METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIŃ
TECHNICZNYCH
w-6
MT_SS - w 6
1
Zagadnienia statycznie wyznaczalne
Układ konstrukcyjny jest statycznie wyznaczalny, jeżeli
liczba reakcji wywołanych więzami oraz liczba innych
warunków geometrycznych jest równa liczbie stopni
swobody, jakie ciału sztywnemu lub układowi
mechanicznemu należy odebrać dla jego
unieruchomienia.
Jeśli liczba niewiadomych reakcji jest większa od liczby
równań równowagi wynikających ze statyki, wówczas taki
układ jest układem statycznie niewyznaczalnym.
MT_SS - w 6
2
Przestrzenny zbieżny układ sił
Tok postępowania:
1. Określić czy badany układ jest układem prostym (jedną
bryłą), czy też złożonym (kilka brył połączonych).
2. Ustalić analizowany obiekt rozważań, którego
równowagę chcemy poddać analizie i wyodrębnić go z
całej konstrukcji.
3. Ustalić rodzaje więzów i ich oddziaływanie.
4. W przypadku układu złożonego należy myślowo rozdzielić
cały układ na układy proste (jednobryłowe) posługując
się metodą przecięć, a w miejscach przecięć dołożyć
równoważące się tzw. zerowe dwójki sił).
MT_SS - w 6
3
5. Określić czy badany układ jest układem prostym (jedną
bryłą), czy też złożonym (kilka brył połączonych).
6. Ustalić rodzaj układu sił działających na ciało.
7. Przyjąć odpowiedni układ współrzędnych (układ
odniesienia) najwygodniejszy do rozwiązania
rozpatrywanego przykładu.
8. W miejscu podpór nanieść odpowiednie reakcje.
9. Ułożyć odpowiednie równania równowagi.
MT_SS - w 6
4
10. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu sił.
11. Rozwiązać sformułowany układ równań, wyznaczając
występujące w nim niewiadome.
12. Podać i sprawdzić wymiary wyznaczonych wielkości.
13. Przeprowadzić analizę rozpatrywanego zagadnienia i w
miarę potrzeb skorygować zwroty wyznaczonych sił.
14. Sprawdzić poprawność obliczeń.
MT_SS - w 6
5
Przykład
Ciało o ciężarze Q = 10
3
kN podwieszone jest na wiotkiej
nieważkiej linie, przerzuconej przez beztarciowy krążek A,
którego drugi koniec nawinięty jest na bęben B.
Ściana, do której przymocowane są przeguby prętów, jest
pionowa.
Poszczególne pręty tworzą z pionową ścianą kąty:
α = 45
o
, β = 60
o
, γ = 15
o
.
Obliczyć siły występujące w zamocowanych przegubowo
prętach 1, 2, 3.
Dane: Q = 10
3
kN,
α = 45
o
,
β = 60
o
,
γ = 15
o
MT_SS - w 6
6
MT_SS - w 6
7
Rozwiązanie
1. Wyodrębniamy myślowo krążek A (przegub A) wraz ze
schodzącymi się w tym przegubie cięgnami
MT_SS - w 6
8
2. Uzewnętrzniamy siły wewnętrzne występujące w
poszczególnych prętach i cięgnach.
•
napięcie w linie przerzuconej przez krążek A jest jednakowe
na całej długości liny i równe Q,
•
pomijamy siły tarcia występujące w układzie.
MT_SS - w 6
9
3. Na plan sił nanosimy układ współrzędnych Oxyz.
MT_SS - w 6
10
4. Ustalamy
i
układamy
warunki
równowagi
sił
występujących w rozważanym węźle.
.
0
sin
cos
;
0
.
3
,
0
cos
sin
sin
sin
;
0
.
2
,
0
cos
cos
;
0
.
1
3
5
1
3
2
1
5
1
2
1
5
1
Q
Q
R
F
Q
R
R
R
F
R
R
F
i
i
i
i
i
i
z
y
x
MT_SS - w 6
11
5. Rozwiązujemy układ równań , uwzględniając, iż
δ = 30
o
– 15
o
= 15
o
, otrzymując
.
cos
sin
1
3
2
,
)
sin
1
(
2
2
1
3
Q
R
R
Q
R
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:
.
521
,
2
,
86
,
0
3
2
1
kN
R
kN
R
R
Odpowiedź
:
• w prętach 1, 2 i 3 występują siły o założonych zwrotach,
• w prętach skrajnych występują takie same wartości napięcia.
MT_SS - w 6
12
Złożone układy konstrukcyjne – z połączeniami
przegubowymi
Tok postępowania:
1. Ustalić i nanieść na schemat obliczeniowy rozważanej konstrukcji:
•
siły zewnętrzne czynne (
wielkości, zwroty, linie działania
),
•
zastąpić działania więzów reakcjami.
2. Przyjąć najbardziej korzystnie usytuowany układ osi
współrzędnych.
3. Rozłożyć nieznane co do kierunku reakcje więzów na
odpowiednie składowe.
4. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu.
MT_SS - w 6
13
5. Rozpatrzyć, czy rozważany układ można traktować jako jedno
ciało sztywne.
6. W razie potrzeby dokonać rozdzielenia układu w miejscach
przegubów.
7. Ułożyć równania równowagi dla każdego wydzielonego ciała
wyznaczając wartości nieznanych wielkości.
8. Obliczyć wartości i kierunki reakcji występujących w
poszczególnych więzach.
9. Sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń.
MT_SS - w 6
14
Przykłady
Zad 1.
Wyznaczyć reakcje występujące w podporach belki
obciążonej:
• trzema skupionymi siłami pionowymi F
1
, F
2
, F
3
oraz
• obciążeniem ciągłym q.
Dane: F
1
= 200 N, F
2
= 300 N, F
3
= 400 N, q = 0,5 kN/m, a = c
= 1,5 m, b = 1 m, d = 2 m, L = 8 m, α = 30
o
.
MT_SS - w 6
15
Rozwiązanie
1. Rozpatrujemy równowagę belki.
2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy (
w miejscu w
którym występuje największa liczba niewiadomych
).
3. Obliczamy wypadkową Q obciążenia ciągłego
Q = q·d = 0,5·2 = 1,0 kN = 1000 N.
MT_SS - w 6
16
4. Zastępujemy oddziaływanie podpór A i B reakcjami.
podpora
przegubowo
nieprzesuwna
podpora
przegubowo
przesuwna
MT_SS - w 6
17
5. Ustalamy i układamy równania równowagi dla
rozpatrywanego układu sił działających na belkę.
.
0
5
,
0
sin
;
0
.
3
,
0
sin
;
0
.
2
,
0
cos
;
0
.
1
3
2
1
3
2
1
2
d
L
Q
d
L
R
c
b
a
F
b
a
F
a
F
M
Q
R
F
F
F
Y
F
F
X
F
B
i
B
A
i
A
i
A
y
x
MT_SS - w 6
18
6. Rozwiązując powyższy układ 3 równań z trzema
niewiadomymi otrzymujemy poszukiwane wartości
reakcji.
.
5
,
1012
,
5
,
62
,
8
,
259
N
R
N
Y
N
X
B
A
A
Znaki „+” przy obliczonych wartościach reakcji świadczą o tym, że
zwroty tych sił są takie, jakie założono.
7. Obliczamy wartości reakcji RA (
podpora przegubowo stała
).
.
2
,
267
5
,
62
8
,
259
,
2
2
2
2
kN
R
Y
X
R
A
A
A
A
MT_SS - w 6
19
8. Kąt nachylenia reakcji R
A
względem osi x.
'.
31
13
,
2406
,
0
8
,
259
5
,
62
,
tg
X
Y
tg
A
A
Na rysunku belki nanosimy położenie reakcji R
A
występującej w podporze A.
MT_SS - w 6
20
9. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń.
Obliczamy sumę momentów wszystkich sił względem
dowolnego punktu, innego niż ten, który wystąpił w
zastosowanych warunkach równowagi, np. względem punktu B.
0
5
,
0
sin
;
0
3
2
1
d
Q
c
b
a
d
L
F
b
a
d
L
F
a
d
L
F
d
L
Y
M
A
i
B
Po podstawieniu danych liczbowych dotyczących sił,
obliczonych reakcji oraz wymiarów belki otrzymujemy
375 + 900 + 525 – 800 – 1000 = 0
stąd
0 = 0
Wniosek: Zadanie zostało rozwiązane poprawnie.
MT_SS - w 6
21
Zad 1.
Dwie belki AC i CD połączone są przegubem w
punkcie
C.
Wyznaczyć
reakcje
podporowe,
przy
następujących danych:
• F = 2 kN, P = 3 kN, α = 60
o
, a = 1 m.
Na ćwiczenia rachunkowe
MT_SS - w 6
22
Zad 2.
Dwie belki AC i CD połączone są przegubem w
punkcie C. Wyznaczyć siłę przenoszoną przez przegub C, dla
danych jak w poprzednim zadaniu.
• F = 2 kN, P = 3 kN, α = 60
o
, a = 1 m.
MT_SS - w 6
23