Oe i To1 w2

background image

OBWODY ELEKTRYCZNE

i

Teoria Obwodów 1

Kurs powtórkowy

Kurs powtórkowy

Sierpie

ń

2011

Sierpie

ń

2011

w2

w2

background image

Obwody elektryczne

Analiza obwodu – zajmuje si

ę

poszukiwaniem

napi

ęć

i pr

ą

dów w poszczególnych cz

ęś

ciach

obwodu przy danych parametrach elementów i
schemacie obwodu

Synteza obwodu – zajmuje si

ę

poszukiwaniem

schematu obwodu i parametrów elementów,
przy których mo

ż

na uzyska

ć

dane napi

ę

cia lub

pr

ą

dy przy danych niektórych napi

ę

ciach lub

pr

ą

dach w okre

ś

lonych cz

ęś

ciach obwodu.

background image

Obwody SLS

1

1

2

2

( )

( )

( )

( )

x t

y t

x t

y t


Obwody: stacjonarne, liniowe , o parametrach skupionych

Własno

ś

ci:

Liniowo

ść

obwodu

Obwód elektryczny nazywamy liniowym je

ż

eli jest on utworzony z elementów

liniowych. Obwód ten spełnia warunki jednorodno

ś

ci i addytywno

ś

ci:

Je

ż

eli dla : obwód jest liniowy

;

gdzie a i b – dowolne warto

ś

ci stałe.

Zasada superpozycji: odpowied

ź

obwodu liniowego na jednoczesne działanie kilku

wymusze

ń

jest równa sumie odpowiedzi na ka

ż

de wymuszenie z osobna.

1

2

1

2

( )

( )

( )

( )

ax t

bx t

ay t

by t

+

=

+

background image

Obwody SLS

1

1

1

1

( )

( )

(

)

(

)

x t

y t

x t

b

y t

b

+ →

+

Stacjonarno

ść

obwodu

Obwód zło

ż

ony z elementów liniowych jest stacjonarny je

ś

li:

gdzie b – dowolna stała warto

ść

Przyczynowo

ść

obwodu

je

ś

li dla t < b x(t)=0, to dla t < b y(t)=0;

gdzie b - dowolna stała warto

ść

.

Reakcja obwodu nie mo

ż

e nast

ą

pi

ć

przed jego pobudzeniem.

Pasywno

ść

obwodu

Obwód zło

ż

ony z elementów pasywnych liniowych jest zaliczany do obwodów

pasywnych.
Obwód o parametrach skupionych
Je

ż

eli rozmiary obwodu s

ą

małe w porównaniu z długo

ś

ci

ą

fali elektromagnetycznej

sygnału to wówczas mówimy, ze obwód ma skupione elementy ( parametry ) –
pomijamy rozmiary geometryczne elementu.

background image

Sygnały

Wielko

ś

ci fizyczne zmienne, zale

ż

ne od czasu, takie jak u(t), i(t) nazywamy sygnałami.

Klasyfikacja sygnałów:
- nieokresowe
-okresowe ( sinusoidalne, przemienne, t

ę

tni

ą

ce , szczególny przypadek DC)

Nieokresowe:
- jednokierunkowe
-zmiennokierunkowe
- wykładnicza malej

ą

ca

- wykładnicza rosn

ą

ca

- specjalne:

- sygnał jednostkowy
- sygnał impulsowy

background image

Sygnały

( )

f t

t

( )

f t

t

( )

f t

t

( )

f t

t

at

e

at

e

- jednokierunkowe
- zmiennokierunkowe

- wykładnicza malej

ą

ca

- wykładnicza rosn

ą

ca

background image

Sygnały

( )

f t

t

( )

f t

t

1

( )

t

ε

( )

t

δ

0

0

( )

1( )

1

0

dla

t

t

t

dla

t

ε

<

=

=

0

( )

(

)

( , )

,

( )

lim

( , )

a

t

t

a

t a

t

t a

a

ε

ε

δ

δ

δ

=

=

- sygnał jednostkowy
- sygnał impulsowy

0

0

( )

0

dla

t

t

dla

t

δ

=

=

( )

1

t dt

δ

+∞

−∞

=

Impuls Dirac’a

własno

ść

background image

Sygnały okresowe

( )

f t

t

( )

f t

t

T

T

tętniąca

pulsująca

przemienna

0

0

( )

0

t

T

t

f t dt

+

0

0

( )

0

t

T

t

f t dt

+

=

Okresowe: f(t+T)=f(t)

( )

f t

t

( )

f t

t

T

T

symetryczna

antysymetryczna

(

)

( )

2

T

f t

f t

+

= −

(

)

( )

2

T

f t

f t

+

=

background image

Obwody elektryczne

( )

x t

wejscie

( )

y t

wyjscie

SLS

( )

e t

( )

i t

w

R

o

R

Napi

ę

cia i pr

ą

dy wymuszone przez

ź

ródła energii nazywa si

ę

wymuszeniem i oznacza

x(t).
Reakcja na wymuszenie nazywa si

ę

odpowiedzi

ą

i oznacza y(t).

Schematycznie układ o jednym wej

ś

ciu i wyj

ś

ciu

przykład:

ź

ródło niesterowalne napi

ę

cia

wymuszenie – e(t); odpowied

ź

– i(t)

W zło

ż

onej sieci wymuszeniem mo

ż

e by

ć

zbiór wszystkich

ź

ródeł a odpowiedzi

ą

zbiór pr

ą

dów we wszystkich gał

ę

ziach.

background image

Obwody elektryczne

( )

e t

D idt

di

L

dt

Ri

( )

i t

( )

u t

di

u

Ri

L

D idt

e

dt

=

+

+

W obwodach elektrycznych stało

ść

parametrów R, L, C zapewnia liniowo

ść

,

stacjonarno

ść

i przyczynowo

ść

.

Prawo Ohma

dla gał

ę

zi szeregowej RLC ma posta

ć

:

1

D

C

=

gdzie

background image

Obwody elektryczne

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

j

j

j j

j

j

j j

j

j

j

j

n

n n

n

n

n

n n

n

n

n

n

di

d

R i

L

D i dt

e

L

i

dt

dt

u

R i

di

d

u

R i

L

i

R i

L

D

i dt

e

dt

dt

u

R i

d

di

L

i

R i

L

D

i dt

e

dt

dt

+

+

 

 

 

 

=

=

+

+

+

+

 

 

 

 

+

+

1

1

1

j

j

j

n

n

n

D i dt

e

D

i dt

e

e

D

i dt

 

 

 

 

 

 

 

  

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

j

j

j

j

j

j

j

n

n

n

n

n

n

n

R

i

L

i

D

i

e

d

R

i

L

i

D

i dt

e

dt

R

i

L

i

D

i

e

   

  

  

 

   

  

  

 

   

  

  

 

   

  

  

 

+

+

   

  

  

 

   

  

  

 

   

  

  

 

   

  

  

 

w zapisie macierzowym dla n gał

ę

zi

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

d

U

R I

L

I

D

I dt

E

dt

=

+

+

czyli

background image

Prawo Ohma

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

{

}

d

U

R

L

D

dt

I

E

dt

=

+

+

lub umownie

Jest to rozszerzona posta

ć

prawa Ohma dla gał

ę

zi obwodu liniowego i stacjonarnego.

- ł

ą

cznie n równa

ń

dla n gał

ę

zi.

Georg Simon Ohm (ur. 16.03.1789 w Erlangen, zm.
8.07.1854 w Monachium matematyk niemiecki,
profesor politechniki w Norymberdze w latach 1833=
1849 i uniwersytetu w Monachium po roku 1949 .

background image

Prawa Kirchhoffa

1

2

3

4

5

0

i

i

i

i

i

+ + − − =

Pr

ą

dowe prawo Kirchhoffa (w

ę

złowe, pierwsze ) –

PPK

Jest ono wynikiem prawa zachowania ładunku i jego przepływu stacjonarnego ładunku.

1

2

3

4

5

0 / :

q

q

q

q

q

dt

∆ + ∆ + ∆ − ∆ − ∆ =

st

ą

d

0

j

węzle

i

± =

Umowa – pr

ą

dy do w

ę

zła z +

czyli

Suma algebraiczna pr

ą

dów w w

ęź

le równa jest zeru.

background image

Prawa Kirchhoffa

1

1

0

kj

gdy

galaz

zorientowana

na

zewnatrz

wezla

a

gdy

galaz

zorientowana

do

wezla

gdy

galaz

nie

jest

skorelowana

z

wezlem

+

= −

[ ]

11

1

1

1

1

1

1

j

n

k

kj

kn

w

wj

wn

galaz

j

n

wezel

a

a

a

A

k

a

a

a

w

a

a

a

=

Wygodnie jest wykorzysta

ć

wyrazy macierzy w

ę

złowej

Macierz incydencji w

ę

złowa

gdzie n – liczba gał

ę

zi a w – liczba w

ę

złów niezale

ż

nych ( o jeden mniej o liczby

wszystkich w

ę

złów w obwodzie ).

background image

Prawa Kirchhoffa

( )

0

kj j

węzel k

a i

=

[ ][ ] [ ]

0

A I

=

1

11

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

j

n

j

k

kj

kn

n

w

wj

wn

galaz

j

n

i

wezel

a

a

a

i

k

a

a

a

i

w

a

a

a

    

    

    

 

 

=

    

 

 

 

 

 

 

dla k – tego w

ę

zła

a w zapisie macierzowym

z PPK otrzymujemy tyle równa

ń

ile jest w

ę

złów niezale

ż

nych ( w ).

background image

Prawa Kirchhoffa

1

u

2

u

3

u

4

u

4

E

1

u

2

u

3

u

4

u

1

V

2

V

3

V

4

V

1

2

3

4

0

u

u

u

u

+ + − =

(

) (

) (

) (

)

1

2

2

3

3

4

1

4

0

V

V

V

V

V

V

V

V

+

+

=

0

j

oczko

u

± =

Napi

ę

ciowe prawo Kirchhoffa ( oczkowe, drugie ) –

NPK

Jest ono wyrazem potencjalno

ś

ci .

Dla dowolnego oczka przy przyj

ę

tej orientacji

Czyli w oczku

background image

Prawa Kirchhoffa

1

1

0

kj

gdy

zgodnie

b

gdy

przeciwnie

brak

korelacji

+

= −

[ ]

11

1

1

1

1

1

1

j

n

k

kj

kn

m

mj

mn

galaz

j

n

oczko

b

b

b

B

k

b

b

b

m

b

b

b

=

( )

0

kj

j

oczko k

b u

=

Wygodnie jest wykorzysta

ć

wyrazy macierzy oczkowej

Macierz incydencji oczkowa

m= n-w liczba oczek niezale

ż

nych

zgodnie z tym mo

ż

emy zapisa

ć

background image

Prawa Kirchhoffa

[ ] [ ] [ ]

0

B

U

=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0

0

T

B

U

B

A

V

V

=

=

=

[ ] [ ] [ ]

T

U

A

V

=

napi

ę

cia gał

ę

zi mo

ż

na wyrazi

ć

równaniem

gdy

ż

mo

ż

na pokaza

ć

,

ż

e

[ ][ ] [ ]

0

T

B A

=

NPK – m równa

ń

niezale

ż

nych

background image

Prawa Kirchhoffa

Gustav Robert Kirchhoff (ur. 12.03.1824 w Królewcu,
zm. 17.10.1887 w Berlinie) –niemiecki fizyk.

Podsumowanie:

n – równa

ń

na prawo Ohma

w – równa

ń

na PPK

m – równa

ń

na NPK

To

n + w + m = 2n równa

ń

dla 2n niewiadomych ( uj,ij ).

background image

Bilans mocy

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

1

1

1

0

0

0

n

T

T

T

T

T

j j

j

n

j

j

n

i

u i

u

u

u

i

U

I

A

V

I

V

A I

V

i

=

 

 

 

 

=

=

=

=

=

=

=

 

 

 

 

1

0

n

j j

j

u i

=

=

Bilans mocy w układzie elektrycznym

Suma mocy pobieranych przez wszystkie gał

ę

zie obwodu

czyli

suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkie gał

ę

zie obwodu jest równa zero.

Niektóre gał

ę

zie s

ą

ź

ródłami energii i dla tych gał

ę

zi u

k

i

k

< 0.

W gał

ę

ziach pobieraj

ą

cych energi

ę

w danej chwili u

k

i

k

> 0.

background image

Obwody elektryczne

Klasyfikacja obwodów
Ze wzgl

ę

du na liniowo

ść

- liniowe, spełniaj

ą

zasad

ę

superpozycji

i nieliniowe, nie spełniaj

ą

zasady superpozycji

Obwód jest liniowy gdy wszystkie jego elementy s

ą

liniowe.

Obwód zawieraj

ą

cy przynajmniej jeden element nieliniowy jest obwodem

nieliniowym.

Ź

ródło napi

ę

cia jest liniowe, je

ż

eli jego napi

ę

cie

ź

ródłowe oraz rezystancja i

indukcyjno

ść

wewn

ę

trzna nie zale

żą

od płyn

ą

cego przez nie pr

ą

du.

W układzie SLS przy zasilaniu napi

ę

ciem stałym ( DC ) ( lub pr

ą

dem stałym ze

ź

ródła pr

ą

dowego ) przez pewien czas po zał

ą

czeniu zasilania przebiegi

zmieniaj

ą

si

ę

w czasie . Po pewnym czasie ustala si

ę

stan równowagi mi

ę

dzy

energi

ą

zasilania a energi

ą

rozpraszan

ą

na rezystorach. Ustalaj

ą

si

ę

warto

ś

ci

stałe napi

ęć

i pr

ą

dów na wszystkich elementach obwodu. Mówimy, ze wyst

ą

pił

stan ustalony w obwodzie.
Przy zasilaniu okresowym ,
Po pewnym czasie równie

ż

ustalaj

ą

si

ę

przebiegi okresowe na wszystkich

elementach obwodu SLS. Dla nast

ę

puje stan ustalony ( a praktycznie

dla t > 5

τ

)

t

→ ∞

background image

Obwody elektryczne

2

2

0

0

0

0

T

T

T

T

W

pdt

uidt

Ri dt R i dt

=

=

=

=

2

2

2

0

0

T

T

s

s

s

W

RI dt RI

dt

RI T

=

=

=

2

0

1

T

s

I

i dt

T

=

Pr

ą

d przepływaj

ą

c przez opornik liniowy R wywołuje skutki cieplne ( prawo

Joul’a – Lenza )
Np. w okresie T wydziela energi

ę

w postaci ciepła

Tak

ą

sam

ą

ilo

ść

energii w czasie T na oporniku R wydzieli pr

ą

d stały o o

odpowiednio dobranej warto

ś

ci Is.

st

ą

d

Jest to tzw. warto

ść

skuteczna pr

ą

du zmiennego okresowo.

Warto

ś

ci

ą

skuteczn

ą

pr

ą

du okresowego nazywamy tak

ą

warto

ść

pr

ą

du stałego ,

który przepływaj

ą

c przez niezmienny rezystor R wydzieli w czasie okresu T tak

ą

sam

ą

ilo

ść

ciepła ciepła co pr

ą

d okresowy w tym samym czasie.

background image

Obwody elektryczne

2

0

1

T

s

F

f dt

T

=

2

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

1

1

1

sin (

)

sin (

)

[

cos(2

2

)]

2

2

2

T

T

T

T

m

i

m

i

m

i

m

f dt

F

t

dt

F

t

dt

F

t

dt

TF

ω

ω

ω

=

+ Ψ

=

+ Ψ

=

+ Ψ

=

2

2

1 1

(

)

0, 707

2

2

2

m

m

s

s

m

F

F

F

TF

F

T

=

=

=

=

2

1, 41

m

sz

s

F

k

F

=

=

=

Dla dowolnego sygnału okresowego w ten sposób definiuje si

ę

warto

ść

skuteczn

ą

, chocia

ż

nie ma ona ju

ż

takiej interpretacji fizycznej.

W przypadku sygnału sinusoidalnego obliczamy

a wi

ę

c

cz

ę

sto F

s

oznaczamy jako F

współczynnik szczytu

background image

Obwody elektryczne

0

1

T

sr

F

fdt

T

=

2

1 2

0

0

1

2

T

T

sr

F

f dt

fdt

T

T

=

=

2

2

1

0

2

0

2

2

4

2

2

sin

cos

( 1 1)

0, 636

2

T

T

m

m

m

m

m

m

sr

F

F

F

F

F

F

tdt

t

F

T

T

T

ω

ω

ω

ω

=

= −

= −

− − =

=

=

Π

Π

2

2

2

1,11

2

4

m

k

m

sr

F

F

k

F

F

Π

=

=

=

=

Π

dla przebiegów okresowych wprowadza si

ę

warto

ść

ś

redni

ą

( algebraiczn

ą

)

Dla przebiegów przemiennych F

sr

=0, dlatego wprowadza si

ę

poj

ę

cie warto

ś

ci

ś

redniej przebiegu wyprostowanego ( lub warto

ść

ś

redni

ą

połówkow

ą

).

W przypadku sygnału sinusoidalnego obliczamy

współczynnik kształtu

background image

sygnały harmoniczne

( )

sin(

)

m

f t

F

t

ω

=

+ Ψ

sygnały harmoniczne podgrupa przebiegów okresowych przemiennych i
symetrycznych okre

ś

lona poprzez funkcj

ę

sinus

w technice wytwarzania i przesyłu i rozdziału energii elektrycznej
wyst

ę

puje bardzo cz

ę

sto ze wzgl

ę

du na :

- łatwo

ść

wytwarzania ( generatory napi

ę

cia przemiennego )

- powtarzanie kształtu w stanie ustalonym
- łatwo

ść

analizy przy zastosowaniu metody symbolicznej.

background image

Wskaz wiruj

ą

cy

( )

sin(

)

m

i t

I

t

ω

=

+ Ψ

Rzut wskazu wiruj

ą

cego na o

ś

pionow

ą

jest przebiegiem chwilowym

background image

Wskaz wiruj

ą

cy

(

)

( )

2

t

j

j

j

t

m

I t

I e e

Ie

ω

ω

Ψ

=

=

Re

Im

Ψ

j

m

I e

Ψ

cos

m

I

Ψ

sin

m

I

Ψ

0

t

=

Re

Im

Ψ

(

)

j

t

m

I e

ω

cos(

)

m

I

t

ω

sin(

)

m

I

t

ω

0

t

t

ω

Wskaz wiruj

ą

cy na płaszczy

ź

nie zespolonej mo

ż

e by

ć

zapisany w postaci

background image

Obwody elektryczne

{ }

( )

Im

( )

sin(

)

m

i t

I t

I

t

ω

=

=

+ Ψ

2

j

j

m

I

I

e

Ie

Ψ

Ψ

=

=

Re

Im

Ψ

I

I

I

= →

Ψ →

( )

2

j t

I t

Ie

ω

=

jego cz

ęść

urojona jest przebiegiem pr

ą

du

Zwykle wskaz wiruj

ą

cy rysuje si

ę

w pozycji dla t=0

Liczb

ę

zespolon

ą

nazywa si

ę

warto

ś

ci

ą

zespolon

ą

przebiegu sinusoidalnego.

moduł

warto

ść

skuteczna

argument

faza pocz

ą

tkowa

Warto

ś

ci zespolone s

ą

powszechnie stosowane dla przebiegów harmonicznych w

elektrotechnice.

background image

Liczby zespolone

background image

Liczby zespolone

background image

Liczby zespolone

background image

Liczby zespolone

background image

Liczby zespolone

background image
background image

Liczby zespolone

background image

Metoda symboliczna

R

L

C

( )

sin(

)

m

u

u t

U

t

ω

=

( ) ?

i t

=

( )

( )

( )

( )

R

L

C

u t

u t

u t

u t

=

+

+

1

sin(

)

(*)

m

u

di

Ri

L

idt

U

t

dt

C

ω

+

+

=

+ Ψ

Gał

ąź

szeregowa RLC ( warto

ś

ci stałe ) zasilana napi

ę

cie sinusoidalnym.

w stanie ustalonym równie

ż

pr

ą

d b

ę

dzie przebiegiem sinusoidalnym o tej samej pulsacji.

Dane: R, L, C, U

m

,

ω

,

ψ

u

Obliczyc : I

m

=?,

ψ

i

=?

Z NPK

czyli

background image

Metoda symboliczna

{ }

{

}

( )

Im

( )

;

( )

Im

( )

i t

I t

u t

U t

=

=

{ }

{ }

{ }

{

}

{ }

{ }

{ }

{

}

1

Im

( )

Im

( )

Im

( )

Im

( )

lub

1

Im[

( )

( )

( )

]

Im

( )

d

R

I t

L

I t

I t

dt

U t

dt

C

d

R I t

L

I t

I t

dt

U t

dt

C

+

+

=

+

+

=

1

( )

( )

( )

( )

(**)

d

RI t

L

I t

I t dt

U t

dt

C

+

+

=

podstawiamy

st

ą

d

je

ż

eli funkcje w nawiasach b

ę

d

ą

sobie równe to równie

ż

ich cz

ęś

ci urojone b

ę

d

ą

sobie równe

background image

Metoda symboliczna

( )

;

( )

U t

I t

( )

2

j t

I t

Ie

ω

=

( )

2

( )

j t

d

I t

I j e

j I t

dt

ω

ω

ω

=

=

1

1

( )

2

( )

j t

I t dt

I

e

I t

j

j

ω

ω

ω

=

=

1

( )

( )

( )

( )

RI t

j I t

I t

U t

j C

ω

ω

+

+

=

z tej równo

ś

ci wynika równo

ść

fizyczna (*)

Równo

ść

(**) jest zapisem równania obwodu dla funkcji zespolonych

zamiast funkcji czasu u(t) ; i(t).

Podstawiamy

st

ą

d równanie (**)

background image

Metoda symboliczna

1

2

2

2

2

: 2

1

R

I

j

I

I

U

j C

RI

j I

I

U

j C

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

=

R

L

C

U

U

U

U

+

+

=

lub dla chwili t=0

sumowanie warto

ś

ci chwilowych odpowiada sumowaniu warto

ś

ci zespolonych !

całkowanie

dzielenie przez j

ω

ż

niczkowanie

mno

ż

enie przez j

ω

Zapis zespolony napi

ęć

obwodu

background image

Metoda symboliczna

L

U

j LI

ω

=

1

C

U

I

j C

ω

=

Re

Im

I

I

Ψ

R

U

L

U

C

U

i

R

U

RI

=

Re

Im

I

I

Ψ

R

U

L

U

C

U

U

U

Ψ

ϕ

- warto

ść

zespolona napi

ę

cia na rezystorze R

- warto

ść

zespolona napi

ę

cia na cewce L

- warto

ść

zespolona napi

ę

cia na kondensatorze C

na płaszczy

ź

nie zespolonej

background image

Metoda symboliczna

(

)

2

2

I

I

I

j

j

j

j

L

U

j LI

j Ie

LIe

e

LIe

ω

ω

ω

ω

Π

Π

Ψ +

Ψ

Ψ

=

=

=

=

(

)

2

2

1

1

1

1

I

I

I

j

j

j

j

C

U

I

j

Ie

Ie

e

Ie

j C

C

C

C

ω

ω

ω

ω

Π

Π

Ψ −

Ψ

Ψ

=

= −

=

=

(

)

2

2

I

I

I

j

j

j

j

L

U

j LI

j Ie

LIe

e

LIe

ω

ω

ω

ω

Π

Π

Ψ +

Ψ

Ψ

=

=

=

=

{

}

( )

Im

2

2

sin(

)

2

sin(

)

2

j t

L

I

L

uL

u t

U

e

LI

t

U

t

ω

ω

ω

ω

Π

=

=

+ Ψ +

=

+ Ψ

( )

sin(

)

m

I

i t

I

t

ω

=

+ Ψ

ω

L=XL

reaktancja indukcyjna cewki

1/

ω

C=XC

reaktancja pojemno

ś

ciowa kondensatora

Interpretacja wykresu dla przebiegów chwilowych

gdzie U

L

=

ω

LI ;

ψ

uL

=

ψ

I

+

Π

/2

i

I

L

U

background image

Metoda symboliczna

( )

(

sin(

))

cos(

)

2

sin(

)

2

L

m

I

m

I

I

d

u t

L

I

t

LI

t

LI

t

dt

ω

ω

ω

ω

ω

Π

=

+ Ψ

=

+ Ψ =

+ Ψ +

bez u

ż

ycia licz zespolonych

2

uL

I

Π

Ψ − Ψ =

Napi

ę

cie na cewce idealnej wyprzedza pr

ą

d o k

ą

t

Π

/2 lub równowa

ż

nie pr

ą

d

opó

ź

nia si

ę

o k

ą

t

Π

/2.

background image

Metoda symboliczna

(

)

2

2

1

1

1

1

I

I

I

j

j

j

j

C

U

I

j

Ie

Ie

e

Ie

j C

C

C

C

ω

ω

ω

ω

Π

Π

Ψ −

Ψ

Ψ

=

= −

=

=

(

)

2

1

1

( )

Im{ 2

}

Im{ 2

}

2

sin(

)

2

sin(

)

2

I

j

t

j t

C

C

I

C

uC

u t

U e

Ie

I

t

U

t

C

C

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Π

+Ψ −

Π

=

=

=

+ Ψ −

=

+ Ψ

,

,

2

2

C

uC

I

uC

I

I

U

C

ω

Π

Π

=

Ψ = Ψ −

Ψ − Ψ = −

i

I

C

U

Warto

ść

zespolona napi

ę

cia na kondensatorze

gdzie

Napi

ę

cie na kondensatorze idealnym opó

ź

nia si

ę

wzgl

ę

dem pr

ą

du o kat

Π

/2 lub pr

ą

d wyprzedza

napi

ę

cie o kat

Π

/2.

background image

Metoda symboliczna

I

j

R

U

RI

RIe

Ψ

=

=

(

)

1

( )

Im{ 2

}

Im{ 2

}

2

sin(

)

2

sin(

)

I

j

t

j t

R

R

I

R

uR

u t

U e

RIe

I

t

U

t

C

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

+ Ψ =

+ Ψ

,

,

0

R

uR

I

uR

I

U

IR

=

Ψ = Ψ

Ψ − Ψ =

I

R

U

Warto

ść

zespolona napi

ę

cia na rezystorze

gdzie

Napi

ę

cie na rezystorze jest w fazie z pr

ą

dem.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Oe i To1 w10
Oe i To1 w12
Oe i To1 w5 id 333223 Nieznany
Oe i To1 w3 id 333221 Nieznany
Oe i To1 w7 magn sprz id 333225
Oe i To1 w1
Oe i To1 w9 id 333227 Nieznany
Oe i To1 w4 id 333222 Nieznany
Oe i To1 w6 id 333224 Nieznany
Oe i To1 w8
Oe i To1 w10

więcej podobnych podstron