Dodatek A

Uzupełnienie matematyczne

wersja na dzień 7 marca 2002 roku

A.1

Lematy Green’a

Dla dowolnych (dostatecznie gładkich) funkcji f i g określamy funkcję wekto-
rową ~

K

:= f ∇g. Korzystając z twierdzenia Gaussa dla funkcji ~

K

otrzymamy

pierwszy lemat Green’a

:

Z

V

dV

(

−

→

∇f ·

−

→

∇g + f 4g) =

I

∂V

f

−

→

∇g · d~σ =

I

∂V

f

∂g

∂n

ds

(A.1)

gdzie ~n jest jednostkowym wektorem normalnym skierowanym na zewnątrz
objętości V .

Zamieniając miejscami f i g, a następnie odejmując stronami obie postaci

lematu Green’a otrzymuje się drugi lemat Green’a:

Z

V

dV

(f 4g − g4f ) =

I

∂V

f

∂g

∂n

− g

∂f
∂n

!

ds

;

(A.2)

A.2

Warunki brzegowe dla równania Poisso-
na

Mamy równanie potencjału

4 Φ = −4πρ ;

I

DODATEK A. UZUPEŁNIENIE MATEMATYCZNE

II

Bierzemy w drugim lemacie Green’a f = Φ, natomiast za funkcję g bierzemy
funkcję Green’a G(~r, ~r

1

). Dla ~r leżących wewnątrz V otrzymamy wtedy

Φ(~r) = − 4π

Z

V

d

3

r

1

G

(~r, ~r

1

)ρ(~r

1

)

+

I

∂V

Φ(~r

1

)

∂G

(~r, ~r

1

)

∂n

1

− G(~r, ~r

1

)

∂

Φ(~r

1

)

∂n

1

!

ds

1

;

(A.3)

A.2.1

Warunki brzegowe Dirichleta

Zadany jest warunek brzegowy na powierzchni zamkniętej S jako warunek
na funkcję Φ:

Φ(~r)|

~

r∈S

= u

0

(~r)

Dobiera się wtedy funkcję Green’a tak, że dla dowolnego ~r

G

(~r, ~r

1

)|

~

r

1

∈S

= 0 .

(A.4)

Wtedy funkcja Φ dana przez

Φ(~r) = −4π

Z

V

d

3

r

1

G

(~r, ~r

1

)ρ(~r

1

) +

I

∂V

u

0

(~r

1

)

∂G

(~r, ~r

1

)

∂n

1

ds

1

;

(A.5)

jest rozwiązaniem naszego zagadnienia.

A.2.2

Warunki brzegowe Neumanna

Zadany jest warunek brzegowy na powierzchni zamkniętej S jako warunek
na pochodną funkcji Φ

∂

Φ

∂n







~

r

1

∈S

= u

1

(~r)

Nie można powtórzyć dokładnie metody użytej przy rozwiązywaniu zagad-
nienia Dirichleta ponieważ nie jesteśmy w stanie tak dobrać funkcji Green’a
aby

∂G

(~r, ~r

1

)

∂n

1







~

r

1

∈S

= 0

Dzieje się tak ponieważ z prawa Gaussa i definicji funkcji Green’a wynika, że

I

∂V

∂G

(~r, ~r

1

)

∂n

1

ds

1

= 1

DODATEK A. UZUPEŁNIENIE MATEMATYCZNE

III

I rzeczywiście:

1 =

Z

V

d

3

r

1

4

(r

1

)

G

(~r, ~r

1

) =

I

∂V

grad

(r

1

)

G

(~r, ~r

1

) · d~σ

1

=

I

∂V

∂G

(~r, ~r

1

)

∂n

1

ds

1

Oznaczmy

<

Φ >

S

=

1

S

I

S

ds

Φ ;

Na funkcję Green’a możemy natomiast nałożyć warunek

∂G

(~r, ~r

1

)

∂n

1







~

r

1

∈S

=

1

S

;

(A.6)

Wtedy funkcja

Φ(~r) =< Φ >

S

−4π

Z

V

d

3

r

1

G

(~r, ~r

1

)ρ(~r

1

) −

I

∂V

G

(~r, ~r

1

)u

1

(~r

1

) ds

1

;

(A.7)

jest rozwiązaniem naszego zagadnienia brzegowego. Występujący po prawej
stronie czynnik liczbowy < Φ >

S

ma charakter addytywnego czynnika nor-

mującego funkcję Φ: jeśli funkcja Φ jest rozwiązaniem zagadnienia Neumanna
to funkcja ˜

Φ = Φ + C jest również rozwiązaniem tego zagadnienia. Jeśli S

jest powierzchnią w nieskończoności, to < Φ >

S

= 0 i ostateczne rozwiązanie

ma postać

Φ(~r) = −4π

Z

V

d

3

r

1

G

(~r, ~r

1

)ρ(~r

1

) −

I

∂V

G

(~r, ~r

1

)u

1

(~r

1

) ds

1

;

(A.8)

A.2.3

Mieszane warunki brzegowe

Mieszanymi warunkami brzegowymi nazywamy zagadnienie gdzie na części
powierzchni S zadana jest funkcja Φ, a na pozostałej części zadana jest po-
chodna normalna do powierzchni:

d

Φ

dn

.

Można dowieść, że jednoczesne zadanie funkcji i jej pochodnej na po-

wierzchni prowadzi na ogół do sprzeczności. Wiąże się to z tym, że jak zna-
jomość bądź funkcji bądź pochodnej na danej powierzchni prowadzi do jed-
noznacznego określenia funkcji w pozostałej części przestrzeni. Wynika to
chociażby z wzorów (A.5) i (A.7). Jednoczesne nałożenie obu tych warun-
ków prowadziłoby do dwóch różnych rozwiązań tego samego równania, co
jest sprzeczne z udowodnionym twierdzeniem o jednoznaczności rozwiązania
warunku brzegowego.

DODATEK A. UZUPEŁNIENIE MATEMATYCZNE

IV

Przy okazji warto tu zwrócić uwagę na swoistości równań różniczkowych

cząstkowych. W przypadku jednej zmiennej odpowiednikiem równania Pois-
sona jest równanie różniczkowe drugiego rzędu

d

2

f

dx

2

= g

Dla jednoznaczności rozwiązania konieczne jest tu jednoczesne zadanie za-
równo funkcji jak i jej pierwszej pochodnej w danym punkcie (lub też każde
w innym). Widać więc, że sytuacja jest odmienna od tej, z jaką mamy do
czynienia w przypadku równań cząstkowych.