Wykład 2

25.II.2002

wersja na dzień 26 lutego 2002 roku

2.1 Potencjały elektromagnetyczne – cecho-

wanie

Nie ma wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania:

czteropotencjał ⇐⇒ pola

Przyporządkowanie jest typu

czteropotencjał =⇒ pola

Jako, że rot grad ≡ 0 to do potencjału wektorowego ~

A można dodać gra-

dient dowolnej funkcji skalarnej f , bez jakiejkolwiek zmiany pola indukcji
magnetycznej ~

B. Ponieważ

~

E = −grad φ −

1

c

∂ ~

A

∂t

to zmiana

~

A 7→

˜

~

A = ~

A + grad λ

(2.1a)

nie zmieni pola ~

E jeśli jednocześnie potencjał skalarny

φ 7→ ˜

φ = φ −

1

c

∂λ

∂t

.

(2.1b)

Przekształcenia (2.1) nazywamy transformacją cechowania, a to, że pola ~

E i

~

B nie zmieniają się względem transformacji (2.1)nazywa sięniezmienniczością

8

WYKŁAD 2.

25.II.2002

9

elektrodynamiki względem transformacji cechowania

. Można to uogólnić mó-

wiąc, że fizyczny sens mają tylko wielkości niezmiennicze względem transfor-
macji cechowania.

Startując z dowolnego czteropotencjału (φ, ~

A) można tak dobrać funkcję

cechowania λ, aby nowy potencjał ( ˜

φ,

˜

~

A) otrzymany z poprzedniego poprzez

transformację cechowania (2.1) spełniał ustalony przez nas warunek. Waru-
nek ten zwykle dobieramy tak, aby uprościć odpowiednie równania.

Mówimy, że potencjał spełnia warunek Coulomba (ewentualnie mówi się

o cechowaniu kulombowskim) jeśli

div ~

A = 0

(2.2)

Mówimy, że potencjał spełnia warunek Lorentza (ewentualnie mówi się o
cechowaniu lorentzowskim

) jeśli

1

c

∂φ

∂t

+ div ~

A = 0

(2.3)

Zatem z równań (1.10) i (1.11) wynika, że w cechowaniu kulombowskim czte-
ropotencjał spełnia równania

4φ = −4πρ

(2.4)

4 ~

A −

1

c

2

∂

2

~

A

∂t

2

= −

4π

c

~ +

1

c

grad

∂Φ

∂t

;

(2.5)

W cechowaniu lorentzowskim czteropotencjał spełnia

4φ −

1

c

2

∂

2

φ

∂t

2

= −4πρ

(2.6)

4 ~

A −

1

c

2

∂

2

~

A

∂t

2

= −

4π

c

~ ;

(2.7)

Jako przykład pokażemy w jaki sposób otrzymać potencjał w cechowaniu
lorentzowskim. Startujemy z potencjału (φ, ~

A) takiego, że

1

c

∂φ

∂t

+ div ~

A = χ 6= 0

Szukamy funkcji cechowania λ takiej, że dla

˜

~

A = ~

A + grad λ i ˜

φ = φ − ∂

t

λ/c

1

c

∂ ˜

φ

∂t

+ div

˜

~

A = 0

WYKŁAD 2.

25.II.2002

10

Innymi słowy

1

c

∂

∂t

φ −

1

c

∂λ

∂t

!

+ div ( ~

A + grad λ) = 0

Stąd otrzymuje się równanie na funkcję λ:

4λ −

1

c

2

∂

2

λ

∂t

2

= −χ

2.2 Pułapki równań Maxwella

Rozwiązywanie zagadnień elektrodynamiki prowadzi zwykle przez etap szu-
kania rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych. Są to albo równania
Maxwella na pola elektromagnetyczne, albo równania na potencjały ~

A, φ.

Dla pewnych zagadnień odpowiedź można uzyskać analizując ogólną struk-
turę teorii. Przykładem takiego podejścia do fizyki teoretycznej jest „Kurs
Fizyki Teoretycznej” Landaua i Lifszyca.

Rozpatrując prosty przypadek o dobrze znanym rozwiązaniu dojdziemy

do pewnych subtelnych, acz ważnych, własności równań Maxwella. Jako przy-
kład weźmy ładunek punktowy q umieszczony w początku układu. Dobrze
wiadomo, że pole elektryczne takiego umieszczonego w próżni ładunku ma
postać

~

E(~r) =

q

r

3

~r

Sprawdźmy czy spełnione jest w tym przypadku odpowiednie równanie Ma-
xwella

div ~

E = 4πρ

(2.8)

Bezpośrednim rachunkiem łatwo sprawdzić, że dla ~r 6= 0 równanie (2.8)jest
spełnione. Problem pojawia się dla ~r = 0 gdzie dywergencja naszego ~

E ma

osobliwość. Problem polega tu należytym zdefiniowaniu gęstości ρ w przy-
padku ładunku punktowego. Z dotychczasowych rozważań wynika, że gęstość
miałaby postać

ρ(~r) =







0,

dla ~r 6= 0,

∞, dla ~r = 0.

(2.9)

co oczywiście nie rozwiązuje naszego problemu.

Weźmy całkową postać równania (2.8)

I

∂V

~

E · ~n dσ =







4πq, gdy ~0 ∈ V,
0,

gdy ~0 /

∈ V.

(2.10)

WYKŁAD 2.

25.II.2002

11

W klasycznej analizie całkę z funkcji, która jest równa zeru prawie wszę-
dzie (tak jak w równaniu (2.9) można określić tylko poprzez odpowiednią
procedurę graniczną. Również bezpośrednie stosowanie twierdzenia Gaussa
do takiego tworu jest matematycznie mocno podejrzane. Biorąc jednak za
punkt wyjścia równanie (2.10) można określić obiekt ogólniejszy niż kla-
syczna funkcja, będący jednocześnie dobrym kandydatem na prawą stronę
równania (2.8).

2.2.1 Funkcja delta Diraca

„Funkcję” delta Diraca, δ(x) określamy jako obiekt mający następujące wła-
sności:

1.

δ(x) =







0,

gdy x 6= 0,

∞, gdy x = 0.

2. dla dowolnej funkcji f (x) :

b

Z

a

f (x)δ(x)dx =







f (0) gdy 0 ∈ [a, b],
0,

gdy 0 /

∈ [a, b].

Stąd wynika, że dla dowolnej funkcji f (x) :

b

Z

a

f (x)δ(x − x

0

)dx =







f (x

0

) gdy x

0

∈ [a, b],

0,

gdy x

0

/

∈ [a, b].

Uogólnienie na wielowymiarową deltę jest proste. W przypadku trzech wy-
miarów deltę „trójwymiarową” zapisujemy jako δ

(3)

(~r) taką, że dla dowolnej

funkcji f (~r) :

Z

V

f (~r)δ(~r − ~r

0

)d

3

r =







f (~r

0

) gdy ~r

0

∈ V,

0,

gdy ~r

0

/

∈ V.

2.3 Gęstość ładunku punktowego

Przy tak określonej delcie Diraca gęstość ładunku punktowego umieszczonego
w punkcie ~r

0

można zapisać jako

ρ(~r) = qδ(~r − ~r

0

)

(2.11)

WYKŁAD 2.

25.II.2002

12

Można zatem napisać

qdiv

~r − ~r

0

|~r − ~r

0

|

3

= 4πqδ

(3)

(~r − ~r

0

)

Całkując obustronnie to równanie po objętości V otrzymuje się automatycz-
nie równanie (2.10).

Rozpatrzmy teraz dowolny ciągły rozkład gęstości ładunku ρ(~r). Formal-

nie możemy zapisać

ρ(~r) =

Z

d

3

˜

rρ(˜

~r)δ

(3)

(~r − ˜

~r)

Prawa strona tego równania może być interpretowana jako ciągła superpo-
zycja ładunków punktowych takich, że ładunek ρ(˜

~r) znajduje się w punkcie

˜

~r. Pole elektryczne pochodzące od takiego ładunku (w próżni) jest równe

ρ(˜

~r)

~r − ˜

~r

|~r − ˜

~r|

3

Ponieważ pole pochodzące od superpozycji ładunków jest superpozycją pól
od poszczególnych ładunków, to pole elektryczne pochodzące od gęstości ρ(~r)
jest równe

~

E(~r) =

Z

d

3

˜

rρ(˜

~r)

~r − ˜

~r

|~r − ˜

~r|

3

(2.12)

Otrzymaliśmy w ten sposób rozwiązanie równania Maxwella (2.8) dla dowol-
nej gęstości ładunku ρ(~r). Rozwiązanie to ma taką samą postać również w
przypadku gęstości zależnych od czasu ρ(~r, t). Wtedy

~

E(~r, t) =

Z

d

3

˜

rρ(˜

~r, t)

~r − ˜

~r

|~r − ˜

~r|

3

(2.13)

2.4 Zadania i ćwiczenia

Zadania z listy nr 2

Zadanie 1.
Wykorzystując przejście graniczne

lim

a→0

1

q

(~r − ~r

0

)

2

+ a

2

udowodnić, że:

4

1

|~r − ~r

0

|

= −4πδ

(3)

(~r − ~r

0

)

WYKŁAD 2.

25.II.2002

13

Zadanie 2.
Posługując się twierdzeniem Gaussa znaleźć pole elektryczne pochodzące od nie-
skończenie długiej nici prostoliniowej, naładowanej elektrycznie ze stałą gęstością
liniową τ .
Zadanie 3.
Wyznaczyć pole pochodzące od prostej nici o skończonej długości l. Nić jest
naładowana elektrycznie ze stałą gęstością liniową τ .
Zadanie 4.
Pokazać, że zawsze można tak wybrać funkcję cechowania, aby „przecechowany”
czteropotencjał spełniał warunek Coulomba: div ~

A = 0.

Zadanie 5.
Pokazać, że potencjał wektorowy odpowiadający stałemu jednorodnemu polu
magnetycznemu ~

B ma postać:

1
2

~

B × ~r

Zadanie 6.
Znaleźć pola ~

E i ~

B oraz rozkłady ładunku i prądu odpowiadające czteropoten-

cjałowi:

V (~r, t) = 0,

~

A(~r, t) = −

qt
r

3

~r .

Ćwiczenia treningowe

Ćwiczenie 1.
Jeżeli na każdym z dwóch sąsiadujących i odizolowanych od siebie przewodników
umieścimy równe, lecz przeciwne ładunki, to powstanie między nimi różnica po-
tencjałów. Stosunek wielkości ładunku na przewodnikach to tej różnicy potencja-
łów jest pojemnością kondensatora. Stosując prawo Gaussa obliczyć pojemność:

a) dwóch dużych, płaskich i równoległych przewodników o powierzchni S od-

dzielonych od siebie odległością d,

b) dwóch koncentrycznych i przewodzących powierzchni walców o długości l,

dużej w porównaniu z ich promieniami a i b (b > a),

c) dwóch koncentrycznych i przewodzących powierzchni kulistych o promieniach

a i b (b > a),

Ćwiczenie 2.
Pokazać, że potencjał wektorowy odpowiadający stałemu jednorodnemu polu
magnetycznemu ~

B skierowanemu wzdłuż osi z ma postać:

• ~

A = (−yB/2, xB/2, 0)

WYKŁAD 2.

25.II.2002

14

•

˜

~

A = (−yB, 0, 0)

Znaleźć transformację cechowania łączącą potencjały ~

A i

˜

~

A.

Ćwiczenie 3.
Rozważmy czteropotencjał: V (~r, t) = 0, ~

A = (0, a

0

sin(kx − ωt), 0), gdzie

a

0

, ω, k są stałe. Znaleźć pola ~

E, ~

B i sprawdzić jaki warunek należy nałożyć na

współczynniki ω, k, aby były spełnione równania Maxwella w próżni.
Ćwiczenie 4.
Dla tych, którzy mają zacięcie teoretyczne.

Wiadomo, że czteropotencjały połą-

czone ze sobą poprzez transformację cechowania odpowiadają tym samym po-
lom ~

E, ~

B. Rozpatrzmy zagadnienie odwrotne: pokazać, że dla dowolnych dwóch

czteropotencjałów takich, że

−grad φ −

1

c

∂ ~

A

∂t

= −grad ˜

φ −

1

c

∂

˜

~

A

∂t

rot ~

A = rot

˜

~

A

istnieje funkcja λ taka, że

˜

~

A = ~

A + grad λ

˜

φ = φ −

1

c

∂λ

∂t