METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIŃ

TECHNICZNYCH

w-6

MT_SS - w 6

1

Zagadnienia statycznie wyznaczalne

Układ konstrukcyjny jest statycznie wyznaczalny, jeżeli
liczba reakcji wywołanych więzami oraz liczba innych
warunków geometrycznych jest równa liczbie stopni
swobody, jakie ciału sztywnemu lub układowi
mechanicznemu należy odebrać dla jego
unieruchomienia.

Jeśli liczba niewiadomych reakcji jest większa od liczby
równań równowagi wynikających ze statyki, wówczas taki
układ jest układem statycznie niewyznaczalnym.

MT_SS - w 6

2

Przestrzenny zbieżny układ sił

Tok postępowania:

1. Określić czy badany układ jest układem prostym (jedną

bryłą), czy też złożonym (kilka brył połączonych).

2. Ustalić analizowany obiekt rozważań, którego

równowagę chcemy poddać analizie i wyodrębnić go z
całej konstrukcji.

3. Ustalić rodzaje więzów i ich oddziaływanie.

4. W przypadku układu złożonego należy myślowo rozdzielić

cały układ na układy proste (jednobryłowe) posługując
się metodą przecięć, a w miejscach przecięć dołożyć
równoważące się tzw. zerowe dwójki sił).

MT_SS - w 6

3

5. Określić czy badany układ jest układem prostym (jedną

bryłą), czy też złożonym (kilka brył połączonych).

6. Ustalić rodzaj układu sił działających na ciało.

7. Przyjąć odpowiedni układ współrzędnych (układ

odniesienia) najwygodniejszy do rozwiązania
rozpatrywanego przykładu.

8. W miejscu podpór nanieść odpowiednie reakcje.

9. Ułożyć odpowiednie równania równowagi.

MT_SS - w 6

4

10. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu sił.

11. Rozwiązać sformułowany układ równań, wyznaczając

występujące w nim niewiadome.

12. Podać i sprawdzić wymiary wyznaczonych wielkości.

13. Przeprowadzić analizę rozpatrywanego zagadnienia i w

miarę potrzeb skorygować zwroty wyznaczonych sił.

14. Sprawdzić poprawność obliczeń.

MT_SS - w 6

5

Przykład

Ciało o ciężarze Q = 10

3

kN podwieszone jest na wiotkiej

nieważkiej linie, przerzuconej przez beztarciowy krążek A,
którego drugi koniec nawinięty jest na bęben B.

Ściana, do której przymocowane są przeguby prętów, jest
pionowa.

Poszczególne pręty tworzą z pionową ścianą kąty:
α = 45

o

, β = 60

o

, γ = 15

o

.

Obliczyć siły występujące w zamocowanych przegubowo
prętach 1, 2, 3.

Dane: Q = 10

3

kN,

α = 45

o

,

β = 60

o

,

γ = 15

o

MT_SS - w 6

6

MT_SS - w 6

7

Rozwiązanie

1. Wyodrębniamy myślowo krążek A (przegub A) wraz ze

schodzącymi się w tym przegubie cięgnami

MT_SS - w 6

8

2. Uzewnętrzniamy siły wewnętrzne występujące w

poszczególnych prętach i cięgnach.

•

napięcie w linie przerzuconej przez krążek A jest jednakowe
na całej długości liny i równe Q,

•

pomijamy siły tarcia występujące w układzie.

MT_SS - w 6

9

3. Na plan sił nanosimy układ współrzędnych Oxyz.

MT_SS - w 6

10

4. Ustalamy

i

układamy

warunki

równowagi

sił

występujących w rozważanym węźle.

.

0

sin

cos

;

0

.

3

,

0

cos

sin

sin

sin

;

0

.

2

,

0

cos

cos

;

0

.

1

3

5

1

3

2

1

5

1

2

1

5

1

























































Q

Q

R

F

Q

R

R

R

F

R

R

F

i

i

i

i

i

i

z

y

x

















MT_SS - w 6

11

5. Rozwiązujemy układ równań , uwzględniając, iż

δ = 30

o

– 15

o

= 15

o

, otrzymując









.

cos

sin

1

3

2

,

)

sin

1

(

2

2

1

3























Q

R

R

Q

R

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

.

521

,

2

,

86

,

0

3

2

1

kN

R

kN

R

R







Odpowiedź

:

• w prętach 1, 2 i 3 występują siły o założonych zwrotach,
• w prętach skrajnych występują takie same wartości napięcia.

MT_SS - w 6

12

Złożone układy konstrukcyjne – z połączeniami

przegubowymi

Tok postępowania:

1. Ustalić i nanieść na schemat obliczeniowy rozważanej konstrukcji:

•

siły zewnętrzne czynne (

wielkości, zwroty, linie działania

),

•

zastąpić działania więzów reakcjami.

2. Przyjąć najbardziej korzystnie usytuowany układ osi

współrzędnych.

3. Rozłożyć nieznane co do kierunku reakcje więzów na

odpowiednie składowe.

4. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu.

MT_SS - w 6

13

5. Rozpatrzyć, czy rozważany układ można traktować jako jedno

ciało sztywne.

6. W razie potrzeby dokonać rozdzielenia układu w miejscach

przegubów.

7. Ułożyć równania równowagi dla każdego wydzielonego ciała

wyznaczając wartości nieznanych wielkości.

8. Obliczyć wartości i kierunki reakcji występujących w

poszczególnych więzach.

9. Sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń.

MT_SS - w 6

14

Przykłady

Zad 1.

Wyznaczyć reakcje występujące w podporach belki

obciążonej:

• trzema skupionymi siłami pionowymi F

1

, F

2

, F

3

oraz

• obciążeniem ciągłym q.

Dane: F

1

= 200 N, F

2

= 300 N, F

3

= 400 N, q = 0,5 kN/m, a = c

= 1,5 m, b = 1 m, d = 2 m, L = 8 m, α = 30

o

.

MT_SS - w 6

15

Rozwiązanie

1. Rozpatrujemy równowagę belki.

2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy (

w miejscu w

którym występuje największa liczba niewiadomych

).

3. Obliczamy wypadkową Q obciążenia ciągłego

Q = q·d = 0,5·2 = 1,0 kN = 1000 N.

MT_SS - w 6

16

4. Zastępujemy oddziaływanie podpór A i B reakcjami.

podpora
przegubowo
nieprzesuwna

podpora
przegubowo
przesuwna

MT_SS - w 6

17

5. Ustalamy i układamy równania równowagi dla

rozpatrywanego układu sił działających na belkę.

















.

0

5

,

0

sin

;

0

.

3

,

0

sin

;

0

.

2

,

0

cos

;

0

.

1

3

2

1

3

2

1

2









































































d

L

Q

d

L

R

c

b

a

F

b

a

F

a

F

M

Q

R

F

F

F

Y

F

F

X

F

B

i

B

A

i

A

i

A

y

x







MT_SS - w 6

18

6. Rozwiązując powyższy układ 3 równań z trzema

niewiadomymi otrzymujemy poszukiwane wartości
reakcji.

.

5

,

1012

,

5

,

62

,

8

,

259

N

R

N

Y

N

X

B

A

A







Znaki „+” przy obliczonych wartościach reakcji świadczą o tym, że
zwroty tych sił są takie, jakie założono.

7. Obliczamy wartości reakcji RA (

podpora przegubowo stała

).

.

2

,

267

5

,

62

8

,

259

,

2

2

2

2

kN

R

Y

X

R

A

A

A

A











MT_SS - w 6

19

8. Kąt nachylenia reakcji R

A

względem osi x.

'.

31

13

,

2406

,

0

8

,

259

5

,

62

,

















tg

X

Y

tg

A

A

Na rysunku belki nanosimy położenie reakcji R

A

występującej w podporze A.

MT_SS - w 6

20

9. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń.

Obliczamy sumę momentów wszystkich sił względem
dowolnego punktu, innego niż ten, który wystąpił w
zastosowanych warunkach równowagi, np. względem punktu B.





























0

5

,

0

sin

;

0

3

2

1

















































d

Q

c

b

a

d

L

F

b

a

d

L

F

a

d

L

F

d

L

Y

M

A

i

B



Po podstawieniu danych liczbowych dotyczących sił,
obliczonych reakcji oraz wymiarów belki otrzymujemy

375 + 900 + 525 – 800 – 1000 = 0

stąd

0 = 0

Wniosek: Zadanie zostało rozwiązane poprawnie.

MT_SS - w 6

21

Zad 1.

Dwie belki AC i CD połączone są przegubem w

punkcie

C.

Wyznaczyć

reakcje

podporowe,

przy

następujących danych:

• F = 2 kN, P = 3 kN, α = 60

o

, a = 1 m.

Na ćwiczenia rachunkowe

MT_SS - w 6

22

Zad 2.

Dwie belki AC i CD połączone są przegubem w

punkcie C. Wyznaczyć siłę przenoszoną przez przegub C, dla
danych jak w poprzednim zadaniu.

• F = 2 kN, P = 3 kN, α = 60

o

, a = 1 m.

MT_SS - w 6

23