono trzema zestawami mikrometrów:

n

x

= 5, n

y

= 6, n

z

= 6.

Otrzymane wyniki zamieszczono w bud

ż

ecie niepewno

ś

ci.

Równanie pomiaru:

Równanie niepewno

ść

standardowej zło

ż

onej:

Z

Y

X

V

∗

∗

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

Z

u

Y

X

Y

u

Z

X

X

u

Z

Y

V

u

∗

∗

+

∗

∗

+

∗

∗

=

Symbol
wielko

ś

ci

Estymata
wielko

ś

ci

Niepewno

ść

standardowa

Rozk

ł

ad

prawdopodo-
bie

ń

stwa

Wspó

ł

czynnik

wp

ł

ywu

Sk

ł

adowe

niepewno

ś

ci

stand. z

ł

o

ż

onej

1

2

3

4

5

6

X

i

x

ipop

u(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

X

1

9,9755

0,0022

t-Studenta

1499,5

3,2989

X

2

29,9885

0,0031

t-Studenta

498,8

1,5463

X

3

50,0015

0,0045

t-Studenta

299,2

1,3464

Y

14957,96

3,884

Bud

ż

et niepewno

ś

ci - przykład

k = ?

U(Y)= ku(Y)

Wyznaczanie współczynnika k

na podstawie

ν

eff

25

,

7

5

3464

,

1

5

5463

,

1

4

2989

,

3

884

,

3

4

4

4

4

=

+

+

=

eff

ν

Przyjmujemy

ν

eff

= 7

Z tablicy rozkładu t-Studenta odczytuje si

ę

t

0,95;7

= 2,36 = k

Zatem

Ko

ń

cowy wynik pomiaru obj

ę

to

ś

ci:

Wyznaczanie współczynnika k

na podstawie

ν

eff

3

3

3

9mm

mm

3,884mm

2,36

U(V)

≈

=

∗

=

166

,

9

3

3

3

9mm

mm

3,884mm

2,36

U(V)

≈

=

∗

=

166

,

9

Przykład 2

Przyjmijmy,

ż

e Y = f(X

1

, X

2

, X

3

) = b X

1

X

2

X

3

i

ż

e estymaty x

1

, x

2

i x

3

warto

ś

ci wielko

ś

ci wej

ś

ciowych

X

1

, X

2

i X

3

o rozkładach normalnych s

ą ś

rednimi

arytmetycznymi odpowiednio z n

1

= 10, n

2

= 5 i n

3

= 15

niezale

ż

nych obserwacji, a wzgl

ę

dne niepewno

ś

ci

standardowe wynosz

ą

:

u(X

1

) / X

1

= 0,25%, u(X

2

) / X

2

= 0,57% i u(X

3

) / X

3

= 0,82%.

Obliczy

ć

niepewno

ść

z

ł

o

ż

on

ą

rozszerzon

ą

U

c

(Y)

0,95

.

Wyznaczanie współczynnika k

na podstawie

ν

eff

c

Niepewno

ść

standardow

ą

wzgl

ę

dn

ą

wyznacza si

ę

korzystaj

ą

c ze wzoru:

( )

( )

( )

( )

%

03

,

1

=













+













+













=

2

3

3

2

2

2

2

1

1

c

X

X

u

X

X

u

X

X

u

Y

Y

u

0

,

19

1

15

82

,

0

1

5

57

,

0

1

10

25

,

0

03

,

1

4

4

4

4

=

−

+

−

+

−

=

eff

ν

Z tablicy rozkładu t-Studenta odczytuje si

ę

t

0,95;19

= 2,09

Efektywna liczba stopni swobody

Kiedy składowe maj

ą

rozkłady t-Studenta, mo

ż

e by

ć

:

k >2

dlatego warto pami

ę

ta

ć

o formułach wyznaczania

efektywnej liczby stopni swobody!!!

Wyznaczanie współczynnika k

na podstawie

ν

eff

X

1

X

m

. .

.

)

,

,...,

,

(

2

1

m

X

X

X

f

Y

=

Y

Metoda Monte Carlo

U

U

0,95

Wyznaczanie rozkładu wynikowego metod

ą

symulacji komputerowej

(metod

ą

Monte Carlo):

1. Okre

ś

lenie jawnej postaci funkcji:

2. Ustalenie rozkładów poszczególnych argumentów (zmiennych

X

1

, X

2

,..., X

m

)

3. Generowanie realizacji

x

ij

, dla poszczególnych wielko

ś

ci

X

i

(

j = 1,2,3,..., n-1,n

), gdzie np

. n = 10

6

4. Wyznaczenie warto

ś

ci

y

j

= f(x

1j

, x

2j

,..., x

(m-1)j

, x

mj

)

dla wszystkich

n

cykli realizacji wielko

ś

ci

X

i

(i = 1,2,3,....m-1,m)

1. Okre

ś

lenie jawnej postaci funkcji:

2. Ustalenie rozkładów poszczególnych argumentów (zmiennych

X

1

, X

2

,..., X

m

)

3. Generowanie realizacji

x

ij

, dla poszczególnych wielko

ś

ci

X

i

(

j = 1,2,3,..., n-1,n

), gdzie np

. n = 10

6

4. Wyznaczenie warto

ś

ci

y

j

= f(x

1j

, x

2j

,..., x

(m-1)j

, x

mj

)

dla wszystkich

n

cykli realizacji wielko

ś

ci

X

i

(i = 1,2,3,....m-1,m)

)

,

,...,

,

(

2

1

m

X

X

X

f

Y

=

X

1

X

2

X

4

X

3

X

5

X

6

X

8

X

7

Metoda Monte Carlo

Y = X

1

X

2

+ X

3

X

4

+ X

5

X

6

+ X

7

X

8

y

1

=x

11

x

21

+ x

31

x

41

+ x

51

x

61

+ x

71

x

81

y

2

=x

12

x

22

+ x

32

x

42

+ x

52

x

62

+ x

72

x

82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y

n

=x

1n

x

2n

+ x

3n

x

4n

+ x

5n

x

6n

+ x

7n

x

8n

n = 10

6

Wyznaczanie rozkładu wynikowego metod

ą

symulacji komputerowej

(metod

ą

Monte Carlo):

5. Obliczenie warto

ś

ci

ś

redniej i odchylenia standardowego

eksperymentalnego oraz sporz

ą

dzenie histogramu,

na podstawie n-elementowego zbioru realizacji zmiennej

Y

,

6. Wyznaczenie przedziału, symetrycznego wzgl

ę

dem warto

ś

ci

ś

redniej,

w którym zawiera si

ę

95 % realizacji zmiennej

Y

,

7. Połowa tego przedziału b

ę

dzie niepewno

ś

ci

ą

rozszerzon

ą

.

5. Obliczenie warto

ś

ci

ś

redniej i odchylenia standardowego

eksperymentalnego oraz sporz

ą

dzenie histogramu,

na podstawie n-elementowego zbioru realizacji zmiennej

Y

,

6. Wyznaczenie przedziału, symetrycznego wzgl

ę

dem warto

ś

ci

ś

redniej,

w którym zawiera si

ę

95 % realizacji zmiennej

Y

,

7. Połowa tego przedziału b

ę

dzie niepewno

ś

ci

ą

rozszerzon

ą

.

X

1

X

2

X

4

X

3

X

5

X

6

X

8

X

7

Y

µ

Y

Metoda Monte Carlo

Wzór obliczeniowy

M

2

M

1

α

/2

α

d

l

2

2

2

2

2

2

2

1

2

d

d

l

d

M

d

M

tg

w

−

+













−

−

−

=

α













−

=

w

l

M

M

arctg

2

2

1

2

α

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Równanie pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka

(

) (

)













⋅

+

+

−

+

+

=

w

d

M

d

M

l

P

P

M

P

P

M

arctg

2

2

1

1

1

2

2

2

α

l

w

– długo

ść

stosu płytek wzorcowych

M

1

,

M

2

– długo

ś

ci pomiarowe zmierzone mikrometrem (mikrometrami)

P

M1

,

P

M2

– poprawki wskaza

ń

mikrometru (mikrometrów),

P

M1

= P

M2

= 0

P

d1

,

P

d2

– poprawki na bł

ą

d rozdzielczo

ś

ci mikrometru (mikrometrów),

P

d1

= P

d2

= 0

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Równanie niepewno

ś

ci standardowej zło

ż

onej

)

(

)]

(

)

(

)

(

[

)]

(

)

(

)

(

[

)

(

2

2

3

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

w

d

M

d

M

l

u

c

P

u

P

u

M

u

c

P

u

P

u

M

u

c

u

+

+

+

+

⋅

+

+

+

⋅

=

α

Przy zało

ż

eniach:

P

M1

= P

M2

= 0, P

d1

= P

d2

= 0

:

w

d

M

l

x

P

P

M

c

1

1

1

2

2

2

2

1

⋅

+

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

α

α

α

w

d

M

l

x

P

P

M

c

1

1

1

2

1

1

1

2

⋅

+

−

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

α

α

α

2

1

2

2

3

1

1

w

w

l

M

M

x

l

c

−

⋅

+

−

=

∂

∂

=

α

w

l

M

M

x

2

1

2

−

=

u(M

1

)

,

u(M

2

)

– n. st. zwi

ą

zana z rozrzutem wskaza

ń

mikromoetru

u(P

M1

)

,

u(P

M2

)

– n. st. zwi

ą

zane z poprawkami wskaza

ń

u(P

d1

)

,

u(P

d2

)

– n. st. zwi

ą

zane z poprawkami kompensuj

ą

cymi b

łę

dy rozdzielczo

ś

ci

u(l

w

)

– n. st. długo

ś

ci stosu płytek wzorcowych

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Dane do oblicze

ń

:

M

2

= 40,0055, u

A

(M

2

)= 1,13*10

-3

mm; -4 mm<P

2

< 4mm

M

1

= 25,4278, u

A

(M

1

)= 1,05*10

-3

mm; -4 mm<P

1

< 4mm

l

w

= (50,000 ± 0,001) mm

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Bud

ż

et niepewno

ś

ci pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka (wariant 1)

Symbol
Wielkości

Estymata
wielkości

Szerokość
połówkowa

Współcz.

rozrzutu

Niepewn
.
standard
.

Współcz.
wpływu

Składowe

niepewn.

złożonej

1

2

3

4

5

6

7

X

i

x

i

0,5R

i

k

*

u(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

M

2

40,0055

–

–

0,00113

0,0195838

2,213E-05

P

M2

0

0,004

1,7320508 0,002309 0,0195838

4,523E-05

M

1

25,4278

–

–

0,00105 -0,0195838 -2,056E-05

P

M1

0

0,004

1,7320508 0,002309 -0,0195838 -4,523E-05

l

w

50

0,001

2

0,0005

-0,0057097 -2,855E-06

0,289515

rad

–

–

–

–

7,079E-05

rad

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Bud

ż

et niepewno

ś

ci pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka (wariant 2)

Symbol
wielkości

Estymata
wielkości

Niepewność
standardowa

Rozkład
prawdopodo-
bieństwa

Współczyn
nik

wpływu

Składowe
niepewności
stand.
złożonej

1

2

3

4

5

6

X

i

x

ipop

u(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

M

2

40,0055

0,00113

normalny

0,0195838

2,213E-05

P

M2

0

0,002309

prostokątny

0,0195838

4,523E-05

M

1

25,4278

0,00105

normalny

-0,0195838

-2,056E-05

P

M1

0

0,002309

prostokątny

-0,0195838

-4,523E-05

l

w

50

0,0005

normalny

-0,0057097

-2,855E-06

0,2895146 rad

7,079E-05 rad

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Obliczenie niepewno

ś

ci rozszerzonej wg formuły:

U(Y) = 2u

c

(Y)

U(

α

) = 2 u(

α

) = 14,16*10

-5

rad = 29,2˝

≈

29˝

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Analiza rozkładów:

Główna składowa jest wypadkow

ą

dwóch rozkładów prostok

ą

tnych - ma rozkład Simpsona o

składowej niepewno

ś

ci standardowej zło

ż

onej wynosz

ą

cej 5,365*10

-5

rd, druga składowa o

rozkładzie normalnym charakteryzuje si

ę

składow

ą

niepewno

ś

ci standardowej zło

ż

onej

wynosz

ą

c

ą

2,44*10

-5

rd.

Wobec dominacji rozkładu trójk

ą

tnego uprawnione byłoby zastosowanie formuły:

U(Y) = 1,9*u

c

(Y)

U(

α

) = 1,9 u(

α

) = 13,45*10

-5

rad = 27,75˝

≈

28˝

Bezpieczne jest korzystanie z formuły:

U(Y) = 2u

c

(Y)

Wynik pomiaru:

α

= 16°35´ 17˝ ± 29˝

Niepewno

ść

pomiaru k

ą

ta sto

ż

ka zewn

ę

trznego za

pomoc

ą

wałeczków pomiarowych

Dzi

ę

kuj

ę

za uwag

ę

i zapraszam na dalsz

ą

cz

ęść

wykładu

Wyznaczanie niepewno

ś

ci rozszerzonej pomiaru