4.III.2002
wersja na dzień 7 marca 2002 roku
3.1 Uniwersalność równania potencjału
Posługując się prawem Coulomba otrzymaliśmy rozwiązanie równania div ~
E( ~r) = 4 πρ( ~r)
(3.1)
postaci
Z
~
~r − ˜
~r
E( ~r) =
d 3˜
rρ(˜
~r)
(3.2)
|~r − ˜
~r| 3
Wykorzystując to, że
~r − ˜
~r
1
= −∇( ~r)
|~r − ˜
~r| 3
|~r − ˜
~r|
można napisać
Z
~
1
E( ~r) = − grad
d 3˜
rρ(˜
~r)
.
(3.3)
|~r − ˜
~r|
W elektrostatyce : ~
E = − grad φ. Wtedy równanie (3.1) przybiera postać 4φ = − 4 πρ
(3.4)
Jest to równanie Poissona. Z równania (3.3) widać, że Z
1
φ( ~r) =
d 3˜
rρ(˜
~r)
(3.5)
|~r − ˜
~r|
spełnia równanie potencjału (3.4).
Równanie (3.4) dla jednostkowego punktowego ładunku osadzonego w punkcie ~r 1 przybiera postać
4φ( ~r) = − 4 πδ( ~r − ~r 1) (3.6)
15
4.III.2002
16
3.1.1 Funkcje Green’a
Określa się funkcję Green’a G( ~r, ~r 1) jako 4 G( ~r, ~r 1) = δ( ~r − ~r 1) ; (3.7)
Funkcje Green’a jest określona z dokładnością do dowolnego rozwiązania równania jednorodnego. Jeśli G( ~r, ~r 1) jest funkcją Greena, to funkcja ˆ
G( ~r, ~r 1) = G( ~r, ~r 1) + F ( ~r, ~r 1) jest również funkcją Green’a, o ile tylko funkcja F ( ~r, ~r 1) spełnia równanie Laplace’a
4F ( ~r, ~r 1) = 0
Widać, że funkcja określona jako
Z
Φ( ~r) = − 4 π
d 3 r 1 G( ~r, ~r 1) ρ( ~r 1) ; spełnia równanie Poissona.
To formalne wyrażenie nie rozwiązuje problemu relacji do warunków brzegowych ani nie odpowiada na pytanie jakie warunki brzegowe są poprawne, czyli prowadzą do jednoznacznego rozwiązania. Dla wyciągnięcia ogólniej-szych wniosków potrzebne jest użycie niektórych
3.1.2 Własności funkcji harmonicznych
Definicja. Funkcją harmoniczną nazywamy funkcję spełniająca równanie Laplace’a: 4f = 0
Okazuje się, że wartość funkcji harmonicznej w danym punkcie jest równa uśrednionej wartości tej funkcji po powierzchni dowolnej kuli mającej środek w tym punkcie.
Twierdzenie 1. Niech funkcja f będzie funkcją harmoniczną wewnątrz i na powierzchni kuli V o promieniu R, mającej środek w punkcie ~r. Wtedy zachodzi
1
I
f ( ~r) =
f ds
4 πR 2 ∂V
Stąd natychmiast jako wniosek można wyciągnąć kolejne Twierdzenie 2. Funkcja harmoniczna osiąga swoje ekstremalne wartości jedynie na brzegach obszaru (harmoniczności).
4.III.2002
17
Dowód. Załóżmy, że punkt ~r jest lokalnym maksimum (minimum) funkcji harmonicznej f . Zgodnie z poprzednim twierdzeniem wartość funkcji w tym punkcie jest równa wartości średniej branej po powierzchni kuli otaczającej ten punkt. Ponieważ jest to lokalne maksimum, to wszystkie wartości funkcji na powierzchni kuli muszą być mniejsze (większe) niż w punkcie ~r. Jest to sprzeczność, ponieważ wartość średnia nie może być większa (mniejsza) od wszystkich wartości tworzących ową średnią.
Jak widać z obu tych twierdzeń funkcja harmoniczna ma przebieg regu-larny, bez „dołów” i „gór”. Najważniejszym wnioskiem jest jednak Twierdzenie 3. Równanie Poissona 4f = g ma dla ustalonych warunków brzegowych określonych na powierzchni zamkniętej S co najwyżej jedno rozwiązanie.
Dowód. Załóżmy, że istnieją dwa rozwiązania f 1 i f 2 spełniające te same warunki brzegowe. Odejmując stronami równania
4f 1 = g
4f 2 = g
otrzymamy równanie
4( f 1 − f 2) = 0
Oznacza to, że funkcja ( f 1 − f 2) jest funkcją harmoniczną, równą zeru na powierzchni zamkniętej S. A z poprzednio udowodnionych twierdzeń wynika, że taka funkcja musi być identycznie równa zeru, czyli f 1 = f 2.
3.1.3 Własności funkcji harmonicznych – wnioski fi-zyczne
. . .
3.2 Zadania i ćwiczenia
Ćwiczenia treningowe
Ćwiczenie 1.
Pokazać, że każda funkcja Green’a dla zagadnienia Dirichleta jest symetryczna, czyli G( ~r, ~r 1) = G( ~r 1 , ~r).
Wskazówka: wykorzystać drugi lemat Green’a i warunek (A.4) w uzupełnieniu matematycznym.