1 

 

 

 

 

 

Jerzy Czesław Ossowski 

Katedra Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem 

Wydział Zarz dzania i Ekonomii 

Politechnika Gda ska 

 

VIII Ogólnopolskie Seminarium Naukowe nt. „Dynamiczne Modele Ekonometryczne”, 

Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, 

Toru , 9-11 wrzesie  2003,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY 

A WZGL DNE I ABSOLUTNE MIARY ROZPROSZENIA 

 

1. ROZKŁAD LOGARYTMICZNO-NORMALNY 

A  REDNIA ARYTMETYCZNA I GEOMETRYCZNA 

 

 

Wi kszo  zmiennych ekonomicznych przyjmuje jedynie warto ci dodatnie. Wiele z 

nich  scharakteryzowa   mo emy  za  pomoc   rozkładu  logarytmiczno-normalnego.  Uznajmy, 

e zmienna losowa y nale y do tej grupy zmiennych. Oznacza to,  e logarytm naturalny tej 

zmiennej ma rozkład normalny, tym samym funkcja g sto ci prawdopodobie stwa dana jest 

wzorem ([1] s.8, [14] s. 170-172):  

2

y

ln

2

2

)

y

ln

y

(ln

y

ln

e

2

1

)

y

(ln

f

σσσσ

µµµµ

−−−−

−−−−

ππππ

σσσσ

====

,   

 

 

(1) 

 

w którym parametry warto ci oczekiwanej i wariancji zmiennej lny definiujemy nast puj co: 

 

     

y

ln

E

y

ln

====

µµµµ

, 

 

 

 

 

(2) 

 

 

2

y

ln

2

y

ln

)

y

(ln

E

µµµµ

−−−−

====

σσσσ

. 

 

 

 

(3) 

Odchylenie standardowe jest równe: 

2

y

ln

y

ln

)

y

(ln

E

µµµµ

−−−−

====

σσσσ

. 

 

 

 

(4) 

 

 

 

2 

Wykorzystuj c  fakt,  e 

y

/

dy

y

ln

d

====

,  funkcj   g sto ci  prawdopodobie stwa  logarytmu 

zmiennej y przekształci  mo emy w funkcj  g sto ci zmiennej y o nast puj cej postaci: 

 

2

y

ln

2

2

)

y

ln

y

(ln

y

ln

e

2

y

1

)

y

(

f

σσσσ

µµµµ

−−−−

−−−−

ππππ

σσσσ

====

. 

 

 

 

(5) 

 

Funkcja  ta  wyznacza  krzyw   asymetryczn .  Asymetria  ta  jest  prawostronna  i  jej  wielko  

zale y  od  warto ci  oczekiwanej  i  wariancji  logarytmu  zmiennej 

y.  Tym  samym  warto  

oczekiwana  zmiennej 

y  (Ey)  oraz  jej  dominanta  (Dy)  i  mediana  (My)  nie  pokrywaj   si   i 

wynosz  odpowiednio (patrz: [1], s 8-9):  

2

y

ln

2

1

y

ln

y

e

Ey

σσσσ

++++

µµµµ

====

µµµµ

====

, 

 

 

 

(6) 

 

y

ln

e

My

µµµµ

====

,   

 

 

 

 

(7) 

 

2

y

ln

y

ln

e

Dy

σσσσ

−−−−

µµµµ

====

. 

 

 

 

 

(8) 

Z powy szego wynika,  e 

Dy < My < Ey. 

 

Mo na  ponadto  wykaza ,  e  wariancja  i  odchylenie  standardowe  zmiennej  y  wynosz  

odpowiednio: 

)

1

e

(

e

)

Ey

y

(

E

2

y

ln

2

y

ln

y

ln

2

2

2

y

−−−−

====

−−−−

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

++++

µµµµ

,   

 

(9) 

 

1

e

e

)

Ey

y

(

E

2

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

2

y

−−−−

====

−−−−

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

++++

µµµµ

. 

 

(10) 

 

Przedstawione  powy ej wła ciwo ci  rozkładu logarytmiczno-normalnego  zmiennej  y 

wykorzystali  Murti  i  Sastri  (patrz:  [11])  przy  formułowaniu  zwi zków  pomi dzy  redni  

arytmetyczn  i  redni  geometryczn  tej zmiennej losowej. Zgodnie z poczynion  przez nich 

umow , warto  oczekiwan  logarytmu zmiennej y oznaczymy w sposób nast puj cy: 

 

g

ln

y

ln

====

µµµµ

.   

 

 

 

 

  (11) 

 

Obecnie  zgodnie  z  koncepcj   wspomnianych  autorów  zdefiniujemy  redni   geometryczn  

zmiennej y w sposób nast puj cy:  

y

ln

E

y

ln

e

e

g

====

====

µµµµ

.   

 

 

 

  (12) 

 

Oznacza  to,  e 

rednia  geometryczna  zmiennej  y  jest  zdelogarytmowan   warto ci  

nadziei  matematycznej  logarytmu  zmiennej  y.  Z  drugiej  strony  Murti  i  Sastri  okre lili 

redni  arytmetyczn  zmiennej losowej y jako jej warto  oczekiwan , tzn.: 

 

       

Ey

a

y

====

µµµµ

====

. 

 

 

 

 

  (13) 

 

Wykorzystuj c (6) i (12) stwierdzamy,  e: 

2

y

ln

2

1

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

e

e

e

Ey

σσσσ

µµµµ

σσσσ

++++

µµµµ

====

====

.   

 

 

 

 

 

 

3 

W konsekwencji na podstawie (13)  redni  arytmetyczn  (12) zapiszemy nast puj co: 

 

2

y

ln

2

1

e

g

a

σσσσ

====

.   

 

 

 

 

  (14) 

 

Wykazany przez wspomnianych autorów zwi zek funkcyjny pomi dzy  redni  arytmetyczn  

i  geometryczn   zmiennej  y  charakteryzuj cej  si   rozkładem  logarytmiczno-normalnym  był 

swego  czasu  szeroko  omawiany  w  literaturze  po wi conej  modelom  multiplikatywnym. 

Funkcja ta posiada licz ce si  walory poznawcze i praktyczne, czemu wiele uwagi po wi cił 

L.R.Klein ([9] s.155-156, 221-224). Ko cz c t  cz

 rozwa a  zauwa my,  e 

w przypadku 

zmiennej  charakteryzuj cej  si   rozkładem  logarytmiczno-normalnym 

rednia 

geometryczna i mediana pokrywaj  si  ze sob . W uj ciu graficznym sytuacj  powy sz  

przedstawiono na rys.1. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przykład 1. 

 

Niech płace miesi czne (y) pracowników pewnego sektora gospodarczego charakteryzuj  si  rozkładem 

logarytmiczno  normalnym.  Płace  wyra one  s   w  złotych.  Załó my,  e  warto   oczekiwana  i  wariancja 

logarytmów płac równaj  si  odpowiednio:  

49554

,

7

y

ln

====

µµµµ

,  

16

,

0

2

y

ln

====

σσσσ

.  

Okre li : 

1)median  ( redni  geometryczn ), 2) warto  oczekiwan  ( redni  arytmetyczn ), 3) dominant  płac. 

Ad 1) Zgodnie z (7) i (12) otrzymujemy: 

1800

e

e

g

My

49554

,

7

y

ln

====

====

====

====

µµµµ

zł  

Zauwa my, ze logarytmy płac s  wielko ciami niemianowanymi. Ich delogarytmy wyra one s  w jednostkach 

pierwotnych.  Obecnie  powiemy,  e  rednia  geometryczna  płac,  b d ca  median ,  wynosiła  1800  złotych. 

Oznacza  to,  e  50%  pracowników  zatrudnionych  w  sektorze  przedsi biorstw  zarabia  mniej,  ni   1800  złotych. 

Tym samym płace 50% pracowników przekraczaj  1800 złotych. 

Ad 2) Zgodnie z (6) a tym samym (15) mamy: 

1950

e

1800

e

g

a

Ey

16

,

0

2

1

2

y

ln

2

1

====

====

====

====

σσσσ

zł 

Powiemy,  e  rednie (arytmetyczne) miesi czne wynagrodzenie pracowników sektora przedsi biorstw wynosiło 

1950 złotych. 

Ad 3) Warto  dominuj ca zgodnie z (8) wynosi 

9

,

1533

e

1800

e

Dy

16

,

0

2

y

ln

y

ln

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

µµµµ

zł 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gdzie:  g = exp 

µ

lny 

= exp E lny 

a = Ey = g exp(1/2)

σ

2

lny 

 

σ

2

lny

 = E(lny-

µ

lny

)

2

 = E(lny-lng)

2

 = E[ln(y/g)]

2

  

 

Rys.1 Podstawowe miary pozycyjne w rozkładzie logarytmiczno-normalnym 

 

 f(lny)                                                                                f(y) 

 

          0                    

µ

lny

                                             lny        0                            g       a                                                          y 

                               E lny                                                                              Dy  My   Ey 

 

4 

Oznacza to,  e płace oscyluj ce wokół warto ci 1533,9 zł były najcz ciej spotykane.  

Przy okazji zauwa my,  e odchylenie standardowe logarytmu płac jest równe 

4

,

0

16

,

0

)

y

(ln

E

2

y

ln

y

ln

====

====

µµµµ

−−−−

====

σσσσ

 

Powiemy wi c,  e przeci tne standardowe odchylenie logarytmu płac od warto ci oczekiwanej logarytmu płac 

(logarytmu  redniej  geometrycznej  płac)  wynosi  0,4.  Z  uwagi  na  fakt,  e  zmienna  losowa  wyra ona  jest  w 

logarytmach jest ona tym samym niemianowana. (patrz: rys.5) 

 

2. WZGL DNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ  

W RELACJI DO  REDNIEJ GEOMETRYCZNEJ 

 

 

Zastanówmy  si   obecnie  nad  mo liwo ci   okre lenia  prawdopodobie stwa  tego,  e 

zmienna  losowa  y,  charakteryzuj ca  si   rozkładem  logarytmiczno-normalnym,  przyjmie 

warto ci  z  okre lonego  przedziału.  Jak  pisał  Z.  Pawłowski,  w  praktyce  wygodnie  jest 

„wykorzysta   fakt,  e  logarytm  zmiennej  losowej 

Y  ma  rozkład  normalny  N( , ). 

Prawdopodobie stwo  tego,  e 

a Y b,  jest  równowa ne  prawdopodobie stwu  tego,  e 

lna lnY lnb,  a  to  ostatnie  łatwo  jest  obliczy   korzystaj c  z  tablic  dystrybuanty 

standaryzowanego  rozkładu  normalnego  ([14]  s.172).”  Z  powy szego  wynika,  e  ostatni  

nierówno   zapisa   mo emy  równowa nie  w  sposób  nast puj cy: 

e

lna

e

lnY

e

lnb

.  Obecnie 

zgodnie z reguł  trzech sigm powiemy,  e 

prawdopodobie stwo tego, i  logarytm zmiennej 

losowej  y  przyjmie  warto   ró ni c   si   od  redniej  logarytmu  tej  zmiennej  o  jedno 

odchylenie standardowe jest równe 0,6826, co zapiszemy nast puj co: 

 

6826

,

0

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

====

σσσσ

≤≤≤≤

µµµµ

−−−−

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

, 

 

 

(15) 

lub z uwagi na (11): 

6826

,

0

)

g

ln

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

====

σσσσ

≤≤≤≤

−−−−

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

. 

 

 

(16) 

 

Jak  wiemy  odchylenie  standardowe  jest  miar   rozproszenia  zmiennej  losowej  wokół  jej 

warto ci przeci tnej. Je li zmienna losowa jest wyra ona w jednostkach rzeczywistych, tzn. 

nietrasformowanych, to odchylenie standardowe jest miar  zró nicowania absolutnego. W tej 

sytuacji  zwyczajowo  interpretujemy  odchylenie  standardowe,  jako  przeci tne,  standardowe 

odchylenie  zmiennej  losowej  od  jej  warto ci  oczekiwanej  wyra one  w  jednostkach 

analizowanej zmiennej. Jest rzecz  oczywist ,  e je li zmienna wyra ona jest w kilogramach 

to odchylenie standardowe wyra one jest równie  w kilogramach, itp. Z inn  nieco sytuacj  

mamy do czynienia w przypadku, gdy zmienna losowa i jej charakterystyki wyra one s  w 

logarytmach. W tej sytuacji zarówno zmienna losowa jak i odchylenie standardowe staj  si  

jednostkami  niemianowanymi.  W  dalszym  jednak  ci gu  odchylenie  standardowe  pozostaje 

miar   rozproszenia.  Oznacza  to,  e  interpretuj c  odchylenie  standardowe,  jako  przeci tne, 

standardowe  odchylenie  logarytmu  zmiennej 

y  od  warto ci  oczekiwanej  logarytmu  tej 

zmiennej, mamy na my li fakt, i  dwie trzecie tych odchyle  zawiera  si  b dzie w przedziale 

wyznaczonym  zgodnie  z  (16),  natomiast  blisko  jedna  trzecia  wykracza   b dzie  poza  ten 

przedział.  Mimo,  i   takie  rozumowanie  odchylenia  standardowego  mo e  by  

satysfakcjonuj ce  w  sensie  statystycznym,  ma  jednak  prawo  nie  zadowala   nas  w  sensie 

interpretacyjnym.  Nie  my limy  bowiem  w  kategoriach  logarytmów  poszczególnych 

zmiennych,  chocia   mo emy  rozumie   ich  istot .  Dlatego  celem  wzbogacenia  interpretacji 

otrzymanych wyników przekształ my (16) w nast puj cy sposób: 

 

    

6826

,

0

)

e

e

e

(

P

y

ln

g

y

ln

y

ln

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

 

a st d 

 

5 

     

6826

,

0

)

e

g

y

e

(

P

y

ln

y

ln

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

   

 

 

(17) 

 

Zauwa my,  e zdefiniowana w nast puj cy sposób zmienna:  

      

g

y

v ====

 

 

 

 

 

 

(18) 

wskazuje na stosunek zmiennej losowej 

y do jej  redniej geometrycznej, tym samym okre la 

udział  tej  zmiennej  losowej  w  poziomie  jej  redniej  geometrycznej.  Wtedy  kiedy  zmienna 

losowa 

y  przyjmie  warto ci  mniejsze  od  redniej  geometrycznej  g,  zmienna  losowa  v 

przyjmie  warto ci  mniejsze  od  1. W  sytuacji  odwrotnej,  tzn.  gdy  zmienna losowa  przyjmie 

warto ci  wi ksze od  parametru 

g, wówczas zmienna losowa v przyjmowa  b dzie warto ci 

wi ksze  od  jedno ci.  Oznacza  to,  e  dla  ka dego  odchylenia  standardowego 

lny

,  b d cego 

dodatnim  pierwiastkiem  wariancji  zmiennej  losowej  lny,  spełnione  s   nast puj ce 

nierówno ci:  

1

e

v

0

y

ln

d

<<<<

====

<<<<

σσσσ

−−−−

   

 

 

 

(19) 

      

1

e

v

y

ln

g

>>>>

====

σσσσ

   

 

 

 

(20)  

Przy okazji zauwa my,  e: 

    

1

e

e

e

v

v

0

y

ln

y

ln

g

d

====

====

====

⋅⋅⋅⋅

σσσσ

σσσσ

−−−−

   

 

 

(21) 

 

Powy sza  wła ciwo   jest  o  tyle  istotna,  i   rednia  geometryczna  zmiennej 

v  jest  równa 

jedno ci, co wynika z nast puj cego faktu: 

 

1

e

e

e

g

0

)

g

ln

y

(ln

E

)

y

(ln

E

0

)

g

ln

y

(ln

E

v

ln

E

v

y

ln

====

====

====

====

====

−−−−

====

µµµµ

−−−−

−−−−

 

(22) 

 

gdzie 

g

v

 jest  redni  geometryczn  zmiennej 

v

1

.  

Obecnie  na  podstawie  (17)  oraz  po  przyj ciu  oznacze   z  (19)  i  (20)  powiemy,  e 

z 

prawdopodobie stwem  równym  0,6826  udział  zmiennej  losowej  y  w  jej  redniej 

geometrycznej  g  mie ci   si   b dzie  w  przedziale  od  v

d

  do  v

g

.  Oznacza  to,  e  dokonuj c 

interpretacji  w  my l  której, 

przeci tny  udział  zmiennej  y  w  jej  redniej  geometrycznej 

waha  si   w  granicach  od  v

d

  do  v

g

  mamy  na  my li  fakt,  i   jest  to  przeci tny  udział  w 

kategoriach standardowych, gdy  został on wyznaczony na bazie odchylenia standardowego 

logarytmu zmiennej y z wszelkimi wypływaj cymi z tego konsekwencjami stochastycznymi. 

Powiemy  tym  samym,  e 

v

d

  i  v

g

  s   przeci tnymi,  wzgl dnymi  miarami  rozproszenia 

zmiennej losowej y wzgl dem jej  redniej geometrycznej. 

 

Celem  dalszego  wzbogacenia  interpretacji  omawianej  przez  nas 

wzgl dnej  miary 

rozproszenia,  dokonajmy  przekształcenia  nierówno ci  równoczesnej  uj tej  w  (17)  poprzez 

odj cie stronami warto ci 1, wykorzystuj c jednocze nie oznaczenia przyj te w (19) i (20). W 

rezultacie tego działania otrzymujemy: 

 

6826

,

0

)

1

v

1

g

y

1

v

(

P

g

d

====

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

   

 

 

(23) 

 

Przemna aj c  powy sz   nierówno   stronami  przez  100,  otrzymany  wynik  wyra amy  w 

procentach, co zapiszemy nast puj co: 

 

                                                 

1

  Omówione  tutaj  miary  rozproszenia  s   ci le  zwi zane  z  miarami  rozproszenia  zmiennej  endogenicznej 

wzgl dem warto ci teoretycznych w modelach multiplikatywnych w sytuacji, gdy warto ci teoretyczne ocenione 

s  na poziomie warunkowych  rednich geometrycznych, co przedstawiono w artykule [12] oraz monografii [13] 

s. 33 – 36. 

 

6 

   

6826

,

0

]

100

)

1

v

(

100

)

g

g

y

(

100

)

1

v

[(

P

g

d

====

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

≤≤≤≤

−−−−

  

 

(24) 

 

W  sensie  standardowym  przeci tnie,  zmienna  losowa  y  odchyla  si   od  jej  redniej 

geometrycznej  w  przedziale  od 

(v

d

-1)100%  do  (v

g

-1)100%.  W  analizowanym  przypadku 

odchylenia te b d  zawiera  si  w wyznaczonych granicach dla 2/3 wszystkich przypadków. 

Mo na zada  pytanie, dlaczego wyznaczamy dolne i górne przedziały przeci tnych odchyle , 

zamiast  powiedzie   wprost,  o  ile  procent  przeci tnie  zmienna  y  odchyla  si   od  jej  redniej 

geometrycznej?  Odpowied   jest  prosta  i  wynika  z  asymetrii  rozkładu  logarytmiczno-

normalnego.  Mo na  bowiem  udowodni ,  rozpisuj c  w  szereg  Maclaurina  wyra enia  (19)  i 

(20), i  spełniona jest nast puj ca nierówno : 

 

0

)

1

v

(

)

1

v

(

g

d

>>>>

−−−−

++++

−−−−

  

 

 

 

(25) 

 

Zauwa my ponadto,  e z reguły trzech sigm wynika, i  

9545

,

0

)

e

g

y

e

(

P

y

ln

2

y

ln

2

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

   

 

 

(26) 

 

9973

,

0

)

e

g

y

e

(

P

y

ln

3

y

ln

3

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

σσσσ

−−−−

   

 

 

(27) 

 

W celu utrzymania si  w przyj tej konwencji oznacze  umówmy si ,  e: 

 

y

ln

2

d

2

e

v

σσσσ

−−−−

====

  i  

y

ln

2

g

2

e

v

σσσσ

====

 

 

 

 

(28) 

 

y

ln

3

d

3

e

v

σσσσ

−−−−

====

  i  

y

ln

3

g

3

e

v

σσσσ

====

 

 

 

 

(29) 

 

W uj ciu graficznym opisan  powy ej sytuacj  przedstawiono na rys.2. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przykład 2 

Na  podstawie  danych  z  przykładu  1  okre li   przedziały  udziałów  płac  w  ich  redniej  geometrycznej 

(medianie) realizowane z prawdopodobie stwem: 

1) P

1

=0,6826, 

2) P

2

=0,9545, 

3) P

3

=0,9973. 

Ad 1) Na podstawie (19) i (20) otrzymujemy: 

67

,

0

e

e

v

4

,

0

y

ln

d

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

 

49

,

1

e

e

v

4

,

0

y

ln

g

====

====

====

σσσσ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gdzie:   u = ln v = lny – lng = ln(y/g) = lny - 

µ

lny

 

 

 v = y/g , 

 v

d

 = exp(-

σ

lny

),   v

g

 = exp(

σ

lny

). 

 

Rys. 2 Wzgl dne rozproszenie zmiennej y w relacji do  redniej geometrycznej  

               w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego 

 

 

σ

lnv

 

 

 

σ

lny

 

-

σ

lny

    0     

σ

lny

                          lnv 

       E lnv 

0                v

d

      1         v

g

                                                    v  

                          Mv 

1-v

d

   v

g

-1 

f(lnv)                                                      f(v) 

 

7 

Z uwagi na (17) powiemy,  e w analizowanym przypadku prawdopodobie stwo tego,  e udział płac w  redniej 

geometrycznej (medianie) mie ci  si  b dzie w przedziale od 0,67 do 1,49 wynosi 0,6826. Tym samym, zgodnie 

z (24) powiemy,  e płace odchylaj  si  od  redniej geometrycznej (mediany) w przedziale od –33% do 49% w 

2/3 przypadków.  

Ad 2) Na podstawie (28) otrzymujemy: 

449

,

0

e

e

v

8

,

0

y

ln

2

d

2

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

 

225

,

2

e

e

v

8

,

0

y

ln

2

g

2

====

====

====

σσσσ

 

Z uwagi na (26) powiemy,  e w analizowanym przypadku prawdopodobie stwo tego,  e udział płac w  redniej 

geometrycznej (medianie) mie ci  si  b dzie w przedziale od 0,449 do 2,225 wynosi 0,9545. Tym samym płace 

odchylaj  si  od  redniej geometrycznej (mediany) w przedziale –55,1% do 122,5% w około 95 przypadków na 

sto. 

Ad 3) Obecnie na podstawie (29) stwierdzamy,  e 

301

,

0

e

e

v

2

,

1

y

ln

3

d

3

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

  

32

,

3

e

e

v

2

,

1

y

ln

3

g

3

====

====

====

σσσσ

 

Z  uwagi  na  (27)  powiemy,  e  w  analizowanym  przypadku  z  prawdopodobie stwem  0,9973  udział  płac  w 

redniej  geometrycznej  (medianie)  mie ci   si   b dzie  w  przedziale  od  0,301  do  3,32.  Oznacza  to,  e 

prawdopodobie stwo tego, i  płace odchylaj  si  od  redniej geometrycznej (mediany) w przedziale –69,88% do 

232,01% wynosi 0,9973. 

 

Nale y s dzi , i  wcze niej przeprowadzone rozwa ania oraz otrzymane powy ej wyniki upowa niaj  

do stwierdzenia,  e 

w sensie standardowym przeci tny udział płac w ich  redniej geometrycznej (medianie) 

waha si  w granicach od 0,67 do 1,49, czyli płace przeci tnie odchylaj  si  od ich  redniej geometryczne 

(mediany) w przedziale od –33% do 49%. (patrz: rys.5) 

 

3. ABSOLUTNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ  

W RELACJI DO  REDNIEJ GEOMETRYCZNEJ 

 

 

Wnioski  wypływaj ce  z  przeprowadzonej  powy ej  analizy  dotycz cej  wzgl dnego 

rozproszenia zmiennej losowej y wokół jej  redniej geometrycznej s  szczególnie przydatne 

przy  okre leniu  wła ciwo ci  stochastycznych  modeli  multiplikatywnych.  W  praktyce 

statystycznej, w przypadku rozpatrywania zmiennych losowych o rozkładzie logarytmiczno-

normalnym, szczególnie interesuj ce mog  by  miary rozproszenia wyra one w jednostkach 

absolutnych. Celem ich wyznaczenia przekształ my (15) do nast puj cej postaci: 

 

6826

,

0

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

y

ln

====

σσσσ

++++

µµµµ

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

µµµµ

. 

 

(30) 

 

Po zdelogarytmowaniu stronami wyra enia zapisanego w nawiasie otrzymujemy: 

 

6826

,

0

)

e

e

y

e

e

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

y

ln

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

µµµµ

σσσσ

−−−−

µµµµ

,   

 

(31) 

 

co po uwzgl dnieniu przyj tych wcze niej oznacze  zapiszemy w nast puj cy sposób: 

 

       

6826

,

0

)

v

g

y

v

g

(

P

g

d

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

 

 

 

 

(32) 

 

Obecnie powiemy,  e prawdopodobie stwo tego, i  zmienna losowa y przyjmuje warto ci w 

granicach od 

g·v

d

 do 

g·v

g

, jest równe 0,6826. Zauwa my,  e zarówno zmienna losowa y jak i 

wyznaczone  granice  przedziałów  wyra one  s   w  jednostkach  rzeczywistych  analizowanej 

zmiennej.  Aby  wyja ni   istot   asymetrii  wyznaczonej  tutaj  absolutnej  miary  rozproszenia 

zauwa my,  e poniewa  logarytm zmiennej 

y ma rozkład normalny, wi c spełniona musi by  

nast puj ca równo : 

 

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

µµµµ

≤≤≤≤

≤≤≤≤

σσσσ

−−−−

µµµµ

=

)

y

ln

(

P

y

ln

y

ln

y

ln

σσσσ

++++

µµµµ

≤≤≤≤

≤≤≤≤

µµµµ

= 0,341, 

 

 

8 

co  po  zdelogarytmowaniu  wyra e   ograniczonych  nawiasami  i  przyj ciu  wcze niej 

przyj tych oznacze  zapiszemy nast puj co: 

 

341

,

0

)

v

g

y

g

(

P

)

g

y

v

g

(

P

d

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

====

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

.   

 

(33) 

 

Z uwagi na (25) stwierdzamy,  e: 

g

d

v

g

g

g

v

g

⋅⋅⋅⋅

−−−−

−−−−

⋅⋅⋅⋅

  

 

 

 

(34) 

 

Oznacza  to,  e  analizowane  absolutne  rozproszenie  zmiennej 

y  odnosi  si   do  redniej 

geometrycznej  (mediany)  zmiennej 

y.  Rozproszenie  to  charakteryzuje  si   tym,  i  

jednakowemu  prawdopodobie stwu  realizacji  zdarze   odpowiada,  co  do  warto ci 

bezwzgl dnej, mniejszy przedział dolny i wi kszy przedział górny odchyle  zmiennej y 

od jej  redniej geometrycznej (mediany).  

Obecnie  mo emy  powiedzie ,  e 

przeci tne,  w  sensie  standardowym,  odchylenie 

zmiennej  losowej  y  od  jej  redniej  geometrycznej  (mediany)  waha  si   w  granicach  od 

g·v

d

  do  g·v

g

.  Jest  to,  jak  si   wydaje,  w  miar   poprawny  sposób  okre lenia  przeci tnej, 

absolutnej  miary  rozproszenia  zmiennej  losowej 

y  w  stosunku  do  jej  warto ci  redniej  w 

sytuacji,  gdy  zmienna  ta  charakteryzuje  si   asymetrycznym  rozkładem.  Uzupełniaj c 

rozwa ania  dotycz ce  absolutnego  rozproszenia  zmiennej  losowej  y  wzgl dem  jej  redniej 

geometrycznej (mediany) zauwa my,  e zgodnie z reguł  trzech sigm otrzymujemy: 

 

9545

,

0

)

v

g

y

v

g

(

P

g

2

d

2

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

 

 

 

 

(35) 

 

9945

,

0

)

v

g

y

v

g

(

P

g

3

d

3

====

⋅⋅⋅⋅

≤≤≤≤

≤≤≤≤

⋅⋅⋅⋅

 

 

 

 

(36) 

W uj ciu graficznym sytuacj  omawian  powy ej przedstawiono na rys.1. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przykład 3 

Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 wyznaczy  absolutne przedziały rozproszenia płac w stosunku 

redniej  geometrycznej  (mediany)  realizowane  z  prawdopodobie stwem: 

1)  P

1

=0,6826, 

2)  P

2

=0,9545, 

3) 

P

3

=0,9973. Wyniki zinterpretowa  charakteryzuj c równocze nie asymetri  badanych miar rozproszenia. 

Na wst pie zauwa my,  e  rednia geometryczna płac (mediana płac) wynosi: g =1800 zł 

Ad 1) Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (32) wynosz  odpowiednio: 

g·v

d

 = 1800·0,67 = 1206 zł,    

g·v

g 

 = 1800·1,49 = 2682 zł. 

Powiemy,  e  prawdopodobie stwo  tego,  i   płace  pracowników  odchylaj   si   od  ich  redniej  geometrycznej 

(mediany) w przedziale  od  1206 zł  do  2682 zł  wynosi 0,6826.  Z drugiej  strony  prawdopodobie stwo tego, i  

płace  b d   zawarte  w  przedziale  od  1206  zł  do  1800  zł  jest  równe  prawdopodobie stwu  tego,  i   płace  b d  

zawarte w przedziale od 1800 zł do 2682 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich  redniej 

geometrycznej wynosi –594 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 882 zł. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gdzie:   g = exp 

µ

lny 

= exp E lny 

 

 v

d

 = exp(-

σ

lny

),   v

g

 = exp(

σ

lny

). 

 

Rys. 3 Absolutne rozproszenie zmiennej y w relacji do  redniej geometrycznej  

               w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego 

 

 

σ

lnv

 

 

 

σ

lny

 

 0        

µ

lny

-

σ

lny

  

µ

lny

  

µ

lny

+

σ

lny

                lny 

                  E lny=lng 

0               g·v

d

    g       g·v

g

                                                 y   

                          g=My 

  g-gv

d

  gv

g

-g 

    f(lny)                                                                              f(y) 

 

9 

Ad 2) Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (35) wynosz  odpowiednio: 

g·v

2d

 = 1800·0,449 =  808 zł,    

g·v

2g

 = 1800·2,225 = 4005 zł. 

Tak  wi c  prawdopodobie stwo  tego,  i   płace  pracowników  odchylaj   si   od  ich  redniej  geometrycznej 

(mediany)  w  przedziale  od  808  zł  do  4005  zł  wynosi  0,9545.  Z  drugiej  strony  prawdopodobie stwo  tego,  i  

płace  b d   zawarte  w  przedziale  od  808  zł  do  1800  zł  jest  równe  prawdopodobie stwu  tego,  i   płace  b d  

zawarte w przedziale od 1800 zł do 4005 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich  redniej 

geometrycznej wynosi –992 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 2205 zł. 

Ad 3) 

Elementy zawarte w nawiasie w wyra eniu (36) wynosz  odpowiednio: 

g·v

3d

 = 1800·0,301 =  542 zł,    

g·v

3g

 = 1800·3,320 = 5976 zł. 

Tym  samym  prawdopodobie stwo  tego,  i   płace  pracowników  odchylaj   si   od  ich  redniej  geometrycznej 

(mediany)  w  przedziale  od  542  zł  do  5976  zł  wynosi  0,9973.  Z  drugiej  strony  prawdopodobie stwo  tego,  i  

płace  b d   zawarte  w  przedziale  od  542  zł  do  1800  zł  jest  równe  prawdopodobie stwu  tego,  i   płace  b d  

zawarte w przedziale od 1800 zł do 5976 zł. W jednostkach absolutnych odchylenie dolne płac od ich  redniej 

geometrycznej wynosi –1258 zł, natomiast odchylenie górne jest równe 4176 zł. (patrz: rys.5) 

 

4. ABSOLUTNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ  

W RELACJI DO  REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ 

 

 

Omawiane dotychczas miary rozproszenia odnosiły si  do  redniej geometrycznej. W 

prowadzonych  rozwa aniach  pomijali my  miar   rozproszenia  odnosz c   si   do  warto ci 

oczekiwanej  y,  czyli  redniej  arytmetycznej  tej  zmiennej.  Skoncentrowanie  si   na  redniej 

geometrycznej  uzna   jednak  nale y  za  zasadne,  z  uwagi  na  fakt,  e  logarytm  redniej 

geometrycznej  jest  jednocze nie  warto ci   oczekiwan   w  rozkładzie  normalnym  logarytmu 

zmiennej y. Powstaje jednak pytanie, jakimi wła ciwo ciami charakteryzuje si  rozproszenia 

zmiennej  y  wokół  jej  redniej  arytmetycznej?  Zauwa my,  e  rozproszenie  to  mierzone 

odchyleniem standardowym (10) w relacji do warto ci oczekiwanej zmiennej y (6) w sensie 

odległo ci  jest  symetryczne.  Natomiast,  z  uwagi  na  charakter  rozkładu  logarytmiczno-

normalnego,  jest  ono  asymetryczne  w  sensie  prawdopodobie stwa  realizacji  zdarze  

zachodz cych w odchyleniu dolnym i górnym od  redniej arytmetycznej. Z uwagi na fakt,  e 

rednia  arytmetyczna  jest  poło ona  bardziej  na  prawo  od  redniej  geometrycznej,  b d cej 

median  w rozpatrywanym rozkładzie, musi zaj  nast puj ca nierówno : 

 

)

y

(

P

)

y

(

P

y

y

y

g

y

y

y

d

σσσσ

++++

µµµµ

<<<<

<<<<

µµµµ

>>>>

µµµµ

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

µµµµ

 

 

 

(37) 

 

gdzie wyst puj ce w nawiasach parametry rozkładu zmiennej y zdefiniowano w (6) i w (10), 

natomiast 

P

d

  i 

P

g

  s   odpowiednio  prawdopodobie stwami  zaj cia  zdarze   w  przedziale 

dolnym  i  górnym  odchyle   zmiennej  losowej  y  od  jej  redniej  arytmetycznej  o  wielko  

odchylenia standardowego. Obecnie utrzymuj c oznaczenia w my l których: 

•  a = 

y

, jest  redni  arytmetyczn  zmiennej y, 

•  ln g = ln 

lny

, jest logarytmem  redniej geometrycznej zmiennej y, 

przekształcimy  (37)  do  po danej  standaryzowanej  postaci  prawdopodobie stw  w 

nast puj cy sposób: 

    

)

a

y

a

(

P

)

a

y

a

(

P

y

g

y

d

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

>>>>

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

,   

 

 

(38) 

 

      

)]

a

ln(

y

ln

a

(ln

P

)

a

ln

y

ln

)

a

[ln(

P

y

g

y

d

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

>>>>

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

, 

 

(39) 

 

        

)

z

z

z

(

P

)

z

z

z

(

P

2

0

g

0

1

d

<<<<

<<<<

>>>>

<<<<

<<<<

,   

 

 

(40) 

gdzie:  

     

y

ln

y

ln

)

g

y

ln(

g

ln

y

ln

z

σσσσ

====

σσσσ

−−−−

====

   

 

 

 

(41) 

 

10 

 

     

y

ln

y

ln

0

)

g

/

a

ln(

g

ln

a

ln

z

σσσσ

====

σσσσ

−−−−

====

   

 

 

 

(42) 

 

     

y

ln

y

y

ln

y

1

]

g

/

)

a

ln[(

g

ln

)

a

ln(

z

σσσσ

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

−−−−

σσσσ

−−−−

====

   

 

 

(43) 

 

y

ln

y

y

ln

y

2

]

g

/

)

a

ln[(

g

ln

)

a

ln(

z

σσσσ

σσσσ

++++

====

σσσσ

−−−−

σσσσ

++++

====

 

 

 

(44) 

 

Na  podstawie  (38),  (39),  (40),  (41)  i  (42)  potrafimy  okre li   prawdopodobie stwo  zaj cia 

zdarze  opisanych przez (37), co w uj ciu graficznym, przedstawiono na rys. 4. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przykład 4 

Na podstawie danych z przykładu 1 i 2 obliczy  i zinterpretowa : 

1.

  odchylenie standardowe płac (y) wzgl dem ich  redniej arytmetycznej a = 

y

 , 

2.

  prawdopodobie stwo  tego,  e  płace  nie  b d   mniejsze  o  wielko   jednego  odchylenia  standardowego  od 

płacy wyznaczonej na poziomie  redniej arytmetycznej,  

3.

  prawdopodobie stwo  tego,  e  płace  nie  b d   wi ksze  o  wielko   jednego  odchylenia  standardowego  od 

płacy wyznaczonej na poziomie  redniej arytmetycznej, 

4.

  prawdopodobie stwo  tego,  e płace b d  mniejsze  (wi ksze) od płacy wyznaczonej na  poziomie  redniej 

arytmetycznej,  

Ad 1) Wiedz c,  e  rednia arytmetyczna płac a=1950 zł oraz wariancja logarytmu płac wynosi 0,16 odchylenie 

standardowe zmiennej y od jej  redniej arytmetycznej wyznaczymy  na podstawie (10) i (14). Wynosi ono: 

27

,

812

1

e

1950

1

e

e

16

,

0

y

2

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

=

−

=

−

=

σ

σ

σ

+

µ

 zł.

 

Wst pnie powiemy,  e płace przeci tnie odchylaj  si  od płacy  redniej, wynosz cej 1950 zł, o około 812,27 zł. 

Aby  w  pełni  poprawnie  zinterpretowa   odchylenie  standardowe,  w  przypadku  rozkładu  asymetrycznego 

powinni my okre li  prawdopodobie stwo odchyle  dolnych i górnych  

Przed  okre leniem  prawdopodobie stw  z  punktów  2,  3  i  4  obliczamy  zgodnie  z  (42),  (43)  i  (44) 

warto ci z

0

, z

1

, i z

2

. Warto ci te równaj  si  odpowiednio: 

z

0  

= [ln(a/g)]/

lny

 = [ln(1950/1800)]/0,4 = 0,20 

z

1  

= {ln[(a-

y

 )/g)]}/

lny

 = {ln[(1950-812,27)/1800]}/0,4 = -1,15 

z

2  

= {ln[(a+

y

 )/g)]}/

lny

 = {ln[(1950+812,27)/1800]}/0,4 = 1,07 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gdzie:  g = exp 

µ

lny 

= exp E lny 

a = Ey = g exp(1/2)

σ

2

lny 

 

σ

2

y

 = E(y-

µ

y

)

2

 = E(y-a)

2

  

 

Rys.4 Absolutne rozproszenie zmiennej y w relacji do  redniej arytmetycznej  

               w przypadku rozkładu logarytmiczno-normalnego 

 

 

 

          0  ln(a-

σ

y

)     

µ

lny

  lna       ln(a+

σ

y

)                  lny         0            a-

σ

y

       g  a=

µ

y

          a+

σ

y

                                       y 

                              E lny                                                                              Dy  My Ey 

   

σ

y

               

σ

y 

ln[a/(a-

σ

y

)]  ln(1+

σ

y

/a) 

 

11 

Ad  2)  Post puj c  zgodnie  z  odpowiedni   procedur   (patrz:  [10]  s.  91-93)  wyznaczamy  prawdopodobie stwo 

tego,  e płace nie  b d   mniejsze  o  jedno  odchylenie standardowe  od  płacy wyznaczonej  na poziomie  redniej 

arytmetycznej. Prawdopodobie stwo to wynosi: 

P

d 

(a-

y

 < y < a) = P

d

 (z

1

 <z < z

0

 ) = P

d

(-1,15<z<0,20) = 0,3749 + 0,0793 = 

0,454 

Powiemy,  e  prawdopodobie stwo  tego,  e  płace  nie b d  mniejsze  o  812,27  zł (odchylenie  standardowe)  od 

1950 zł ( rednia arytmetyczna) jest równe 0,454. 

Ad  3)  Post puj c  zgodnie  z  odpowiedni   procedur   (patrz:  [10]  s.  91-93)  wyznaczamy  prawdopodobie stwo 

tego,  e  płace  nie  b d   wi ksze  o  jedno  odchylenie  standardowe  od  płacy  wyznaczonej  na  poziomie  redniej 

arytmetycznej. Prawdopodobie stwo to wynosi: 

P

g 

(a < y < a+

y

) = P

g

 (z

0

 <z < z

2

 ) = P

g

(0,2<z<1,07) = -0,0793 + 0,3577= 

0,2784 

Oznacza to,  e prawdopodobie stwo tego,  e płace nie b d  wi ksze o 812,27 zł (odchylenie standardowe) od 

1950 zł ( rednia arytmetyczna) jest równe 0,2784. 

 

Obecnie  precyzuj c  interpretacj   odchylenia  standardowego  z  Ad  1)  powiemy,  e  płace  przeci tnie 

odchylaj  si  od płacy  redniej wynosz cej 1950 zł o około 812,7 zł, z prawdopodobie stwem P

d

+P

g 

= 

0,7324.  

Ad  4)  Przechodz c  do  wyznaczenia  prawdopodobie stwa  tego,  e  płace  b d   mniejsze  od  redniej 

arytmetycznej wynosz cej a=1950 zł zauwa my,  e: 

P(0<y<a) = P

1

(0<y<g) + P

2

(g<y<a) = 0,5 + P

2

(g<y<a). 

Obecnie logarytmuj c i standaryzuj c zmienne wyst puj ce w nawiasie przy P

2

 i post puj c zgodnie z procedur  

wyznaczania  prawdopodobie stwa  dla  standaryzowanych  zmiennych  losowych  o  rozkładzie  normalnym 

otrzymujemy: 

P

2

(lng<lny<lna) = P

2

[(lng-lng)/

lny

)<(lny-lng)/

lny

)<(lna-lng)/

lny

)] = P

2

(0<z<z

0

) = 0 +0,0793 = 0,0793 

Ostatecznie stwierdzamy,  e: 

P(0<y<a)  = P

1

 + P

2

 = 0,5 + 0,0793 = 

0,5793 

Powiemy  wi c,  e  w  58  przypadkach  na  100  płace  pracowników  analizowanego  sektora  b d   ni sze  od  ich 

redniej arytmetycznej, tym samym w w 42 przypadkach na 100 płace pracowników analizowanego sektora b d  

wy sze od ich  redniej arytmetycznej (patrz: rys.5). 

 

5. WZGL DNE ROZPROSZENIE ZMIENNEJ LOSOWEJ  

W RELACJI DO  REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ 

 

 

Aby  wyznaczy   i  poprawnie  zinterpretowa   wzgl dn   miar   rozproszenia  zmiennej 

losowej 

y  w  relacji  do  redniej  arytmetycznej  wykorzystajmy  nierówno   (38).  Na  jej 

podstawie powiemy,  e: 

 

)

a

y

a

(

P

)

a

y

a

(

P

)

a

y

a

(

P

y

g

y

d

y

y

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

.   

(45) 

 

Po  podzieleniu  stronami  elementów  zawartych  w  nawiasach  przez  wielko   redniej 

arytmetycznej (

a) otrzymujemy: 

 

)

a

1

a

y

1

(

P

)

1

a

y

a

1

(

P

)

a

1

a

y

a

1

(

P

y

g

y

d

y

y

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

++++

<<<<

<<<<

σσσσ

−−−−

,  

(46) 

 

co równowa nie mo emy zapisa  nast puj co: 

 

)

a

1

a

y

0

(

P

)

0

1

a

y

a

(

P

)

a

1

a

y

a

(

P

y

g

y

d

y

y

σσσσ

<<<<

−−−−

<<<<

++++

<<<<

−−−−

<<<<

σσσσ

−−−−

====

σσσσ

<<<<

−−−−

<<<<

σσσσ

−−−−

.  

(47) 

 

gdzie 

E(y/a) =1, tym samym E[(y-a)/a] = 0. 

Zauwa my,  e iloraz odchylenia standardowego i  redniej arytmetycznej wyra ony w 

postaci  ułamkowej  lub  w  procentach  nazywany  jest  współczynnikiem  zmienno ci  losowej. 

Jak pisz  Kendall i Buckland (patrz.: [8] s. 270) został on po raz pierwszy zaproponowany 

przez K. Pearsona w 1895 roku w celu porównania dyspersji rozkładów cz sto ci. Oznaczaj c 

współczynnik zmienno ci losowej du  liter  V mamy: 

      

a

V

y

σσσσ

====

.   

 

 

 

 

(48) 

 

12 

Wykorzystuj c powy sz  definicj  wyra enie (47) zapiszemy nast puj co: 

 

    

)

V

a

a

y

0

(

P

)

0

a

1

y

V

(

P

)

V

a

a

y

V

(

P

g

d

<<<<

−−−−

<<<<

++++

<<<<

−−−−

<<<<

−−−−

====

<<<<

−−−−

<<<<

−−−−

 

 

(49) 

 

gdzie, zgodnie z (38) 

P

d

 > P

g

.  

Na  podstawie  powy szego  stwierdzamy,  e  w  przypadku  rozkładu  logarytmiczno-

normalnego zmiennej losowej 

y: 

•  przeci tnie zmienna losowa y odchyla si  od  redniej arytmetycznej o (V 100)%, 

•  prawdopodobie stwo  tego,  i   zmienna  losowa  przeci tnie  odchyli  si   od  redniej 

arytmetycznej o 

-(V 100)% jest wi ksze od prawdopodobie stwo tego,  e zmienna ta 

przeci tnie odchyli si  od  redniej arytmetycznej o 

(V 100)%, co wynika z asymetrii 

rozkładu zmiennej losowej y. 

 

Przykład 5 

Na  podstawie  danych  z  przykładu  1  i  2  oraz  informacji  z  przykładu  4  obliczy   i  zinterpretowa  

współczynnik zmienno ci losowej płac wzgl dem ich  redniej arytmetycznej. 

 

Z uwagi na fakt,  e: 

 

a = 1950,00 zł, 

 

y

=  812,27 zł, 

otrzymujemy: 

 

V=812,27/1950 =0,4165. 

Powiemy wi c, ze przeci tnie płace pracowników analizowanego sektora odchylaj  si  od ich  redniej 

arytmetycznej wynosz cej 1950 zł o około 41,65%.  

Celem doprecyzowania powy szej interpretacji, wykorzystuj c zapis (48) oraz informacje z przykładu 4 

stwierdzamy,  e: 

 

P

d

{-0,4165<[(y-1950)/1950]<0} = 0,454, 

 

P

g

{0<[(y-1950)/1950]<0,4165}  = 0,2785, 

 

P{-0,4165<[(y-1950)/1950]<0,4165} = 0,7324. 

 

Oznacza to,  e w 73,24 przypadkach na 100 płace nie b d  ni sze lub wy sze o wi cej ni  41,65% od 

ich  redniej  arytmetycznej.  U ci laj c  powiemy,  e  w  45,4  przypadkach  na  100  płace  nie  b d   ni sze  od  ich 

redniej  arytmetycznej  o  wi cej  ni   41,65%  i  jednocze nie  o  t   wielko   nie  b d   wy sze  od  ich  redniej 

arytmetycznej w 27,85 przypadkach na 100. (patrz: rys. 5) 

 

Podsumowuj c  t   cz

  rozwa a   powiemy,  e 

jednakowemu  rozproszeniu 

absolutnemu  i  wzgl dnemu  zmiennej  losowej  w  relacji  do  redniej  arytmetycznej 

odpowiada  wi ksze  prawdopodobie stwo  odchyle   ujemnych  oraz  mniejsze 

prawdopodobie stwo odchyle  dodatnich (patrz: rys.5). 

 

5.  DWA RÓWNOWA NE TWIERDZENIA DOTYCZ CE  

ROZKŁADU LOGARYTMICZNO-NORMALNEGO 

 

 

W  dotychczas  prowadzonych  rozwa aniach  warto   oczekiwan   (6)  i  wariancj  

zmiennej 

y  (9)  wyra ali my  w  kategoriach  warto ci  oczekiwanej  i  wariancji  logarytmu 

zmiennej 

y. W sensie poznawczym za po yteczne nale y uzna  odwrócenie sytuacji poprzez 

wyra enie warto ci oczekiwanej oraz wariancji logarytmu zmiennej 

y w kategoriach warto ci 

oczekiwanej  zmiennej 

y.  W  tym  celu,  zgodnie  z  propozycj   Teekens’a  i  Koerts’a  (patrz: 

[15]), wyra my (9) w nast puj cej postaci: 

 

      

)

1

e

(

e

2

y

ln

2

)

2

y

ln

y

ln

(

2

y

−−−−

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

++++

µµµµ

   

 

 

(50) 

 

Wykorzystuj c (6) powy sze wyra enie zapiszemy nast puj co: 

 

 

13 

2

y

2

y

ln

2

y

2

y

ln

2

y

2

y

e

)

1

e

(

µµµµ

−−−−

µµµµ

====

−−−−

µµµµ

====

σσσσ

σσσσ

σσσσ

   

 

 

(51) 

 

Przekształcaj c (51) otrzymujemy kolejno: 

 

2

y

2

y

2

y

ln

2

y

e

µµµµ

++++

σσσσ

====

µµµµ

σσσσ

, 

 

  

1

e

2

y

2

y

y

ln

++++

µµµµ

σσσσ

====

σσσσ

, 

i ostatecznie: 

 

 

 

 

++++

µµµµ

σσσσ

====

−−−−

====

σσσσ

1

ln

)

y

ln

E

y

(ln

E

2

y

2

y

2

2

y

ln

, 

 

 

(52) 

co nale ało wykaza . 

 

Z drugiej strony na podstawie (6) mamy: 

 

2

y

ln

2

1

y

ln

y

e

e

σσσσ

µµµµ

====

µµµµ

.   

 

 

 

(53) 

 

Wprowadzaj c  w  powy szym  wyra eniu  w  miejsce  wariancji  logarytmu  zmiennej 

y 

wariancj  zdefiniowan  w (52) otrzymujemy: 

++++

µµµµ

σσσσ

µµµµ

====

µµµµ

1

2

y

2

y

ln

2

1

y

ln

y

e

e

, 

 

 

 

 

co logarytmuj c obustronnie daje: 

++++

µµµµ

σσσσ

++++

µµµµ

====

µµµµ

1

ln

ln

2

y

2

y

2

1

y

ln

y

 

 

Przekształcaj c powy sze wyra enie, otrzymujemy ostatecznie

2

: 

 

++++

µµµµ

σσσσ

−−−−

µµµµ

====

µµµµ

1

ln

ln

2

y

2

y

2

1

y

y

ln

.  

 

 

(54) 

 

Obecnie  sformułowa   mo emy  dwa  równowa ne  wzgl dem  siebie  twierdzenia 

dotycz ce  rozkładu  logarytmiczno-normalnego  zmiennej  losowej 

y.  Przy  pierwszym  z  nich 

wykorzystamy zdefiniowania uj te w (2), (3), (6) oraz (9) i powiemy: 

 

TWIERDZENIE 1. Je eli logarytm zmiennej losowej y ma rozkład normalny 

)

,

(

2

y

ln

y

ln

σ

µ

Ν

 

to zmienna y ma rozkład logarytmiczno-normalny 

)]

1

e

(

e

,

e

[

2

y

ln

2

y

ln

y

ln

2

y

ln

2

1

y

ln

2

−

+

+

σ

σ

µ

σ

µ

Λ

 

Z  kolei  wykorzystuj c  (52) i  (54) oraz  ogólne zdefiniowanie  warto ci  oczekiwanej i 

wariancji zmiennej losowej y powiemy: 

TWIERDZENIE 2. Je eli zmienna losowa y ma rozkład logarytmiczno-normalny 
                                                 

2

  Przedstawiony  tutaj  sposób  przekształce ,  wynikaj cy  z  propozycji  Teekens’a  i  Koerts’a  [15],  znajdzie 

czytelnik w monografii [13] s. 18-19. 

 

14 

     

)

,

(

2

y

y

σ

µ

Λ

 

to logarytm zmiennej losowej y ma rozkład normalny 

   

]

1

ln

,

1

ln

[ln

2

y

2

y

2

y

2

y

2

1

y

+

+

−

µ

σ

µ

σ

µ

Ν

 

 

Alternatywny  sposób  zdefiniowania  rozkładu  logarytmiczno-normalnego  sugeruje 

mo liwo   alternatywnego  wzgl dem  (14)  zdefiniowania  zwi zku  pomi dzy  redni  

arytmetyczn   i  geometryczn .  W  tym  celu  zdelogarytmujmy  stronami  wyra enie  (54),  w 

wyniku czego otrzymujemy: 

++++

µµµµ

σσσσ

−−−−

µµµµ

µµµµ

====

1

2

y

2

y

2

1

y

ln

y

ln

e

e

e

 

 

 

 

(55) 

 

Zauwa my,  ze  wyra enie  z  lewej  strony  równania  jest  rednia  geometryczna  zmiennej 

y, 

natomiast 

y

=exp(ln 

y

) jest  redni  arytmetyczn  (a). W konsekwencji tego otrzymujemy: 

       

1

a

a

g

2

2

y

−−−−

σσσσ

====

 

 

 

 

 

(56) 

Po prostym przekształceniu (56), alternatywny wzgl dem (14) zwi zek funkcyjny pomi dzy 

redni  geometryczn  i arytmetyczn , przedstawia si  nast puj co: 

       

2

2

y

2

a

a

g

++++

σσσσ

====

   

 

 

 

(57) 

 

Przykład 6 

 

Niech płace miesi czne (y) pracowników pewnego sektora gospodarczego charakteryzuj  si  rozkładem 

logarytmiczno-normalnym.  Płace  wyra one  s   w  złotych.  Załó my,  e  warto   oczekiwana  ( rednia 

arytmetyczna) i odchylenie standardowe płac równaj  si  odpowiednio: 

a = 

y

 = 1950 zł, 

y 

= 812,27 zł. 

Okre li : 

1) median  ( redni  geometryczn ) płac 2) wzgl dne rozproszenie płac wokół  redniej geometrycznej. 

 

Na wst pie zauwa my,  e w omawianym przypadku mamy: 

 

a

2

 = 1950

2

 = 3 802 500 

 

2

y

 = 812,27

2

 = 659 782,55 

Ad 1) Na podstawie (57) otrzymujemy: 

1800

500

802

3

52

,

722

659

500

802

3

g

=

+

=

zł, 

co jest zgodne z zało eniami do przykładu 1. 

Ad 2) Wariancj  logarytmu zmiennej y wzgl dem logarytmu zmiennej geometrycznej obliczymy w warunkach 

alternatywnych na podstawie (52). W rezultacie otrzymujemy: 

16

,

0

1

500

802

3

55

,

782

659

ln

2

y

ln

=

+

=

σ

,

 

co znajduje potwierdzenie w danych do przykładu 1. 

Oczywi cie odchylenie standardowej logarytmu zmiennej y jest równe: 

lny

=0,4. Na jego podstawie obliczymy 

przeci tne  w  sensie  standardowym,  wzgl dne  rozproszenie  zmiennej  y  w  stosunku  do  redniej  geometrycznej 

(mediany) płac. Zgodnie z (19) i (20) mamy: 

v

d 

= exp(-0,4) = 0,67 

v

d 

= exp(0,4) =  1,4918 

Obecnie tak jak w przykładzie 2 powiemy,  e 

w sensie standardowym przeci tny udział płac w ich  redniej 

geometrycznej (medianie) waha si  w granicach od 0,67 do 1,49, czyli płace przeci tnie odchylaj  si  od 

ich  redniej  geometryczne  (mediany)  w  przedziale  od  –33%  do  49%.  Rozpatrywany  przykład  unaocznia 

równowa no  Twierdzenia 1 i 2 (patrz: rys. 5). 

 

15 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ko cz c  t   cz

  rozwa a   zauwa my,  e  mimo  równowa no ci  Twierdzenia  1  i  2 

uzna  nale y Twierdzenie 2 za pochodne wzgl dem Twierdzenia 1.  wiadczy o tym sposób 

dochodzenia do Twierdzenia 2, wynikaj cy z przekształce  parametrów rozkładu normalnego 

logarytmu zmiennej losowej y.  

 

7. PARAMETRY ROZKŁADU RELACJI ZMIENNEJ LOSOWEJ 

DO JEJ  REDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I GEOMETRYCZNEJ 

- KRÓTKIE WPROWADZENIE DO MODELI MULTIPLIKATYWNYCH 

 

 

Rozpatrywany  rozkład  logarytmiczno-normalny  w  naturalny  sposób  zwi zany  jest  z 

modelami  multiplikatywnymi.  Aby  to  wyja ni   załó my,  e  zmienna 

v  wyra a  stosunek 

pewnej, przyjmuj cej jedynie warto ci dodatnie, zmiennej losowej 

y do pewnego dodatniego, 

nielosowego parametru  : 

0

y

v

µµµµ

====

. 

 

 

 

 

(58) 

 

 

      f(y) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            -g v

d

                      g v

g 

 

 

 

                                                      -g v

2d

                                                    g v

2g

     

 

                                                       Dy     My  Ey                                                                                             y 

                     500             1000           1500             2000           2500             3000           3500             4000            4500 

 

Rys. 5 Pogl dowy rysunek funkcji g sto ci rozkładu logarytmiczno-normalnego płac  

           w rozpatrywanym przykładzie, gdzie: 
           rednia geometryczna (mediana) płac: 

1800

e

e

g

My

49554

,

7

y

ln

====

====

====

====

µµµµ

zł , 

           rednia arytmetyczna (warto  oczekiwana) płac: 

 

1950

e

1800

e

g

a

Ey

16

,

0

15

,

0

2

y

ln

5

,

0

====

====

====

====

⋅⋅⋅⋅

σσσσ

⋅⋅⋅⋅

zł, 

          warto  dominuj ca (dominanta) płac:

9

,

1533

e

1800

e

Dy

16

,

0

2

y

ln

y

ln

====

====

====

−−−−

σσσσ

−−−−

µµµµ

zł, 

          odchylenie standardowe logarytmu płac: 

lny

 = 0,4 

          miary rozproszenia wzgl dnego i absolutnego płac:  

A) v

d

 = e

-  

= e

-0,4

 =0,67;  v

g

 = e

 

= e

0,4

 = 1,49 

     g·v

d

 = 1800·0,67 = 1206 zł,  g·v

g 

 = 1800·1,49 = 2682 zł 

     P(1206 zł < y < 2682 zł) = 0,6826 

B) v

2d

 = e

-2  

= e

-0,8

 = 0,449,  v

2g

 = e

2   

= e

0,8

 = 2,225 

     g·v

2d

 = 1800·0,449 =  808 zł,  g·v

2g

 = 1800·2,225 = 4005 zł. 

     P(808 zł < y < 4005 zł) = 0,9545 

 

 

16 

Oznacza to,  e 

v

y

⋅⋅⋅⋅

µµµµ

====

. 

 

 

 

 

(59) 

 

Je li obecnie zało ymy, i  warto  oczekiwana zmiennej losowej v jest równa jeden, tzn.: 

 

        

1

Ev

v

====

====

µµµµ

, 

 

 

 

 

(60) 

wówczas stwierdzamy,  e 

   

a

Ev

Ey

====

µµµµ

====

⋅⋅⋅⋅

µµµµ

====

.   

 

 

 

(61) 

 

Oznacza to,  e 

wtedy gdy spełniony jest warunek w my l którego Ev=1, to parametr   w 

równaniu  (59)  jest  redni   arytmetyczn   zmiennej  losowej  y,  co  zasygnalizowano  za 

pomoc   symbolu 

a,  zgodnie  z  wcze niej  przyj t   umow .  Jednocze nie  zmienna  losowa  v 

wyra a sob  stosunek zmiennej losowej y do jej  redniej arytmetycznej zgodnie z (58).  

 

Po zlogarytmowaniu stronami równania (59) otrzymujemy: 

 

      

u

ln

y

ln

++++

µµµµ

====

 

 

 

 

 

(62) 

gdzie: 

v

ln

u ====

. 

 

 

 

 

(63) 

 

Zauwa my,  e 

je li  zmienna  u  ma  rozkład  normalny  to  zmienna  v  ma  rozkład 

logarytmiczno-normalny. Je li obecnie zało ymy,  e warto  oczekiwana u jest równa zero, 

tzn.: 

0

Eu

u

====

====

µµµµ

,   

 

 

 

(64) 

wówczas stwierdzamy,  e 

    

µµµµ

====

++++

µµµµ

====

ln

Eu

ln

E

y

ln

E

.   

 

 

(65) 

 

Poniewa   warto   oczekiwana  logarytmu  zmiennej 

y  jest  równa  logarytmowi  parametru  , 

wi c parametr   jest  redni  geometryczn  zmiennej 

y, jako  e 

 

        

g

e

e

ln

y

ln

=

µ

=

=

µ

 

 

 

 

(66)  

 

Oznacza to,  e 

wtedy gdy spełniony jest warunek w my l którego Eu=lnv=0, to parametr 

 w równaniu (59) jest  redni  geometryczn  zmiennej losowej y, co zasygnalizowano za 

pomoc   symbolu 

g,  zgodnie  z  wcze niej  przyj t   umow .  Jednocze nie  zmienna  losowa  v 

wyra a sob  stosunek zmiennej losowej 

y do jej  redniej geometrycznej zgodnie z (58)

3

. 

 

Obecnie  na  bazie  dwu  wcze niej  sformułowanych  alternatywnych  twierdze , 

sformułowa   mo emy  dwa  nast pne  dotycz ce  zwi zków  pomi dzy  parametrami  rozkładu 

zmiennych losowych 

u i v. 

TWIERDZENIE 3. Je eli w warunkach (63) zmienna losowa u ma rozkład normalny 

)

,

0

(

2

u

σ

Ν

, 

to v jest zmienn  losow  o rozkładzie logarytmiczno-normalnym 

)]

1

e

(

e

,

e

[

2

u

2

u

2

u

2

1

−

σ

σ

σ

Λ

 

TWIERDZENIE  4

4

.  Je eli  w  warunkach  (63)  zmienna  v  jest  zmienna  losow   o  rozkładzie 

logarytmiczno-normalnym 

)

,

1

(

2

v

σ

Λ

 

                                                 

3

 Przedstawione tutaj zało enia i wypływaj ce z nich wnioski stanowiły podstaw  rozwa a  dotycz cych modeli 

multiplikatywnych w artykułach [2], [12] i monografii [13]. 

4

 Twierdzenie to stanowiło podstaw  do poszukiwa  nieobci onego estymatora dla składnika systematycznego 

w modelu multiplikatywnym w przypadku gdy składnik ten wyznacza warunkowe  rednie arytmetyczne 

zmiennej obja nianej (por: [3], [6], [7] i [15]). 

 

17 

to u jest zmienn  losow  o rozkładzie normalnym  

(

) (

)

]

1

ln

,

1

ln

[

2

v

2

v

2

1

+

+

−

σ

σ

Ν

 

 

 

Podsumowuj c  zauwa my,  e  parametr    mo e  by   uznany  za  warunkow   redni  

arytmetyczn  lub geometryczn  zmiennej losowej 

y w sytuacji, gdy  rednia arytmetyczna a, 

tym  samym  rednia  geometryczna  tej  zmiennej,  ulega   b dzie  zmianie  pod  wpływem 

czynników  nielosowych.  Zmiana  bowiem  warunkowej  redniej  geometrycznej  zmiennej 

y, 

charakteryzuj cej  si   rozkładem  logarytmiczno-normalnym,  gwarantuje  ci le  okre lone 

zmiany  warunkowej  redniej  arytmetycznej  i  odwrotnie,  zmiana  warunkowej  redniej 

arytmetycznej  zmiennej 

y  gwarantuje  ci le  okre lone  zmiany  warunkowej  redniej 

geometrycznej.  O  tym,  czy  parametr    ma  by   warunkow   redni   arytmetyczn   lub 

geometryczn   decydujemy  przyjmuj c  okre lone  zało enia  dotycz ce  parametrów  rozkładu 

zmiennej  losowej 

v  a  tym  samym  zmiennej  u.  Nale y  podkre li   z  cał   moc ,  e  zmienna 

losowa 

y, je li charakteryzuje si  rozkładem logarytmiczno-normalnym, ma  ci le okre lone 

parametry  rozkładu,  takie  jak  rednia  arytmetyczna  (warto   oczekiwana),  rednia 

geometryczna (mediana), dominanta, wariancja zmiennej 

y lub wariancja logarytmu zmiennej 

y.  Tym  samym  korzystanie  z  twierdzenia  3  lub  4  w  niczym  nie  narusza  charakterystyki 

rozkładu zmiennej losowej 

y. Decyduje jedynie o wyborze parametru odniesienia w stosunku 

do  innych  parametrów  rozkładu  zmiennej 

y,  a  tym  samym  o  sposobie  zapisu  wszystkich 

pozostałych  parametrów  rozkładu  zmiennej 

y.  Parametry  te  bowiem  mo emy  zapisywa   w 

kategoriach zmiennej 

y lub jej logarytmu a tym samym w kategoriach zmiennej u lub v.  

 

WNIOSKI KO COWE 

 

 

W  artykule  wykazano,  e  w  przypadku,  gdy  zmienna  losowa 

y  ma  rozkład 

logarytmiczno-normalny 

N(

lny

, 

2

lny

) to:  

•  parametry v

d

=exp(-

lny

) i v

g

=exp(

lny

) wyznaczaj  przedział dla przeci tnego w sensie 

standardowym,  wzgl dnego  rozproszenia  zmiennej 

y  w  stosunku  do  jej  redniej 

geometrycznej 

g=exp(

lny)

,

 

 

•  parametry  g·v

d

  do 

g·v

g

  wyznaczaj   przedział  dla  przeci tnego  w  sensie  standardowym, 

absolutnego rozproszenia zmiennej 

y wzgl dem jej  redniej geometrycznej. 

Stwierdzono: 

•  dla  przypadku  redniej  geometrycznej  zmiennej  losowej  y,  i   jednakowemu 

prawdopodobie stwu  realizacji  zdarze   odpowiada,  co  do  warto ci  bezwzgl dnej, 

mniejszy przedział dolny i wi kszy przedział górny odchyle  zmiennej 

y od jej  redniej 

geometrycznej (mediany). 

•  dla przypadku  redniej arytmetycznej zmiennej losowej y, i  jednakowemu rozproszeniu 

absolutnemu  i  wzgl dnemu  zmiennej  losowej 

y  w  relacji  do  redniej  arytmetycznej 

odpowiada  wi ksze  prawdopodobie stwo  odchyle   ujemnych  oraz  mniejsze 

prawdopodobie stwo odchyle  dodatnich.  

 

Na  podstawie  przeprowadzonej  analizy  dotycz cej  rodzajów  miar  dyspersji 

wnioskujemy,  e: 

•  miar   wzgl dnego  rozproszenia  zmiennej  losowej  uzna   mo na  za  naturaln   miar  

rozproszenia  zmiennej  losowej  w  relacji  do  redniej  geometrycznej;  natomiast  miar  

absolutnego  rozproszenia  zmiennej  losowej  wzgl dem  redniej  geometrycznej  uzna  

nale y za miar  pochodn  wzgl dem miary rozproszenia wzgl dnego. 

•  miar   absolutnego  rozproszenia  zmiennej  losowej  uzna   mo na  za  naturaln   miar  

rozproszenia  zmiennej  losowej  w  relacji  do  redniej  arytmetycznej;  natomiast  miar  

wzgl dnego  rozproszenia  zmiennej  losowej  wzgl dem  redniej  arytmetycznej  uzna  

nale y za miar  pochodn  wzgl dem miary rozproszenia absolutnego. 

 

18 

 

Wykazano  ponadto,  e  w  zakresie  zwi zków  pomi dzy  redni   arytmetyczn   (

a)  i 

geometryczn   (

g)  zmiennej  losowej  y  o  rozkładzie  logarytmiczno-normalnym,  funkcja: 

g=a

2

(

2

y

+a

2

)

-(1/2)

  jest  równowa na  funkcji: 

g=a·exp[(1/2) 

2

lny

],  gdzie  parametr 

2

y

  jest 

wariancj   zmiennej  losowej 

y,  natomiast  parametr 

2

lny 

jest  wariancj   logarytmu  zmiennej 

losowej 

y. 

 

 

 

 

LITERATURA 

[1]  Aitchison J., Brown A., The Lognormal Distribution, Cambridge University Press, Cambidge 1957. 

[2]  Bołt T.W., Ossowski J., Prognozowanie na podstawie modeli logarytmiczno-liniowych, Przegl d  

       Statystyczny 1992, z. 3-4  s.327-340. 

[3]  Bradu D., Mundlak Y., Estimation in Lognormal Linear Models, Journal of the American Staistical  

       Association, 1970 nr 65, s.198-211. 

[4]  Bronsztejn J.N., Siemiendiajew K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1976 

[5]  Goldberger A.S., Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa 1972. 

[6]  Golberger A.S., The Interpretation and Estimation of Cobb-Douglas Functions, Econometrica, 1968 nr 35,  

       s. 464-472. 

[7]  Heien D.M.: Not on Log-linear Regression, Journal on the American Statistical Associacion, 1968 nr 63,  

       s.1034-1038 

[8]  Kendall M. Bucland W.R., Słownik terminów statystycznych, PWE, Warszawa 1975. 

[9]  Klein L.R., Wst p do ekonometrii, PWE, Warszawa 1965. 

[10] Kmenta J.: Elements of Econometrics, Second Edition, Macmillan Publishing Company, New York 1990. 

[11] Murti V.N., Sastry V.K., Production Functions for Indian Industry, Economerica, 1957 nr 25, s. 205-221. 

[12] Ossowski J., Własno ci interpretacyjne składnika losowego w modelu multiplikatywnym, Przegl d  

        Statystyczny 1988, z.2, s.131-142. 

[13] Ossowski J., Modele klasy logarytmiczno-liniowej w analizie efektywno ci procesu produkcji,  

        Wydawnictwo Uniwersytetu Gda skiego, Gda sk 1989, Zeszyty Naukowe, Rozprawy i Monografie 130. 

[14] Pawłowski Z., Wst p do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1969. 

[15] Teekens R., Koerts J.., Some Statistical Implications of the Log Transformations of  Multiplicative Models,  

        Econometrica, 1972 nr 5 , s. 793-819.  

[16] Theil H., Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa 1979