TWIERDZENIA STATYKI – WYPADKOWE UKŁADU SIŁ 

w-3 

Metody rozwiązywania zagadnień statyki 

 

• analityczna (wynik dokładniejszy i szybszy) 
• graficzna (poglądowa) 

MT_SS - w 3 

1 

 

 

Metoda analityczna dla

: 

 

• Przestrzennego dowolnego układu sił 

 

• Dowolnego układu sił 

Cel statyki 

 

• zastępowanie jednego układu sił innym układem 

równoważnym, w tym układem złożonym z: 

 

– jednej siły i 
– jednej pary sił 

MT_SS - w 3 

2 

redukcja do: 
siły i momentu wypadkowego 

 

• badanie warunków , jakie musi spełniać układ 

sił, aby ciało będące pod jego działaniem było w 
równowadze, 

w 3, 4 

w 5 

Twierdzenia  

MT_SS - w 3 

3 

1. Dowolny  układ  sił  przyłożonych  do  jednego  punktu  

zastąpić  możemy  jedną  siłą  wypadkową  W  przyłożoną 
w  tym  punkcie  i  równą  sumie  geometrycznej  sił 
układu. Rzuty wypadkowej na osie xyz kartezjańskiego 
układu  współrzędnych  są  sumami  rzutów  sił 
składowych na te osie. 

W

1

 

W

2

 

W 

MT_SS - w 3 

4 

MT_SS - w 3 

5 

n

i

P

k

P

j

P

i

P

W

n

i

iz

iy

ix

n

i

i

,...,

2

,

1

,

1

1















































iz

iy

ix

i

P

k

P

j

P

i

P





























































n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

n

i

i

P

k

P

j

P

i

P

W

1

1

1

1

MT_SS - w 3 

6 

W układzie xyz wektor wypadkowy można zapisać jako 

z

y

x

i

W

k

W

j

W

i

W





















zatem z porównania 



















n

i

iz

z

n

i

iy

y

n

i

ix

x

P

W

P

W

P

W

1

1

1

,

,

wartość bezwzględna wypadkowej 





2

1

2

2

2









z

y

x

W

W

W

W

MT_SS - w 3 

7 

2. Moment  M

0 

względem  dowolnego  punktu    0 

wypadkowej W układu sił P

1

, P

2

, …P

n

 równy jest sumie 

momentów M

10

, M

20

, …,M

n0

 sił składowych względem 

tego punktu. 

















n

i

i

n

i

i

M

M

M

M

1

1

0

0

0

0

,

MT_SS - w 3 

8 

3. Dowolny  niezbieżny  układ  sił  zastąpić  możemy  jedną  siłą 

wypadkową  W,  której  wartość  liczbową,  nachylenie  i 
zwrot wyznaczymy tak samo jak dla układu zbieżnego, zaś 
położenie „ɑ” wypadkowej względem początku przyjętego 
układu współrzędnych określimy z zależności 

W

M

a

0



MT_SS - w 3 

9 

Moment poszczególnych sił wyznaczamy obierając układ osi 
xy  i  obliczając  momenty  sił  składowych  względem  początku 
układu 0 

Wartość bezwzględna 

 

 M

oi

 = P

i

 

· ɑ

i 

lub za pomocą sił składowych 
 

 M

oi

 = P

ix

·y

i

 

– P

iy

·x

i

 

 

ɑ

i 

MT_SS - w 3 

10 

Moment wypadkowej układu n sił

 























n

i

i

i

i

i

n

i

i

x

P

y

P

M

M

x

x

1

1

0

0

(

±) 

„+” oznacza, że moment wypadkowej jest prawoskrętny 

 

„-” oznacza, że moment wypadkowej jest lewoskrętny 

Ponadto:

 

x

y

W

W

tg





ponieważ:

 

a

W

M





0

zatem:

 

W

M

a

0



W zależności od znaku momentu wypadkowej, odmierzamy 
ramię „    ” wypadkowej z odpowiedniej strony początku 0 
układu współrzędnych 

a

MT_SS - w 3 

11 

4. Moment M

z

 siły P względem osi z równy jest rzutowi na tę 

oś  momentu  M

0

  danej  siły  względem  dowolnego  punktu 

leżącego na tejże osi. 

M

z

 

z 

M

0

 

M

0z 

MT_SS - w 3 

12 

MT_SS - w 3 

13 

Znając składowe siły P oraz współrzędne jej punktu 
przyłożenia określające składowe wektora promienia tej siły  

 

określimy 

 

momenty siły P względem osi układu współrzędnych x, y, z 

 

y

x

x

y

z

x

z

z

x

y

z

y

y

z

x

r

P

r

P

M

Mz

r

P

r

P

M

M

r

P

r

P

M

M

y

x































0

0

0

MT_SS - w 3 

14 

5. Suma  momentów  sił  pary  względem  dowolnego  punktu 

nie zależy od wyboru tego punktu i równa jest momentowi 
pary. 

2

0

1

0

,

h

P

M

h

P

M















ponieważ:

 

a

h

h





2

1

zatem:

 





M

a

P

h

h

P

M

M





















2

1

0

0

MT_SS - w 3 

15 

6. Pary  sił  o  tej  samej  płaszczyźnie  działania  i  równych 

momentach są sobie statycznie równoważne. 

MT_SS - w 3 

16 

W pojęciu pary sił: 

 

• nieistotne

 są zatem 

siła

 i 

ramię 

• Istotny 

jest

 moment

  

 

dlatego pary oznaczamy wężykiem wskazującym skręt pary 

Wektor momentu pary jest 

wektorem swobodnym

, zatem 

można go równolegle przemieszczać w płaszczyźnie 
prostopadłej do płaszczyzny działania sił. 

MT_SS - w 3 

17 

7. Wypadkowa dwóch par sił jest parą o momencie równym 

sumie momentów par składowych. 

MT_SS - w 3 

18 

8. Wypadkowa pary i siły leżącej w jej płaszczyźnie równa 

jest tej sile przesuniętej równolegle tak, że moment siły 
przesuniętej  względem  jej  pierwotnego  punktu 
przyłożenia równy jest momentowi pary. 

9. Pary  sił  działające  w  płaszczyznach  równoległych  i  o 

równych momentach są sobie statycznie równoważne. 

MT_SS - w 3 

19 

10. Suma  geometryczna  momentów  względem  dowolnego 

punktu 0 sił tworzących parę równa jest momentowi tej 
pary. 

























P

r

M

P

r

M

2

0

1

0

,

MT_SS - w 3 

20 











P

P

ponieważ 

przeto 











 























P

r

P

r

M

2

2

0

zatem 































 















P

r

r

P

r

P

r

M

M

2

1

2

1

0

0

Na podstawie rysunku 

r

r

r











2

1

czyli 



















P

r

M

M

0

0













M

M

M

0

0

C.N.D. 

MT_SS - w 3 

21 

11. Dowolne  dwie  pary  sił  działające  na  ciało  sztywne 

można  zastąpić  jedną  parą  sił  o  momencie  równym 
sumie geometrycznej momentów tych dwóch par sił. 

MT_SS - w 3 

22 

Twierdzenie 11 można uogólnić na dowolną liczbę par sił. 

Jeśli na ciało sztywne działa n par sił 

o momentach M

1

, M

2

, …, M

n

, 

to wypadkowa para sił będzie miała moment M 

równy sumie geometrycznej momentów danych par. 











n

i

i

M

M

1

MT_SS - w 3 

23 

Przykłady: 

 

Władysław Siuta, Stanisław Rosociński, Bogusław Kozak, 

Zbiór zadań z mechaniki technicznej

, WSiP, Warszawa 2009 

MT_SS - w 3 

24 

MT_SS - w 3 

25