ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
(AWP)
Jednostka prowadz
ą
ca:
Instytut Metrologii i In
Ŝ
ynierii Biomedycznej
Autor programu:
dr in
Ŝ
. Jerzy Arendarski
Podstawowe kategorie
składowych wyniku pomiaru
i metody ich wyznaczania
Definicje
WYNIK POMIARU
– warto
ść
przypisana
wielko
ś
ci mierzonej, uzyskana drog
ą
pomiaru.
Całkowite wyra
Ŝ
enie wyniku pomiaru zawiera
dane dotycz
ą
ce
niepewno
ś
ci pomiaru
.
Definicje
WYNIK SUROWY
– wynik pomiaru przed
korekcj
ą
bł
ę
du systematycznego.
WYNIK POPRAWIONY
– wynik pomiaru po
korekcji bł
ę
du systematycznego.
Definicje
POPRAWKA
– warto
ść
dodana algebraicznie do
surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania
bł
ę
du systematycznego.
WSPÓŁCZYNNIK POPRAWKOWY
– współczynnik
liczbowy, przez który nale
Ŝ
y pomno
Ŝ
y
ć
surowy wynik
pomiaru, aby skompensowa
ć
bł
ą
d systematyczny.
Niepewno
ść
pomiaru
to parametr,
zwi
ą
zany z wynikiem pomiaru,
charakteryzuj
ą
cy rozrzut warto
ś
ci, które
mo
Ŝ
na w uzasadniony sposób przypisa
ć
wielko
ś
ci mierzonej.
Niepewno
ść
pomiaru to wynik post
ę
powania
maj
ą
cego na celu oszacowanie przedziału,
wewn
ą
trz którego znajduje si
ę
warto
ść
prawdziwa wielko
ś
ci mierzonej, zwykle z
dan
ą
wiarygodno
ś
ci
ą
.
Bł
ą
d pomiaru
to ró
Ŝ
nica mi
ę
dzy
wynikiem pomiaru wielko
ś
ci
ą
prawdziw
ą
wielko
ś
ci mierzonej
Wzory definicyjne bł
ę
du pomiaru,
bł
ę
du systematycznego pomiaru
i bł
ę
du przypadkowego pomiaru wielko
ś
ci X:
p
s
x
X
X
−
=
∆
X
x
X
p
s
∆
+
∆
=
∆
p
s
s
x
X
x
−
=
∆
s
s
p
X
X
X
−
=
∆
p
s
s
p
s
x
X
X
x
X
X
−
=
−
+
−
=
∆
p
s
x
X
−
Wielko
ść
o warto
ś
ci umownie prawdziwej x
up
, mierzona przez tego samego
laboranta, w porównywalnych warunkach pomiarowych, w ró
Ŝ
nych terminach, w
ramach badania kompetencji. Niepewno
ść
pomiaru wyznaczona zgodnie z
odpowiedni
ą
instrukcj
ą
, w obu przypadkach była taka sama i wynosiła U.
x
up
x
x
∆∆∆∆
x
1
x
1
-U
x
2
-U
x
1
x
1
+U
U
U
x
2
+U
x
2
U
U
Oba wyniki s
ą
wiarygodne, poniewa
Ŝ
warto
ść
„prawdziwa” le
Ŝ
y w wyznaczonych
przedziałach [x
1
- U, x
1
+ U] i [x
2
- U, x
2
+ U], ale warto
ś
ci bł
ę
dów pomiaru
∆∆∆∆
x
1
i
∆∆∆∆
x
2
s
ą
ró
Ŝ
ne co do warto
ś
ci jak i co i co do znaku.
Porównanie dwóch wyników pomiarów
Z powy
Ŝ
szego przykładu wynika,
Ŝ
e niepewno
ść
pomiaru okre
ś
la przewidywane
(przy wysokim poziomie ufno
ś
ci)
granice zmienno
ś
ci bł
ę
dów pomiarów,
których nie wyeliminowano z wyniku pomiaru.
Porównanie dwóch wyników pomiarów
Podstawow
ą
form
ą
eliminacji bł
ę
dów systematycznych
z wyniku pomiaru jest wprowadzanie poprawek,
zatem w najbardziej ogólnej postaci wynik obejmuje
trzy składowe:
gdzie:
-
wynik surowy;
-
sumaryczna poprawka, kompensuj
ą
ca
wyznaczalne bł
ę
dy systematyczne;
-
niepewno
ś
ci pomiaru.
)
(
)
(
Y
U
P
Y
Y
S
±
+
=
Σ
S
Y
Σ
P
)
(Y
U
Dla
pomiaru bezpo
ś
redniego
:
gdzie:
X
s
– wskazanie przyrz
ą
du lub
ś
rednia z serii wskaza
ń
,
P
i
– poprawki (wskaza
ń
, temperaturowa,....).
)
(
)
(
X
U
P
X
X
i
S
±
+
=
∑
Dla
pomiaru po
ś
redniego
, wielko
ść
mierzona Y
zale
Ŝ
y od wielu wielko
ś
ci wej
ś
ciowych i wpływaj
ą
cych:
wtedy, bior
ą
c pod uwag
ę
ogóln
ą
formuł
ę
:
i wzór na wynik poprawiony:
mo
Ŝ
na w pierwszej kolejno
ś
ci wyznaczy
ć
wynik surowy, obliczaj
ą
c:
a nast
ę
pnie poprawk
ę
sumaryczn
ą
:
)
,
,...,
,
(
2
1
m
X
X
X
f
Y
=
)
(
)
(
Y
U
P
Y
Y
S
±
+
=
Σ
)
(
Σ
+
=
P
Y
Y
S
pop
)
,
,...,
,
(
2
1
sm
s
s
s
X
X
X
f
Y
=
i
m
i
P
X
Y
P
∑
∂
∂
=
Σ
1
Inny sposób – wyznaczenie wyników poprawionych
wszystkich wielko
ś
ci wej
ś
ciowych:
a nast
ę
pnie wyznaczenie:
∑
+
=
i
s
pop
P
X
X
1
1
1
∑
+
=
i
s
pop
P
X
X
2
2
2
∑
+
=
i
s
pop
P
X
X
3
3
3
∑
+
=
mi
sm
popm
P
X
X
)
,
,...,
,
,
(
3
2
1
popm
pop
pop
pop
pop
X
X
X
X
f
Y
=
Argumenty funkcji
s
ą
zmiennymi losowymi, wi
ę
c wielko
ść
wynikowa równie
Ŝ
jest
zmienn
ą
losow
ą
.
Warto
ść
oczekiwana tej zmiennej, oblicza si
ę
podstawiaj
ą
c, do
jawnej postaci funkcji, argumenty równe warto
ś
ciom oczekiwanym:
)
,
,...,
,
,
(
3
2
1
popm
pop
pop
pop
pop
X
X
X
X
f
Y
=
)
,...,
,
,
(
3
2
1
xm
x
x
x
y
f
µ
µ
µ
µ
µ
=
Przybli
Ŝ
on
ą
warto
ść
wariancji tej zmiennej,
korzystaj
ą
c z rozwini
ę
cia funkcji w szereg Taylora,
wyznacza si
ę
ze wzoru:
gdzie:
u(X
i
) – niepewno
ś
ci standardowe wielko
ś
ci składowych
(cz
ą
stkowych),
u(X
i
,X
j
) – kowariancje.
∑∑
∑
−
=
=
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
1
1
1
1
2
2
2
)
,
(
2
)
(
)
(
m
i
m
j
j
i
j
i
m
i
i
i
c
X
X
u
X
f
X
f
X
u
X
f
Y
u
Kowariancja cov(X
i
, X
j
) = u(X
i
, X
j
) jest momentem centralnych drugiego
rz
ę
du, w rozkładzie dwuwymiarowym zmiennej (X
i
, X
j
), wyznaczanym
według formuły:
u(X
i
,X
j
) = E(X
i
- µ
i
) (X
j
- µ
j
)
dla i,j = 1, 2, …, m; i
≠
j.
Je
Ŝ
eli zmienne X
i
i X
j
s
ą
stochastycznie niezale
Ŝ
ne, to cov(X
i
, X
j
) = 0,
zatem gdy poszczególne argumenty w równaniu pomiaru s
ą
niezale
Ŝ
ne,
to składniki z kowariancjami b
ę
d
ą
zerowe, a wzór przyjmie posta
ć
:
∑
=
∂
∂
=
m
i
i
i
c
X
u
X
f
Y
u
1
2
2
2
)
(
)
(
Niepewno
ść
standardow
ą
zło
Ŝ
on
ą
u
c
(Y),
je
Ŝ
eli uprawnione jest zało
Ŝ
enie o niezale
Ŝ
no
ś
ci składowych,
oblicza si
ę
ze wzoru:
∑
=
∂
∂
=
m
i
i
i
c
X
u
X
f
Y
u
1
2
2
)
(
)
(
Przykład 1.
Pomiar długo
ś
ci zestawu dwóch elementów:
Równanie pomiaru:
Y = A + B
A
pop
= 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;
B
pop
= 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;
Przykład 1.
Pomiar długo
ś
ci zestawu dwóch elementów:
Równanie pomiaru:
Y = A + B
A
pop
= 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;
B
pop
= 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;
A
B
Y
Y
pop
= A
pop
+ B
pop
= 45,000 mm
U(Y) = 2 u
c
(Y) =0,007 mm
Y = (45,000 ± 0,007) mm
Y
pop
= A
pop
+ B
pop
= 45,000 mm
U(Y) = 2 u
c
(Y) =0,007 mm
Y = (45,000 ± 0,007) mm
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
B
u
B
Y
A
u
A
Y
Y
u
c
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
mm
mm
mm
B
u
A
u
Y
u
c
00353
,
0
)
0025
,
0
(
)
0025
,
0
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
=
+
=
+
=
Przykład 2.
Pomiar wymiaru mieszanego:
Równanie pomiaru:
Y = B – A
A
pop
= 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;
B
pop
= 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;
Przykład 2.
Pomiar wymiaru mieszanego:
Równanie pomiaru:
Y = B – A
A
pop
= 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;
B
pop
= 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;
A
B
Y
Y
pop
= B
pop
+ A
pop
= 12,230 mm
U(Y) = 2 u
c
(Y) =0,007 mm
Y = (12,230 ± 0,007) mm
Y
pop
= B
pop
+ A
pop
= 12,230 mm
U(Y) = 2 u
c
(Y) =0,007 mm
Y = (12,230 ± 0,007) mm
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
A
u
A
Y
B
u
B
Y
Y
u
c
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
mm
mm
mm
A
u
B
u
Y
u
c
00353
,
0
)
0025
,
0
(
)
0025
,
0
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
=
+
=
+
=
Przykład 3.
Pomiar pola przekroju płaskownika:
Równanie pomiaru:
Y = A * B
A
pop
= 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;
B
pop
= 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;
Przykład 3.
Pomiar pola przekroju płaskownika:
Równanie pomiaru:
Y = A * B
A
pop
= 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;
B
pop
= 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;
A
B
Y
pop
= A
pop
* B
pop
= 1000 mm
2
;
U(Y) = 2 u
c
(Y) =1,4 mm
2
Y = (1000,0 ± 1,4) mm
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
B
u
B
Y
A
u
A
Y
Y
u
c
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
B
A
Y
=
∂
∂
A
B
Y
=
∂
∂
70
,
0
025
,
0
00
,
20
01
,
0
00
,
50
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
B
u
A
A
u
B
Y
u
c
;
Przykład 4.
Pomiar przeło
Ŝ
enia d
ź
wigni dwuramiennej:
Równanie pomiaru:
A
pop
= 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
B
pop
= 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;
Przykład 4.
Pomiar przeło
Ŝ
enia d
ź
wigni dwuramiennej:
Równanie pomiaru:
A
pop
= 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
B
pop
= 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;
B
A
Y
=
A
B
U(Y) = 2 u
c
(Y) =0,10
Y = 10,00 ± 0,10
10
=
=
pop
pop
pop
B
A
Y
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
B
u
B
Y
A
u
A
Y
Y
u
c
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
1
mm
1
,
0
1
−
=
=
∂
∂
B
A
Y
1
2
1
−
−
=
−
=
∂
∂
mm
B
A
B
Y
05099
,
0
05
,
0
1
1
,
0
1
,
0
)
(
)
(
1
)
(
2
2
2
2
2
4
2
2
2
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
B
u
B
A
A
u
B
Y
u
c
;
Wpływ korelacji
OBLICZANIE NIEPEWNO
Ś
CI STANDARDOWEJ Z
Ł
O
ś
ONEJ, GDY COV(X
i
,X
j
)
>>
>>
>>
>>
0
( )
( )
(
)
j
i
j
1
m
1
i
m
1
i
j
i
i
2
2
m
1
i
i
2
c
X
,
X
u
X
f
X
f
2
X
u
X
f
Y
u
+
≅
∑ ∑
∑
−
=
+
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Wygodnie jest korzysta
ć
z zale
Ŝ
no
ś
ci:
u(X
i
,X
j
) = r(X
i
,X
j
) u(X
i
) u(X
j
)
Diagramy korelacji
Diagramy korelacji
Słaba pozytywna korelacja
Silna negatywna korelacja
X
1
X
2
X
1
X
2
Wpływ korelacji
Diagramy korelacji
Diagramy korelacji
Brak korelacji
X
1
X
2
Wpływ korelacji
x
1
16,2 15,4 13,8 18,0 15,1 17,3 16,8 15,0 15,9 16,5
x
2
32,4 30,8 27,6 36,0 30,2 34,6 33,6 30,0 31,8 33,0
y
48,6 46,2 41,4 54,0 45,3 51,9 50,4 45,0 47,7 49,5
Y=X
1
+X
2
Wyniki bada
ń
u(x
1
)=1,23
u(x
2
)=2,46
u(y)=3,69
02
,
3
)
)(
(
1
1
)
,
(
2
2
1
1
2
1
====
−−−−
−−−−
ΣΣΣΣ
−−−−
====
x
x
x
x
n
x
x
u
i
i
Wpływ korelacji
57
,
7
)
(
)
(
62
,
13
)
(
2
2
1
2
2
≈≈≈≈
++++
≠≠≠≠
≈≈≈≈
x
u
x
u
y
u
60
,
13
)
,
(
2
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
≈≈≈≈
++++
++++
x
x
u
x
u
x
u
)
,
(
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
2
x
x
u
x
u
x
u
y
u
++++
++++
====
Wpływ korelacji
25
27
29
31
33
35
37
14
15
16
17
18
19
Wpływ korelacji
x
1
2,85 3,39 4,39 2,62 3,72 1,99 2,75 4,52 4,05 4,60
x
2
3,92 2,72 2,63 3,79 3,09 2,03 3,58 3,15 4,10 2,49
y
6,77 6,11 7,02 6,41 6,81 4,02 6,33 7,67 8,15 7,09
Wyniki bada
ń
u(x
1
)=0,909
u(x
2
)=0,686
u(y)=1,11
14
,
1
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
≈≈≈≈
++++
====
x
u
x
u
y
u
Wpływ korelacji
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Wpływ korelacji
Przyk
ł
ad 1.
Wyznaczanie niepewno
ś
ci ró
Ŝ
nicy wskaza
ń
komparatora przy porównaniu wielko
ś
ci
mierzonej (wskazanie
b
)
ze wzorcem (wskazanie
a
)
h = b – a
Wpływ korelacji
Lp
a
i
b
i
1
a
1
b
1
2
a
2
b
2
...
...
...
...
...
...
n – 1
a
n-1
b
n-1
n
a
n
b
n
Wartość średnia
0,012
-0,185
Odchylenie standardowe
eksperymentalne
0,0160
0,0146
h = - 0,197
±±±±
U(h)
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
a
u
b
u
h
u
2
2
c
++++
====
(((( ))))
7
0,021
0,016
0,0146
h
u
2
2
c
====
++++
====
Wpływ korelacji
Lp
a
i
b
i
b
i
– a
i
1
a
1
b
1
b
1
– a
1
2
a
2
b
2
b
2
– a
2
...
...
...
...
...
...
...
...
n – 1
a
n-1
b
n-1
b
n-1
– a
n-1
n
a
n
b
n
b
1
– a
2
Wartość średnia
0,012
-0,185
-0,197
Odchylenie standardowe
eksperymentalne
0,0160
0,0146
0,0094
0,0217
≠≠≠≠
0,0094
Wpływ korelacji
Obliczamy wspó
ł
czynnik korelacji:
( )
( )
( ) ( )
81
,
0
=
=
b
u
a
u
b
a,
u
b
a,
r
>>
>>
>>
>>
0
i korzystamy ze wzoru:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
b
a,
2u
a
u
b
u
h
u
2
2
c
−−−−
++++
====
= 0,0095
0,0095
≈≈≈≈
0,0094
Wpływ korelacji
Przykład 2.
Przypadek pomiaru kilku mezurandów
(wielko
ś
ci wyj
ś
ciowych) jednocze
ś
nie -
równoczesny pomiar rezystancji i reaktancji:
Wpływ korelacji
Nr pomiaru
Wielkości wejściowe
k
V
(V)
I
(mA)
ϕϕϕϕ
(rad)
1
5,007
19,663
1,0456
2
4,994
19,639
1,0438
3
5,005
19,640
1,0468
4
4,990
19,685
1,0428
5
4,999
19,678
1,0433
Wartość średnia
4,9990
19,6610
1,04446
Odchylenie standardowe
eksperymentalne średniej
0,0032
0,0095
0,00075
Współczynniki korelacji
36
,
0
)
,
(
−−−−
====
I
V
r
86
,
0
)
,
(
====
ϕϕϕϕ
V
r
65
,
0
)
,
(
−−−−
====
ϕϕϕϕ
I
r
Wpływ korelacji
ϕϕϕϕ
cos
I
V
R
====
ϕϕϕϕ
sin
I
V
X
====
I
V
Z
====
)
(
)
(
1
)
(
2
2
2
2
2
2
I
u
I
V
V
u
I
Z
u
c
++++
====
= 0,204
2
= 0,237
2
=
−
+
+
=
)
,
(
)
(
)
(
1
2
)
(
)
(
1
)
(
2
2
2
2
2
2
2
I
V
r
I
u
V
u
I
V
I
I
u
I
V
V
u
I
Z
u
c
Wpływ korelacji
Nr pomiaru
Wielkości wyjściowe
k
R = (V/I)cos
ϕϕϕϕ
(
Ω
Ω
Ω
Ω
)
X = (V/I)sin
ϕϕϕϕ
(
Ω
Ω
Ω
Ω
)
Z = V/I
(
Ω
Ω
Ω
Ω
)
1
127,67
220,32
254,64
2
127,89
219,79
254,29
3
127,51
220,64
254,84
4
127,71
218,97
253,49
5
127,88
219,51
254,04
Wartość średnia
127,732
219,847
254,260
Odchylenie standardowe
eksperymentalne średniej
0,071
0,295
0,236
Wyniki oblicze
ń
warto
ś
ci wielko
ś
ci R, X i Z dla ka
Ŝ
dej z serii pomiarów
Wpływ korelacji
Y =X
1
+ X
2
)
,
(
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
2
X
X
u
X
u
X
u
Y
u
++++
++++
====
u(X
i
,X
j
) = r(X
i
,X
j
) u(X
i
) u(X
j
)
Pełna korelacja mi
ę
dzy wielko
ś
ciami X
1
i X
2
Wpływ korelacji
Je
Ŝ
eli:
r (X
1
, X
2
) = 1
u (X
1
, X
2
) = u(X
1
) u(X
2
)
To:
)
)(
(
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
2
X
X
u
X
u
X
u
Y
u
+
+
=
Wtedy:
Wpływ korelacji
((((
))))
2
2
1
2
)
(
)
(
)
(
X
u
X
u
Y
u
++++
====
Zatem:
Czyli:
)
(
)
(
)
(
2
1
X
u
X
u
Y
u
++++
====
Wpływ korelacji
Dzi
ę
kuj
ę
za uwag
ę
i zapraszam na dalsz
ą
cz
ęść
wykładu
Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru
i metody ich wyznaczania
UWAGA!
Poniewa
Ŝ
bł
ą
d systematyczny nie
mo
Ŝ
e by
ć
znany dokładnie,
kompensacja nie mo
Ŝ
e by
ć
zupełna.
X
1
X
2
X
4
X
3
X
5
X
6
X
8
X
7
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
NN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
1
4
3
2
1
1
1
1
4
1
3
1
2
1
1
1
4
1
4
44
43
42
41
3
1
3
34
33
32
31
2
1
2
24
23
22
21
1
1
1
14
13
12
11
...
...
...
...
...
...
(((( ))))
(((( ))))
((((
))))
j
i
j
N
i
N
i
j
i
i
N
i
i
c
x
x
u
x
f
x
f
x
u
x
f
y
u
,
2
1
1
1
2
2
1
2
++++
≅≅≅≅
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−−−−
====
++++
====
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
((((
))))
N
X
X
X
f
Y
,...,
,
2
1
====
Wp
ł
yw korelacji