ŚRODKI

CIĘŻKOŚCI, MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

w 8

MT_SS - w 8

1

ŚRODEK

CIĘŻKOŚCI i ŚRODEK MASY

Dla układu sił równoległych istnieje punkt

leżący na wypadkowej tego układu

mający taką własność, że nie ulega zmianie,

gdy wszystkie siły obrócimy dookoła ich punktów zaczepienia

o dowolny, stały dla wszystkich sił kąt.

Ten punkt to „

ŚRODEK SIŁ RÓWNOLEGŁYCH

”

MT_SS - w 8

2

Układem sił równoległych są

SIŁY CIĘŻKOŚCI

ciała

.

Środek tych sił nazywamy

ŚRODKIEM CIĘŻKOŚCI

– oznaczany literą

C

MT_SS - w 8

3

Określanie współrzędnych środka ciężkości

Zakładamy, że skutek działania całkowitego ciężaru ciała musi

być taki sam jak

elementarnych sił ciężkości tego ciała razem wziętych.

,

,

)

(

)

(





























m

c

o

m

Q

d

r

Q

r

M

Q

d

Q

spełnione,

gdy

.

,

,

)

(

)

(

)

(













m

c

m

c

m

ydQ

Q

y

xdQ

Q

x

dQ

Q

oraz po obrocie
bryły o kąt 90

o

.

)

(





m

c

zdQ

Q

z

MT_SS - w 8

4

Współrzędne środka ciężkości bryły wyrażą się zatem wzorami

:

.

,

,

)

(

)

(

)

(

Q

zdQ

z

Q

ydQ

y

Q

xdQ

x

m

c

m

c

m

c













MT_SS - w 8

5

W przypadku bryły składającej się z n elementów o
skończonych wymiarach

:

.

,

,

1

1

1

Q

Q

z

z

Q

Q

y

y

Q

Q

x

x

n

i

i

i

c

n

i

i

i

c

n

i

i

i

c



















MT_SS - w 8

6

Ze względu na rozkład masy w objętości, ciała dzielimy na

:

• jednorodne, dla których ciężar właściwy

• niejednorodne, dla których

przy czym:

,

const





,

varia





.

lim

0

dV

dQ

V

Q

V















MT_SS - w 8

7

Ze względu na kształt i wymiary ciała dzielimy na

:

1.

linie materialne

(druty, pręty)

(2 wymiary pomijalne w stosunku do trzeciego)

2.

powierzchnie

(blachy, płyty, skorupy)

(

jeden wymiar pomijalny w stosunku do 2 pozostałych)

3.

bryły

(3 wymiary są znaczące)

MT_SS - w 8

8

1.

linie materialne

(druty, pręty)

L

S

dQ

Q

dl

S

dQ

m















)

(

dla linii jednorodnej o stałym przekroju

const

S



,



.

,

,

)

(

)

(

)

(

L

zdl

z

L

ydl

y

L

xdl

x

l

c

l

c

l

c













MT_SS - w 8

9

2.

powierzchnie

(blachy, płyty, skorupy)

S

h

dQ

Q

dS

h

dQ

m















)

(

dla powierzchni jednorodnej o stałej grubości

const

h



,



.

,

,

)

(

)

(

)

(

S

zdS

z

S

ydS

y

S

xdS

x

S

c

S

c

S

c













MT_SS - w 8

10

bryły

V

dQ

Q

dV

dQ

m















)

(

dla powierzchni jednorodnej o stałej grubości

const





.

,

,

)

(

)

(

)

(

V

zdV

z

V

ydV

y

V

xdV

x

V

c

V

c

V

c













MT_SS - w 8

11

Środek masy

Jest to punkt,

w którym możemy skupić całą masę

m

rozpatrywanego ciała

Zakładając, że przyśpieszenie ziemskie (g = const), to

środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości

.

Współrzędne środka masy

obliczamy z analogicznych wzorów:

.

,

,

)

(

)

(

)

(

m

zdm

z

m

ydm

y

m

xdm

x

m

c

m

c

m

c













dm

g

dQ

m

g

Q





,

MT_SS - w 8

12

Środek geometryczny

Współrzędne środka geometrycznego ciała o objętości V:

.

,

,

)

(

)

(

)

(

V

zdV

z

V

ydV

y

V

xdV

x

m

c

m

c

m

c













Dla ciała jednorodnego, dla którego gęstość masy jest stała (ρ = const),
I dla stałej wartości przyśpieszenia ziemskiego (g = const)

• Środek geometryczny pokrywa się ze środkiem ciężkości

• Współrzędne środka ciężkości/masy

=

współrzędne środka geometrycznego

dV

g

dQ

V

g

Q









,

MT_SS - w 8

13

Współrzędne środków ciężkości (środków geometrycznych)

podstawowych figur i brył

MT_SS - w 8

14

MT_SS - w 8

15

MT_SS - w 8

16

Masowe momenty bezwładności

(geometria mas)

Masowe momenty bezwładności

charakteryzują

rozkład masy ciała (układu ciał) względem:
• punktu (bieguna)
• osi
• płaszczyzny

bryły o masie m

i

i o skończonych wymiarach

masy elementarnej dm

i

b

ryły o masie rozłożonej

Odległości od punktu, osi i płaszczyzny

:

MT_SS - w 8

17

Biegunowy moment bezwładności

dm

r

J

m

r

J

m

o

i

n

i

i

o











)

(

2

1

2

MT_SS - w 8

18

Osiowe momenty bezwładności

dm

J

m

J

dm

J

m

J

dm

J

m

J

m

z

z

i

n

i

zi

z

m

y

y

i

n

i

yi

y

m

x

x

i

n

i

xi

x































)

(

2

1

2

)

(

2

1

2

)

(

2

1

2













MT_SS - w 8

19

Płaszczyznowe momenty bezwładności

dm

y

J

m

y

J

dm

x

J

m

x

J

dm

z

J

m

z

J

m

xz

i

n

i

i

xz

m

yz

i

n

i

i

yz

m

xy

i

n

i

i

xy































)

(

2

1

2

)

(

2

1

2

)

(

2

1

2

MT_SS - w 8

20

Iloczynowe momenty bezwładności

(momenty dewiacyjne lub momenty zboczenia)

dm

xz

D

m

z

x

D

dm

yz

D

m

z

y

D

dm

xy

D

m

y

x

D

m

xz

i

n

i

i

i

xz

m

yz

i

i

n

i

i

yz

m

xy

i

n

i

i

i

xy































)

(

1

)

(

1

)

(

1

MT_SS - w 8

21

Twierdzenie 1

Masowy moment bezwładności względem osi równy jest sumie
masowych momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie
prostopadłych płaszczyzn tworzących te oś.

xz

xy

x

J

J

J





Dowód:





xz

xy

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

i

n

i

xi

x

J

J

m

y

m

z

m

y

z

m

J































1

2

1

2

1

2

2

1

2



MT_SS - w 8

22

Twierdzenie 2

Biegunowy, masowy moment bezwładności jest równy sumie
masowych momentów bezwładności względem trzech wzajemnie
prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez biegun.

xz

yz

xy

o

J

J

J

J







MT_SS - w 8

23

Twierdzenie 3

Podwójny biegunowy, masowy moment bezwładności bryły jest
równy sumie masowych momentów bezwładności względem trzech
wzajemnie prostopadłych osi, przechodzących przez biegun.

z

y

x

o

J

J

J

J







2

MT_SS - w 8

24

Główne i Centralne

masowe momenty bezwładności

1.

Jeżeli rozważymy układ osi x, y, z ma
swój początek w środku masy bryły, to
możemy znaleźć takie 3 proste, które
wyznaczą trzy

GŁÓWNE CENTRALNE

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

–

J’, J’’, J’’’

2.

GŁÓWNE CENTRALNE MOMENTY
BEZWŁADNOŚCI mają wartość
maksymalną, minimalną i pośrednią

3.

Masowe momenty dewiacyjne
względem osi, dla których momenty są
głównymi, centralnymi momentami
bezwładności są równe zero

4.

Masowe momenty bezwładności są zawsze większe od zera, natomiast
masowe momenty dewiacyjne mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne

MT_SS - w 8

25

Masowe momenty bezwładności

MT_SS - w 8

26