ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

(AWP)

Jednostka prowadz

ą

ca:

Instytut Metrologii i In

ż

ynierii Biomedycznej

Autor programu:

dr in

ż

. Jerzy Arendarski

Metody szacowania niepewno

ś

ci

standardowych cz

ą

stkowych i zło

ż

onych

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)













































−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

mm

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

1

4

3

2

1

1

1

1

4

1

3

1

2

1

1

1

4

1

4

44

43

42

41

3

1

3

34

33

32

31

2

1

2

24

23

22

21

1

1

1

14

13

12

11

...

...

...

...

...

...

( )

( )

(

)

j

i

j

m

i

m

i

j

i

i

m

i

i

c

x

x

u

x

f

x

f

x

u

x

f

y

u

,

2

1

1

1

2

2

1

2



























+













≅

∑ ∑

∑

−

=

+

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(

)

m

X

X

X

f

Y

,...,

,

2

1

=

Niepewno

ść

standardowa zło

ż

ona

Metoda typu A (metoda statystyczna)

- obliczanie niepewno

ś

ci

standardowej na podstawie analizy serii pojedynczych obserwacji:

Na podstawie

n

wyników

(x

1

, x

2

, ... x

n-1

, x

n

)

oblicza si

ę

odchylenie

standardowe eksperymentalne ze wzoru:

( )

1

2

−

∑

−

=















n

x

i

x

x

s

u (x) = s(x)

n

x

u(

x

u

)

=













Metoda typu A

(

)

( )

X

u

k

P

X

X

p

p

Σ

s

±

+

=

(

)

( )

1

p

p

Σ

s

n

/

X

u

k

P

X

X

±

+

=

(

)

( )

X

u

k

P

X

X

ν

p,

Σ

s

±

+

=

Metoda typu A

Metoda typu A

Metoda typu A

„Je

ż

eli laboratorium pomiarowe ma do

ść

czasu i

ś

rodków, mo

ż

e

prowadzi

ć

wyczerpuj

ą

ce badania statystyczne wszystkich mo

ż

liwych

przyczyn niepewno

ś

ci, stosuj

ą

c na przyk

ł

ad wiele ró

ż

nych

konstrukcji i rodzajów przyrz

ą

dów pomiarowych, stosuj

ą

c ró

ż

ne

metody pomiaru, ró

ż

ne ich realizacje i ró

ż

ne aproksymacje ich

teoretycznych modeli. Niepewno

ś

ci powi

ą

zane ze wszystkimi

przyczynami mog

ą

wtedy by

ć

obliczone drog

ą

statystycznej analizy

serii obserwacji i ka

ż

da z nich mo

ż

e by

ć

scharakteryzowana przez

statystycznie obliczone odchylenie standardowe.

Metoda typu A

Metoda typu A

Dla estymaty

x

i

wielko

ś

ci

X

i

, nie wyznaczanej z powtarzalnych

obserwacji, estymat

ę

jej wariancji u

2

(x

i

)

albo niepewno

ść

standardow

ą

u(x

i

) okre

ś

la si

ę

na drodze analizy naukowej opartej

na wszystkich dost

ę

pnych informacjach o mo

ż

liwej zmienno

ś

ci

X

i

.

Zestaw tych informacji mo

ż

e obejmowa

ć

:

poprzednie dane pomiarowe;

posiadane do

ś

wiadczenie wraz z ogóln

ą

znajomo

ś

ci

ą

zjawisk i

w

ł

a

ś

ciwo

ś

ci odpowiednich materiałów i przyrz

ą

dów;

specyfikacje wytwórców;

dane uzyskane z kalibracji i certyfikacji;

niepewno

ś

ci przypisane danym odniesienia zaczerpni

ę

tym z

podr

ę

czników.

Metoda typu B

Metoda typu B

Przykład 1.

Na podstawie poprzednich danych pomiarowych

W sprawozdaniu podano,

ż

e długo

ść

wahadła wynosi L = (92,95 ± 0,10) cm

oraz

ż

e niepewno

ść

rozszerzon

ą

wyznaczono na poziomie ufno

ś

ci 1-

α

=0,95, przy zastosowaniu współczynnika rozszerzenia k = 2.

)

(L

U

L

+

)

(L

U

L

−

L

2

)

(

)

(

L

U

L

u

=

Metoda typu B - przykłady

Przykład 2.

Na podstawie posiadanego do

ś

wiadczenia wraz z ogóln

ą

znajomo

ś

ci

ą

zjawisk i

wła

ś

ciwo

ś

ci odpowiednich materiałów i przyrz

ą

dów

Do wyznaczenia poprawki temperaturowej potrzebny jest współczynnik
rozszerzalno

ś

ci cieplnej płytki wzorcowej, niestety w dost

ę

pnych materiałach jego

warto

ść

nie jest podana. Do

ś

wiadczony metrolog przyjmuje,

ż

e:

α

δ

α

δ

α

δ

29

,

0

3

2

)

=

=

u(

2

α

δ

α

+

α

1

6

10

)

5

,

1

5

,

11

(

−

−

⋅

±

=

K

α

1

6

1

6

10

866

,

0

3

10

5

,

1

)

(

−

−

−

−

⋅

=

⋅

=

K

K

u

α

2

α

δ

α

−

Metoda typu B - przykłady

Przykład 4.

Na podstawie danych uzyskanych z kalibracji i certyfikacji

Ze

ś

wiadectwa wzorcowania wynika,

ż

e bł

ę

dy wskaza

ń

przyrz

ą

du nie

przekraczaj

ą

dopuszczalnych warto

ś

ci granicznych MPE (± E

g

)

3

)

g

E

g

E

u(

=

0

g

E

+

g

E

−

W

Metoda typu B - przykłady

Przykład 5.

Niepewno

ść

zwi

ą

zana z rozdzielczo

ś

ci

ą

przyrz

ą

du,

δ

x

x

x

δδδδ

δδδδ

δδδδ

29

,

0

3

2

)

====

====

x

u(

2

x

X

δδδδ

++++

2

x

X

δδδδ

−−−−

X

Metoda typu B - przykłady

( )

( )

i

2

2

m

1

i

X

u

X

f

Y

u

∑













=

∂

∂

( )

( )

( )

( )

2

m

m

2

2

2

2

2

2

1

1

2

X

X

u

γ

...

X

X

u

β

X

X

u

α

Y

Y

u













+

+













+













=

γ

m

β

2

α

1

...X

X

aX

Y

=

Niepewno

ść

standardowa zło

ż

ona

Przykład 1.

Pomiar przyspieszenia ziemskiego g przy wykorzystaniu wahadła matematycznego

g

L

T

π

2

=

st

ą

d

2

2

4

T

L

g

π

=

)

(

04

,

979

2

g

U

s

cm

g

±

=

Wyniki pomiarów bezpo

ś

rednich:

L= (92,95 ± 0,10)cm

T= (1,936 ± 0,004)s

1-

α

=0,95

Przykłady obliczania niepewno

ś

ci pomiaru

dwoma sposobami

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

T

u

T

g

L

u

L

g

g

u













∂∂∂∂

∂∂∂∂

++++













∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

2

2

2

2

2

2

1

5329

,

10

936

,

1

4

4

s

s

T

L

g

====

⋅⋅⋅⋅

====

====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

ππππ

ππππ

3

3

3

2

3

2

4

,

1011

936

,

1

95

,

92

8

8

s

cm

s

cm

T

L

T

g

====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

ππππ

ππππ

u(L) = 0,05 cm

u(T) = 0,002s

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przyspieszenia ziemskiego - sposób I

09

,

2

002

,

0

4

,

1011

05

,

0

5329

,

10

)

(

2

2

2

2

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

g

u

2

09

,

2

)

(

s

cm

g

u

====

2

2

4

18

,

4

)

(

s

cm

s

cm

g

U

≈≈≈≈

====

2

)

4

979

(

s

cm

g

±±±±

====

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przyspieszenia ziemskiego - sposób I

2

2

2

)

(

2

)

(

)

(













++++













====

T

T

u

L

L

u

g

g

u

054

,

0

)

(

====

L

L

u

%

10

,

0

)

(

====

T

T

u

%

213

,

0

103

,

0

4

054

,

0

)

(

2

2

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

g

g

u

%

2

2

09

,

2

00213

,

0

979

)

(

s

cm

s

cm

g

u

====

⋅⋅⋅⋅

====

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przyspieszenia ziemskiego - sposób II

2

4

)

(

s

cm

g

U

≈≈≈≈

2

)

4

979

(

s

cm

g

±±±±

====

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przyspieszenia ziemskiego - sposób II

Na poprzednim wykładzie niepewno

ść

standardow

ą

zło

ż

on

ą

obliczono ze wzoru:

I otrzymano wynik ko

ń

cowy:

Y = (1000,0 ± 1,4) mm

2

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

B

u

B

Y

A

u

A

Y

Y

u

c

⋅













∂

∂

+

⋅













∂

∂

=

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

pola przekroju - sposób I

Przykład 2.

Pomiar pola przekroju płaskownika:

A

B

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

pola przekroju - sposób I

Równanie pomiaru:

Y = A * B

A = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;

B = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;

Y = A * B = 1000 mm

2

u

c

(Y) = 1000 mm

2

*0,000707=0,707 mm

2

U

c

(Y) 2* u

c

(Y)=1,4 mm

2

Otrzymujemy taki sam wynik:

Y = (1000,0 ± 1,4) mm

2

2

2

)

(

)

(

)

(













+













=

B

B

u

A

A

u

Y

Y

u

c

%

05

,

0

)

(

=

A

A

u

%

05

,

0

)

(

=

B

B

u

000707

,

0

%

0707

,

0

%)

05

,

0

(

%)

05

,

0

(

)

(

2

2

=

=

+

=

Y

Y

u

c

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

pola przekroju - sposób II

Przykład 3: Pomiar przeło

ż

enia d

ź

wigni dwuramiennej:

Równanie pomiaru:

A = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
B = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;

A

B

B

A

Y

=

10

=

=

B

A

Y

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przeło

ż

enia d

ź

wigni- sposób I

Na poprzednim wykładzie niepewno

ść

standardow

ą

zło

ż

on

ą

obliczono ze wzoru:

i otrzymano wynik ko

ń

cowy:

Y = 10,00 ± 0,10

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

B

u

B

Y

A

u

A

Y

Y

u

c

⋅













∂

∂

+

⋅













∂

∂

=

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przeło

ż

enia d

ź

wigni- sposób I

2

2

)

(

)

(

)

(













+













=

B

B

u

A

A

u

Y

Y

u

c

%

1

,

0

)

(

=

A

A

u

%

5

,

0

)

(

=

B

B

u

005099

,

0

%

5099

,

0

%)

5

,

0

(

%)

1

,

0

(

)

(

2

2

=

=

+

=

Y

Y

u

c

Obliczenie niepewno

ś

ci pomiaru

przeło

ż

enia d

ź

wigni- sposób II

u

c

(Y) = 10*0,005099=0,05099

U

c

(Y) 2* u

c

(Y)=0,10

Otrzymujemy taki sam wynik:

Y = 10,00 ± 0,10

(

)

m

X

X

X

f

Y

,...,

,

2

1

=

( )

( )

i

2

2

m

1

i

X

u

X

f

Y

u

∑













=

∂

∂

Bud

ż

et niepewno

ś

ci pomiaru

Wielkość

Oszaco-
wanie

Szerokość
połówkowa

Wsp.
rozrzutu

Niepewn.
standard.

Wsp.
wp

ł

ywu

Składowe niep.

złoż

.

1

2

3

4

5

6

7

X

i

x

i

0,5R

i

k

*

i

u

B

(X

i

)

c

i

u

i

(Y)

X

1

x

1

-

-

u

A

(X

1

)

c

1

u

1

(Y)

X-

2

x

2

-

-

u

A

(X

2

)

c

2

u

2

(Y)

X

3

x

3

0,5R

3

k

*

3

u

B

(X

3

)

c

3

u

3

(Y)

...

...

...

...

...

...

...

X

m

x

m

0,5R

m

k

*

m

u

B

(X

m

)

c

m

u

m

(Y)

Y

y

u

c

(Y)

U(Y) = k u

c

(Y)

Bud

ż

et niepewno

ś

ci pomiaru

Niepewno

ść

standardow

ą

u

B

(X

i

) oblicza si

ę

ze wzoru

(((( ))))

i

i

i

B

k

a

X

u

*

====

Udzia

ł

y poszczególnych niepewno

ś

ci cz

ą

stkowych w niepewno

ś

ci

z

ł

o

ż

onej wyznacza si

ę

ze wzoru:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

i

i

i

i

i

X

u

X

Y

X

u

c

Y

u

⋅⋅⋅⋅

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

⋅⋅⋅⋅

====

Niepewno

ść

standardow

ą

z

ł

o

ż

on

ą

oblicza si

ę

korzystaj

ą

c ze wzoru:

( )

∑

=

m

1

2

i

)

(Y

u

Y

u

Bud

ż

et niepewno

ś

ci pomiaru

1. Równanie pomiaru:

P

P

P

W

X

ws

rw

w

+

+

+

=

2. Równanie niepewno

ś

ci standardowej zło

ż

onej:

( )

)

(P

u

)

(P

u

)

(P

u

(W)

u

X

u

ws

2

rw

2

w

2

2

+

+

+

=

2

2

2

)













+













=

w

k

w

U(E

3

E

)

u(P

)

U(P

P

w

w

±

3. Niepewno

ść

standardowa poprawki wskazania:

3

E

)

u(P

g

w

=

2

)

U(P

)

u(P

w

w

=

Przykład post

ę

powania przy obliczaniu

niepewno

ś

ci pomiaru bezpo

ś

redniego

4. Niepewno

ść

standardowa poprawki kompensuj

ą

cej bł

ą

d

rozdzielczo

ś

ci

5. Niepewno

ść

standardowa poprawki temperaturowej

3

2

d

)

u(P

rw

=

2

d

P

rw

±

=

0

)

(

)

(

t

u

W

P

u

t

δ

α

⋅

=

Przykład

Kontrola wału, którego

ś

rednica powinna nale

ż

e

ć

do przedziału

[183,900 mm; 184,000 mm]

Pomiar

ś

rednicy mikrometrem: W = 183,955 mm

Przykład post

ę

powania przy obliczaniu

niepewno

ś

ci pomiaru bezpo

ś

redniego

t

αδ

W

P

P

W

X

rw

w

+

+

+

=

2

.

Równanie niepewno

ś

ci standardowej zło

ż

onej:

( )

)

(

u

c

)

(

u

c

)

(P

u

c

)

(P

u

c

(W)

u

c

X

u

2

2

5

2

2

4

rw

2

2

3

w

2

2

2

2

2

1

t

δ

α

+

+

+

+

=

1. Równanie pomiaru:

1

=

=

=

3

2

1

c

c

c

0

=

=

t

W

δ

4

c

α

W

=

5

c

Współczynniki wpływu:

Przykład post

ę

powania przy obliczaniu

niepewno

ś

ci pomiaru bezpo

ś

redniego

Wielko

ść

Estymata

Szeroko

ść

połówkowa

Wspó

ł

.

rozrzutu

Niepewn.
standard.

Wsp.
wpływu

Sk

ł

adowe

niep. zło

ż

.

1

2

3

4

5

6

7

X

i

x

i

0,5R

i

k

*

i

u (X

i

)

c

i

u

i

(Y)

W

183,955

-

-

0,0012

1

0,0012

P

w

0

0,007

0,004

1

0,004

P

w

0

P

rw

0

0,0005

0,0003

1

0,0003

δt

0

3

1,73

0,00213

0,0037

D

183,955

0,00559

U

(D) = k u

c

(D) = 0,01118 mm

≈

0,011 mm; D = (183,955 ± 0, 011) mm

3

3

3

Przykład post

ę

powania przy obliczaniu

niepewno

ś

ci pomiaru bezpo

ś

redniego

Dzi

ę

kuj

ę

za uwag

ę

i zapraszam na dalsz

ą

cz

ęść

wykładu

U(X

s

)

U(X

s

)

U(X)

U(X)

x

s

x

x

x

s