TWIERDZENIA STATYKI – REDUKCJE UKŁADU SIŁ

w-4

MT_SS - w 4

1

1. Każdą siłę działającą na ciało sztywne możemy

przesunąć do dowolnie wybranego punktu 0
przykładając parę sił o momencie równym
momentowi siły względem punktu 0.

MT_SS - w 4

2

2. Dowolny układ sił działających na ciało sztywne

zastąpić możemy siłą R przyłożoną do dowolnie
wybranego

środka

redukcji

0

równą

sumie

geometrycznej wszystkich sił układu oraz parą sił o
momencie

M

0

równym

sumie

geometrycznej

momentów tych sił względem środka 0.





































 





n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

M

P

r

M

P

R

1

1

0

1

0

Zadanie domowe

Nr 1

MT_SS - w 4

3

R – wektor główny
M

0

– moment główny względem punktu 0.

uwaga:

• wektor główny nie zależy od wyboru punktu 0
• moment główny jest zależny od wyboru punktu 0

MT_SS - w 4

4

W przypadku gdy znane są składowe sił w prostokątnym
układzie współrzędnych, składowe wektora głównego i
momentu głównego znajdujemy z następujących zależności:





R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

P

R

P

R

P

R

z

y

x

z

y

x

n

i

i

z

n

i

iy

y

n

i

i

x

z

x































1

1

1

2

/

1

2

2

2

1

1

1

cos

,

cos

,

cos

,

,

,

,







MT_SS - w 4

5

















,

cos

,

cos

,

cos

,

,

,

0

0

2

0

0

2

0

0

2

2

/

1

2

0

2

0

2

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

y

P

x

P

M

M

x

P

z

P

M

M

z

P

y

P

M

M

z

y

n

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

x

z

y

x

x

y

z

z

z

x

y

y

y

z

x

x









































































α

1

,

β

1

,

γ

1

– kąty, jakie wektor R tworzy z osiami współrzędnych

α

2

,

β

2

,

γ

2

– kąty, jakie wektor M tworzy z osiami współrzędnych

x

i

, y

i

, z

i

– współrzędne punktu przyłożenia siły P

i

MT_SS - w 4

6

Działania na wektorach

(ćwiczenia nr 1)

1. Cechy wektora i skalara

2.

Układ odniesienia

3.

Dodawanie wektorów

4.

Rozkładanie wektorów

5. Wektor przeciwny

Edmund Wittbrodt, Stefan Sawiak, Mechanika

ogólna, teoria i zadania, WPG, Gdańsk 2010

MT_SS - w 4

7

6.

Odejmowanie wektorów

7.

Mnożenie wektora przez skalar

8.

Rzut wektora na oś

9. Wektor jednostkowy

10. Wersory

11.

Analityczny zapis wektora w układzie płaskim

12.

Analityczny zapis wektora w układzie przestrzennym

13.

Dodawanie i odejmowanie analityczne wektorów

MT_SS - w 4

8

14.

Analityczne mnożenie wektora przez skalar

15.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

16.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

17.

Moment wektora względem punktu

18.

Moment wektora względem osi

19. Pochodna wektora opisanego w nieruchomym

układzie odniesienia, względem czasu

20.

Pochodna wektora opisanego w ruchomym układzie

odniesienia, względem czasu

MT_SS - w 4

9

3. Dowolny układ sił działających na ciało sztywne

możemy zastąpić siłą równą wektorowi głównemu R
oraz parą sił o płaszczyźnie prostopadłej do linii
działania siły R.

• Układ taki nazywamy

SKRĘTNIKIEM

, a otrzymujemy go

poprzez odpowiedni wybór punktu redukcji 0.

• Linię działania siły R wchodzącej w skład skrętnika

nazywa się

OSIĄ CENTRALNĄ

.

MT_SS - w 4

10

4. Układ sił działających na ciało sztywne możemy

zredukować do jednej siły wypadkowej R w przypadku,
gdy moment główny tego układu sił jest prostopadły do
wektora głównego.

MT_SS - w 4

11

5. W przypadku gdy układ sił redukuje się do siły

wypadkowej,

moment

wypadkowej

względem

dowolnego punktu równy jest sumie geometrycznej
momentów wszystkich sił układu względem tego
samego punktu, zaś moment wypadkowej względem
dowolnej osi równy jest sumie momentów sił układu
względem tejże osi.

















































n

i

ix

x

n

i

i

M

R

M

M

R

M

1

1

0

,

0

MT_SS - w 4

12

6. W przypadku gdy wektor główny jest równy zero,
tzn.

,

sprowadzając układ sił do dowolnego punktu 0
otrzymujemy parę sił o momencie równym momentowi
głównemu układu.

0

1









n

i

i

P











n

i

i

M

M

1

0

0

MT_SS - w 4

13

Przypadki redukcji układu sił działających na ciało sztywne

Przypadek R ≠ 0, M

0

= 0 mieści się w ramach przypadku 2,

gdyż wówczas punkt 0 leży po prostu na linii działania
wypadkowej.

Lp.

R, M

0

Układ redukuje się do

1.

R ≠ 0, M

0

≠ 0

siły i pary sił

2.

R ≠ 0, M

0

R

jednej siły wypadkowej

3.

R = 0, M

0

≠ 0

jednej pary sił

4.

R = 0, M

0

= 0

sił znajdujących się w
równowadze

MT_SS - w 4

14

METODA GRAFICZNA

Wypadkowa sił

W zbieżnym układzie sił wartość liczbową wypadkowej,
nachylenie jej prostej działania oraz zwrot wyznaczamy
konstruując wielobok sił. Położenie wypadkowej w
planie sił wyznacza punkt zbieżności, przez który
wypadkowa ta musi przechodzić.

MT_SS - w 4

15

W

układzie niezbieżnym nie ma takiego punktu, przez który

przechodziłyby wszystkie siły, wobec czego ustalenie położenia
wypadkowej w planie

sił sprowadza się do wyznaczenia tego

punktu, przez

który ta wypadkowa przejdzie.

Wyznaczamy

wypadkową kolejno za pomocą oddzielnych

równoległoboków sił, składając ze sobą poszczególne siły
przecinające się.

MT_SS - w 4

16

Inny sposób wyznaczania w planie sił punktu, przez który

przechodzi wypadkowa

• dowolną liczbę sił zamieniamy na dwie siły przecinające

się w dowolnie wybranym punkcie 0 planu sił zwanym
biegunem

• punkt przecięcia się sił składowych będzie szukanym

punktem, przez który przejdzie wypadkowa

MT_SS - w 4

17

Przykład

: układ 3 sił P

1

, P

2

, P

3

1. Wartość liczbowa, nachylenie i zwrot wypadkowej

wyznaczamy z wieloboku sił – tak jak dla zbieżnego
układu sił.

MT_SS - w 4

18

2. Obieramy w wieloboku sił dowolny punkt 0 i rozkładamy

siły P

1

, P

2

, P

3

w ten sposób, aby wszystkie składowe

tych sił przechodziły przez biegun.

MT_SS - w 4

19

3. Modyfikujemy wielobok sił, zastępując kolejne siły P

1

,

P

2

, P

3

ich składowymi (1,2; -2,3; -3,4).

• układ sił P

1

, P

2

, P

3

zastąpiony został siłami 1 i 4

• Siły te są składowymi wypadkowej W układu sił P

1

, P

2

, P

3

.

MT_SS - w 4

20

• Siły 2, -2 i 3, -3 znoszą się, zatem siły P

1

, P

2

, P

3

zastąpione zostały siłami 1, 4 przecinającymi się w
punkcie A, przez który przejdzie wypadkowa W, której
linię działania przenosimy równolegle z wieloboku sił.