ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

(AWP)

Jednostka prowadz

ą

ca:

Instytut Metrologii i In

ż

ynierii Biomedycznej

Autor programu:

dr in

ż

. Jerzy Arendarski

Podstawowe kategorie

składowych wyniku pomiaru

i metody ich wyznaczania

Definicje

WYNIK POMIARU

– warto

ść

przypisana

wielko

ś

ci mierzonej, uzyskana drog

ą

pomiaru.

Całkowite wyra

ż

enie wyniku pomiaru zawiera

dane dotycz

ą

ce

niepewno

ś

ci pomiaru

.

Definicje

WYNIK SUROWY

– wynik pomiaru przed

korekcj

ą

bł

ę

du systematycznego.

WYNIK POPRAWIONY

– wynik pomiaru po

korekcji bł

ę

du systematycznego.

Definicje

POPRAWKA

– warto

ść

dodana algebraicznie do

surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania

bł

ę

du systematycznego.

WSPÓŁCZYNNIK POPRAWKOWY

– współczynnik

liczbowy, przez który nale

ż

y pomno

ż

y

ć

surowy wynik

pomiaru, aby skompensowa

ć

bł

ą

d systematyczny.

Niepewno

ść

pomiaru

to parametr,

zwi

ą

zany z wynikiem pomiaru,

charakteryzuj

ą

cy rozrzut warto

ś

ci, które

mo

ż

na w uzasadniony sposób przypisa

ć

wielko

ś

ci mierzonej.

Niepewno

ść

pomiaru to wynik post

ę

powania

maj

ą

cego na celu oszacowanie przedziału,

wewn

ą

trz którego znajduje si

ę

warto

ść

prawdziwa wielko

ś

ci mierzonej, zwykle z

dan

ą

wiarygodno

ś

ci

ą

.

Bł

ą

d pomiaru

to ró

ż

nica mi

ę

dzy

wynikiem pomiaru wielko

ś

ci

ą

prawdziw

ą

wielko

ś

ci mierzonej

Wzory definicyjne bł

ę

du pomiaru,

bł

ę

du systematycznego pomiaru

i bł

ę

du przypadkowego pomiaru wielko

ś

ci X:

p

s

x

X

X

−

=

∆

X

x

X

p

s

∆

+

∆

=

∆

p

s

s

x

X

x

−

=

∆

s

s

p

X

X

X

−

=

∆

p

s

s

p

s

x

X

X

x

X

X

−

=

−

+

−

=

∆

p

s

x

X

−

Wielko

ść

o warto

ś

ci umownie prawdziwej x

up

, mierzona przez tego samego

laboranta, w porównywalnych warunkach pomiarowych, w ró

ż

nych terminach, w

ramach badania kompetencji. Niepewno

ść

pomiaru wyznaczona zgodnie z

odpowiedni

ą

instrukcj

ą

, w obu przypadkach była taka sama i wynosiła U.

x

up

x

x

∆∆∆∆

x

1

x

1

-U

x

2

-U

x

1

x

1

+U

U

U

x

2

+U

x

2

U

U

Oba wyniki s

ą

wiarygodne, poniewa

ż

warto

ść

„prawdziwa” le

ż

y w wyznaczonych

przedziałach [x

1

- U, x

1

+ U] i [x

2

- U, x

2

+ U], ale warto

ś

ci bł

ę

dów pomiaru

∆∆∆∆

x

1

i

∆∆∆∆

x

2

s

ą

ró

ż

ne co do warto

ś

ci jak i co i co do znaku.

Porównanie dwóch wyników pomiarów

Z powy

ż

szego przykładu wynika,

ż

e niepewno

ść

pomiaru okre

ś

la przewidywane

(przy wysokim poziomie ufno

ś

ci)

granice zmienno

ś

ci bł

ę

dów pomiarów,

których nie wyeliminowano z wyniku pomiaru.

Porównanie dwóch wyników pomiarów

Podstawow

ą

form

ą

eliminacji bł

ę

dów systematycznych

z wyniku pomiaru jest wprowadzanie poprawek,
zatem w najbardziej ogólnej postaci wynik obejmuje
trzy składowe:

gdzie:

-

wynik surowy;

-

sumaryczna poprawka, kompensuj

ą

ca

wyznaczalne bł

ę

dy systematyczne;

-

niepewno

ś

ci pomiaru.

)

(

)

(

Y

U

P

Y

Y

S

±

+

=

Σ

S

Y

Σ

P

)

(Y

U

Dla

pomiaru bezpo

ś

redniego

:

gdzie:

X

s

– wskazanie przyrz

ą

du lub

ś

rednia z serii wskaza

ń

,

P

i

– poprawki (wskaza

ń

, temperaturowa,....).

)

(

)

(

X

U

P

X

X

i

S

±

+

=

∑

Dla

pomiaru po

ś

redniego

, wielko

ść

mierzona Y

zale

ż

y od wielu wielko

ś

ci wej

ś

ciowych i wpływaj

ą

cych:

wtedy, bior

ą

c pod uwag

ę

ogóln

ą

formuł

ę

:

i wzór na wynik poprawiony:

mo

ż

na w pierwszej kolejno

ś

ci wyznaczy

ć

wynik surowy, obliczaj

ą

c:

a nast

ę

pnie poprawk

ę

sumaryczn

ą

:

)

,

,...,

,

(

2

1

m

X

X

X

f

Y

=

)

(

)

(

Y

U

P

Y

Y

S

±

+

=

Σ

)

(

Σ

+

=

P

Y

Y

S

pop

)

,

,...,

,

(

2

1

sm

s

s

s

X

X

X

f

Y

=

i

m

i

P

X

Y

P

∑

∂

∂

=

Σ

1

Inny sposób – wyznaczenie wyników poprawionych
wszystkich wielko

ś

ci wej

ś

ciowych:

a nast

ę

pnie wyznaczenie:

∑

+

=

i

s

pop

P

X

X

1

1

1

∑

+

=

i

s

pop

P

X

X

2

2

2

∑

+

=

i

s

pop

P

X

X

3

3

3

∑

+

=

mi

sm

popm

P

X

X

)

,

,...,

,

,

(

3

2

1

popm

pop

pop

pop

pop

X

X

X

X

f

Y

=

Argumenty funkcji

s

ą

zmiennymi losowymi, wi

ę

c wielko

ść

wynikowa równie

ż

jest

zmienn

ą

losow

ą

.

Warto

ść

oczekiwana tej zmiennej, oblicza si

ę

podstawiaj

ą

c, do

jawnej postaci funkcji, argumenty równe warto

ś

ciom oczekiwanym:

)

,

,...,

,

,

(

3

2

1

popm

pop

pop

pop

pop

X

X

X

X

f

Y

=

)

,...,

,

,

(

3

2

1

xm

x

x

x

y

f

µ

µ

µ

µ

µ

=

Przybli

ż

on

ą

warto

ść

wariancji tej zmiennej,

korzystaj

ą

c z rozwini

ę

cia funkcji w szereg Taylora,

wyznacza si

ę

ze wzoru:

gdzie:

u(X

i

) – niepewno

ś

ci standardowe wielko

ś

ci składowych

(cz

ą

stkowych),

u(X

i

,X

j

) – kowariancje.

∑∑

∑

−

=

=

=















∂

∂













∂

∂

+













∂

∂

=

1

1

1

1

2

2

2

)

,

(

2

)

(

)

(

m

i

m

j

j

i

j

i

m

i

i

i

c

X

X

u

X

f

X

f

X

u

X

f

Y

u

Kowariancja cov(X

i

, X

j

) = u(X

i

, X

j

) jest momentem centralnych drugiego

rz

ę

du, w rozkładzie dwuwymiarowym zmiennej (X

i

, X

j

), wyznaczanym

według formuły:

u(X

i

,X

j

) = E(X

i

- µ

i

) (X

j

- µ

j

)

dla i,j = 1, 2, …, m; i

≠

j.

Je

ż

eli zmienne X

i

i X

j

s

ą

stochastycznie niezale

ż

ne, to cov(X

i

, X

j

) = 0,

zatem gdy poszczególne argumenty w równaniu pomiaru s

ą

niezale

ż

ne,

to składniki z kowariancjami b

ę

d

ą

zerowe, a wzór przyjmie posta

ć

:

∑

=













∂

∂

=

m

i

i

i

c

X

u

X

f

Y

u

1

2

2

2

)

(

)

(

Niepewno

ść

standardow

ą

zło

ż

on

ą

u

c

(Y),

je

ż

eli uprawnione jest zało

ż

enie o niezale

ż

no

ś

ci składowych,

oblicza si

ę

ze wzoru:

∑

=













∂

∂

=

m

i

i

i

c

X

u

X

f

Y

u

1

2

2

)

(

)

(

Przykład 1.

Pomiar długo

ś

ci zestawu dwóch elementów:

Równanie pomiaru:

Y = A + B

A

pop

= 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;

B

pop

= 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;

Przykład 1.

Pomiar długo

ś

ci zestawu dwóch elementów:

Równanie pomiaru:

Y = A + B

A

pop

= 20,000 mm; u(A) = 0,0025 mm;

B

pop

= 25,000 mm; u(B) = 0,0025 mm;

A

B

Y

Y

pop

= A

pop

+ B

pop

= 45,000 mm

U(Y) = 2 u

c

(Y) =0,007 mm

Y = (45,000 ± 0,007) mm

Y

pop

= A

pop

+ B

pop

= 45,000 mm

U(Y) = 2 u

c

(Y) =0,007 mm

Y = (45,000 ± 0,007) mm

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

B

u

B

Y

A

u

A

Y

Y

u

c

⋅













∂

∂

+

⋅













∂

∂

=

mm

mm

mm

B

u

A

u

Y

u

c

00353

,

0

)

0025

,

0

(

)

0025

,

0

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

=

+

=

+

=

Przykład 2.

Pomiar wymiaru mieszanego:

Równanie pomiaru:

Y = B – A

A

pop

= 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;

B

pop

= 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;

Przykład 2.

Pomiar wymiaru mieszanego:

Równanie pomiaru:

Y = B – A

A

pop

= 11,245 mm; u(A) = 0,0025 mm;

B

pop

= 23,475 mm; u(B) = 0,0025 mm;

A

B

Y

Y

pop

= B

pop

+ A

pop

= 12,230 mm

U(Y) = 2 u

c

(Y) =0,007 mm

Y = (12,230 ± 0,007) mm

Y

pop

= B

pop

+ A

pop

= 12,230 mm

U(Y) = 2 u

c

(Y) =0,007 mm

Y = (12,230 ± 0,007) mm

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

A

u

A

Y

B

u

B

Y

Y

u

c

⋅













∂

∂

+

⋅













∂

∂

=

mm

mm

mm

A

u

B

u

Y

u

c

00353

,

0

)

0025

,

0

(

)

0025

,

0

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

=

+

=

+

=

Przykład 3.

Pomiar pola przekroju płaskownika:

Równanie pomiaru:

Y = A * B

A

pop

= 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;

B

pop

= 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;

Przykład 3.

Pomiar pola przekroju płaskownika:

Równanie pomiaru:

Y = A * B

A

pop

= 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;

B

pop

= 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;

A

B

Y

pop

= A

pop

* B

pop

= 1000 mm

2

;

U(Y) = 2 u

c

(Y) =1,4 mm

2

Y = (1000,0 ± 1,4) mm

2

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

B

u

B

Y

A

u

A

Y

Y

u

c

⋅













∂

∂

+

⋅













∂

∂

=

B

A

Y

=

∂

∂

A

B

Y

=

∂

∂

70

,

0

025

,

0

00

,

20

01

,

0

00

,

50

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

B

u

A

A

u

B

Y

u

c

;

Przykład 4.

Pomiar przeło

ż

enia d

ź

wigni dwuramiennej:

Równanie pomiaru:

A

pop

= 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;

B

pop

= 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;

Przykład 4.

Pomiar przeło

ż

enia d

ź

wigni dwuramiennej:

Równanie pomiaru:

A

pop

= 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;

B

pop

= 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;

B

A

Y

=

A

B

U(Y) = 2 u

c

(Y) =0,10

Y = 10,00 ± 0,10

10

=

=

pop

pop

pop

B

A

Y

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

B

u

B

Y

A

u

A

Y

Y

u

c

⋅













∂

∂

+

⋅













∂

∂

=

1

mm

1

,

0

1

−

=

=

∂

∂

B

A

Y

1

2

1

−

−

=

−

=

∂

∂

mm

B

A

B

Y

05099

,

0

05

,

0

1

1

,

0

1

,

0

)

(

)

(

1

)

(

2

2

2

2

2

4

2

2

2

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

B

u

B

A

A

u

B

Y

u

c

;

Wpływ korelacji

OBLICZANIE NIEPEWNO

Ś

CI STANDARDOWEJ Z

Ł

O

ś

ONEJ, GDY COV(X

i

,X

j

)

>>

>>

>>

>>

0

( )

( )

(

)

j

i

j

1

m

1

i

m

1

i

j

i

i

2

2

m

1

i

i

2

c

X

,

X

u

X

f

X

f

2

X

u

X

f

Y

u



























+













≅

∑ ∑

∑

−

=

+

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Wygodnie jest korzysta

ć

z zale

ż

no

ś

ci:

u(X

i

,X

j

) = r(X

i

,X

j

) u(X

i

) u(X

j

)

Diagramy korelacji

Diagramy korelacji

Słaba pozytywna korelacja

Silna negatywna korelacja

X

1

X

2

X

1

X

2

Wpływ korelacji

Diagramy korelacji

Diagramy korelacji

Brak korelacji

X

1

X

2

Wpływ korelacji

x

1

16,2 15,4 13,8 18,0 15,1 17,3 16,8 15,0 15,9 16,5

x

2

32,4 30,8 27,6 36,0 30,2 34,6 33,6 30,0 31,8 33,0

y

48,6 46,2 41,4 54,0 45,3 51,9 50,4 45,0 47,7 49,5

Y=X

1

+X

2

Wyniki bada

ń

u(x

1

)=1,23

u(x

2

)=2,46

u(y)=3,69

02

,

3

)

)(

(

1

1

)

,

(

2

2

1

1

2

1

====

−−−−

−−−−

ΣΣΣΣ

−−−−

====

x

x

x

x

n

x

x

u

i

i

Wpływ korelacji

57

,

7

)

(

)

(

62

,

13

)

(

2

2

1

2

2

≈≈≈≈

++++

≠≠≠≠

≈≈≈≈

x

u

x

u

y

u

60

,

13

)

,

(

2

)

(

)

(

2

1

2

2

1

2

≈≈≈≈

++++

++++

x

x

u

x

u

x

u

)

,

(

2

)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

1

2

2

x

x

u

x

u

x

u

y

u

++++

++++

====

Wpływ korelacji

25

27

29

31

33

35

37

14

15

16

17

18

19

Wpływ korelacji

x

1

2,85 3,39 4,39 2,62 3,72 1,99 2,75 4,52 4,05 4,60

x

2

3,92 2,72 2,63 3,79 3,09 2,03 3,58 3,15 4,10 2,49

y

6,77 6,11 7,02 6,41 6,81 4,02 6,33 7,67 8,15 7,09

Wyniki bada

ń

u(x

1

)=0,909

u(x

2

)=0,686

u(y)=1,11

14

,

1

)

(

)

(

)

(

2

2

1

2

≈≈≈≈

++++

====

x

u

x

u

y

u

Wpływ korelacji

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Wpływ korelacji

Przyk

ł

ad 1.

Wyznaczanie niepewno

ś

ci ró

ż

nicy wskaza

ń

komparatora przy porównaniu wielko

ś

ci

mierzonej (wskazanie

b

)

ze wzorcem (wskazanie

a

)

h = b – a

Wpływ korelacji

Lp

a

i

b

i

1

a

1

b

1

2

a

2

b

2

...

...

...

...

...

...

n – 1

a

n-1

b

n-1

n

a

n

b

n

Wartość średnia

0,012

-0,185

Odchylenie standardowe

eksperymentalne

0,0160

0,0146

h = - 0,197

±±±±

U(h)

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

a

u

b

u

h

u

2

2

c

++++

====

(((( ))))

7

0,021

0,016

0,0146

h

u

2

2

c

====

++++

====

Wpływ korelacji

Lp

a

i

b

i

b

i

– a

i

1

a

1

b

1

b

1

– a

1

2

a

2

b

2

b

2

– a

2

...

...

...

...

...

...

...

...

n – 1

a

n-1

b

n-1

b

n-1

– a

n-1

n

a

n

b

n

b

1

– a

2

Wartość średnia

0,012

-0,185

-0,197

Odchylenie standardowe

eksperymentalne

0,0160

0,0146

0,0094

0,0217

≠≠≠≠

0,0094

Wpływ korelacji

Obliczamy wspó

ł

czynnik korelacji:

( )

( )

( ) ( )

81

,

0

=

=

b

u

a

u

b

a,

u

b

a,

r

>>

>>

>>

>>

0

i korzystamy ze wzoru:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

b

a,

2u

a

u

b

u

h

u

2

2

c

−−−−

++++

====

= 0,0095

0,0095

≈≈≈≈

0,0094

Wpływ korelacji

Przykład 2.

Przypadek pomiaru kilku mezurandów

(wielko

ś

ci wyj

ś

ciowych) jednocze

ś

nie -

równoczesny pomiar rezystancji i reaktancji:

Wpływ korelacji

Nr pomiaru

Wielkości wejściowe

k

V

(V)

I

(mA)

ϕϕϕϕ

(rad)

1

5,007

19,663

1,0456

2

4,994

19,639

1,0438

3

5,005

19,640

1,0468

4

4,990

19,685

1,0428

5

4,999

19,678

1,0433

Wartość średnia

4,9990

19,6610

1,04446

Odchylenie standardowe

eksperymentalne średniej

0,0032

0,0095

0,00075

Współczynniki korelacji

36

,

0

)

,

(

−−−−

====

I

V

r

86

,

0

)

,

(

====

ϕϕϕϕ

V

r

65

,

0

)

,

(

−−−−

====

ϕϕϕϕ

I

r

Wpływ korelacji

ϕϕϕϕ

cos

I

V

R

====

ϕϕϕϕ

sin

I

V

X

====

I

V

Z

====

)

(

)

(

1

)

(

2

2

2

2

2

2

I

u

I

V

V

u

I

Z

u

c













++++













====

= 0,204

2

= 0,237

2

=













−













+













+













=

)

,

(

)

(

)

(

1

2

)

(

)

(

1

)

(

2

2

2

2

2

2

2

I

V

r

I

u

V

u

I

V

I

I

u

I

V

V

u

I

Z

u

c

Wpływ korelacji

Nr pomiaru

Wielkości wyjściowe

k

R = (V/I)cos

ϕϕϕϕ

(

Ω

Ω

Ω

Ω

)

X = (V/I)sin

ϕϕϕϕ

(

Ω

Ω

Ω

Ω

)

Z = V/I

(

Ω

Ω

Ω

Ω

)

1

127,67

220,32

254,64

2

127,89

219,79

254,29

3

127,51

220,64

254,84

4

127,71

218,97

253,49

5

127,88

219,51

254,04

Wartość średnia

127,732

219,847

254,260

Odchylenie standardowe

eksperymentalne średniej

0,071

0,295

0,236

Wyniki oblicze

ń

warto

ś

ci wielko

ś

ci R, X i Z dla ka

ż

dej z serii pomiarów

Wpływ korelacji

Y =X

1

+ X

2

)

,

(

2

)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

1

2

2

X

X

u

X

u

X

u

Y

u

++++

++++

====

u(X

i

,X

j

) = r(X

i

,X

j

) u(X

i

) u(X

j

)

Pełna korelacja mi

ę

dzy wielko

ś

ciami X

1

i X

2

Wpływ korelacji

Je

ż

eli:

r (X

1

, X

2

) = 1

u (X

1

, X

2

) = u(X

1

) u(X

2

)

To:

)

)(

(

2

)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

1

2

2

X

X

u

X

u

X

u

Y

u

+

+

=

Wtedy:

Wpływ korelacji

((((

))))

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

X

u

X

u

Y

u

++++

====

Zatem:

Czyli:

)

(

)

(

)

(

2

1

X

u

X

u

Y

u

++++

====

Wpływ korelacji

Dzi

ę

kuj

ę

za uwag

ę

i zapraszam na dalsz

ą

cz

ęść

wykładu

Podstawowe kategorie składowych wyniku pomiaru

i metody ich wyznaczania

UWAGA!

Poniewa

ż

bł

ą

d systematyczny nie

mo

ż

e by

ć

znany dokładnie,

kompensacja nie mo

ż

e by

ć

zupełna.

X

1

X

2

X

4

X

3

X

5

X

6

X

8

X

7

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)













































−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

NN

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

1

4

3

2

1

1

1

1

4

1

3

1

2

1

1

1

4

1

4

44

43

42

41

3

1

3

34

33

32

31

2

1

2

24

23

22

21

1

1

1

14

13

12

11

...

...

...

...

...

...

(((( ))))

(((( ))))

((((

))))

j

i

j

N

i

N

i

j

i

i

N

i

i

c

x

x

u

x

f

x

f

x

u

x

f

y

u

,

2

1

1

1

2

2

1

2



























++++













≅≅≅≅

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−−−−

====

++++

====

====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

((((

))))

N

X

X

X

f

Y

,...,

,

2

1

====

Wp

ł

yw korelacji