1

Jerzy Czesław Ossowski

Katedra Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem

Wydział Zarz dzania i Ekonomii

Politechnika Gda ska

VIII Ogólnopolskie Seminarium Naukowe nt. „Dynamiczne Modele Ekonometryczne”,

Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu,

Toru , 9-11 wrzesie 2003,

ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY

A WZGL DNE I ABSOLUTNE MIARY ROZPROSZENIA

1. ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY

A REDNIA ARYTMETYCZNA I GEOMETRYCZNA

Wi kszo zmiennych ekonomicznych przyjmuje jedynie warto ci dodatnie. Wiele z

nich scharakteryzowa mo emy za pomoc rozkładu logarytmiczno-normalnego. Uznajmy,

e zmienna losowa y nale y do tej grupy zmiennych. Oznacza to, e logarytm naturalny tej

zmiennej ma rozkład normalny, tym samym funkcja g sto ci prawdopodobie stwa dana jest

wzorem ([1] s.8, [14] s. 170-172):

2

y

ln

2

2

)

y

ln

y

(ln

y

ln

e

2

1

)

y

(ln

f

σσσσ

µµµµ

−−−−

−−−−

ππππ

σσσσ

====

,

(1)

w którym parametry warto ci oczekiwanej i wariancji zmiennej lny definiujemy nast puj co:

y

ln

E

y

ln

====

µµµµ

,

(2)

2

y

ln

2

y

ln

)

y

(ln

E

µµµµ

−−−−

====

σσσσ

.

(3)

Odchylenie standardowe jest równe:

2

y

ln

y

ln

)

y

(ln

E

µµµµ

−−−−

====

σσσσ

.

(4)

2

Wykorzystuj c fakt, e

y

/

dy

y

ln

d

====

, funkcj g sto ci prawdopodobie stwa logarytmu

zmiennej y przekształci mo emy w funkcj g sto ci zmiennej y o nast puj cej postaci:

2

y

ln

2

2

)

y

ln

y

(ln

y

ln

e

2

y

1

)

y

(

f

σσσσ

µµµµ

−−−−

−−−−

ππππ

σσσσ

====

.

(5)

Funkcja ta wyznacza krzyw asymetryczn . Asymetria ta jest prawostronna i jej wielko

zale y od warto ci oczekiwanej i wariancji logarytmu zmiennej

y. Tym samym warto

oczekiwana zmiennej

y (Ey) oraz jej dominanta (Dy) i mediana (My) nie pokrywaj si i

wynosz odpowiednio (patrz: [1], s 8-9):

2

y

ln

2

1

y

ln

y

e

Ey

σσσσ

++++

µµµµ

====

µµµµ

====

,

(6)

y

ln

e

My

µµµµ

====

,

(7)

2

y

ln

y

ln

e

Dy

σσσσ

−−−−

µµµµ

====

.

(8)

Z powy szego wynika, e

Dy < My < Ey.

Mo na ponadto wykaza , e wariancja i odchylenie standardowe zmiennej y wynosz

odpowiednio:

)

1

e

(

e

)

Ey

y

(

E

2

y

ln

2

y

ln

y

ln

2

2

2

y

−−−−

====

−−−−

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

++++

µµµµ

,

(9)

1

e

e

)

Ey

y

(

E

2

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

2

y

−−−−

====

−−−−

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

++++

µµµµ

.

(10)

Przedstawione powy ej wła ciwo ci rozkładu logarytmiczno-normalnego zmiennej y

wykorzystali Murti i Sastri (patrz: [11]) przy formułowaniu zwi zków pomi dzy redni

arytmetyczn i redni geometryczn tej zmiennej losowej. Zgodnie z poczynion przez nich

umow , warto oczekiwan logarytmu zmiennej y oznaczymy w sposób nast puj cy:

g

ln

y

ln

====

µµµµ

.

(11)

Obecnie zgodnie z koncepcj wspomnianych autorów zdefiniujemy redni geometryczn

zmiennej y w sposób nast puj cy:

y

ln

E

y

ln

e

e

g

====

====

µµµµ

.

(12)

Oznacza to, e

rednia geometryczna zmiennej y jest zdelogarytmowan warto ci

nadziei matematycznej logarytmu zmiennej y. Z drugiej strony Murti i Sastri okre lili

redni arytmetyczn zmiennej losowej y jako jej warto oczekiwan , tzn.:

Ey

a

y

====

µµµµ

====

.

(13)

Wykorzystuj c (6) i (12) stwierdzamy, e:

2

y

ln

2

1

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

e

e

e

Ey

σσσσ

µµµµ

σσσσ

++++

µµµµ

====

====

.

3

W konsekwencji na podstawie (13) redni arytmetyczn (12) zapiszemy nast puj co:

2

y

ln

2

1

e

g

a

σσσσ

====

.

(14)

Wykazany przez wspomnianych autorów zwi zek funkcyjny pomi dzy redni arytmetyczn

i geometryczn zmiennej y charakteryzuj cej si rozkładem logarytmiczno-normalnym był

swego czasu szeroko omawiany w literaturze po wi conej modelom multiplikatywnym.

Funkcja ta posiada licz ce si walory poznawcze i praktyczne, czemu wiele uwagi po wi cił

L.R.Klein ([9] s.155-156, 221-224). Ko cz c t cz

rozwa a zauwa my, e

w przypadku

zmiennej charakteryzuj cej si rozkładem logarytmiczno-normalnym

rednia

geometryczna i mediana pokrywaj si ze sob . W uj ciu graficznym sytuacj powy sz

przedstawiono na rys.1.

Przykład 1.

Niech płace miesi czne (y) pracowników pewnego sektora gospodarczego charakteryzuj si rozkładem

logarytmiczno normalnym. Płace wyra one s w złotych. Załó my, e warto oczekiwana i wariancja

logarytmów płac równaj si odpowiednio:

49554

,

7

y

ln

====

µµµµ

,

16

,

0

2

y

ln

====

σσσσ

.

Okre li :

1)median ( redni geometryczn ), 2) warto oczekiwan ( redni arytmetyczn ), 3) dominant płac.

Ad 1) Zgodnie z (7) i (12) otrzymujemy:

1800

e

e

g

My

49554

,

7

y

ln

====

====

====

====

µµµµ

zł

Zauwa my, ze logarytmy płac s wielko ciami niemianowanymi. Ich delogarytmy wyra one s w jednostkach

pierwotnych. Obecnie powiemy, e rednia geometryczna płac, b d ca median , wynosiła 1800 złotych.

Oznacza to, e 50% pracowników zatrudnionych w sektorze przedsi biorstw zarabia mniej, ni 1800 złotych.

Tym samym płace 50% pracowników przekraczaj 1800 złotych.

Ad 2) Zgodnie z (6) a tym samym (15) mamy:

1950

e

1800

e

g

a

Ey

16

,

0

2

1

2

y

ln

2

1

====

====

====

====

σσσσ

zł

Powiemy, e rednie (arytmetyczne) miesi czne wynagrodzenie pracowników sektora przedsi biorstw wynosiło

1950 złotych.

Ad 3) Warto dominuj ca zgodnie z (8) wynosi

9

,

1533

e

1800

e

Dy

16

,

0

2

y

ln

y

ln

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

µµµµ

zł

gdzie: g = exp

µ

lny

= exp E lny

a = Ey = g exp(1/2)

σ

2

lny

σ

2

lny

= E(lny-

µ

lny

)

2

= E(lny-lng)

2

= E[ln(y/g)]

2

Rys.1 Podstawowe miary pozycyjne w rozkładzie logarytmiczno-normalnym

f(lny) f(y)

0

µ

lny

lny 0 g a y

E lny Dy My Ey

4

Oznacza to, e płace oscyluj ce wokół warto ci 1533,9 zł były najcz ciej spotykane.

Przy okazji zauwa my, e odchylenie standardowe logarytmu płac jest równe

4

,

0

16

,

0

)

y

(ln

E

2

y

ln

y

ln

====

====

µµµµ

−−−−

====

σσσσ

Powiemy wi c, e przeci tne standardowe odchylenie logarytmu płac od warto ci oczekiwanej logarytmu płac

(logarytmu redniej geometrycznej płac) wynosi 0,4. Z uwagi na fakt, e zmienna losowa wyra ona jest w

logarytmach jest ona tym samym niemianowana. (patrz: rys.5)

2. WZGL DNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

W RELACJI DO REDNIEJ GEOMETRYCZNEJ

Zastanówmy si obecnie nad mo liwo ci okre lenia prawdopodobie stwa tego, e

zmienna losowa y, charakteryzuj ca si rozkładem logarytmiczno-normalnym, przyjmie

warto ci z okre lonego przedziału. Jak pisał Z. Pawłowski, w praktyce wygodnie jest

„wykorzysta fakt, e logarytm zmiennej losowej

Y ma rozkład normalny N( , ).

Prawdopodobie stwo tego, e

a Y b, jest równowa ne prawdopodobie stwu tego, e

lna lnY lnb, a to ostatnie łatwo jest obliczy korzystaj c z tablic dystrybuanty

standaryzowanego rozkładu normalnego ([14] s.172).” Z powy szego wynika, e ostatni

nierówno zapisa mo emy równowa nie w sposób nast puj cy:

e

lna

e

lnY

e

lnb

. Obecnie

zgodnie z reguł trzech sigm powiemy, e

prawdopodobie stwo tego, i logarytm zmiennej

losowej y przyjmie warto ró ni c si od redniej logarytmu tej zmiennej o jedno

odchylenie standardowe jest równe 0,6826, co zapiszemy nast puj co:

6826

,

0

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

====

σσσσ

≤≤≤≤

µµµµ

−−−−

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

,

(15)

lub z uwagi na (11):

6826

,

0

)

g

ln

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

====

σσσσ

≤≤≤≤

−−−−

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

.

(16)

Jak wiemy odchylenie standardowe jest miar rozproszenia zmiennej losowej wokół jej

warto ci przeci tnej. Je li zmienna losowa jest wyra ona w jednostkach rzeczywistych, tzn.

nietrasformowanych, to odchylenie standardowe jest miar zró nicowania absolutnego. W tej

sytuacji zwyczajowo interpretujemy odchylenie standardowe, jako przeci tne, standardowe

odchylenie zmiennej losowej od jej warto ci oczekiwanej wyra one w jednostkach

analizowanej zmiennej. Jest rzecz oczywist , e je li zmienna wyra ona jest w kilogramach

to odchylenie standardowe wyra one jest równie w kilogramach, itp. Z inn nieco sytuacj

mamy do czynienia w przypadku, gdy zmienna losowa i jej charakterystyki wyra one s w

logarytmach. W tej sytuacji zarówno zmienna losowa jak i odchylenie standardowe staj si

jednostkami niemianowanymi. W dalszym jednak ci gu odchylenie standardowe pozostaje

miar rozproszenia. Oznacza to, e interpretuj c odchylenie standardowe, jako przeci tne,

standardowe odchylenie logarytmu zmiennej

y od warto ci oczekiwanej logarytmu tej

zmiennej, mamy na my li fakt, i dwie trzecie tych odchyle zawiera si b dzie w przedziale

wyznaczonym zgodnie z (16), natomiast blisko jedna trzecia wykracza b dzie poza ten

przedział. Mimo, i takie rozumowanie odchylenia standardowego mo e by

satysfakcjonuj ce w sensie statystycznym, ma jednak prawo nie zadowala nas w sensie

interpretacyjnym. Nie my limy bowiem w kategoriach logarytmów poszczególnych

zmiennych, chocia mo emy rozumie ich istot . Dlatego celem wzbogacenia interpretacji

otrzymanych wyników przekształ my (16) w nast puj cy sposób:

6826

,

0

)

e

e

e

(

P

y

ln

g

y

ln

y

ln

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

a st d

5

6826

,

0

)

e

g

y

e

(

P

y

ln

y

ln

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

(17)

Zauwa my, e zdefiniowana w nast puj cy sposób zmienna:

g

y

v ====

(18)

wskazuje na stosunek zmiennej losowej

y do jej redniej geometrycznej, tym samym okre la

udział tej zmiennej losowej w poziomie jej redniej geometrycznej. Wtedy kiedy zmienna

losowa

y przyjmie warto ci mniejsze od redniej geometrycznej g, zmienna losowa v

przyjmie warto ci mniejsze od 1. W sytuacji odwrotnej, tzn. gdy zmienna losowa przyjmie

warto ci wi ksze od parametru

g, wówczas zmienna losowa v przyjmowa b dzie warto ci

wi ksze od jedno ci. Oznacza to, e dla ka dego odchylenia standardowego

lny

, b d cego

dodatnim pierwiastkiem wariancji zmiennej losowej lny, spełnione s nast puj ce

nierówno ci:

1

e

v

0

y

ln

d

<<<<

====

<<<<

σσσσ

−−−−

(19)

1

e

v

y

ln

g

>>>>

====

σσσσ

(20)

Przy okazji zauwa my, e:

1

e

e

e

v

v

0

y

ln

y

ln

g

d

====

====

====

⋅⋅⋅⋅

σσσσ

σσσσ

−−−−

(21)

Powy sza wła ciwo jest o tyle istotna, i rednia geometryczna zmiennej

v jest równa

jedno ci, co wynika z nast puj cego faktu:

1

e

e

e

g

0

)

g

ln

y

(ln

E

)

y

(ln

E

0

)

g

ln

y

(ln

E

v

ln

E

v

y

ln

====

====

====

====

====

−−−−

====

µµµµ

−−−−

−−−−

(22)

gdzie

g

v

jest redni geometryczn zmiennej

v

1

.

Obecnie na podstawie (17) oraz po przyj ciu oznacze z (19) i (20) powiemy, e

z

prawdopodobie stwem równym 0,6826 udział zmiennej losowej y w jej redniej

geometrycznej g mie ci si b dzie w przedziale od v

d

do v

g

. Oznacza to, e dokonuj c

interpretacji w my l której,

przeci tny udział zmiennej y w jej redniej geometrycznej

waha si w granicach od v

d

do v

g

mamy na my li fakt, i jest to przeci tny udział w

kategoriach standardowych, gdy został on wyznaczony na bazie odchylenia standardowego

logarytmu zmiennej y z wszelkimi wypływaj cymi z tego konsekwencjami stochastycznymi.

Powiemy tym samym, e

v

d

i v

g

s przeci tnymi, wzgl dnymi miarami rozproszenia

zmiennej losowej y wzgl dem jej redniej geometrycznej.

Celem dalszego wzbogacenia interpretacji omawianej przez nas

wzgl dnej miary

rozproszenia, dokonajmy przekształcenia nierówno ci równoczesnej uj tej w (17) poprzez

odj cie stronami warto ci 1, wykorzystuj c jednocze nie oznaczenia przyj te w (19) i (20). W

rezultacie tego działania otrzymujemy:

6826

,

0

)

1

v

1

g

y

1

v

(

P

g

d

====

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

(23)

Przemna aj c powy sz nierówno stronami przez 100, otrzymany wynik wyra amy w

procentach, co zapiszemy nast puj co:

1

Omówione tutaj miary rozproszenia s ci le zwi zane z miarami rozproszenia zmiennej endogenicznej

wzgl dem warto ci teoretycznych w modelach multiplikatywnych w sytuacji, gdy warto ci teoretyczne ocenione

s na poziomie warunkowych rednich geometrycznych, co przedstawiono w artykule [12] oraz monografii [13]

s. 33 – 36.

6

6826

,

0

]

100

)

1

v

(

100

)

g

g

y

(

100

)

1

v

[(

P

g

d

====

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

(24)

W sensie standardowym przeci tnie, zmienna losowa y odchyla si od jej redniej

geometrycznej w przedziale od

(v

d

-1)100% do (v

g

-1)100%. W analizowanym przypadku

odchylenia te b d zawiera si w wyznaczonych granicach dla 2/3 wszystkich przypadków.

Mo na zada pytanie, dlaczego wyznaczamy dolne i górne przedziały przeci tnych odchyle ,

zamiast powiedzie wprost, o ile procent przeci tnie zmienna y odchyla si od jej redniej

geometrycznej? Odpowied jest prosta i wynika z asymetrii rozkładu logarytmiczno-

normalnego. Mo na bowiem udowodni , rozpisuj c w szereg Maclaurina wyra enia (19) i

(20), i spełniona jest nast puj ca nierówno :

0

)

1

v

(

)

1

v

(

g

d

>>>>

−−−−

++++

−−−−

(25)

Zauwa my ponadto, e z reguły trzech sigm wynika, i

9545

,

0

)

e

g

y

e

(

P

y

ln

2

y

ln

2

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

(26)

9973

,

0

)

e

g

y

e

(

P

y

ln

3

y

ln

3

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

(27)

W celu utrzymania si w przyj tej konwencji oznacze umówmy si , e:

y

ln

2

d

2

e

v

σσσσ

−−−−

====

i

y

ln

2

g

2

e

v

σσσσ

====

(28)

y

ln

3

d

3

e

v

σσσσ

−−−−

====

i

y

ln

3

g

3

e

v

σσσσ

====

(29)

W uj ciu graficznym opisan powy ej sytuacj przedstawiono na rys.2.

Przykład 2

Na podstawie danych z przykładu 1 okre li przedziały udziałów płac w ich redniej geometrycznej

(medianie) realizowane z prawdopodobie stwem:

1) P

1

=0,6826,

2) P

2

=0,9545,

3) P

3

=0,9973.

Ad 1) Na podstawie (19) i (20) otrzymujemy:

67

,

0

e

e

v

4

,

0

y

ln

d

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

49

,

1

e

e

v

4

,

0

y

ln

g

====

====

====

σσσσ

gdzie: u = ln v = lny – lng = ln(y/g) = lny -

µ

lny

v = y/g ,

v

d

= exp(-

σ

lny

), v

g

= exp(

σ

lny

).

Rys. 2 Wzgl dne rozproszenie zmiennej y w relacji do redniej geometrycznej

w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego

σ

lnv

σ

lny

-

σ

lny

0

σ

lny

lnv

E lnv

0 v

d

1 v

g

v

Mv

1-v

d

v

g

-1

f(lnv) f(v)

7

Z uwagi na (17) powiemy, e w analizowanym przypadku prawdopodobie stwo tego, e udział płac w redniej

geometrycznej (medianie) mie ci si b dzie w przedziale od 0,67 do 1,49 wynosi 0,6826. Tym samym, zgodnie

z (24) powiemy, e płace odchylaj si od redniej geometrycznej (mediany) w przedziale od –33% do 49% w

2/3 przypadków.

Ad 2) Na podstawie (28) otrzymujemy:

449

,

0

e

e

v

8

,

0

y

ln

2

d

2

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

225

,

2

e

e

v

8

,

0

y

ln

2

g

2

====

====

====

σσσσ

Z uwagi na (26) powiemy, e w analizowanym przypadku prawdopodobie stwo tego, e udział płac w redniej

geometrycznej (medianie) mie ci si b dzie w przedziale od 0,449 do 2,225 wynosi 0,9545. Tym samym płace

odchylaj si od redniej geometrycznej (mediany) w przedziale –55,1% do 122,5% w około 95 przypadków na

sto.

Ad 3) Obecnie na podstawie (29) stwierdzamy, e

301

,

0

e

e

v

2

,

1

y

ln

3

d

3

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

32

,

3

e

e

v

2

,

1

y

ln

3

g

3

====

====

====

σσσσ

Z uwagi na (27) powiemy, e w analizowanym przypadku z prawdopodobie stwem 0,9973 udział płac w

redniej geometrycznej (medianie) mie ci si b dzie w przedziale od 0,301 do 3,32. Oznacza to, e

prawdopodobie stwo tego, i płace odchylaj si od redniej geometrycznej (mediany) w przedziale –69,88% do

232,01% wynosi 0,9973.

Nale y s dzi , i wcze niej przeprowadzone rozwa ania oraz otrzymane powy ej wyniki upowa niaj

do stwierdzenia, e

w sensie standardowym przeci tny udział płac w ich redniej geometrycznej (medianie)

waha si w granicach od 0,67 do 1,49, czyli płace przeci tnie odchylaj si od ich redniej geometryczne

(mediany) w przedziale od –33% do 49%. (patrz: rys.5)

3. ABSOLUTNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

W RELACJI DO REDNIEJ GEOMETRYCZNEJ

Wnioski wypływaj ce z przeprowadzonej powy ej analizy dotycz cej wzgl dnego

rozproszenia zmiennej losowej y wokół jej redniej geometrycznej s szczególnie przydatne

przy okre leniu wła ciwo ci stochastycznych modeli multiplikatywnych. W praktyce

statystycznej, w przypadku rozpatrywania zmiennych losowych o rozkładzie logarytmiczno-

normalnym, szczególnie interesuj ce mog by miary rozproszenia wyra one w jednostkach

absolutnych. Celem ich wyznaczenia przekształ my (15) do nast puj cej postaci:

6826

,

0

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

y

ln

====

σσσσ

++++

µµµµ

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

µµµµ

.

(30)

Po zdelogarytmowaniu stronami wyra enia zapisanego w nawiasie otrzymujemy:

6826

,

0

)

e

e

y

e

e

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

y

ln

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

µµµµ

σσσσ

−−−−

µµµµ

,

(31)

co po uwzgl dnieniu przyj tych wcze niej oznacze zapiszemy w nast puj cy sposób:

6826

,

0

)

v

g

y

v

g

(

P

g

d

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

(32)

Obecnie powiemy, e prawdopodobie stwo tego, i zmienna losowa y przyjmuje warto ci w

granicach od

g·v

d

do

g·v

g

, jest równe 0,6826. Zauwa my, e zarówno zmienna losowa y jak i

wyznaczone granice przedziałów wyra one s w jednostkach rzeczywistych analizowanej

zmiennej. Aby wyja ni istot asymetrii wyznaczonej tutaj absolutnej miary rozproszenia

zauwa my, e poniewa logarytm zmiennej

y ma rozkład normalny, wi c spełniona musi by

nast puj ca równo :

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

µµµµ

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

µµµµ

=

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

σσσσ

++++

µµµµ

≤≤≤≤

≤≤≤≤

µµµµ

= 0,341,

8

co po zdelogarytmowaniu wyra e ograniczonych nawiasami i przyj ciu wcze niej

przyj tych oznacze zapiszemy nast puj co:

341

,

0

)

v

g

y

g

(

P

)

g

y

v

g

(

P

d

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

.

(33)

Z uwagi na (25) stwierdzamy, e:

g

d

v

g

g

g

v

g

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

⋅⋅⋅⋅

(34)

Oznacza to, e analizowane absolutne rozproszenie zmiennej

y odnosi si do redniej

geometrycznej (mediany) zmiennej

y. Rozproszenie to charakteryzuje si tym, i

jednakowemu prawdopodobie stwu realizacji zdarze odpowiada, co do warto ci

bezwzgl dnej, mniejszy przedział dolny i wi kszy przedział górny odchyle zmiennej y

od jej redniej geometrycznej (mediany).

Obecnie mo emy powiedzie , e

przeci tne, w sensie standardowym, odchylenie

zmiennej losowej y od jej redniej geometrycznej (mediany) waha si w granicach od

g·v

d

do g·v

g

. Jest to, jak si wydaje, w miar poprawny sposób okre lenia przeci tnej,

absolutnej miary rozproszenia zmiennej losowej

y w stosunku do jej warto ci redniej w

sytuacji, gdy zmienna ta charakteryzuje si asymetrycznym rozkładem. Uzupełniaj c

rozwa ania dotycz ce absolutnego rozproszenia zmiennej losowej y wzgl dem jej redniej

geometrycznej (mediany) zauwa my, e zgodnie z reguł trzech sigm otrzymujemy:

9545

,

0

)

v

g

y

v

g

(

P

g

2

d

2

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

(35)

9945

,

0

)

v

g

y

v

g

(

P

g

3

d

3

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

(36)

W uj ciu graficznym sytuacj omawian powy ej przedstawiono na rys.1.

Przykład 3

Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 wyznaczy absolutne przedziały rozproszenia płac w stosunku

redniej geometrycznej (mediany) realizowane z prawdopodobie stwem:

1) P

1

=0,6826,

2) P

2

=0,9545,

3)

P

3

=0,9973. Wyniki zinterpretowa charakteryzuj c równocze nie asymetri badanych miar rozproszenia.

Na wst pie zauwa my, e rednia geometryczna płac (mediana płac) wynosi: g =1800 zł

Ad 1) Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (32) wynosz odpowiednio:

g·v

d

= 1800·0,67 = 1206 zł,

g·v

g

= 1800·1,49 = 2682 zł.

Powiemy, e prawdopodobie stwo tego, i płace pracowników odchylaj si od ich redniej geometrycznej

(mediany) w przedziale od 1206 zł do 2682 zł wynosi 0,6826. Z drugiej strony prawdopodobie stwo tego, i

płace b d zawarte w przedziale od 1206 zł do 1800 zł jest równe prawdopodobie stwu tego, i płace b d

zawarte w przedziale od 1800 zł do 2682 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich redniej

geometrycznej wynosi –594 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 882 zł.

gdzie: g = exp

µ

lny

= exp E lny

v

d

= exp(-

σ

lny

), v

g

= exp(

σ

lny

).

Rys. 3 Absolutne rozproszenie zmiennej y w relacji do redniej geometrycznej

w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego

σ

lnv

σ

lny

0

µ

lny

-

σ

lny

µ

lny

µ

lny

+

σ

lny

lny

E lny=lng

0 g·v

d

g g·v

g

y

g=My

g-gv

d

gv

g

-g

f(lny) f(y)

9

Ad 2) Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (35) wynosz odpowiednio:

g·v

2d

= 1800·0,449 = 808 zł,

g·v

2g

= 1800·2,225 = 4005 zł.

Tak wi c prawdopodobie stwo tego, i płace pracowników odchylaj si od ich redniej geometrycznej

(mediany) w przedziale od 808 zł do 4005 zł wynosi 0,9545. Z drugiej strony prawdopodobie stwo tego, i

płace b d zawarte w przedziale od 808 zł do 1800 zł jest równe prawdopodobie stwu tego, i płace b d

zawarte w przedziale od 1800 zł do 4005 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich redniej

geometrycznej wynosi –992 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 2205 zł.

Ad 3)

Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (36) wynosz odpowiednio:

g·v

3d

= 1800·0,301 = 542 zł,

g·v

3g

= 1800·3,320 = 5976 zł.

Tym samym prawdopodobie stwo tego, i płace pracowników odchylaj si od ich redniej geometrycznej

(mediany) w przedziale od 542 zł do 5976 zł wynosi 0,9973. Z drugiej strony prawdopodobie stwo tego, i

płace b d zawarte w przedziale od 542 zł do 1800 zł jest równe prawdopodobie stwu tego, i płace b d

zawarte w przedziale od 1800 zł do 5976 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich redniej

geometrycznej wynosi –1258 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 4176 zł. (patrz: rys.5)

4. ABSOLUTNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

W RELACJI DO REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Omawiane dotychczas miary rozproszenia odnosiły si do redniej geometrycznej. W

prowadzonych rozwa aniach pomijali my miar rozproszenia odnosz c si do warto ci

oczekiwanej y, czyli redniej arytmetycznej tej zmiennej. Skoncentrowanie si na redniej

geometrycznej uzna jednak nale y za zasadne, z uwagi na fakt, e logarytm redniej

geometrycznej jest jednocze nie warto ci oczekiwan w rozkładzie normalnym logarytmu

zmiennej y. Powstaje jednak pytanie, jakimi wła ciwo ciami charakteryzuje si rozproszenia

zmiennej y wokół jej redniej arytmetycznej? Zauwa my, e rozproszenie to mierzone

odchyleniem standardowym (10) w relacji do warto ci oczekiwanej zmiennej y (6) w sensie

odległo ci jest symetryczne. Natomiast, z uwagi na charakter rozkładu logarytmiczno-

normalnego, jest ono asymetryczne w sensie prawdopodobie stwa realizacji zdarze

zachodz cych w odchyleniu dolnym i górnym od redniej arytmetycznej. Z uwagi na fakt, e

rednia arytmetyczna jest poło ona bardziej na prawo od redniej geometrycznej, b d cej

median w rozpatrywanym rozkładzie, musi zaj nast puj ca nierówno :

)

y

(

P

)

y

(

P

y

y

y

g

y

y

y

d

σσσσ

++++

µµµµ

<<<<

<<<<

µµµµ

>>>>

µµµµ

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

µµµµ

(37)

gdzie wyst puj ce w nawiasach parametry rozkładu zmiennej y zdefiniowano w (6) i w (10),

natomiast

P

d

i

P

g

s odpowiednio prawdopodobie stwami zaj cia zdarze w przedziale

dolnym i górnym odchyle zmiennej losowej y od jej redniej arytmetycznej o wielko

odchylenia standardowego. Obecnie utrzymuj c oznaczenia w my l których:

• a =

y

, jest redni arytmetyczn zmiennej y,

• ln g = ln

lny

, jest logarytmem redniej geometrycznej zmiennej y,

przekształcimy (37) do po danej standaryzowanej postaci prawdopodobie stw w

nast puj cy sposób:

)

a

y

a

(

P

)

a

y

a

(

P

y

g

y

d

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

>>>>

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

,

(38)

)]

a

ln(

y

ln

a

(ln

P

)

a

ln

y

ln

)

a

[ln(

P

y

g

y

d

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

>>>>

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

,

(39)

)

z

z

z

(

P

)

z

z

z

(

P

2

0

g

0

1

d

<<<<

<<<<

>>>>

<<<<

<<<<

,

(40)

gdzie:

y

ln

y

ln

)

g

y

ln(

g

ln

y

ln

z

σσσσ

====

σσσσ

−−−−

====

(41)

10

y

ln

y

ln

0

)

g

/

a

ln(

g

ln

a

ln

z

σσσσ

====

σσσσ

−−−−

====

(42)

y

ln

y

y

ln

y

1

]

g

/

)

a

ln[(

g

ln

)

a

ln(

z

σσσσ

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

−−−−

σσσσ

−−−−

====

(43)

y

ln

y

y

ln

y

2

]

g

/

)

a

ln[(

g

ln

)

a

ln(

z

σσσσ

σσσσ

++++

====

σσσσ

−−−−

σσσσ

++++

====

(44)

Na podstawie (38), (39), (40), (41) i (42) potrafimy okre li prawdopodobie stwo zaj cia

zdarze opisanych przez (37), co w uj ciu graficznym, przedstawiono na rys. 4.

Przykład 4

Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 obliczy i zinterpretowa :

1.

odchylenie standardowe płac (y) wzgl dem ich redniej arytmetycznej a =

y

,

2.

prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d mniejsze o wielko jednego odchylenia standardowego od

płacy wyznaczonej na poziomie redniej arytmetycznej,

3.

prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d wi ksze o wielko jednego odchylenia standardowego od

płacy wyznaczonej na poziomie redniej arytmetycznej,

4.

prawdopodobie stwo tego, e płace b d mniejsze (wi ksze) od płacy wyznaczonej na poziomie redniej

arytmetycznej,

Ad 1) Wiedz c, e rednia arytmetyczna płac a=1950 zł oraz wariancja logarytmu płac wynosi 0,16 odchylenie

standardowe zmiennej y od jej redniej arytmetycznej wyznaczymy na podstawie (10) i (14). Wynosi ono:

27

,

812

1

e

1950

1

e

e

16

,

0

y

2

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

=

−

=

−

=

σ

σ

σ

+

µ

zł.

Wst pnie powiemy, e płace przeci tnie odchylaj si od płacy redniej, wynosz cej 1950 zł, o około 812,27 zł.

Aby w pełni poprawnie zinterpretowa odchylenie standardowe, w przypadku rozkładu asymetrycznego

powinni my okre li prawdopodobie stwo odchyle dolnych i górnych

Przed okre leniem prawdopodobie stw z punktów 2, 3 i 4 obliczamy zgodnie z (42), (43) i (44)

warto ci z

0

, z

1

, i z

2

. Warto ci te równaj si odpowiednio:

z

0

= [ln(a/g)]/

lny

= [ln(1950/1800)]/0,4 = 0,20

z

1

= {ln[(a-

y

)/g)]}/

lny

= {ln[(1950-812,27)/1800]}/0,4 = -1,15

z

2

= {ln[(a+

y

)/g)]}/

lny

= {ln[(1950+812,27)/1800]}/0,4 = 1,07

gdzie: g = exp

µ

lny

= exp E lny

a = Ey = g exp(1/2)

σ

2

lny

σ

2

y

= E(y-

µ

y

)

2

= E(y-a)

2

Rys.4 Absolutne rozproszenie zmiennej y w relacji do redniej arytmetycznej

w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego

0 ln(a-

σ

y

)

µ

lny

lna ln(a+

σ

y

) lny 0 a-

σ

y

g a=

µ

y

a+

σ

y

y

E lny Dy My Ey

σ

y

σ

y

ln[a/(a-

σ

y

)] ln(1+

σ

y

/a)

11

Ad 2) Post puj c zgodnie z odpowiedni procedur (patrz: [10] s. 91-93) wyznaczamy prawdopodobie stwo

tego, e płace nie b d mniejsze o jedno odchylenie standardowe od płacy wyznaczonej na poziomie redniej

arytmetycznej. Prawdopodobie stwo to wynosi:

P

d

(a-

y

< y < a) = P

d

(z

1

<z < z

0

) = P

d

(-1,15<z<0,20) = 0,3749 + 0,0793 =

0,454

Powiemy, e prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d mniejsze o 812,27 zł (odchylenie standardowe) od

1950 zł ( rednia arytmetyczna) jest równe 0,454.

Ad 3) Post puj c zgodnie z odpowiedni procedur (patrz: [10] s. 91-93) wyznaczamy prawdopodobie stwo

tego, e płace nie b d wi ksze o jedno odchylenie standardowe od płacy wyznaczonej na poziomie redniej

arytmetycznej. Prawdopodobie stwo to wynosi:

P

g

(a < y < a+

y

) = P

g

(z

0

<z < z

2

) = P

g

(0,2<z<1,07) = -0,0793 + 0,3577=

0,2784

Oznacza to, e prawdopodobie stwo tego, e płace nie b d wi ksze o 812,27 zł (odchylenie standardowe) od

1950 zł ( rednia arytmetyczna) jest równe 0,2784.

Obecnie precyzuj c interpretacj odchylenia standardowego z Ad 1) powiemy, e płace przeci tnie

odchylaj si od płacy redniej wynosz cej 1950 zł o około 812,7 zł, z prawdopodobie stwem P

d

+P

g

=

0,7324.

Ad 4) Przechodz c do wyznaczenia prawdopodobie stwa tego, e płace b d mniejsze od redniej

arytmetycznej wynosz cej a=1950 zł zauwa my, e:

P(0<y<a) = P

1

(0<y<g) + P

2

(g<y<a) = 0,5 + P

2

(g<y<a).

Obecnie logarytmuj c i standaryzuj c zmienne wyst puj ce w nawiasie przy P

2

i post puj c zgodnie z procedur

wyznaczania prawdopodobie stwa dla standaryzowanych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym

otrzymujemy:

P

2

(lng<lny<lna) = P

2

[(lng-lng)/

lny

)<(lny-lng)/

lny

)<(lna-lng)/

lny

)] = P

2

(0<z<z

0

) = 0 +0,0793 = 0,0793

Ostatecznie stwierdzamy, e:

P(0<y<a) = P

1

+ P

2

= 0,5 + 0,0793 =

0,5793

Powiemy wi c, e w 58 przypadkach na 100 płace pracowników analizowanego sektora b d ni sze od ich

redniej arytmetycznej, tym samym w w 42 przypadkach na 100 płace pracowników analizowanego sektora b d

wy sze od ich redniej arytmetycznej (patrz: rys.5).

5. WZGL DNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

W RELACJI DO REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

Aby wyznaczy i poprawnie zinterpretowa wzgl dn miar rozproszenia zmiennej

losowej

y w relacji do redniej arytmetycznej wykorzystajmy nierówno (38). Na jej

podstawie powiemy, e:

)

a

y

a

(

P

)

a

y

a

(

P

)

a

y

a

(

P

y

g

y

d

y

y

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

.

(45)

Po podzieleniu stronami elementów zawartych w nawiasach przez wielko redniej

arytmetycznej (

a) otrzymujemy:

)

a

1

a

y

1

(

P

)

1

a

y

a

1

(

P

)

a

1

a

y

a

1

(

P

y

g

y

d

y

y

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

,

(46)

co równowa nie mo emy zapisa nast puj co:

)

a

1

a

y

0

(

P

)

0

1

a

y

a

(

P

)

a

1

a

y

a

(

P

y

g

y

d

y

y

σσσσ

<<<<

−−−−

<<<<

++++

<<<<

−−−−

<<<<

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

<<<<

−−−−

<<<<

σσσσ

−−−−

.

(47)

gdzie

E(y/a) =1, tym samym E[(y-a)/a] = 0.

Zauwa my, e iloraz odchylenia standardowego i redniej arytmetycznej wyra ony w

postaci ułamkowej lub w procentach nazywany jest współczynnikiem zmienno ci losowej.

Jak pisz Kendall i Buckland (patrz.: [8] s. 270) został on po raz pierwszy zaproponowany

przez K. Pearsona w 1895 roku w celu porównania dyspersji rozkładów cz sto ci. Oznaczaj c

współczynnik zmienno ci losowej du liter V mamy:

a

V

y

σσσσ

====

.

(48)

12

Wykorzystuj c powy sz definicj wyra enie (47) zapiszemy nast puj co:

)

V

a

a

y

0

(

P

)

0

a

1

y

V

(

P

)

V

a

a

y

V

(

P

g

d

<<<<

−−−−

<<<<

++++

<<<<

−−−−

<<<<

−−−−

====

<<<<

−−−−

<<<<

−−−−

(49)

gdzie, zgodnie z (38)

P

d

> P

g

.

Na podstawie powy szego stwierdzamy, e w przypadku rozkładu logarytmiczno-

normalnego zmiennej losowej

y:

• przeci tnie zmienna losowa y odchyla si od redniej arytmetycznej o (V 100)%,

• prawdopodobie stwo tego, i zmienna losowa przeci tnie odchyli si od redniej

arytmetycznej o

-(V 100)% jest wi ksze od prawdopodobie stwo tego, e zmienna ta

przeci tnie odchyli si od redniej arytmetycznej o

(V 100)%, co wynika z asymetrii

rozkładu zmiennej losowej y.

Przykład 5

Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 oraz informacji z przykładu 4 obliczy i zinterpretowa

współczynnik zmienno ci losowej płac wzgl dem ich redniej arytmetycznej.

Z uwagi na fakt, e:

a = 1950,00 zł,

y

= 812,27 zł,

otrzymujemy:

V=812,27/1950 =0,4165.

Powiemy wi c, ze przeci tnie płace pracowników analizowanego sektora odchylaj si od ich redniej

arytmetycznej wynosz cej 1950 zł o około 41,65%.

Celem doprecyzowania powy szej interpretacji, wykorzystuj c zapis (48) oraz informacje z przykładu 4

stwierdzamy, e:

P

d

{-0,4165<[(y-1950)/1950]<0} = 0,454,

P

g

{0<[(y-1950)/1950]<0,4165} = 0,2785,

P{-0,4165<[(y-1950)/1950]<0,4165} = 0,7324.

Oznacza to, e w 73,24 przypadkach na 100 płace nie b d ni sze lub wy sze o wi cej ni 41,65% od

ich redniej arytmetycznej. U ci laj c powiemy, e w 45,4 przypadkach na 100 płace nie b d ni sze od ich

redniej arytmetycznej o wi cej ni 41,65% i jednocze nie o t wielko nie b d wy sze od ich redniej

arytmetycznej w 27,85 przypadkach na 100. (patrz: rys. 5)

Podsumowuj c t cz

rozwa a powiemy, e

jednakowemu rozproszeniu

absolutnemu i wzgl dnemu zmiennej losowej w relacji do redniej arytmetycznej

odpowiada wi ksze prawdopodobie stwo odchyle ujemnych oraz mniejsze

prawdopodobie stwo odchyle dodatnich (patrz: rys.5).

5. DWA RÓWNOWA NE TWIERDZENIA DOTYCZ CE

ROZKŁADU LOGARYTMICZNO-NORMALNEGO

W dotychczas prowadzonych rozwa aniach warto oczekiwan (6) i wariancj

zmiennej

y (9) wyra ali my w kategoriach warto ci oczekiwanej i wariancji logarytmu

zmiennej

y. W sensie poznawczym za po yteczne nale y uzna odwrócenie sytuacji poprzez

wyra enie warto ci oczekiwanej oraz wariancji logarytmu zmiennej

y w kategoriach warto ci

oczekiwanej zmiennej

y. W tym celu, zgodnie z propozycj Teekens’a i Koerts’a (patrz:

[15]), wyra my (9) w nast puj cej postaci:

)

1

e

(

e

2

y

ln

2

)

2

y

ln

y

ln

(

2

y

−−−−

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

++++

µµµµ

(50)

Wykorzystuj c (6) powy sze wyra enie zapiszemy nast puj co:

13

2

y

2

y

ln

2

y

2

y

ln

2

y

2

y

e

)

1

e

(

µµµµ

−−−−

µµµµ

====

−−−−

µµµµ

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

(51)

Przekształcaj c (51) otrzymujemy kolejno:

2

y

2

y

2

y

ln

2

y

e

µµµµ

++++

σσσσ

====

µµµµ

σσσσ

,

1

e

2

y

2

y

y

ln

++++

µµµµ

σσσσ

====

σσσσ

,

i ostatecznie:

++++

µµµµ

σσσσ

====

−−−−

====

σσσσ

1

ln

)

y

ln

E

y

(ln

E

2

y

2

y

2

2

y

ln

,

(52)

co nale ało wykaza .

Z drugiej strony na podstawie (6) mamy:

2

y

ln

2

1

y

ln

y

e

e

σσσσ

µµµµ

====

µµµµ

.

(53)

Wprowadzaj c w powy szym wyra eniu w miejsce wariancji logarytmu zmiennej

y

wariancj zdefiniowan w (52) otrzymujemy:

++++

µµµµ

σσσσ

µµµµ

====

µµµµ

1

2

y

2

y

ln

2

1

y

ln

y

e

e

,

co logarytmuj c obustronnie daje:

++++

µµµµ

σσσσ

++++

µµµµ

====

µµµµ

1

ln

ln

2

y

2

y

2

1

y

ln

y

Przekształcaj c powy sze wyra enie, otrzymujemy ostatecznie

2

:

++++

µµµµ

σσσσ

−−−−

µµµµ

====

µµµµ

1

ln

ln

2

y

2

y

2

1

y

y

ln

.

(54)

Obecnie sformułowa mo emy dwa równowa ne wzgl dem siebie twierdzenia

dotycz ce rozkładu logarytmiczno-normalnego zmiennej losowej

y. Przy pierwszym z nich

wykorzystamy zdefiniowania uj te w (2), (3), (6) oraz (9) i powiemy:

TWIERDZENIE 1. Je eli logarytm zmiennej losowej y ma rozkład normalny

)

,

(

2

y

ln

y

ln

σ

µ

Ν

to zmienna y ma rozkład logarytmiczno-normalny

)]

1

e

(

e

,

e

[

2

y

ln

2

y

ln

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

2

−

+

+

σ

σ

µ

σ

µ

Λ

Z kolei wykorzystuj c (52) i (54) oraz ogólne zdefiniowanie warto ci oczekiwanej i

wariancji zmiennej losowej y powiemy:

TWIERDZENIE 2. Je eli zmienna losowa y ma rozkład logarytmiczno-normalny

2

Przedstawiony tutaj sposób przekształce , wynikaj cy z propozycji Teekens’a i Koerts’a [15], znajdzie

czytelnik w monografii [13] s. 18-19.

14

)

,

(

2

y

y

σ

µ

Λ

to logarytm zmiennej losowej y ma rozkład normalny

]

1

ln

,

1

ln

[ln

2

y

2

y

2

y

2

y

2

1

y

+

+

−

µ

σ

µ

σ

µ

Ν

Alternatywny sposób zdefiniowania rozkładu logarytmiczno-normalnego sugeruje

mo liwo alternatywnego wzgl dem (14) zdefiniowania zwi zku pomi dzy redni

arytmetyczn i geometryczn . W tym celu zdelogarytmujmy stronami wyra enie (54), w

wyniku czego otrzymujemy:

++++

µµµµ

σσσσ

−−−−

µµµµ

µµµµ

====

1

2

y

2

y

2

1

y

ln

y

ln

e

e

e

(55)

Zauwa my, ze wyra enie z lewej strony równania jest rednia geometryczna zmiennej

y,

natomiast

y

=exp(ln

y

) jest redni arytmetyczn (a). W konsekwencji tego otrzymujemy:

1

a

a

g

2

2

y

−−−−

σσσσ

====

(56)

Po prostym przekształceniu (56), alternatywny wzgl dem (14) zwi zek funkcyjny pomi dzy

redni geometryczn i arytmetyczn , przedstawia si nast puj co:

2

2

y

2

a

a

g

++++

σσσσ

====

(57)

Przykład 6

Niech płace miesi czne (y) pracowników pewnego sektora gospodarczego charakteryzuj si rozkładem

logarytmiczno-normalnym. Płace wyra one s w złotych. Załó my, e warto oczekiwana ( rednia

arytmetyczna) i odchylenie standardowe płac równaj si odpowiednio:

a =

y

= 1950 zł,

y

= 812,27 zł.

Okre li :

1) median ( redni geometryczn ) płac 2) wzgl dne rozproszenie płac wokół redniej geometrycznej.

Na wst pie zauwa my, e w omawianym przypadku mamy:

a

2

= 1950

2

= 3 802 500

2

y

= 812,27

2

= 659 782,55

Ad 1) Na podstawie (57) otrzymujemy:

1800

500

802

3

52

,

722

659

500

802

3

g

=

+

=

zł,

co jest zgodne z zało eniami do przykładu 1.

Ad 2) Wariancj logarytmu zmiennej y wzgl dem logarytmu zmiennej geometrycznej obliczymy w warunkach

alternatywnych na podstawie (52). W rezultacie otrzymujemy:

16

,

0

1

500

802

3

55

,

782

659

ln

2

y

ln

=

+

=

σ

,

co znajduje potwierdzenie w danych do przykładu 1.

Oczywi cie odchylenie standardowej logarytmu zmiennej y jest równe:

lny

=0,4. Na jego podstawie obliczymy

przeci tne w sensie standardowym, wzgl dne rozproszenie zmiennej y w stosunku do redniej geometrycznej

(mediany) płac. Zgodnie z (19) i (20) mamy:

v

d

= exp(-0,4) = 0,67

v

d

= exp(0,4) = 1,4918

Obecnie tak jak w przykładzie 2 powiemy, e

w sensie standardowym przeci tny udział płac w ich redniej

geometrycznej (medianie) waha si w granicach od 0,67 do 1,49, czyli płace przeci tnie odchylaj si od

ich redniej geometryczne (mediany) w przedziale od –33% do 49%. Rozpatrywany przykład unaocznia

równowa no Twierdzenia 1 i 2 (patrz: rys. 5).

15

Ko cz c t cz

rozwa a zauwa my, e mimo równowa no ci Twierdzenia 1 i 2

uzna nale y Twierdzenie 2 za pochodne wzgl dem Twierdzenia 1. wiadczy o tym sposób

dochodzenia do Twierdzenia 2, wynikaj cy z przekształce parametrów rozkładu normalnego

logarytmu zmiennej losowej y.

7. PARAMETRY ROZKŁADU RELACJI ZMIENNEJ LOSOWEJ

DO JEJ REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I GEOMETRYCZNEJ

- KRÓTKIE WPROWADZENIE DO MODELI MULTIPLIKATYWNYCH

Rozpatrywany rozkład logarytmiczno-normalny w naturalny sposób zwi zany jest z

modelami multiplikatywnymi. Aby to wyja ni załó my, e zmienna

v wyra a stosunek

pewnej, przyjmuj cej jedynie warto ci dodatnie, zmiennej losowej

y do pewnego dodatniego,

nielosowego parametru :

0

y

v

µµµµ

====

.

(58)

f(y)

-g v

d

g v

g

-g v

2d

g v

2g

Dy My Ey y

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Rys. 5 Pogl dowy rysunek funkcji g sto ci rozkładu logarytmiczno-normalnego płac

w rozpatrywanym przykładzie, gdzie:
rednia geometryczna (mediana) płac:

1800

e

e

g

My

49554

,

7

y

ln

====

====

====

====

µµµµ

zł ,

rednia arytmetyczna (warto oczekiwana) płac:

1950

e

1800

e

g

a

Ey

16

,

0

15

,

0

2

y

ln

5

,

0

====

====

====

====

⋅⋅⋅⋅

σσσσ

⋅⋅⋅⋅

zł,

warto dominuj ca (dominanta) płac:

9

,

1533

e

1800

e

Dy

16

,

0

2

y

ln

y

ln

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

µµµµ

zł,

odchylenie standardowe logarytmu płac:

lny

= 0,4

miary rozproszenia wzgl dnego i absolutnego płac:

A) v

d

= e

-

= e

-0,4

=0,67; v

g

= e

= e

0,4

= 1,49

g·v

d

= 1800·0,67 = 1206 zł, g·v

g

= 1800·1,49 = 2682 zł

P(1206 zł < y < 2682 zł) = 0,6826

B) v

2d

= e

-2

= e

-0,8

= 0,449, v

2g

= e

2

= e

0,8

= 2,225

g·v

2d

= 1800·0,449 = 808 zł, g·v

2g

= 1800·2,225 = 4005 zł.

P(808 zł < y < 4005 zł) = 0,9545

16

Oznacza to, e

v

y

⋅⋅⋅⋅

µµµµ

====

.

(59)

Je li obecnie zało ymy, i warto oczekiwana zmiennej losowej v jest równa jeden, tzn.:

1

Ev

v

====

====

µµµµ

,

(60)

wówczas stwierdzamy, e

a

Ev

Ey

====

µµµµ

====

⋅⋅⋅⋅

µµµµ

====

.

(61)

Oznacza to, e

wtedy gdy spełniony jest warunek w my l którego Ev=1, to parametr w

równaniu (59) jest redni arytmetyczn zmiennej losowej y, co zasygnalizowano za

pomoc symbolu

a, zgodnie z wcze niej przyj t umow . Jednocze nie zmienna losowa v

wyra a sob stosunek zmiennej losowej y do jej redniej arytmetycznej zgodnie z (58).

Po zlogarytmowaniu stronami równania (59) otrzymujemy:

u

ln

y

ln

++++

µµµµ

====

(62)

gdzie:

v

ln

u ====

.

(63)

Zauwa my, e

je li zmienna u ma rozkład normalny to zmienna v ma rozkład

logarytmiczno-normalny. Je li obecnie zało ymy, e warto oczekiwana u jest równa zero,

tzn.:

0

Eu

u

====

====

µµµµ

,

(64)

wówczas stwierdzamy, e

µµµµ

====

++++

µµµµ

====

ln

Eu

ln

E

y

ln

E

.

(65)

Poniewa warto oczekiwana logarytmu zmiennej

y jest równa logarytmowi parametru ,

wi c parametr jest redni geometryczn zmiennej

y, jako e

g

e

e

ln

y

ln

=

µ

=

=

µ

(66)

Oznacza to, e

wtedy gdy spełniony jest warunek w my l którego Eu=lnv=0, to parametr

w równaniu (59) jest redni geometryczn zmiennej losowej y, co zasygnalizowano za

pomoc symbolu

g, zgodnie z wcze niej przyj t umow . Jednocze nie zmienna losowa v

wyra a sob stosunek zmiennej losowej

y do jej redniej geometrycznej zgodnie z (58)

3

.

Obecnie na bazie dwu wcze niej sformułowanych alternatywnych twierdze ,

sformułowa mo emy dwa nast pne dotycz ce zwi zków pomi dzy parametrami rozkładu

zmiennych losowych

u i v.

TWIERDZENIE 3. Je eli w warunkach (63) zmienna losowa u ma rozkład normalny

)

,

0

(

2

u

σ

Ν

,

to v jest zmienn losow o rozkładzie logarytmiczno-normalnym

)]

1

e

(

e

,

e

[

2

u

2

u

2

u

2

1

−

σ

σ

σ

Λ

TWIERDZENIE 4

4

. Je eli w warunkach (63) zmienna v jest zmienna losow o rozkładzie

logarytmiczno-normalnym

)

,

1

(

2

v

σ

Λ

3

Przedstawione tutaj zało enia i wypływaj ce z nich wnioski stanowiły podstaw rozwa a dotycz cych modeli

multiplikatywnych w artykułach [2], [12] i monografii [13].

4

Twierdzenie to stanowiło podstaw do poszukiwa nieobci onego estymatora dla składnika systematycznego

w modelu multiplikatywnym w przypadku gdy składnik ten wyznacza warunkowe rednie arytmetyczne

zmiennej obja nianej (por: [3], [6], [7] i [15]).

17

to u jest zmienn losow o rozkładzie normalnym

(

) (

)

]

1

ln

,

1

ln

[

2

v

2

v

2

1

+

+

−

σ

σ

Ν

Podsumowuj c zauwa my, e parametr mo e by uznany za warunkow redni

arytmetyczn lub geometryczn zmiennej losowej

y w sytuacji, gdy rednia arytmetyczna a,

tym samym rednia geometryczna tej zmiennej, ulega b dzie zmianie pod wpływem

czynników nielosowych. Zmiana bowiem warunkowej redniej geometrycznej zmiennej

y,

charakteryzuj cej si rozkładem logarytmiczno-normalnym, gwarantuje ci le okre lone

zmiany warunkowej redniej arytmetycznej i odwrotnie, zmiana warunkowej redniej

arytmetycznej zmiennej

y gwarantuje ci le okre lone zmiany warunkowej redniej

geometrycznej. O tym, czy parametr ma by warunkow redni arytmetyczn lub

geometryczn decydujemy przyjmuj c okre lone zało enia dotycz ce parametrów rozkładu

zmiennej losowej

v a tym samym zmiennej u. Nale y podkre li z cał moc , e zmienna

losowa

y, je li charakteryzuje si rozkładem logarytmiczno-normalnym, ma ci le okre lone

parametry rozkładu, takie jak rednia arytmetyczna (warto oczekiwana), rednia

geometryczna (mediana), dominanta, wariancja zmiennej

y lub wariancja logarytmu zmiennej

y. Tym samym korzystanie z twierdzenia 3 lub 4 w niczym nie narusza charakterystyki

rozkładu zmiennej losowej

y. Decyduje jedynie o wyborze parametru odniesienia w stosunku

do innych parametrów rozkładu zmiennej

y, a tym samym o sposobie zapisu wszystkich

pozostałych parametrów rozkładu zmiennej

y. Parametry te bowiem mo emy zapisywa w

kategoriach zmiennej

y lub jej logarytmu a tym samym w kategoriach zmiennej u lub v.

WNIOSKI KO COWE

W artykule wykazano, e w przypadku, gdy zmienna losowa

y ma rozkład

logarytmiczno-normalny

N(

lny

,

2

lny

) to:

• parametry v

d

=exp(-

lny

) i v

g

=exp(

lny

) wyznaczaj przedział dla przeci tnego w sensie

standardowym, wzgl dnego rozproszenia zmiennej

y w stosunku do jej redniej

geometrycznej

g=exp(

lny)

,

• parametry g·v

d

do

g·v

g

wyznaczaj przedział dla przeci tnego w sensie standardowym,

absolutnego rozproszenia zmiennej

y wzgl dem jej redniej geometrycznej.

Stwierdzono:

• dla przypadku redniej geometrycznej zmiennej losowej y, i jednakowemu

prawdopodobie stwu realizacji zdarze odpowiada, co do warto ci bezwzgl dnej,

mniejszy przedział dolny i wi kszy przedział górny odchyle zmiennej

y od jej redniej

geometrycznej (mediany).

• dla przypadku redniej arytmetycznej zmiennej losowej y, i jednakowemu rozproszeniu

absolutnemu i wzgl dnemu zmiennej losowej

y w relacji do redniej arytmetycznej

odpowiada wi ksze prawdopodobie stwo odchyle ujemnych oraz mniejsze

prawdopodobie stwo odchyle dodatnich.

Na podstawie przeprowadzonej analizy dotycz cej rodzajów miar dyspersji

wnioskujemy, e:

• miar wzgl dnego rozproszenia zmiennej losowej uzna mo na za naturaln miar

rozproszenia zmiennej losowej w relacji do redniej geometrycznej; natomiast miar

absolutnego rozproszenia zmiennej losowej wzgl dem redniej geometrycznej uzna

nale y za miar pochodn wzgl dem miary rozproszenia wzgl dnego.

• miar absolutnego rozproszenia zmiennej losowej uzna mo na za naturaln miar

rozproszenia zmiennej losowej w relacji do redniej arytmetycznej; natomiast miar

wzgl dnego rozproszenia zmiennej losowej wzgl dem redniej arytmetycznej uzna

nale y za miar pochodn wzgl dem miary rozproszenia absolutnego.

18

Wykazano ponadto, e w zakresie zwi zków pomi dzy redni arytmetyczn (

a) i

geometryczn (

g) zmiennej losowej y o rozkładzie logarytmiczno-normalnym, funkcja:

g=a

2

(

2

y

+a

2

)

-(1/2)

jest równowa na funkcji:

g=a·exp[(1/2)

2

lny

], gdzie parametr

2

y

jest

wariancj zmiennej losowej

y, natomiast parametr

2

lny

jest wariancj logarytmu zmiennej

losowej

y.

LITERATURA

[1] Aitchison J., Brown A., The Lognormal Distribution, Cambridge University Press, Cambidge 1957.

[2] Bołt T.W., Ossowski J., Prognozowanie na podstawie modeli logarytmiczno-liniowych, Przegl d

Statystyczny 1992, z. 3-4 s.327-340.

[3] Bradu D., Mundlak Y., Estimation in Lognormal Linear Models, Journal of the American Staistical

Association, 1970 nr 65, s.198-211.

[4] Bronsztejn J.N., Siemiendiajew K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1976

[5] Goldberger A.S., Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa 1972.

[6] Golberger A.S., The Interpretation and Estimation of Cobb-Douglas Functions, Econometrica, 1968 nr 35,

s. 464-472.

[7] Heien D.M.: Not on Log-linear Regression, Journal on the American Statistical Associacion, 1968 nr 63,

s.1034-1038

[8] Kendall M. Bucland W.R., Słownik terminów statystycznych, PWE, Warszawa 1975.

[9] Klein L.R., Wst p do ekonometrii, PWE, Warszawa 1965.

[10] Kmenta J.: Elements of Econometrics, Second Edition, Macmillan Publishing Company, New York 1990.

[11] Murti V.N., Sastry V.K., Production Functions for Indian Industry, Economerica, 1957 nr 25, s. 205-221.

[12] Ossowski J., Własno ci interpretacyjne składnika losowego w modelu multiplikatywnym, Przegl d

Statystyczny 1988, z.2, s.131-142.

[13] Ossowski J., Modele klasy logarytmiczno-liniowej w analizie efektywno ci procesu produkcji,

Wydawnictwo Uniwersytetu Gda skiego, Gda sk 1989, Zeszyty Naukowe, Rozprawy i Monografie 130.

[14] Pawłowski Z., Wst p do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1969.

[15] Teekens R., Koerts J.., Some Statistical Implications of the Log Transformations of Multiplicative Models,

Econometrica, 1972 nr 5 , s. 793-819.

[16] Theil H., Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa 1979