18.II.2002
wersja na dzień 25 lutego 2002 roku
1.1 Uwagi wstępne
Równania Maxwella były wprowadzone już w kursie fizyki ogólnej. W próżni mamy:
div ~
E = 4 πρ
(1.1a)
1 ∂ ~
E
4 π
rot ~
B −
=
~
(1.1b)
c ∂t
c
1 ∂ ~
B
rot ~
E +
= 0
(1.1c)
c ∂t
div ~
B = 0
(1.1d)
Równania w tej postaci odpowiadają układowi jednostek Gaussa. Jest on dogodniejszy ( przynajmniej dla mnie) do stosowania przy zagadnień teore-tycznych. W „legalnym” układzie SI odpowiednie równania mają postać: 1
div ~
E =
ρ
0
∂ ~
E
rot ~
B − µ 0 0
= µ
∂t
0 ~
∂ ~
B
rot ~
E +
= 0
∂t
div ~
B = 0
1
18.II.2002
2
Jak widać formalne przejście od równań w układzie jednostek SI do równań (1.1) w systemie Gaussa realizuje się przez podstawienie
1
4 π
0 →
;
µ
4 π
0 →
c
I tak prawo Coulomba zapisywane jest w obu układach jako:
~
1
q
F =
1 q 2
( ~r
4 π
1 − ~
r 2)
(układ SI)
0 |~
r 1 − ~r 2 | 3
~
q
F =
1 q 2
( ~r
|~r
1 − ~
r 2)
(układ Gaussa)
1 − ~
r 2 | 3
Poza próżnią, w ciele stałym, odpowiednie równania mają postać: div ~
D = 4 πρ
1 ∂ ~
D
4 π
rot ~
H −
=
~
c ∂t
c
równania materiałowe
1 ∂ ~
B
rot ~
E +
= 0
c ∂t
div ~
B = 0
Są to równania materiałowe ponieważ wprowadzone są tu nowe pola: pole indukcji elektrycznej ~
D oraz pole magnetyczne ~
H. Pola te zależą od własności
ośrodka i w ogólności są skomplikowanym funkcjonałem od pól „podstawo-wych” ~
E i ~
B:
~
D = D( ~r, t; ~
E, ~
B) ;
~
H = ~
H( ~r, t; ~
E, ~
B)
Jedynie w najprostszym przypadku jednorodnego i izotropowego ośrodka ist-nieją relacje wyrażające prosto ~
D i ~
H przy pomocy stałej dielektrycznej i
przenikalności magnetycznej µ:
~
1
D( ~r, t) = ~
E( ~r, t) ;
~
H( ~r, t) =
~
B( ~r, t)
µ
Dla wewnętrznej spójności równań Maxwella konieczna jest zasada zachowa-nia ładunku. Weźmy jako przykład równania (1.1). Różniczkując po czasie równania (1.1a), biorąc dywergencję równania (1.1b), wykorzystując tożsa-mość div rot ~a ≡ 0 i dodając oba równania stronami otrzymuje się równanie ciągłości :
∂ρ + div ~ = 0
(1.2)
∂t
18.II.2002
3
Istotną cechą równań elektrodynamiki jest ich liniowość. Dzięki temu pole pochodzące od różnych źródeł jest superpozycją pól pochodzących od po-szczególnych źródeł.
Wprowadzone pola elektromagnetyczne ~
E, ~
B mają bezpośrednią inter-
pretację fizyczną w momencie gdy podany jest sposób ich pomiaru (detekcji, rejestracji). Oba pola działają poprzez siłę jaką wywierają na ładunek elektryczny. Jest to siła Lorentza:
~
1
F = q( ~
E + ~v × ~
B)
c
1.2 Postać całkowa równań Maxwella
Często używanymi narzędziami matematycznymi będą, oprócz analizy wektorowej, twierdzenie Gaussa:
Z
I
div ~
A d 3 r =
~
A · ~n dσ
(1.3)
V
∂V
oraz twierdzenie Stokesa:
Z
I
rot ~
A · ~n dσ =
~
A · d~l
(1.4)
S
∂S
gdzie przez ∂V oraz ∂S oznaczone są odpowiednio: powierzchnia ogranicza-jąca objętość V oraz krzywa będąca brzegiem powierzchni S.
Stosując twierdzenie Gaussa do równania (1.2) otrzymamy
d Z
I
−
d 3 r div ρ( ~r, t) =
~ · ~n dσ
dt V
∂V
Oznacza to zachowanie jako ładunku, jako że
d Z
Q( V ) =
d 3 r div ρ( ~r, t)
dt V
jest ładunkiem zawartym w objętości V .
Przy użyciu twierdzeń Gaussa (1.3)i Stokesa (1.4) otrzymuje się całkową formę równań Maxwella. I tak równanie (1.1a) daje po wycałkowaniu po objętości V
1 I
Q
~
( V ) =
E · ~n dσ
(1.5)
4 π ∂V
18.II.2002
4
Równanie (1.1b) da po wzięciu całki powierzchniowej przez dowolną powierzchnię S
I
Z
~
4 π
1 d
B · d~l =
I +
~
E · ~n dσ
(1.6)
c
c dt
∂S
S
Jest to zmodyfikowane przez Maxwella (o prąd przesunięcia) prawo Ampera.
Odczytywane „z prawa na lewo” pokazuje, że ze zmiennym w czasie polem elektrycznym wiąże się pole indukcji magnetycznej.
Równanie (1.1c) daje podobnie prawo indukcji Faradaya:
I
Z
~
1 d
E · d~l = −
~
B · ~n dσ
(1.7)
c dt
∂S
S
czyli indukowana w zamkniętym obwodzie siła elektromotoryczna równa jest zmianie strumienia pola indukcji magnetycznej. Innymi słowy ze zmiennym w czasie polem magnetycznym wiąże się pole elektryczne.
I wreszcie równanie (1.1d) daje przy pomocy twierdzenia Gaussa wynik I
~
B · ~n dσ = 0
(1.8)
∂V
czyli strumień indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zeru.
1.3 Potencjały elektromagnetyczne
Z równania (1.1d) i tożsamości div rot ~a ≡ 0 wynika, że indukcja magnetyczna może być zapisana jako rotacja pewnego wektora ~
A : ~
B = rot ~
A. Wektor ~
A
jest potencjałem wektorowym.
Z równania (1.1c) mamy wtedy
1
∂ ~
A
rot ~
E + rot
= 0
c
∂t
czyli
1 ∂ ~
A
rot
~
E +
= 0
c ∂t
Tożsamość rot grad ~a ≡ 0 pozwala zapisać wyrażenie pod znakiem rotacji jako (minus) gradient pewnej funkcji skalarnej φ :
~
1 ∂ ~
A
E +
= − grad φ
c ∂t
18.II.2002
5
. Znak minus ma tu charakter czysto techniczny. Funkcja φ jest potencjałem skalarnym, a oba potencjały φ i ~
A tworzą czteropotencjał pola elektromagne-
tycznego. Mamy zatem pola wyrażone przez czteropotencjał:
~
B = rot ~
A
(1.9a)
~
1 ∂ ~
A
E = − grad φ −
(1.9b)
c ∂t
Podstawiają równania (1.9) do równań Maxwella (1.1a) i (1.1b) otrzymuje się układ równań na potencjały wektorowy i skalarny:
1 ∂ div ~
A
4φ +
= − 4 πρ
(1.10)
c
∂t
1 ∂ 2 ~
A
4 π
1 ∂Φ !
4 ~
A −
= −
~ + grad
div ~
A +
;
(1.11)
c 2 ∂t 2
c
c ∂t
Przy wyprowadzeniu tych równań skorzystano m.inn. z tożsamości rot rot ~a ≡ grad div ~a − 4 ~a
oraz
div grad f ≡ 4f
1.4 Zadania i ćwiczenia
Zadania z listy nr 1
Dobrym przewodnikiem - samouczkiem - repetytorem z analizy wektorowej jest pierwszy rozdział podręcznika D.J. Griffiths’a - „Podstawy elektrodynamiki”. Go-rąco polecam/zalecam.
Zadanie 1.
Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:
• div rot ~
a ≡ 0
• rot rot ~
a ≡ grad div ~a − 4 ~a
• div grad ϕ ≡ 4 ϕ
−
→
−
→
• grad ( ~
a · ~b) ≡ ~a × rot ~b + ~b × rot ~a + ( ~a · ∇) ~b + ( ~b · ∇) ~a
• div ( ~
a × ~b) = ~b · rot ~a − ~a · rot ~b
18.II.2002
6
Zadanie 2.
Wprowadzamy tensor Levi - Civita (y?):
1
gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3 ,
ijk =
− 1 gdy i,j,k są nieparzystą permutacją liczb 1,2,3 ,
0
gdy którakolwiek z liczb i,j,k powtarza się .
• Pokazać, że składowe iloczynu wektorowego ~
a ×~b można wtedy zapisać (z
wykorzystaniem konwencji sumacyjnej) jako
( ~a × ~b) i = ijk ajbk
• Zapisać tożsamości z poprzedniego zadania z wykorzystaniem konwencji sumacyjnej i użycia (tam gdzie można) symbolu ijk.
Zadanie 3.
Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Gaussa dla funkcji wektorowej
~a( ~r) = ( x 2 y, z, 2 z + 3 y) i obszaru całkowania w postaci sześcianu o boku 2 i kra-wędziach równoległych do osi układu. Początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem sześcianu.
Zadanie 4.
Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Stokesa dla funkcji wektorowej
~a( ~r) = (6 , yz 2 , 3 y + z). Powierzchnią całkowania jest trójkąt o wierzchołkach w punktach {(0 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0) , (0 , 0 , 2) }.
Zadanie 5.
Spróbować sprawdzić bezpośrednim rachunkiem twierdzenie Gaussa dla funkcji wektorowej
~r
~a( ~r) = r 2
i obszaru całkowania w postaci kuli o boku 1 ze środkiem pokrywającym się z początkiem układu.
Na czym polega trudność w tym zadaniu?
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Powtórzyć rachunki prowadzące do równań (1.10) i (1.11).
Ćwiczenie 2.
Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:
• div ( f~
a) = f div ~a + ~a · grad f
18.II.2002
7
• rot ( f~
a) = f rot ~a − ~a × grad f
−
→
−
→
• rot ( ~
a × ~b) = ( ~b · ∇) ~a − ( ~a · ∇) ~b + ~a div ~b − ~b div ~a Ćwiczenie 3.
Pokazać, że dla symbolu ijk zachodzi
δip
δir
δis
ijkprs = δ
jp
δjr δjs
δ
kp
δkr δks
a w konsekwencji (z użyciem konwencji sumacyjnej)
ijkprk = δipδjr − δirδjp
ijkpjk = 2 δip
ijkijk = 6
Ćwiczenie 4.
Udowodnić używając symbolu ijk
~a · ( ~b × ~c) ≡ ~b · ( ~c × ~a) − ~c · ( ~a × ~b)
~a × ( ~b × ~c) ≡ ~b ( ~a · ~b) − ~c ( ~a · ~b) Ćwiczenie 5.
Rozpisując równania Maxwella na składowe otrzymujemy 8 równań. Pola ~
E i B
mają razem 6 składowych. Jak to interpretować?
Ćwiczenie 6.
Pokazać, że z równań Maxwella (1.1) wynikają następujące równania: 1 ∂ 2 ~
B
4 π
4 ~
B −
= −
rot ~
c 2 ∂t 2
c
1 ∂ 2 ~
E
−
→
4 π ∂~
4 ~
E −
= 4 π ∇ρ +
c 2 ∂t 2
c ∂t