OBWODY ELEKTRYCZNE

i

Teoria Obwodów 1

Kurs powtórkowy

Kurs powtórkowy

Sierpie

ń

2011

Sierpie

ń

2011

w8

w8

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Transformator

Transformator

jest układem przetwarzaj

ą

cym

napi

ę

cie wej

ś

ciowe

na

napi

ę

cie wyj

ś

ciowe

za po

ś

rednictwem

strumienia magnetycznego

, przy braku bezpo

ś

redniego poł

ą

czenia

galwanicznego mi

ę

dzy zaciskami (

wej

ś

ciowymi i wyj

ś

ciowymi

).

Transformatory mog

ą

by

ć

stosowane do ró

ż

nych celów, ale podstawowym ich zadaniem

jest

zmiana warto

ś

ci napi

ę

cia wej

ś

ciowego na inn

ą

warto

ść

napi

ę

cia wyj

ś

ciowego

.

Mo

ż

e to by

ć

zarówno zwi

ę

kszenie jak i zmniejszenie tej warto

ś

ci.

Przy zmianie napi

ę

cia ulegaj

ą

odpowiedniej zmianie równie

ż

pr

ą

dy w uzwojeniach

transformatora.

Przekazywanie energii elektrycznej z jednego obwodu do drugiego nast

ę

puje za

po

ś

rednictwem

pola elektromagnetycznego

(strumienia magnetycznego).

Uzwojenie, do którego zazwyczaj jest doprowadzone

ź

ródło energii elektrycznej,

nazywamy

uzwojeniem pierwotnym

, natomiast uzwojenie, do którego doł

ą

czony jest

odbiornik, nazywamy

uzwojeniem wtórnym

. Zaciski uzwojenia pierwotnego stanowi

ą

wej

ś

cie układu, a zaciski uzwojenia wtórnego - wyj

ś

cie. Odpowiednie napi

ę

cia i pr

ą

dy

w transformatorze nazywamy pierwotnymi lub wtórnymi. Wszystkie wielko

ś

ci i parametry

zwi

ą

zane z uzwojeniem

pierwotnym

b

ę

dziemy oznaczali indeksem

1

,

a wielko

ś

ci i parametry zwi

ą

zane z uzwojeniem

wtórnym

- indeksem

2

.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

2

w

n

w

=

Transformator dwuuzwojeniowy – uzwojenie pierwotne i wtórne

Zaciski pierwotne – wej

ś

ciowe

Zaciski wtórne – wyj

ś

ciowe

W zale

ż

no

ś

ci od

ś

rodowiska, w jakim zamyka si

ę

wytworzony wokół uzwoje

ń

strumie

ń

magnetyczny, rozró

ż

niamy

transformatory powietrzne

(rdze

ń

transformatora wykonany jest z dielektryka o przenikalno

ś

ci magnetycznej

wzgl

ę

dnej bliskiej jedno

ś

ci) i

transformatory z rdzeniem ferromagnetycznym

(rdze

ń

wykonany jest z materiału ferromagnetycznego).

Transformator idealny

-

jest w pełni opisany przez tak zwan

ą

przekładni

ę

zwojow

ą

,

okre

ś

laj

ą

c

ą

stosunek napi

ę

cia pierwotnego do wtórnego (przekładnia napi

ę

ciowa)

na podstawie liczby zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Przekładnia napi

ę

ciowa transformatora idealnego, niezale

ż

nie od sposobu

wykonania i od obci

ąż

enia, powinna by

ć

równa przekładni zwojowej

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

relacja mi

ę

dzy napi

ę

ciem pierwotnym i wtórnym jest nast

ę

puj

ą

ca

zało

ż

enie o braku strat w transformatorze idealnym oznacza,

ż

e moc dostarczona

na zaciski pierwotne równa si

ę

mocy na zaciskach wtórnych

*

*

1

2

1

2

U I

U I

=

a st

ą

d relacja mi

ę

dzy pr

ą

dem pierwotnym i wtórnym transformatora idealnego

1

1

1

2

2

2

U

w

n

U

U

U

w

= →

=

1

2

1

I

I

n

=

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

R

2

R

1

L

2

L

1

U

2

U

1

I

2

I

o

Z

M

∗ ∗

po rozprz

ę

gni

ę

ciu – schemat zast

ę

pczy

1

U

o

Z

2

U

2

L

M

−

2

R

1

R

1

L

M

−

M

1

I

2

I

Transformator powietrzny

jest układem dwu cewek magnetycznie sprz

ęż

onych,

nawini

ę

tych na korpusie wykonanym z dielektryka o wzgl

ę

dnej przenikalno

ś

ci

magnetycznej bliskiej jedno

ś

ci (

µ

r

≈

1 )

Indukcyjno

ś

ci własne uzwoje

ń

s

ą

oznaczone przez L

1

i L

2

, a indukcyjno

ść

wzajemna przez M, . Sprz

ęż

enie

magnetyczne tego typu transformatora
nie jest zbyt dobre i charakteryzuje si

ę

stosunkowo du

ż

ym współczynnikiem

rozproszenia, a zatem małym
współczynnikiem sprz

ęż

enia k

1

2

M

k L L

=

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

(

)

(

)

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

2

we

we

o

U

R

j L I

j M I

U

U

U

R

j L I

j M I

I

Z

Z

I

U

Z I

ω

ω

ω

ω

=

+

−

−

=

+

−

→

=

→

=

=

ze schematu zast

ę

pczego

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

we

o

o

o

Z

R

j

L

M

j M R

j

L

M

Z

j M R

j

L

M

Z

R

j

L

M

R

j L

Z

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

= +

−

+

+

−

+

=

+

−

+









= +

−

+

+

+

w stanie jałowym Z

o

→∞

Z

1weo

=R

1

+j

ω

L

1

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Wykres wskazowy

1

I

2

I

1

U

2

U

2

1

j M I

ω

−

2

o

R I

2

o

jX I

2

2

R I

2

2

j L I

ω

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Zauwa

ż

my,

ż

e nawet dla transformatora powietrznego współczynnik sprz

ęż

enia

k<<1, st

ą

d

Oznacza to,

ż

e

napi

ę

cie

wyj

ś

ciowe

transformatora

zale

ż

y bardzo silnie od pr

ą

du obci

ąż

enia

, co jest cech

ą

niepo

żą

dan

ą

, gdy

ż

oznacza du

ż

e wahania napi

ę

cia wyj

ś

ciowego przy zmianie

obci

ąż

enia.

Relacja napi

ę

ciowa mi

ę

dzy napi

ę

ciami pierwotnym i wtórnym transformatora idealnego

jest dokładnie realizowana przez transformator powietrzny jedynie w stanie jałowym.
Niestety, obci

ąż

enie transformatora powietrznego powoduje zniekształcenie tej relacji

przez pr

ą

d obci

ąż

enia.

W zwi

ą

zku z powy

ż

szym transformator powietrzny w stanie obci

ąż

enia nie mo

ż

e by

ć

uwa

ż

any za transformator idealny.

Transformator ferromagnetyczny
Ogromn

ą

popraw

ę

własno

ś

ci transformatora uzyskuje si

ę

stosuj

ą

c zamiast cewek

powietrznych cewki z rdzeniem ferromagnetycznym (np..

ż

elazem). Rdze

ń

ferromagnetyczny tworzy zamkni

ę

ty obwód magnetyczny, stanowi

ą

cy drog

ę

o

małej oporno

ś

ci dla strumienia magnetycznego , powstałego w wyniku działania

ź

ródła pola magnetycznego.

Napi

ę

cie wtórne transformatora zale

ż

y wył

ą

cznie od przekładni zwojowej i

napi

ę

cia wej

ś

ciowego układu. Jest to zatem realizacja podstawowej zale

ż

no

ś

ci

charakterystycznej dla transformatora idealnego.

2

1

2

1

2

M

X

kX X

X X

=

≪

Czwórniki

1

'

I

2

'

I

1

I

2

I

1

U

2

U

1

1'

2

2'

1-1’ – zaciski wej

ś

ciowe

2-2’ – zaciski wyj

ś

ciowe

W odró

ż

nieniu od czwórbiegunnika w czwórniku jest spełniony warunek

I

1

= I’

1

; I

2

= I’

2

Czwórniki s

ą

elementami układu ł

ą

cz

ą

cymi najcz

ęś

ciej dwójnik

ź

ródłowy z

dwójnikiem bez

ź

ródłowym.

Czwórniki

Rozwa

ż

ane b

ę

d

ą

czwórniki:

-liniowe,

tzn. mi

ę

dzy wielko

ś

ciami U

1

, U

2

, I

1

, I

2

zachodz

ą

zale

ż

no

ś

ci liniowe,

-pasywne

– wszystkie gał

ę

zie s

ą

pasywne ( R

≥

0; L

≥

0; C

≥

0 ) i gdy nie zawiera

ź

ródeł

energii tzn.,

ż

e przy dowolnej cz

ę

stotliwo

ś

ci oddaje wi

ę

cej energii ni

ż

pobiera

Re{ U

1

I*

1

–U

2

I*

2

}

≥

0

-odwracalne

- spełniona zasada wzajemno

ś

ci

Czwórnik odwracalny mo

ż

e by

ć

symetryczny.

Czwórnik jest symetryczny

, je

ż

eli nie zmieniaj

ą

si

ę

rozpływy pr

ą

dów poza czwórnikiem

przy zamianie miejscami zacisków wej

ś

ciowych i wyj

ś

ciowych.

Równania czwórnika

równania postaci ła

ń

cuchowej

U

1

=AU

2

+ BI

2

I

1

=CU

2

+ DI

2

U

1

=A

11

U

2

+ A

12

I

2

I

1

=A

21

U

2

+ A

22

I

2

lub w postaci macierzowej

1

2

1

2

1

11

12

2

1

2

21

22

U

A

B

U

I

C

D

I

A

A

U

U

A

A

I

I







 



=







 









 















=

























wielko

ś

ci :

A,B,C,D lub A

11

,A

12

,A

21

,A

22

– stałe zespolone

Równania czwórnika

2

1

2

1

A

I

U

U

B

B

=

−

Admitancyjne parametry mo

ż

na uzale

ż

ni

ć

od parametrów ła

ń

cuchowych.

1

2

1

1

2

2

2

1

2

11

12

21

22

1

1

1

;

;

;

A

D

AD

I

CU

D

U

U

U

C

U

B

B

B

B

A

I

U

U

B

B

D

AD

A

Y

Y

C

Y

Y

B

B

B

B









=

+

−

=

+

−

















− = −

+

⇓

=

= −

= −

=

Równania czwórnika

2

1

1

2

2

1

0

0

U

oraz U

U

E

I

I

U

E

I

I

=

=

= → − =

= → − =

1

I

E

I

A

Czwórnik odwracalny spełnia zasad

ę

wzajemno

ś

ci

I

A

E

Równania czwórnika

2

21

1

12

I

I

Y E

oraz

I

I

Y E

= − =

= =

st

ą

d

St

ą

d

Y

21

= Y

12

warunek odwracalno

ś

ci

a w j

ę

zyku parametrów ła

ń

cuchowych

1

1

AD

C

czyli

AD

BC

B

B

− = −

−

=

Równania czwórnika

1

2

1

2

;

I

I

U

U

−





2

11

12

2

1

1

21

22

2

1

I

Y U

Y U

I

Y U

Y U

− =

+

=

+

1

22

21

1

2

2

12

11

1

2

I

Y U

Y U

I

Y U

Y U

=

+

− =

+

Czwórniki pasywne s

ą

odwracalne

Czwórniki aktywne – nieodwracalne

Równania czwórnika symetrycznego nie zmieniaj

ą

si

ę

je

ż

eli zmieni

ą

si

ę

wielko

ś

ci

wej

ś

ciowe

po uporz

ą

dkowaniu

przy symetrii

1

11

12

1

2

2

21

22

1

2

I

Y U

Y U

I

Y U

Y U

=

+

− =

+

Równania czwórnika

posta

ć

admitancyjn

ą

I

1

= Y

11

U

1

+ Y

12

U

2

-I

2

= Y

21

U

1

+ Y

22

U

2

lub

1

11

12

1

2

21

22

2

U

I

Y

Y

U

I

Y

Y













=













−







 



[ ] [ ][ ]

I

Y U

=

Y

12

=Y

21

-

warunek odwracalno

ś

ci

, poznany wcze

ś

niej

Y

11

=Y

22

-

warunek symetrii

Dla parametrów ła

ń

cuchowych

A=D

-

warunek symetrii

AD-BC=1

–

warunek odwracalno

ś

ci

Czwórnik symetryczny jest odwracalny.
Czwórnik odwracalny nie musi by

ć

symetryczny.

Równania czwórnika

11

1

12

2

1

21

1

22

2

2

(

)

(

)

U

Z I

Z

I

U

Z I

Z

I

=

+

−

=

+

−

Posta

ć

impedancyjna

równa

ń

czwórnika

11

12

1

1

21

22

2

2

U

Z

Z

I

U

Z

Z

I







 



=







 



−



 







[U]=[Z][I]

wygodna przy analizie pasywno

ś

ci czwórnika

P

1

-P

2

=Re{U

1

I*

1

-U

2

I*

2

}

≥

0

lub w postaci macierzowej

Równania czwórnika

Posta

ć

mieszana ( hybrydowa )

równa

ń

czwórnika

1

11

12

1

2

21

22

2

h

h

I

U

h

h

U

I



 







=



 













 



Równania czwórnika

1

Z

2

Z

Y

1

U

2

U

1

I

2

I

Wyznaczanie stałych czwórnika typu T i

Π

1

Y

2

Y

Z

1

I

2

I

1

U

2

U

T

Π

Równania czwórnika

Spo

ś

ród 4 parametrów macierzy ła

ń

cuchowej definiuj

ą

cej czwórnik pasywny 3

s

ą

niezale

ż

ne, gdy

ż

AD-BC=1

W przypadku czwórnika symetrycznego niezale

ż

ne s

ą

dwa parametry gdy

ż

dochodzi warunek A=D

3 parametry mo

ż

na odwzorowa

ć

przy pomocy 3 gał

ę

zi impedancyjnych

Poł

ą

czenie tych impedancji w gwiazd

ę

– czwórnik typu T

Poł

ą

czenie tych impedancji w trójk

ą

t – czwórnik typu

Π

Du

ż

o rzeczywistych urz

ą

dze

ń

mo

ż

na przedstawi

ć

za pomoc

ą

jednego z tych

schematów np, transformator

T

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

I

Y U

Z I

I

YU

Y Z

I

U

Z

YU

Y Z

I

U

Z I

Y Z U

Z

Z

Z Z Y I

U

Y Z U

Z

Z

Z Z Y I

I

YU

Y Z

I

=

+

+

=

+ +

=

+ +

+

+

=









= +

+

+

+

= +

+

+

+

=

+ +

1

1

2

1

2

2

1

;

;

;

1

A

Z Y

B

Z

Z

Z Z Y

C

Y

D

Z Y

= +

=

+

+

=

= +

to

Π

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

1

1

U

Z I

Y U

U

ZY

U

Z I

I

Y

Z I

Y U

U

U Y

I

Y

Y

Y Y Z U

Y Z

I

U

ZY

U

Z I

I

Y

Y

Y Y Z U

Y Z

I

=

+

+

= +

+

=

+

+

+

+

=









=

+

+

+ +

= +

+

=

+

+

+ +

2

1

2

1

2

1

1

;

;

;

1

A

Y Z

B

Z

C

Y

Y

Y Y Z

D

Y Z

= +

=

= +

+

= +

to

Równania czwórnika

1

Z

2

Z

Y

1

U

2

U

1

I

2

I

1

Y

2

Y

Z

1

I

2

I

1

U

2

U

1

1

2

1

2

2

1

;

;

;

1

A

Z Y

B

Z

Z

Z Z Y

C

Y

D

Z Y

= +

=

+

+

=

= +

czwórnik typu:

T

Π

2

1

2

1

2

1

1

;

;

;

1

A

Y Z

B

Z

C

Y

Y

Y Y Z

D

Y Z

= +

=

= +

+

= +

Dla czwórnika symetrycznego

1

2

1

2

1

1

;

2

2

1

1

2

Z

Z

Z

Y

Y

Y

A

D

ZY

=

=

=

=

= = +

Czwórnik

Dla czwórnika symetrycznego

1

2

1

2

1

1

;

2

2

1

1

2

Z

Z

Z

Y

Y

Y

A

D

ZY

=

=

=

=

= = +

B, C = ?

Wyznaczanie stałych czwórnika z

pomiarów

A

W

V

stan jałowy I

2

= 0

stan zwarcia U

2

=0

Wyznaczanie stałych czwórnika z

pomiarów

10

10

20

20

10

10

20

20

10

10

10

U

U

AU

A

U

I

I

CU

C

U

U

A

Z

I

C

=

→

=

=

→

=

=

=

stan jałowy

stanie zwarcia

2

1

1

2

1

1

1

zw

zw

zw

zw

zw

zw

zw

U

BI

I

DI

U

B

Z

I

D

=

=

=

=

Wyznaczanie stałych czwórnika z

pomiarów

dla czwórnika symetrycznego wystarcz

ą

wielko

ś

ci Z

10

i Z

1zw

2

10

1

1

2

2

1

10

10

1

10

1

10

;

1

;

1

;

;

zw

zw

zw

zw

zw

A

D

A

BC

A

C Z

B

DZ

AZ

Z

A

A

Z

Z

A

B

AZ

C

A

Z

Z

Z

=

−

=

=

=

=

−

=

=

=

−

Wyznaczanie stałych czwórnika z

pomiarów

A

W

V

stan jałowy I

2

= 0

stan zwarcia U

2

=0

2

10

1

1

2

2

1

10

10

1

10

1

10

;

1

;

1

;

;

zw

zw

zw

zw

zw

A

D

A

BC

A

C Z

B

DZ

AZ

Z

A

A

Z

Z

A

B

AZ

C

A

Z

Z

Z

=

−

=

=

=

=

−

=

=

=

−

dla czwórnika symetrycznego

Poł

ą

czenia czwórników

1

U

2

U

3

U

3

I

2

I

2

I

1

I

[ ]

'

A

[ ]

''

A

ła

ń

cuchowe

1

2

1

2

'

'

'

'

U

A

B

U

I

C

D

I







 



=







 









 



3

2

3

2

''

''

''

''

U

U

A

B

I

I

C

D













=



















 



Poł

ą

czenia czwórników -

ła

ń

cuchowe

3

1

2

3

1

2

'

'

'

'

"

"

'

'

'

'

"

"

U

U

A

B

U

A

B

A

B

I

I

C

D

I

C

D

C

D











 





 



=

=











 





 









 





 

 



3

1

3

1

U

U

A

B

I

I

C

D













=



















 



iloczyn macierzy
A=A’A”+B’C”; B=A’B”+B’D”
C=C’A”+D’C”; D=C’B”+D’D”

W przypadku poł

ą

czenia ła

ń

cuchowego n czwórników

[ A ] = [ A

1

][ A

2

][ A

3

].........[ A

n

]

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

1

'

U

2

'

U

2

'

I

1

'

I

1

''

U

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

U

1

U

1

I

2

I

[ ]

'

Z

[ ]

''

Z

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

1

1

1

2

2

2

'

"

'

"

U

U

U

U

U

U



 







=

+



 













 



1

1

1

2

2

2

'

"

'

"

I

I

I

I

I

I









 

=

=









 

 









[ ]

1

1

2

2

'

'

'

'

'

U

I

Z

U

I









=

















[ ]

1

1

2

2

''

''

''

''

''

U

I

Z

U

I









=

















[

]

[ ]

1

1

1

2

2

2

'

"

U

I

I

Z

Z

Z

U

I

I





 

 

=

+

=





 

 

 

 





i

równania impedancyjne czwórników maj

ą

posta

ć

i

dodaj

ą

c stronami i pami

ę

taj

ą

c o warunku pr

ą

dowym otrzymamy,

ż

e

Wniosek ten jest słuszny dla dowolnej liczby n czwórników poł

ą

czonych szeregowo

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

Czy dla dowolnych dwóch czwórników poł

ą

czonych szeregowo

słuszna jest ta zale

ż

no

ść

?

1

1

1

1

1

1

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

[ ]

2

1

'

1

2

Z

−





=





−





[ ]

2

1

"

1

2

Z

−





=





−





[ ]

3, 5

2, 5

2, 5

3, 5

Z

−





=





−





i

natomiast macierz impedancyjna czwórnika wynosi

i nie jest sum

ą

macierzy [Z’] i [Z”]

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

widzimy,

ż

e nie zawsze macierz impedancji czwórników poł

ą

czonych szeregowo

jest sum

ą

macierzy impedancji pojedynczych czwórników.

Dzieje si

ę

to gdy zostanie naruszony warunek równo

ś

ci pr

ą

dów płyn

ą

cych przez

oba zaciski ka

ż

dej pary jego zacisków.

Warunek regularno

ś

ci poł

ą

czenia szeregowego czwórników

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na spełnienie addytywno

ś

ci macierzy

impedancji poł

ą

czenia szeregowego czwórników jest aby napi

ę

cie

U

w obu układach było równe

zeru

.

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

1

'

U

2

'

U

2

'

I

1

'

I

1

''

U

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

U

1

U

1

I

2

I

[ ]

'

Z

[ ]

''

Z

0

U

=

1

'

U

2

'

U

2

'

I

1

'

I

1

''

U

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

U

1

U

1

I

2

I

[ ]

'

Z

[ ]

''

Z

0

U

=

Poł

ą

czenia czwórników -

szeregowe

praktyczna realizacja tego warunku

2

'

U

2

'

I

1

'

I

1

''

U

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

U

1

U

1

I

2

I

[ ]

'

Z

[ ]

''

Z

'

1

U

1/1

•

•

czerwone

– t

ę

dy mógłby si

ę

zamkn

ąć

pr

ą

d

Poł

ą

czenia czwórników -

równoległe

2

'

U

2

'

I

1

''

U

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

U

1

U

1

I

2

I

'

1

U

1

'

I

2

'

I

[ ]

'

Y

[ ]

''

Y

Poł

ą

czenia czwórników -

równoległe

1

1

1

2

2

2

'

"

'

"

I

I

I

I

I

I



 



 

=

+



 



 

 



 



1

1

1

2

2

2

'

"

'

"

U

U

U

U

U

U













=

=

























[ ]

1

1

2

2

'

'

'

'

'

I

U

Y

I

U









=

















[ ]

1

1

2

2

''

''

''

''

''

I

U

Y

I

U









=

















[

]

[ ]

1

1

1

2

2

2

'

"

U

U

I

Y

Y

Y

U

U

I









 

=

+

=









 

 









i

równania admitancyjne czwórników maj

ą

posta

ć

i

dodaj

ą

c stronami i pami

ę

taj

ą

c o warunku napi

ę

ciowym otrzymamy,

ż

e

Wniosek ten jest słuszny dla dowolnej liczby n czwórników poł

ą

czonych równolegle.

Warunek regularno

ś

ci poł

ą

czenia równoległego

jest wymaganie aby

U=0

w obu układach poł

ą

czonych równolegle.

Poł

ą

czenia czwórników -

równoległe

2

'

I

1

''

U

2

"

I

1

''

I

1

U

1

I

2

I

'

1

U

1

'

I

[ ]

'

Y

[ ]

''

Y

0

U

=

2

'

I

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

I

[ ]

'

Y

[ ]

''

Y

2

U

0

U

=

Poł

ą

czenia czwórników -

równoległe

praktyczna realizacja tego warunku

2

'

U

2

'

I

1

'

I

1

''

U

2

''

U

2

"

I

1

''

I

2

U

1

U

1

I

2

I

'

1

U

1/1

•

•

1

'

I

2

'

I

W przypadku poł

ą

czenia ła

ń

cuchowego nie jest wymagany warunek regularno

ś

ci .

impedancja falowa

1

2

1

2

c

U

U

Z

I

I

=

=

2

2

1

2

1

2

2

2

(

)

(

)

c

c

c

c

c

U

AU

BI

AZ

B I

AZ

B

Z

I

CU

DI

C Z

D I

C Z

D

+

+

+

=

=

=

=

+

+

+

Czwórnik symetryczny
A=D, AD-BC=1
to Z

1

=Z

2

czyli

c

j

c

c

B

Z

Z e

C

ϕ

=

=

- tzw.

impedancja charakterystyczna lub falowa

z warunku symetryczno

ś

ci D=A otrzymamy,

ż

e

impedancja falowa

2

1

2

2

2

c

U

AU

BI

B

B

A

A

A

BC

U

U

Z

B

C

+

=

= +

= +

= +

Przekładnia napi

ę

ciowa

( przy obci

ąż

eniu falowym Zc )

1

2

2

2

2

c

I

CU

DI

B

C Z

A

C

A

A

BC

I

I

C

+

=

=

+ =

+ = +

Przekładnia pr

ą

dowa

( przy obci

ąż

eniu falowym Zc )

czyli przekładnia napi

ę

ciowa i pr

ą

dowa jest

jednakowa

przy

obci

ąż

eniu czwórnika symetrycznego impedancj

ą

falow

ą

.

Współczynnik przenoszenia

1

1

2

2

g

a

jb

U

I

A

BC

e

e e

U

I

ϑ

=

= +

= =

=

1

1

2

2

ln

ln

U

I

a

U

I

=

=

Rozpatrzmy czwórnik obci

ąż

ony impedancj

ą

charakterystyczn

ą

,

a wi

ę

c w stanie dopasowania falowego.

gdzie

g=a+jb

- współczynnik przenoszenia

a

- współczynnik tłumienia

b

– współczynnik fazowy

1

2

1

2

U

U

I

I

b

b

ψ

ψ

ψ

ψ

=

−

=

−

Współczynnik przenoszenia

Jednostk

ą

tłumienia jest neper: 1Np

John Napier [Neper] Lord of Merchiston
(ur.1550 - zm. 1617) - szkocki matematyk ,
powszechnie uwa

ż

any za wynalazc

ę

logarytmów.

np. je

ż

eli

U

1

/U

2

= e

= 2,718... to

a = 1Np

Rozró

ż

nia si

ę

jeszcze

tłumienie mocowe -a’

jednostk

ą

tłumienia mocowego jest

bel =1B

np. je

ż

ali P

1

/P

2

= 10 to wówczas a’ = 1B

Cz

ęś

ciej stosujemy jednostk

ę

mniejsz

ą

decybel dB=0,1B

Współczynnik przenoszenia

2

1 1

1

1 1

1

1

2

2 2

2 2

2

2

cos

'

lg

lg

lg

lg

2 lg

cos

c

c

U I

P

U I

U

U

a

P

U I

U I

U

U

ϕ

ϕ









=

=

=

=

=

















1

2

'

2 lg

2 lg

0,8686

8, 686

U

a

e

B

dB

U





==

=

=

=









Alexander Graham Bell (ur. 1847 w Edynburgu, zm. 1922 w Beinn Bhreagh, w Kanadzie

–szkocki wynalazca telefonu i kilkudziesi

ę

ciu innych wynalazków telekomunikacyjnych

Z zawodu był logoped

ą

i nauczycielem muzyki.

Graham Bell był te

ż

współzało

ż

ycielem dwóch znanych czasopism Science i

National Geographic.

Je

ż

eli U

1

/U

2

=e to a=1Np

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

g

e

A

BC

ϑ

=

= +

Równania czwórników symetrycznych w postaci hiperbolicznej

2

1

1

g

A

BC

e

A

BC

A

BC

A

BC

symetria

−

−

=

=

= −

−

+

⇓

=

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

2

2

g

g

g

g

e

e

shg

e

e

chg

−

−

−

=

+

=

sinus hiperboliczny

:

sinh g

(oznaczany równie

ż

shg

)

cosinus hiperboliczny

:

cosh g

(oznaczany równie

ż

chg

)

shg

chg

thg

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

1

c

c

c

shg

BC

ale

B

Z

C

to

B

Z shg

C

shg

Z

=

=

=

=

2

c

B

B

B

B

Z

C

BC

shg

BC

=

=

=

=

2

c

B

BC

BC

shg

Z

C

C

C

C

=

=

=

=

dodaj

ą

c stronami i dziel

ą

c przez 2 otrzymamy

A = chg = D ( z symetrii )

po odj

ę

ciu stronami i podzieleniu przez 2, otrzymamy

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

2

1

2

1

2

2

c

c

U

chgU

Z shg I

shg

I

U

chg I

Z

=

+

=

+

1

2

1

2

1

c

c

chg

Z shg

U

U

shg

chg

I

I

Z

















=





























10

10

20

20

10

10

10

;

c

c

shg

U

chgU

I

U

Z

to

U

Z

Z cthg

I

=

=

=

=

2

1

2

1

1

1

1

;

c

zw

zw

zw

zw

zw

zw

c

zw

U

Z shg I

I

chg I

to

U

Z

Z thg

I

=

=

=

=

podstawiamy do postaci ła

ń

cuchowej

w stanie jałowym,

I

2

=0

w stanie zwarcia;

U

2

=0

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

10

1

1

10

c

zw

zw

Z

Z Z

a

Z

thg

Z

=

=

c

Z

g

c

Z

g

c

Z

g

c

Z

g

1

U

1

I

1

2

3

n

2

U

3

U

4

U

n

U

1

n

U

+

1

n

I

+

st

ą

d

1

;

c

c

nn

Z

Z

Z

Z

=

=

Ła

ń

cuch jednakowych czwórników symetrycznych

dla czwórnika dopasowanego falowo

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

1

1

2

3

1

2

3

4

1

n

ng

n

n

n

U

U U U

U

e

U

U U U

U

ϑ

+

+

=

⋅⋅⋅

=

=

1

1

1

1

1

1

c

n

n

n

n

c

U

chngU

Z shng I

shng

I

U

chng I

Z

+

+

+

+

=

+

=

+

1

U

1

n

U

+

c

Z

ng

Równanie postaci hiperbolicznej ła

ń

cucha n symetrycznych czwórników

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

1

U

1

U

∆

1

0

n

U

+

=

n

U

∆

C

0

2

C

0

2

C

C

0

2

C

C

0

=0,1C

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

0

0

1

1

1

1

1

1

1, 05

2

2

2

C

A

chg

ZY

j C

j C

C

ω

ω

=

= +

= +

= +

≈

1

1

1

2

1

1

2

(

1)

c

n

c

n

U

Z shng I

U

Z sh n

g I

U

U

U

+

+

=

=

−

∆

=

−

1

1

(

1)

(

1)

1

U

shg

sh n

g

sh n

g

U

shg

shng

∆

−

−

−

=

= −

przy U

n+1

= 0

st

ą

d

przy n=8 i C

0

=0,1C

1

1

100

28%

U

U

∆

⋅

≈

najwi

ę

kszy spadek przy pierwszym izolatorze.

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

Rozkaład napiecia na lancuchu izolatorow

kolpakowych

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1

2

3

4

5

6

7

8

ogniwo

U

bez uszkodzenia

z uszkodzeniem

Czwórniki - posta

ć

hiperboliczna

Rozkład napi

ę

cia

0

5

10

15

20

25

30

35

0

2

4

6

8

U

Bez uszkodzenia

Z uszkodzeniem ła

ń

cucha

Inwertory impedancji

1

2

1

2

0

0

U

B

U

I

C

I







 



=







 









 



2

1

1

1

2

2

1

U

BI

B

Z

I

CU

C Z

=

=

=

1

2

1

i

Z

K

Z

=

S

ą

to czwórniki aktywne, których macierz ła

ń

cuchowa ma parametry

impedancja wej

ś

ciowa

Oznaczmy

B/C = K

i

- współczynnik inwersji ( dodatni lub ujemny )

Inwertory impedancji

zale

ż

nie od znaku K

i

:

-PIV

– positive impedance inverter – inwertory dodatnio-impendancyjne,

-NIV

– negative impedance inverter – inwertory ujemno-impendancyjne

znaczenie praktyczne: (

ż

yrator ).

1

2

1

2

0

1

0

R

U

U

I

I

R

















=

























1

U

2

U

1

I

2

I

R

Inwertory impedancji

2

i

B

K

R

C

=

=

2

1

2

1

Z

R

Z

=

1

U

2

U

1

I

2

I

1

1

U

R

2

1

U

R

z dwóch

ż

yratorów mo

ż

na zrobi

ć

idealny transformator , je

ż

eli do zacisków wyj

ś

ciowych

doł

ą

czy

ć

kondensator o pojemno

ś

ci C.

Wówczas od strony zacisków wej

ś

ciowych , układ mo

ż

na traktowa

ć

jako element

indukcyjny o L=R

2

C.

ś

yrator idealny jest bezstratny i nieodwracalny.

Inwertory impedancji

ś

yrator jest układem elektronicznym ( czwórnikiem ) umo

ż

liwiaj

ą

cym "odwracanie„

impedancji. Innymi słowy układ zbudowany na elementach pojemno

ś

ciowych b

ę

dzie

przejawiał wła

ś

ciwo

ś

ci indukcyjne.

Idea

ż

yratora została opracowana około 1948 w laboratoriach firmy Philips.

Stosuje si

ę

go głównie w układach filtrów aktywnych.