ŚRODKI

 

CIĘŻKOŚCI, MOMENTY BEZWŁADNOŚCI 

w 8 

MT_SS - w 8 

1 

ŚRODEK

 

CIĘŻKOŚCI i ŚRODEK MASY

 

Dla układu sił równoległych istnieje punkt 

leżący na wypadkowej tego układu 

mający taką własność, że nie ulega zmianie, 

gdy wszystkie siły obrócimy dookoła ich punktów zaczepienia 

o dowolny, stały dla wszystkich sił kąt. 

Ten punkt to „

ŚRODEK SIŁ RÓWNOLEGŁYCH

” 

MT_SS - w 8 

2 

Układem sił równoległych są 

SIŁY CIĘŻKOŚCI 

ciała

. 

 

Środek tych sił nazywamy 

ŚRODKIEM CIĘŻKOŚCI 

– oznaczany literą 

C 

MT_SS - w 8 

3 

Określanie współrzędnych środka ciężkości 

Zakładamy, że skutek działania całkowitego ciężaru ciała musi 

być taki sam jak 

elementarnych sił ciężkości tego ciała razem wziętych. 

,

,

)

(

)

(





























m

c

o

m

Q

d

r

Q

r

M

Q

d

Q

spełnione, 

gdy 

.

,

,

)

(

)

(

)

(













m

c

m

c

m

ydQ

Q

y

xdQ

Q

x

dQ

Q

oraz po obrocie 
bryły o kąt 90

o 

.

)

(





m

c

zdQ

Q

z

MT_SS - w 8 

4 

Współrzędne środka ciężkości bryły wyrażą się zatem wzorami

: 

.

,

,

)

(

)

(

)

(

Q

zdQ

z

Q

ydQ

y

Q

xdQ

x

m

c

m

c

m

c













MT_SS - w 8 

5 

W przypadku bryły składającej się z n elementów o 
skończonych wymiarach

: 

.

,

,

1

1

1

Q

Q

z

z

Q

Q

y

y

Q

Q

x

x

n

i

i

i

c

n

i

i

i

c

n

i

i

i

c



















MT_SS - w 8 

6 

Ze względu na rozkład masy w objętości, ciała dzielimy na

: 

 
• jednorodne, dla których ciężar właściwy  
 
 

 

 
• niejednorodne, dla których 

 
 
 

przy czym: 

,

const





,

varia





.

lim

0

dV

dQ

V

Q

V















MT_SS - w 8 

7 

Ze względu na kształt i wymiary ciała dzielimy na

: 

 
 
1.  

linie materialne

 (druty, pręty) 

 

 

(2 wymiary pomijalne w stosunku do trzeciego) 

 
 

2.  

powierzchnie 

(blachy, płyty, skorupy) 

 

(

jeden wymiar pomijalny w stosunku do 2 pozostałych) 

 
 

3.  

bryły 

 

(3 wymiary są znaczące) 

MT_SS - w 8 

8 

1.  

linie materialne

 (druty, pręty) 

 

 

L

S

dQ

Q

dl

S

dQ

m















)

(

dla linii jednorodnej o stałym przekroju 

const

S



,



.

,

,

)

(

)

(

)

(

L

zdl

z

L

ydl

y

L

xdl

x

l

c

l

c

l

c













MT_SS - w 8 

9 

2.  

powierzchnie 

(blachy, płyty, skorupy) 

S

h

dQ

Q

dS

h

dQ

m















)

(

dla powierzchni jednorodnej o stałej grubości 

const

h



,



.

,

,

)

(

)

(

)

(

S

zdS

z

S

ydS

y

S

xdS

x

S

c

S

c

S

c













MT_SS - w 8 

10 

bryły

 

V

dQ

Q

dV

dQ

m















)

(

dla powierzchni jednorodnej o stałej grubości 

const





.

,

,

)

(

)

(

)

(

V

zdV

z

V

ydV

y

V

xdV

x

V

c

V

c

V

c













MT_SS - w 8 

11 

Środek masy

 

Jest to punkt, 

w którym możemy skupić całą masę 

m

 rozpatrywanego ciała 

Zakładając, że przyśpieszenie ziemskie (g = const), to 

 

środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości

. 

Współrzędne środka masy 

obliczamy z analogicznych wzorów: 

.

,

,

)

(

)

(

)

(

m

zdm

z

m

ydm

y

m

xdm

x

m

c

m

c

m

c













dm

g

dQ

m

g

Q





,

MT_SS - w 8 

12 

Środek geometryczny

 

Współrzędne środka geometrycznego ciała o objętości V: 

.

,

,

)

(

)

(

)

(

V

zdV

z

V

ydV

y

V

xdV

x

m

c

m

c

m

c













Dla ciała jednorodnego, dla którego gęstość masy jest stała (ρ = const), 
I dla stałej wartości przyśpieszenia ziemskiego (g = const) 

• Środek geometryczny pokrywa się ze środkiem ciężkości 

 

• Współrzędne środka ciężkości/masy 

= 

współrzędne środka geometrycznego 

dV

g

dQ

V

g

Q









,

MT_SS - w 8 

13 

Współrzędne środków ciężkości (środków geometrycznych) 

podstawowych figur i brył 

MT_SS - w 8 

14 

MT_SS - w 8 

15 

MT_SS - w 8 

16 

Masowe momenty bezwładności 

(geometria mas) 

Masowe momenty bezwładności 

charakteryzują 

rozkład masy ciała (układu ciał) względem: 
• punktu (bieguna) 
• osi 
• płaszczyzny 

bryły o masie m

i 

i o skończonych wymiarach 

masy elementarnej dm

i   

b

ryły o masie rozłożonej 

Odległości od punktu, osi i płaszczyzny

: 

MT_SS - w 8 

17 

Biegunowy moment bezwładności

 

dm

r

J

m

r

J

m

o

i

n

i

i

o











)

(

2

1

2

MT_SS - w 8 

18 

Osiowe momenty bezwładności

 

dm

J

m

J

dm

J

m

J

dm

J

m

J

m

z

z

i

n

i

zi

z

m

y

y

i

n

i

yi

y

m

x

x

i

n

i

xi

x































)

(

2

1

2

)

(

2

1

2

)

(

2

1

2













MT_SS - w 8 

19 

Płaszczyznowe momenty bezwładności

 

dm

y

J

m

y

J

dm

x

J

m

x

J

dm

z

J

m

z

J

m

xz

i

n

i

i

xz

m

yz

i

n

i

i

yz

m

xy

i

n

i

i

xy































)

(

2

1

2

)

(

2

1

2

)

(

2

1

2

MT_SS - w 8 

20 

Iloczynowe momenty bezwładności 

(momenty dewiacyjne lub momenty zboczenia)

 

dm

xz

D

m

z

x

D

dm

yz

D

m

z

y

D

dm

xy

D

m

y

x

D

m

xz

i

n

i

i

i

xz

m

yz

i

i

n

i

i

yz

m

xy

i

n

i

i

i

xy































)

(

1

)

(

1

)

(

1

MT_SS - w 8 

21 

Twierdzenie 1

 

Masowy moment bezwładności względem osi równy jest sumie 
masowych momentów bezwładności względem dwóch wzajemnie 
prostopadłych płaszczyzn tworzących te oś. 

xz

xy

x

J

J

J





Dowód: 





xz

xy

i

n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

i

n

i

xi

x

J

J

m

y

m

z

m

y

z

m

J































1

2

1

2

1

2

2

1

2



MT_SS - w 8 

22 

Twierdzenie 2

 

Biegunowy, masowy moment bezwładności jest równy sumie 
masowych momentów bezwładności względem trzech wzajemnie 
prostopadłych płaszczyzn przechodzących przez biegun. 

xz

yz

xy

o

J

J

J

J







MT_SS - w 8 

23 

Twierdzenie 3

 

Podwójny biegunowy, masowy moment bezwładności bryły jest 
równy sumie masowych momentów bezwładności względem trzech 
wzajemnie prostopadłych osi, przechodzących przez biegun. 

z

y

x

o

J

J

J

J







2

MT_SS - w 8 

24 

Główne i Centralne 

masowe momenty bezwładności

 

1.

Jeżeli rozważymy układ osi x, y, z ma 
swój początek w środku masy bryły, to 
możemy znaleźć takie 3 proste, które 
wyznaczą trzy 

GŁÓWNE CENTRALNE 

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI 

–

 J’, J’’, J’’’ 

 

2.

GŁÓWNE CENTRALNE MOMENTY 
BEZWŁADNOŚCI mają wartość 
maksymalną, minimalną i pośrednią 

 

3.

Masowe momenty dewiacyjne 
względem osi, dla których momenty są 
głównymi, centralnymi momentami 
bezwładności są równe zero 

 

4.

Masowe momenty bezwładności są zawsze większe od zera, natomiast 
masowe momenty dewiacyjne mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne 

MT_SS - w 8 

25 

Masowe momenty bezwładności

 

MT_SS - w 8 

26