Metodyk rozwiązywania

zagadnień statycznie niewyznaczalnych

w-9

MT_SS - w 9

1

a) Układ statycznie wyznaczalny

n = w

gdzie:
n – liczba niewiadomych,
w – liczba równań równowagi.

b) Układ statycznie niewyznaczalny

n > w

MT_SS - w 9

2

Metoda rozkładania na części

elementów sztywnych połączonych przegubem

(metoda przecięć)

Przykład 1

MT_SS - w 9

3

Przykład 2

MT_SS - w 9

4

Procedura postępowania przy rozwiązywaniu

złożonych układów ciał połączonych

przegubami wewnętrznymi.

1. Ustalić i nanieść na schemat obliczeniowy

analizowanej konstrukcji:

1) siły zewnętrzne czynne,

2) ich wielkości,

3) ich zwroty i linie działania,

4) zastąpić działanie więzów reakcjami.

MT_SS - w 9

5

2. Przyjąć najbardziej korzystnie usytuowany układ osi

współrzędnych;

3. Rozłożyć nieznane co do kierunku reakcje więzów na

odpowiednie składowe;

4. Sprawdzić statyczną wyznaczalność układu oraz

rozpatrzyć, czy dane zagadnienie można rozwiązać
traktując rozpatrywany układ jako jedno ciało sztywne;

5. W zależności od budowy analizowanego układu dokonać

jego rozdzielenia w miejscach przegubów;

MT_SS - w 9

6

6. Ułożyć równania równowagi dla każdego wydzielonego

ciała wyznaczając wartości nieznanych wielkości;

Jeżeli w rozwiązaniu otrzyma się ujemne wartości

składowych reakcji, oznacz to, że mają one zwroty

przeciwne do pierwotnie przyjętych.

7. Obliczyć wartości i kierunki reakcji występujących w

poszczególnych więzach;

8. Sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń.

MT_SS - w 9

7

Przykład

:

Dwie belki połączone przegubem w punkcie C.

Belka AC
- podpora stała

- podpora przesuwna

Belka CD
- podpora przesuwna

Wyznaczyć:

1) reakcje podpór,

2) siłę przenoszoną przez przegub C.

Dane:

F = 2 kN, P = 3 kN,

a

= 60

o

, a = 1 m.

MT_SS - w 9

8

1. Analiza rozpatrywanego układu konstrukcyjnego

• W podporze A występuje reakcja o nieznanym kierunku

działania zatem rozkładamy ją na 2 składowe,

• W podporach B i D występują reakcje o znanym kierunku

działania

Wniosek:

należy wyznaczyć 4 niewiadome reakcje podpór:

X

A

, Y

A

, R

B

i R

D

Wyznaczamy reakcje podpór

MT_SS - w 9

9

• W

płaskim układzie sił

możemy zapisać tylko

3 niezależne równania równowagi

Zatem mamy do czynienia z

układem statycznie niewyznaczalnym.

• Brakujące równanie zapiszemy korzystając z

metody momentów przegubowych.

Suma momentów wszystkich sił

przyłożonych do jednej części układu

połączonej tym przegubem względem tego przegubu

(tutaj względem punktu C)

musi być równa zeru

.

MT_SS - w 9

10

2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy

MT_SS - w 9

11

3. Ustalamy i układamy równania równowagi

a) warunki równowagi dla całej rozpatrywanej belki AD

.

0

5

sin

4

2

;

0

.

3

,

0

sin

;

0

.

2

,

0

cos

;

0

.

1



















































a

R

a

P

a

R

a

F

M

R

P

R

F

Y

F

P

X

F

D

B

i

D

B

A

i

A

i

A

y

x

a

a

a

MT_SS - w 9

12

b) dodatkowy warunek równowagi

.

0

2

3

;

0

.

4



















a

R

a

F

a

Y

M

B

A

L

i

C

W powyższych

czterech równaniach

występują

4 niewiadome siły:

X

A

, Y

A

, R

B

, R

D

MT_SS - w 9

13

4. Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy:

X

A

= 1,50 kN,

Y

A

= 0,35 kN,

R

B

= 2,95 kN,

R

D

= 1,30 kN.

Znaki plus przy wszystkich obliczonych wartościach reakcji
wskazują, że ich zwroty są takie, jakie przyjęto na początku
rozwiązywania zadania.

MT_SS - w 9

14

5. Obliczamy reakcję R

A

występującą w

podporze przegubowej A

.

54

,

1

35

,

0

5

,

1

,

2

2

2

2

kN

R

Y

X

R

A

A

A

A











6. Ustalamy kąt nachylenia reakcji R

A

w stosunku do osi x

.

8

13

,

2333

,

0

5

,

1

35

,

0

,

'











A

A

A

tg

X

Y

tg







MT_SS - w 9

15

Na schemacie obliczeniowym belki zaznaczamy położenie
reakcji R

A

MT_SS - w 9

16

7. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń

W tym celu obliczamy sumę momentów

wszystkich sił działających na belkę

względem dowolnego punktu, lecz innego niż zastosowany

już w obliczeniach punkt A.

Wybieramy punkt D

:

0

01

,

0

,

0

866

,

0

1

3

1

3

95

,

2

1

4

2

1

5

35

,

0

,

0

sin

3

4

5

;

0























































a

a

P

a

R

a

F

a

Y

M

B

A

i

D

Wniosek.

różnica w wynikach obliczeń jest spowodowana niedokładnością
obliczeń i jest na tyle mała, że można stwierdzić – zadanie
rozwiązano poprawnie.

MT_SS - w 9

17

Wyznaczamy siłę przenoszoną przez przegub

MT_SS - w 9

18

1. Analiza rozpatrywanego układu konstrukcyjnego

• W przegubie C występuje reakcja o:

- nieznanym kierunku działania i
- nieznanej wartości.

• W analizowanym układzie występuje 6 niewiadomych:

• Dla płaskiego dowolnego układu sił możemy napisać tylko

3 równania równowagi.

Wniosek

:

rozpatrywane zagadnienie jest

statycznie niewyznaczalne.

X

A

, Y

A

, R

B

, R

D

, X

C

, Y

C

.

MT_SS - w 9

19

• Uwzględniamy fakt, iż rozważany układ składa się z

dwóch belek połączonych przegubem C.

• Rozdzielamy układ na dwie oddzielne belki.

• W miejsce przegubu wprowadzamy
wprowadzamy reakcje zastępujące
oddziaływanie jednej części belki
na drugą.

X

C

i

Y

C

Rysując siły wykorzystujemy

zasadę akcji i reakcji

MT_SS - w 9

20

2. Przyjmujemy układ współrzędnych Oxy

MT_SS - w 9

21

3. Ustalamy i układamy równania równowagi dla
układów sił działających na belki AC i CD

a) dla belki AC

.

0

3

2

;

0

.

3

,

0

;

0

.

2

,

0

;

0

.

1







































a

Y

a

R

a

F

M

Y

R

F

Y

F

X

X

F

C

B

i

C

B

A

i

C

A

i

A

y

x

MT_SS - w 9

22

b) dla belki CD

.

0

2

sin

;

0

.

6

,

0

sin

;

0

.

5

,

0

cos

;

0

.

4







































a

R

a

P

M

R

P

Y

F

P

X

F

D

i

D

C

i

C

i

C

y

x

a

a

a

Mamy zatem 6 równań i sześć niewiadomych sił

X

A

, Y

A

, R

B

, R

D,

X

C

, Y

C

,

zagadnienie jest więc

statycznie wyznaczalne.

MT_SS - w 9

23

4. Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

X

A

= 1,50 kN,

Y

A

= 0,35 kN,

R

B

= 2,95 kN,

R

D

= 1,30 kN,

X

C

= 1,50 kN,

Y

C

= 1,30 kN

Znaki plus przy obliczonych wartościach reakcji:

X

A

, Y

A

, R

B

, X

C

, Y

C

, R

D

wskazują, że

ich zwroty są takie, jakie zostały przyjęte

na początku rozwiązywania zadania.

MT_SS - w 9

24

5. Obliczamy reakcję występującą w podporze

przegubowej stałej A i przegubie C

.

54

,

1

35

,

0

5

,

1

,

2

2

2

2

kN

R

Y

X

R

A

A

A

A











.

98

,

1

30

,

1

5

,

1

,

2

2

2

2

kN

R

Y

X

R

C

C

C

C











MT_SS - w 9

25

6. Ustalamy kąt nachylenia reakcji R

A

w stosunku do osi x.

.

8

13

,

2333

,

0

5

,

1

35

,

0

,

'











A

A

A

A

A

tg

X

Y

tg







MT_SS - w 9

26

7. Sprawdzamy poprawność wykonanych obliczeń

W tym celu obliczamy sumę momentów

wszystkich sił działających na belkę

względem dowolnego punktu, lecz innego niż zastosowany

już w obliczeniach punkt A.

Wybieramy punkt D

:

0

01

,

0

,

0

866

,

0

1

3

1

3

95

,

2

1

4

2

1

5

35

,

0

,

0

sin

3

4

5

;

0























































a

a

P

a

R

a

F

a

Y

M

B

A

i

D

Wniosek.

różnica w wynikach obliczeń jest spowodowana niedokładnością
obliczeń i jest na tyle mała, że można stwierdzić – zadanie
rozwiązano poprawnie.