Wykład 4

11.III.2002

wersja na dzień 18 marca 2002 roku

4.1 Rozwiązywanie równania potencjału

Podstawowe fakty dotyczące zagadnień brzegowych oraz wykorzystania metody
funkcji Green’a są umieszczone w Dodatku A – Uzupełnienia Matematyczne.

Rozwiązanie zagadnienia brzegowego dla równania Poissona da się zawsze

sprowadzić do rozwiązania zagadnienia brzegowego dla równania Laplace’a.
Rozważmy bowiem równania Poissona

4f = g

(4.1)

z warunkiem brzegowym Dirichleta

f (~r)|

{~

r

∈S}

= u

0

(~r)

lub Neumanna

df

dn







{~

r

∈S}

= u

1

(~r).

Po podstawieniu

f (~r) = F (~r) −

1

4π

Z

V

d

3

˜

r

g(˜

~r)

|~r − ˜~r|

(4.2)

równanie (4.1) przechodzi w równanie Laplace’a na funkcję F z warunkiem
brzegowym

F (~r)|

{~

r

∈S}

= u

0

(~r) +

1

4π

Z

V

d

3

˜

r

g(˜

~r)

|~r − ˜~r|








{~

r

∈S}

19

WYKŁAD 4.

11.III.2002

20

w przypadku zagadnienia Dirichleta lub

dF

dn







{~

r

∈S}

= u

1

(~r) +

1

4π

d

dn

Z

V

d

3

˜

r

g(˜

~r)

|~r − ˜~r|








{~

r

∈S}

(4.3)

w przypadku zagadnienia Neumanna.

W przypadku zagadnienia Neumanna dobór funkcji brzegowej u

1

wyzna-

czającej wartość pochodnej funkcji f na powierzchni ∂V nie jest dowolny.
Musi być w tym przypadku spełniony warunek samouzgodnienia wynikający
lematu Green’a (A.2). Zastosujmy bowiem lemat Green’a do funkcji f i do
funkcji tożsamościowo równej 1. Otrzymujemy wtedy

Z

V

dV 4f =

I

∂V

∂f
∂n

ds ,

a na mocy (4.1) i warunku brzegowego Neumanna daje to

Z

V

gdV =

I

∂V

u

1

(~r)ds

(4.4)

Jest to warunek konieczny na to, aby zagadnienie Neumanna posiadało roz-
wiązanie.

4.2 Zagadnienia brzegowe – interpretacja fi-

zyczna

Znaczna część z tego co było dotychczas powiedziane na temat równań Lapla-
ce’a bądź Poisson’a staje się dosyć oczywiste gdy uprzytomnimy sobie treść
fizyczną rozważanych zagadnień. Jako podstawę fizycznych analogii bierzemy
elektrostatyczne równanie potencjału

4Φ = −4πρ .

Wtedy zagadnienie Dirichleta formułuje się jako problem znalezienie po-
tencjału elektrostatycznego w obszarze V przy zadanym potencjale na po-
wierzchni ograniczającej V oraz przy znajomości źródeł ρ znajdujących się
wewnątrz obszaru V . Z fizycznego punktu widzenia jednoznaczność rozwią-
zania tak postawionego zadania nie powinna budzić większych wątpliwości.

Ponieważ funkcja Green’a dla zagadnienia Dirichleta spełnia warunek

(A.4):

4G(~r, ~r

0

) = δ

(3)

(~r − ~r

0

)

WYKŁAD 4.

11.III.2002

21

to może być interpretowana jako funkcja proporcjonalna do potencjału elek-
trostatycznego pochodzącego od jednostkowego ładunku elektrycznego znaj-
dującego się w punkcie ~r

0

. Współczynnikiem proporcjonalności jest −1/4π.

W przypadku zagadnienia Dirichleta funkcja Green’a ma zerować się na po-
wierzchni ograniczającej obszar V . W języku fizycznym znaczy to, że na
powierzchni ∂V potencjał jest zerowy. Zatem znalezienie funkcji Green’a
dla zagadnienia Dirichleta jest równoważne znalezieniu potencjału elektrosta-
tycznego w obszarze V , wytworzonego przez jednostkowy ładunek elektrycz-
ny umieszczony w ~r

0

. Obszar V jest ograniczony uziemioną przewodzącą po-

wierzchnią ∂V.

Dla interpretacji zawartości fizycznej zagadnienie Neumanna przeanali-

zujmy najpierw

4.2.1 Pole elektryczne na granicy ośrodków – cz. 1

Mamy dwa ośrodki: 1 i 2 w których mamy pole elektryczne ~

E. Wyobraźmy

sobie płaskie prostopadłościenne pudełko ulokowane względem powierzch-
ni rozdzielającej te ośrodki tak jak na poniższym rysunku: Górna i dolna

.......

................

................

.............

........

.......

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...............................................

.............................................................

E

n

1

~n

6

O

1

E

n

2

6

W

~n

2

Rysunek 4.1: Warunki brzegowe dla pola elektrycznego

ścianka pudełka ma pole S natomiast wysokość pudełka dąży do zera. Pole
elektryczne spełnia równanie Maxwella

div ~

E = 4πρ .

Stosując do naszego pudełka prawo Gaussa (uwaga na kierunki normalnych

~n do pudełka – zawsze na zewnątrz!) otrzymuje się przy znikającej wysokości

pudełka:

(E

n

1

− E

n

2

) · S = 4πQ

(P )

,

WYKŁAD 4.

11.III.2002

22

gdzie E

n

1

, E

n

2

są składowymi normalnymi pola elektrycznego, a Q

(P )

jest

ładunkiem zawartym wewnątrz naszego pudełka. Przy coraz bardziej spłasz-
czającym się pudełku: Q

(P )

= σS, gdzie σ jest powierzchniową gęstością

ładunku elektrycznego.

Ponieważ w zagadnieniach elektrostatycznych

~

E = −grad Φ ,

to pochodna normalna potencjału elektrostatycznego ∂Φ/∂n jest równa −E

n

.

Otrzymujemy zatem wynik (vide (A.6)), że składowa normalne pola elek-

trycznego doznaje na granicy dwóch ośrodków skoku równego

4π × (gęstość powierzchniowa ładunku).

Zatem znalezienie funkcji Green’a dla zagadnienia Neumanna jest równo-
ważne znalezieniu potencjału elektrostatycznego w obszarze V , wytworzonego
przez jednostkowy ładunek elektryczny umieszczony w ~r

0

. Obszar V jest ogra-

niczony jednolicie naładowaną powierzchnią ∂V z gęstością powierzchniową
ładunku równą −1/S. S jest polem powierzchni ∂V.

Warunek (4.4) wewnętrznej spójności zagadnienia Neumanna zapisuje się

w języku potencjałów i źródeł jako

Z

V

ρdV = −

1

4π

I

∂V

u

1

(~r)ds

Funkcja u

1

(~r) jest wartością pochodnej normalnej potencjału na powierzchni

ograniczającej objętość V, czyli jest równa (minus) wartości składowej nor-
malnej pola elektrycznego na tej powierzchni.

Po lewej stronie mamy zatem całkowity ładunek zawarty w objętości V ,

natomiast prawa strona jest proporcjonalna do strumienia pola elektrycznego
przechodzącego przez powierzchnię ∂V. Warunek (4.4) jest zatem równoważ-
ny równaniu Maxwella

div ~

E = 4πρ .

4.3 Zadania i ćwiczenia

Zadania z listy nr 3

Zadanie 1.
Rozważmy potencjał elektrostatyczny, który w radialnym układzie współrzędnych
wyraża się wzorem:

Φ(r, θ) =

q

√

r

2

+ a

2

− 2ra cos θ

−

q

q

R

2

+ (ra/R)

2

− 2ra cos θ

WYKŁAD 4.

11.III.2002

23

gdzie R, a są stałymi parametrami.

1. zastanowić się nad kształtem tego potencjału – gdzie rośnie, gdzie maleje,

gdzie ma bieguny? Odtworzyć lokalizację i wielkość ładunków, które tworzą
ten potencjał.

2. wyrazić potencjał Φ we współrzędnych kartezjańskich,

3. pokazać, że badane Φ jest funkcją Green’a dla równania potencjału.

4. pokazać, że jest to funkcja Green’a dla zagadnienia brzegowego Dirichleta.

Na jakiej powierzchni?

5. obliczyć gęstość ładunku powierzchniowego indukowanego na uziemionej

powierzchni przewodzącej otrzymanej w wyniku rozważań z poprzedniego
punktu,

Ćwiczenia treningowe

Ćwiczenie 1.
Rozważmy metalową sferę o promieniu R o środku w początku układu współrzęd-
nych. Na sferze utrzymywany jest stały potencjał Φ

0

. Wewnątrz sfery znajduje

się ładunek punktowy q w odległości r

0

< R od środka sfery.

1. napisać równanie Poissona i warunek brzegowy spełniany przez potencjał

Φ(~r) wewnątrz sfery,

2. napisać równoważne (vide wykład powyżej) równanie Laplace’a dające roz-

wiązanie problemu z punktu 1,

3. jaka jest fizyczna interpretacja rozwiązania z punktu 2?