25.III.2002
wersja na dzień 14 kwietnia 2002 roku
6.1 Wykorzystanie funkcji Green’a
Znajomość funkcji Green’a dla danej powierzchni pozwala (w zasadzie) na
rozwiązanie dowolnego zagadnienie brzegowego. Mając zadaną postać potencjału Φ( ~r) |∂V = u 0( ~r) oraz źródła ρ( ~r) problem sprowadza się do obliczenia dwóch całek:
całki objętościowej
Z
d 3 r 1 G( ~r, ~r 1) ρ( ~r 1) , (6.1a)
V
oraz całki powierzchniowej
I
∂G( ~r, ~r
u
1)
0( ~
r 1)
ds 1 .
(6.1b)
∂n 1
∂V
Ponieważ funkcja Green’a spełnia równanie
4G( ~r, ~r 0) = δ( ~r − ~r 0) ,
oraz dla problemu brzegowego Dirichleta warunek
G( ~r, ~r 0) |~r∈∂V = 0 ,
to taką funkcję Green’a zawsze można utożsamić z − 1 / 4 π potencjałem jednostkowego ładunku punktowego znajdującego się w punkcie ~r 0 wewnątrz obszaru V ograniczonego uziemioną powierzchnią przewodzącą ∂V . Meto-da obrazów pozwala zatem w pewnych przypadkach na znalezienie takich
potencjałów.
30
25.III.2002
31
6.1.1 Zagadnienie Dirichleta dla sfery kulistej
Na wykładzie poprzednim przedstawiony był taki potencjał (funkcja Gre-
en’a)dla wnętrza kuli, natomiast na rysunku 6.1 naszkicowana jest funkcja
Green’a dla zewnętrza sfery. W obu przypadkach funkcje Green’a zostały otrzymane dzięki metodzie obrazów z wykorzystaniem przekształcenia in-wersji.
20
10
0
-10
-20
-10
-5
0
5
10
15
20
Rysunek 6.1: Przekrój przez powierzchnie ekwipotencjalne punktowego ła-
dunku na zewnątrz uziemionej sfery.Sfera o środku w początku układu ma
promień R = 2. Ładunek punktowy umieszczony jest w punkcie o współrzędnych (4 , 0 , 0) . Na rysunku przedstawiony jest przekrój powierzchni ekwipo-tencjalnych płaszczyzną z = 0 . Ponieważ sfera jest uziemiona to wewnątrz sfery potencjał jest równy zeru.
Dla obliczenia całki powierzchniowej (6.1b) konieczna jest znajomość po-
chodnych funkcji Green’a na powierzchni ∂V liczonych w kierunku normal-nym do powierzchni. W przypadku sfery ze środkiem w początku układu
25.III.2002
32
współrzędnych pochodna taka sprowadza się do pochodnej wzdłuż promie-
nia wodzącego ~r. Wewnętrzne zagadnienia Dirichleta polega na znalezieniu potencjału spełniającego wewnątrz sfery równanie
4Φ( ~r) = − 4 πρ( ~r)
z warunkiem brzegowym Φ( ~r) = u 0( ~r) dla ~r leżących na powierzchni sfery.
Otrzymana metodą obrazów funkcja Green’a ma postać
1
1
R
G( ~r, ~r 1) = −
−
(6.2)
4 π
|~r − ~r 1 |
r 1 |~r − R 2 ~r
r 2
1 |
1
1
1
R
= −
−
,
4 π
q
q
r 2 + r 2 − 2 rr
r 2 r 2 + R 4 − 2 rr
1
1 cos α
1
1 R 2 cos α
gdzie α jest kątem między wektorami ~r, ~r 1 .
Szukana przez nas pochodna z (6.1b) to
∂G( ~r, ~r 1)
∂r 1
brana na powierzchni ( od wewnątrz ) sfery, czyli dla r 1 = R. Otrzymujemy wtedy
∂G( ~r, ~r
1)
R 2 − r 2
R 2 − r 2
=
=
(6.3)
∂r
1
4 πR( r 2 + R 2 − 2 rR cos α)3 / 2
r
4 πR| ~
R − ~r| 3 / 2
1= R
Przez ~
R oznaczony jest wektor o długości R przebiegający powierzchnię sfery, natomiast ~r jest wektorem bieżącym przebiegającym punkty leżące wewnątrz naszej sfery.
Element powierzchni sfery o promieniu R jest równy R 2 dΩ, gdzie Ω jest elementem kąta bryłowego: dΩ = sin θdθdϕ. Jeśli wektor ~r ma współrzędne sferyczne r, θ, ϕ, a wektor ~
R = ( R, θ 1 , ϕ 1) , to kąt α między nimi da się zapisać poprzez:
~r · ~
R
cos α =
= sin θ cos ϕ sin θ 1 cos ϕ 1 + sin θ sin ϕ sin θ 1 sin ϕ 1 + cos θ cos θ 1
rR
(6.4)
= sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1 .
Ogólna formuła rozwiązująca wewnętrzne zagadnienie Dirichleta dla sfery
wygląda zatem następująco:
25.III.2002
33
Jeśli wewnątrz sfery znajdują się źródła ρ, a potencjał na powierzchni ( wewnętrznej ) przyjmuje ustaloną wartości określone przez funkcję u 0( ~r) , to potencjał wewnątrz sfery wyraża się jako
R
2 π
π
Z
Z
Z
Φ( r, θ, ϕ) =
dr 1
dϕ 1
dθ 1 sin θ 1 ρ( r 1 , θ 1 , ϕ 1) ×
(6.5)
0
0
0
1
−
q r 2 + r 2 − 2 rr
1
1(sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1)
R
q
+
r 2 r 2 + R 4 − 2 rr
1
1 R 2(sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1) 2 π
π
R Z
Z
( R 2 − r 2) u
dϕ
0( θ 1 , ϕ 1)
1
dθ 1 sin θ 1
.
4 π
[ r 2 + R 2 − 2 rR(sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1)]3 / 2
0
0
Widać, że nawet w tym prostym przypadku analityczne całkowanie może
prowadzić do całkiem skomplikowanych rachunków.
Zewnętrzne zagadnienie Dirichleta
W przypadku zewnętrznego zagadnienia Dirichleta dla sfery interesuje nas
wyznaczenie potencjału elektrostatycznego na zewnątrz sfery, na której usta-lona jest funkcja rozkładu potencjału u 0( ~r). W obszarze zewnętrznym istnieją też źródła ρ( ~r) . Funkcja Green’a dla tego zagadnienia ma dokładnie taką sa-mą postać jak (6.2) z tą tylko różnicą, że tym razem r > R.
Przy liczeniu pochodnej z (6.1b) należy wziąć pod uwagę, że tym razem
normalna do powierzchni ograniczającej interesujący nas obszar jest skierowana w kierunku przeciwnym do promienia wodzącego. Oznacza to, że w wyrażeniu (6.1b) wstawia się
∂G( ~r, ~r
−
1)
.
∂r
1
r 1= R
Z kolei w całce (6.1a) całkowanie po zmiennej r 1 rozciąga się od R do ∞, a nie od 0 do R, tak jak w przypadku zagadnienia wewnętrznego.
25.III.2002
34
Pełne rozwiązanie zagadnienia zewnętrznego dla sfery ma zatem postać
∞
2 π
π
Z
Z
Z
Φ( r, θ, ϕ) =
dr 1
dϕ 1
dθ 1 sin θ 1 ρ( r 1 , θ 1 , ϕ 1) ×
(6.6)
R
0
0
1
−
q r 2 + r 2 − 2 rr
1
1(sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1)
R
q
−
r 2 r 2 + R 4 − 2 rr
1
1 R 2(sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1) 2 π
π
R Z
Z
( R 2 − r 2) u
dϕ
0( θ 1 , ϕ 1)
1
dθ 1 sin θ 1
.
4 π
[ r 2 + R 2 − 2 rR(sin θ sin θ 1 cos( ϕ − ϕ 1) + cos θ cos θ 1)]3 / 2
0
0
6.1.2 Zagadnienie Dirichleta dla przecinających się pół-
płaszczyzn
Rozpatrzmy na początek obszar zawarty w „ćwiartce” przestrzeni wyznaczo-
nej przez dwie półpłaszczyzny przecinające się pod kątem prostym. Znale-
zienie funkcji Green’a dla tego obszaru jest równoważne znalezieniu w tym
obszarze potencjału jednostkowego ładunku punktowego w obecności dwóch
uziemionych przewodzących półpłaszczyzn wyznaczających granice obszaru.
Zadanie to może być łatwo rozwiązane za pomocą metody obrazów: Daje to
II
−q D
A q
-
ay
?
?
a
−a
I
x
x
q
-
−ay
−q
C
B
Rysunek 6.2: Ładunek A jest kompensowany przez ładunek B na półpłaszczyźnie I oraz przez ładunek D na półpłaszczyźnie II. Ładunek C kompen-suje ładunki B i D na półpłaszczyznach I i II.
25.III.2002
35
w obszarze A następującą funkcję Green’a
1
1
G( ~r, ~r 1) = −
−
(6.7)
4 π q( x − x 1)2 + ( y − y 1)2 + ( z − z 1)2
1
1
−
+
q
q
( x + x 1)2 + ( y − y 1)2 + ( z − z 1)2
( x − x 1)2 + ( y + y 1)2 + ( z − z 1)2
1
q
.
( x + x 1)2 + ( y + y 1)2 + ( z − z 1)2
Potencjał elektrostatyczny związany z funkcją Green’a (6.7) jest przedsta-
wiony na rysunku (6.3).
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Rysunek 6.3: Przekrój przez powierzchnie ekwipotencjalne punktowego ła-
dunku wewnątrz uziemionych półpłaszczyzn przecinających się pod kątem
prostym. Ładunek punktowy umieszczony jest w punkcie o współrzędnych
(2 , 1 , 0) . Na rysunku przedstawiony jest przekrój powierzchni ekwipotencjal-nych płaszczyzną z = 0 . Ponieważ płaszczyzny są uziemione to na zewnątrz potencjał jest równy zeru.
Podobną procedurę można próbować zastosować w przypadku dwóch pół-
płaszczyzn przecinających się pod dowolnym kątem ostrym β. Widać jednak,
25.III.2002
36
że gdy kąt ten jest różny od prostego, to liczba kompensujących ładunków–
obrazów wzrasta. Po dokładniejszej analizie można się przekonać, że liczba ładunków–obrazów będzie skończona tylko wtedy gdy kąt β będzie całkowi-tym ułamkiem π : β = π/n ; n = 2 , 3 , . . . .
6.2 Zadania i ćwiczenia
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Obliczyć gęstość ładunku powierzchniowego indukowanego na dwóch prostopa-
dłych przewodzących uziemionych półpłaszczyznach przez ładunek q umieszczony w punkcie o współrzędnych { 2 , 1 , 0 }. Linia przecięcia się płaszczyzn wyznacza oś z układu współrzędnych.
Ćwiczenie 2.
Wyznaczyć funkcję Green’a dla zagadnienia Dirichleta w obszarze wyznaczonym przez dwie półpłaszczyzny przecinające się pod kątem π/ 4 .