TWIERDZENIA STATYKI – WYPADKOWE UKŁADU SIŁ

w-3

Metody rozwiązywania zagadnień statyki

• analityczna (wynik dokładniejszy i szybszy)
• graficzna (poglądowa)

MT_SS - w 3

1

Metoda analityczna dla

:

• Przestrzennego dowolnego układu sił

• Dowolnego układu sił

Cel statyki

• zastępowanie jednego układu sił innym układem

równoważnym, w tym układem złożonym z:

– jednej siły i
– jednej pary sił

MT_SS - w 3

2

redukcja do:
siły i momentu wypadkowego

• badanie warunków , jakie musi spełniać układ

sił, aby ciało będące pod jego działaniem było w
równowadze,

w 3, 4

w 5

Twierdzenia

MT_SS - w 3

3

1. Dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu

zastąpić możemy jedną siłą wypadkową W przyłożoną
w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił
układu. Rzuty wypadkowej na osie xyz kartezjańskiego
układu współrzędnych są sumami rzutów sił
składowych na te osie.

W

1

W

2

W

MT_SS - w 3

4

MT_SS - w 3

5

n

i

P

k

P

j

P

i

P

W

n

i

iz

iy

ix

n

i

i

,...,

2

,

1

,

1

1















































iz

iy

ix

i

P

k

P

j

P

i

P





























































n

i

iz

n

i

iy

n

i

ix

n

i

i

P

k

P

j

P

i

P

W

1

1

1

1

MT_SS - w 3

6

W układzie xyz wektor wypadkowy można zapisać jako

z

y

x

i

W

k

W

j

W

i

W





















zatem z porównania



















n

i

iz

z

n

i

iy

y

n

i

ix

x

P

W

P

W

P

W

1

1

1

,

,

wartość bezwzględna wypadkowej





2

1

2

2

2









z

y

x

W

W

W

W

MT_SS - w 3

7

2. Moment M

0

względem dowolnego punktu 0

wypadkowej W układu sił P

1

, P

2

, …P

n

równy jest sumie

momentów M

10

, M

20

, …,M

n0

sił składowych względem

tego punktu.

















n

i

i

n

i

i

M

M

M

M

1

1

0

0

0

0

,

MT_SS - w 3

8

3. Dowolny niezbieżny układ sił zastąpić możemy jedną siłą

wypadkową W, której wartość liczbową, nachylenie i
zwrot wyznaczymy tak samo jak dla układu zbieżnego, zaś
położenie „ɑ” wypadkowej względem początku przyjętego
układu współrzędnych określimy z zależności

W

M

a

0



MT_SS - w 3

9

Moment poszczególnych sił wyznaczamy obierając układ osi
xy i obliczając momenty sił składowych względem początku
układu 0

Wartość bezwzględna

M

oi

= P

i

· ɑ

i

lub za pomocą sił składowych

M

oi

= P

ix

·y

i

– P

iy

·x

i

ɑ

i

MT_SS - w 3

10

Moment wypadkowej układu n sił























n

i

i

i

i

i

n

i

i

x

P

y

P

M

M

x

x

1

1

0

0

(

±)

„+” oznacza, że moment wypadkowej jest prawoskrętny

„-” oznacza, że moment wypadkowej jest lewoskrętny

Ponadto:

x

y

W

W

tg





ponieważ:

a

W

M





0

zatem:

W

M

a

0



W zależności od znaku momentu wypadkowej, odmierzamy
ramię „ ” wypadkowej z odpowiedniej strony początku 0
układu współrzędnych

a

MT_SS - w 3

11

4. Moment M

z

siły P względem osi z równy jest rzutowi na tę

oś momentu M

0

danej siły względem dowolnego punktu

leżącego na tejże osi.

M

z

z

M

0

M

0z

MT_SS - w 3

12

MT_SS - w 3

13

Znając składowe siły P oraz współrzędne jej punktu
przyłożenia określające składowe wektora promienia tej siły

określimy

momenty siły P względem osi układu współrzędnych x, y, z

y

x

x

y

z

x

z

z

x

y

z

y

y

z

x

r

P

r

P

M

Mz

r

P

r

P

M

M

r

P

r

P

M

M

y

x































0

0

0

MT_SS - w 3

14

5. Suma momentów sił pary względem dowolnego punktu

nie zależy od wyboru tego punktu i równa jest momentowi
pary.

2

0

1

0

,

h

P

M

h

P

M















ponieważ:

a

h

h





2

1

zatem:





M

a

P

h

h

P

M

M





















2

1

0

0

MT_SS - w 3

15

6. Pary sił o tej samej płaszczyźnie działania i równych

momentach są sobie statycznie równoważne.

MT_SS - w 3

16

W pojęciu pary sił:

• nieistotne

są zatem

siła

i

ramię

• Istotny

jest

moment

dlatego pary oznaczamy wężykiem wskazującym skręt pary

Wektor momentu pary jest

wektorem swobodnym

, zatem

można go równolegle przemieszczać w płaszczyźnie
prostopadłej do płaszczyzny działania sił.

MT_SS - w 3

17

7. Wypadkowa dwóch par sił jest parą o momencie równym

sumie momentów par składowych.

MT_SS - w 3

18

8. Wypadkowa pary i siły leżącej w jej płaszczyźnie równa

jest tej sile przesuniętej równolegle tak, że moment siły
przesuniętej względem jej pierwotnego punktu
przyłożenia równy jest momentowi pary.

9. Pary sił działające w płaszczyznach równoległych i o

równych momentach są sobie statycznie równoważne.

MT_SS - w 3

19

10. Suma geometryczna momentów względem dowolnego

punktu 0 sił tworzących parę równa jest momentowi tej
pary.

























P

r

M

P

r

M

2

0

1

0

,

MT_SS - w 3

20











P

P

ponieważ

przeto











 























P

r

P

r

M

2

2

0

zatem































 















P

r

r

P

r

P

r

M

M

2

1

2

1

0

0

Na podstawie rysunku

r

r

r











2

1

czyli



















P

r

M

M

0

0













M

M

M

0

0

C.N.D.

MT_SS - w 3

21

11. Dowolne dwie pary sił działające na ciało sztywne

można zastąpić jedną parą sił o momencie równym
sumie geometrycznej momentów tych dwóch par sił.

MT_SS - w 3

22

Twierdzenie 11 można uogólnić na dowolną liczbę par sił.

Jeśli na ciało sztywne działa n par sił

o momentach M

1

, M

2

, …, M

n

,

to wypadkowa para sił będzie miała moment M

równy sumie geometrycznej momentów danych par.











n

i

i

M

M

1

MT_SS - w 3

23

Przykłady:

Władysław Siuta, Stanisław Rosociński, Bogusław Kozak,

Zbiór zadań z mechaniki technicznej

, WSiP, Warszawa 2009

MT_SS - w 3

24

MT_SS - w 3

25