6.V.2002
wersja na dzień 20 maja 2002 roku
11.1
Energia dielektryka w polu elektrycznym Wychodzimy z ogólnego wyrażenia na energię 1 Z
W =
d 3 r ρΦ .
8 π
Wykorzystuje się równanie div ~
D = 4 πρ raz ~
E = −∇Φ. Po wycałkowaniu przez części otrzymamy
1 Z
W =
d 3 r ~
E · ~
D .
(11.1)
8 π
Wbrew naiwnej interpretacji powyższego wzoru, po wprowadzeniu dielektryka do pola elektrycznego całkowita energia układu zmniejsza się. Intuicyjnie wynika to ze wzoru na energię układu ładunków w polu zewnętrznym: V = QV (0) − ~
d · ~
E| 0 + · · ·
skąd wynika, że moment dipolowy równoległy do pola daje ujemny wkład do energii.
W naszym przypadku policzmy różnicę energii układu próżniowego (stała dielektryczna 0 = 1) i układu ze wstawionym dielektrykiem nienaładowanym (stała dielektryczna ).
Z
8 π δW =
d 3 r ( ~
E · ~
D − ~
E 0 · ~
D 0)
(11.2)
Z
Z
Z
=
d 3 r ( ~
E + ~
E 0) · ( ~
D − ~
D 0) +
d 3 r ~
E · ~
D 0 −
d 3 r ~
E 0 · ~
D
58
59
Pierwszą całkę całkujemy przez części, wykorzystując, że ~
E + ~
E 0 jest gradientem.
Ponieważ rozkłady ładunków nie zmieniają się to pierwsza całka jest równa zeru.
Pozostałe wyrazy dają wkład
Z
d 3 r ( 0 − ) ~
E · ~
E 0 ,
który jest różny od zera tylko wewnątrz dielektryka. Wyrażenie to można zapisać jako
Z
− 4 π
d 3 r ~
P · ~
E 0
Ostatecznie
1 Z
δW = −
d 3 r ~
P · ~
E 0
;
2
co dowodzi naszej tezy.
11.1.1
Warunki brzegowe w magnetostatyce i elektro-statyce
Warunki na granicy ośrodków otrzymuje się wykorzystując twierdzenia Gauss’a i Stokes’a.
Elektrostatyka
Na granicy dwóch dielektryków, pod nieobecność ładunków otrzymamy z równania div ~
D = 0, wykorzystując twierdzenie Gaussa, warunek ciągłości składowych normalnych indukcji: D 1 n = D 2 n. Oznacza to skok składowych normalnych wektora natężenia pola elektrycznego.
Dla pola elektrycznego, z równania rot ~
E = 0, otrzymamy z twierdzenia
Stokes’a warunek ciągłości składowych stycznych pola elektrycznego E 1 t =
E 2 t.
Na granicy dielektryk - przewodnik, przy powierzchniowej gęstości ładunku σ otrzymamy Dn = 4 πσ. Ponieważ wewnątrz przewodnika En = 0, to stąd wynika, że przewodnik może być formalnie traktowany jako dielektryk z nie-skończoną stałą dielektryczną.
11.1.2
Magnetostatyka przewodnika
Gdy w przewodniku płynie różny od zera prąd stały ~ to uśredniony prąd mikroskopowy można zapisać jako
< ρ~v > = c rot ~
M + ~
(11.3)
60
Odpowiednie równanie na pole magnetyczne ma wtedy postać 4 π
rot ~
H =
~ .
(11.4)
c
11.2
Pola zmienne w czasie
W przypadku gdy w ośrodku znajdują się źródła (ładunki ρex i prądy ze-wnętrzne ~ex) zmienne w czasie, uśrednienie równanie mikroskopowego 1 ∂~e
4 π
rot ~b −
=
~
(11.5)
c ∂t
c
wymaga dodatkowej dyskusji. Konsekwencją takich zmiennych źródeł jest zmienność w czasie polaryzacji ~
P . To z kolei, jak zobaczymy, generuje dodat-kowy wkład do prądu. Jeśli przez %in oznaczymy uśrednioną gęstość ładunków wewnętrznych
%in( ~r, t) = < ρ > ( ~r, t) , to definicja polaryzacji daje
div ~
P = −%in .
Różniczkując powyższe równanie obustronnie po czasie mamy
∂ ~
P
∂%
div
= −
in .
(11.6)
∂t
∂t
Ponieważ ładunek ρin jest zachowany, to musi tez istnieć prąd ~P ( prąd polaryzacji ) taki, że
∂%
div ~P +
= 0
∂t
Porównując to wyrażenie z równaniem (11.6) przyjmujemy, że
∂ ~
P
~P = c
.
(11.7)
∂t
Uśredniając równanie (11.5) otrzymuje się po prawej stronie sumę prądu zewnętrznego ~ex, prądu polaryzacji ~P oraz wkład od magnetyzacji – c rot ~
M .
Otrzymuje się zatem
1 ∂ ~
E
4 π
4 π
∂ ~
P
rot ~
B −
=
~
=
~
+ c rot ~
M .
c ∂t
c
ex + ~
P + c rot ~
M
c
ex + ∂t
(11.8)
61
Uwzględniając odpowiednie definicje otrzymuje się ostatecznie 1 ∂ ~
D
4 π
rot ~
H −
=
~
c ∂t
c ex
(11.9)
Kompletny układ równań materiałowych ma więc postać 1 ∂ ~
B
rot ~
E +
= 0 .
(11.10a)
c ∂t
div ~
D = 4 π%ex, .
(11.10b)
div ~
B = 0 .
(11.10c)
1 ∂ ~
D
4 π
rot ~
H −
=
~
c ∂t
c ex .
(11.10d)
11.3
Energia pola elektromagnetycznego
Wychodząc z bilansu energii przy przepływie prądu zmiennego i prawa Ohma q = ~
J · ~
E
otrzymuje się
∂W
Z
= −Q −
~
S · dσ
(11.11)
∂t
S
gdzie
1 Z
W =
( ~
E · ~
D + ~
H · ~
B) dV ;
8 π V
jest energię pola elektromagnetycznego, a
~
c
S =
~
E × ~
H
(11.12)
4 π
jest wektorem Poyntinga.
Wektor Poyntinga jest strumieniem energii płynącej przez powierzchnię ograniczającą obszar V .
. . .
11.4
Zadania i ćwiczenia
Zadania z listy nr 6
Zadanie 1.
Obliczyć moment magnetyczny cząstki naładowanej poruszającej się w stałym
62
polu magnetycznym. Pokazać, że niezależnie od znaku ładunku moment ten jest skierowany zawsze przeciwnie do kierunku pola.
Zadanie 2.
Wychodząc z wyrażenia na energię pola magnetycznego 1 Z
W =
~
H · ~
B dV
8 π V
pokazać, że dla układu zlokalizowanych prądów stałych umieszczonych w ośrodku o przenikalności magnetycznej µ, energia pola magnetycznego wynosi µ Z
~
J( ~r) · ~
J( ~r0)
W =
d 3 rd 3 r0
;
2 c 2
|~r − ~r0|
Wskazówka: Pokazać, że ~
H · ~
B = div ( ~
A × ~
B) + ~
A · ~
J ;
Zadanie 3.
Wykazać, że jeśli w przewodnikach z poprzedniego zadania płyną prądy stałe o natężeniach I 1 , I 2 , . . . , In, to energia pola magnetycznego może być zapisana w postaci
1 n
n
n
W =
X L
+ X X L
2
iI 2
i
i j IiIj ;
i=1
i=1 j>i
Znaleźć wyrażenia na współczynniki indukcji własnej Li i współczynniki indukcji wzajemnej Li j