OBWODY ELEKTRYCZNE

i Teoria Obwodów 1

Sierpie

ń

2011

Sierpie

ń

2011

wykład 6

wykład 6

Twierdzenie Thevenina

A

B

Z

I

Do dwójnika aktywnego doł

ą

czono impedancj

ę

Z. Jak policzy

ć

pr

ą

d I ?

Léon Charles Thévenin (30 marzec 1857 - 21 wrzesie

ń

1926)

francuski in

ż

ynier ( telegrafu ).

Twierdzenie Thevenina

A

B

Z

0

U

Nic si

ę

nie zmieni je

ż

eli wł

ą

czy

ć

dwie SEM przeciwnie skierowane

( o tych samych warto

ś

ciach i argumentach ).

A

B

Z

0

E U

=

0

E U

=

Twierdzenie Thevenina

A

B

Z

0

E U

=

'

0

I

=

A

B

Z

0

E U

=

"

0

Z

U

I

Z Z

=

+

+

0

0

zw

z

z

zw

U

U

I

Z

Z

I

=

→

=

korzystaj

ą

c z zasady superpozycji

Dwójnik pasywny zast

ę

puje si

ę

impedancj

ą

Z

w

Zwieraj

ą

c dwójnik

napi

ę

cie na zaciskach AB

0

0

w

w

U

U

Z I

Z

I

U

I

U

U

Z I

U

Z

I

=

→

=

=

→

=

−

+

Twierdzenie Thevenina

a wi

ę

c

0

U

w

Z

I

U

Z

dwójnik aktywny mo

ż

na przedstawi

ć

jako

ź

ródło napi

ę

cia

U

0

- napi

ę

cie na zaciskach AB dwójnika aktywnego w stanie jałowym obci

ąż

enia

Z

w

- impedancja dwójnika aktywnego AB

Twierdzenie Nortona

w

Z

I

U

Z

0

zr

w

U

I

Z

=

w

Y

Y

Ź

ródło napi

ę

cia mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci

ź

ródła pr

ą

du

Lawry Edward Norton (1898 - 1983)
był in

ż

ynier i naukowcem Bell Labs,

znany z opracowania koncepcji

rónowa

ż

nego obwodu Nortona.

w

zr

zr

zr

w

w

w

w

Z

I

I

U

I Z

I

Z

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Z Z

=

=

=

=

+

+

+

Dwójnik aktywny mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci

ź

ródła pr

ą

dowego.

Rezonans napi

ęć

i pr

ą

dów

Rezonans szeregowy i równoległy

Warunek impedancyjny rezonansu napi

ę

ciowego:

Z=R; X=0

lub

Im { Z } = 0

Warunek admitancyjny rezonansu pr

ą

dowego :

Y=G; B=0

lub

Im { Y } = 0

Warunek przesuni

ę

cia fazowego :

<(U,I) =

φ

=0

Warunek mocowy:

S=P; Q=0

lub

Im { S } = 0

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

U

R

U

L

U

C

U

I

1

r

LC

ω

=

U

L

+ U

C

= j( X

L

– X

C

) I = 0

→

X

L

= X

C

X

L

= X

C

→

ω

r

L = 1/

ω

r

C

→

do rezonansu mo

ż

e doj

ść

przez regulacj

ę

L lub C lub

ω

2

2

1

1

1

1

r

r

r

LC

L

L

C

C

C

L

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

→

=

=

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

1

r

r

L

L

C

C

ρ ω

ω

=

=

=

Impedancja charakterystyczna ( falowa ) poł

ą

czenia -

ρ

L

U

C

U

C

U

I

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

(

)

R

L

C

R

L

C

U

U

U

U

R

j X

X

I

RI

U

=

+

+

=

+

−

=

=









(

)

,

0

U I

ϕ

=

=

∢

w gał

ę

zi szeregowej RLC

charakter obwodu - rezystancyjny

warunek wyst

ą

pienia rezonansu szeregowego

{ }

Im

0

Z

=

mo

ż

liwo

ść

wyst

ą

pienia przepi

ę

cia

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

1

1

sin

2

2

1

1

cos

2

2

L

M

r

i

C

C

CM

r

i

W

Li

LI

t

W

Cu

CU

t

ω

ω

=

=

+ Ψ

=

=

+ Ψ

1

dq

i

dq

idt

dt

dq

dq

C

du

du

C

i

du

dt

u

idt

C

C

=

→

=

=

→

=

=

→ =

∫

Energia chwilowa w stanie rezonansu

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

sin

cos

2

2

1

1

sin

cos

2

1

1

1

1

1

2

2

L

C

M

r

i

M

r

i

r

M

r

i

r

i

r

r

r

M

CM

W

W

LI

t

C

I

t

C

LI

t

t

LC

LC

LC

LI

CU

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω





+

=

+ Ψ +

+ Ψ =













=

+ Ψ +

+ Ψ

=









=

=

=

=

W stanie rezonansu suma energii chwilowych
na cewce i kondensatorze jest stała.

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

moc chwilowa w stanie rezonansu

(

)

0

L

C

d W

W

dt

+

=

W stanie rezonansu energia cyrkuluje pomi

ę

dzy kondensatorem i cewk

ą

.

Cała moc zasilania jest tracona na rezystancji bez doładowywania kondensatora

i cewki.

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0

1

2

3

4

5

XL

XC

XL+XC

przykład dla L= 1H; C=1F i R=1

Ω

Z

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

1

2

3

4

5

Z

X = f (

ω

)

Z = f (

ω

)

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

Z

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

1

2

3

4

5

Z

.

poj

.

ind

r

ω

Z

R

=

Z

ω

2

2

1

Z

R

L

R

C

ω

ω





=

+

−

=









w dostrojeniu ( rezonansie )
impedancja jest najmniejsza

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

1

2

3

4

5

Y

0

20

40

60

80

100

120

0

1

2

3

4

5

ω

I

dla admitancji

dla pr

ą

du

2

2

1

U

I

UY

R

L

C

ω

ω

=

=





+

−









Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

podczas rezonansu napi

ęć

pr

ą

d osi

ą

ga warto

ść

maksymaln

ą

I

M

= U/R

0

20

40

60

80

100

120

0

1

2

3

4

5

I

M

I

2

M

I

1

ω

2

ω

r

ω

ω

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

X

tg

R

ξ

ϕ

=

=

Wykresy rezonansowe cz

ę

sto normalizuje si

ę

poprzez wprowadzenie wielko

ś

ci

bezwymiarowej zwanej rozstrojeniem.
Rozró

ż

nia si

ę

:

-rozstrojenie bezwzgl

ę

dne

ξ

-rozstrojenie wzgl

ę

dne

δ

Rozstrojenie bezwzgl

ę

dne

przy którym mo

ż

na zapisa

ć

2

2

2

1

1

1

r

r

Y

I

R

Y

I

R

L

C

ξ

ω

ω

=

=

=

+





+

−









Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

r

I

I

ξ

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

ϕ

2

Π

2

Π

−

ξ

krzywa nie zale

ż

y od warto

ś

ci L i C

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

r

r

ω

ω

δ

ω

ω

=

−

2

1

1

r

r

r

r

L

X

L

L

C

R

R

R

LC

R

L

Q

R

Q

ω

ω

ω

ξ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ξ

δ

δ

ω

ω

−









=

=

=

−

=

−

=





















=

−

=

→ =









rozstrojenie wzgl

ę

dne

dochodzi si

ę

przez rozpisanie

r

L

Q

R

R

ω

ρ

= =

wielko

ść

dobro

ć

gał

ę

zi RLC

wprowadzamy równie

ż

poj

ę

cie dobroci cewki lub kondensatora

Q

L

= X

L

/R

L

lub Q

C

= X

C

/R

C

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

1

1

r

r

r

L

C

R

R

RC

R

ω

ω

ρ

ξ

ω

=

=

=

=

R

ρ

ξ

δ

=

W stanie rezonansu

wielko

ść

ω

/

ω

r

- nazywamy pulsacj

ą

wzgl

ę

dna

2

2

2

1

1

1

1

r

r

Y

I

Y

I

R

ξ

ρ δ

=

=

=

+





+









Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-10 -8 -6 -4 -2

0

2

4

6

8 10

R=0,5

R=1

R=2

δ

r

I

I

gdy R ro

ś

nie dobro

ć

układu maleje a krzywa rezonansowa staje si

ę

„szersza”.

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

2

2

1

1

2

2

2

r

r

r

I

P

P

RI

RI

I

=

→

=

→ =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

,

U

U

R

R

Z

R

R

X

R

Z

R

X

R

L

R

C

ω

ω

ω

ω









=

→

=

→

+

=

→

















→

=

→

−

= →

Szeroko

ść

pasma przepuszczania:

Szeroko

ść

pasma przepuszczania gał

ę

zi szeregowej RLC wyznaczaj

ą

pulsacje

ω

1

i

ω

2

, przy których moc pobierana przez gał

ąź

RLC jest połow

ą

mocy rezonansowej.

1

1

1

1

2

1

2

1

1

4

1

4

R

X

R

R

X

R

ω ω

ξ

δ

ϕ

ρ

ω ω

ξ

δ

ϕ

ρ

Π



=

→ = − → = − → = − → = −





Π



=

→ = + → = + →

= + → = +



dla

Rozstrojenie wzgl

ę

dne pasma

przepuszczania wyznaczaj

ą

warto

ś

ci ±R/

ρ

– odwrotno

ść

dobroci.

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0

1

2

3

4

5

r

I

I

r

P

2

r

P

2

r

P

1

2

1

ω

2

ω

r

ω

ω

Im wi

ę

ksza dobro

ć

tym w

ęż

sze pasmo.

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

(

)

r

r

r

r

r

r

r

r

R

L

oraz

R

L

C

C

R

R

R

R

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

δ

δ

ρ ω

ω

ρ ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ρ

ρ

=

−

= −

−

= − =

−

= + =

−

−

= −

−

= +

odejmuj

ą

c stronami otrzymamy

(

)

(

)

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

r

r

r

R

R

Q

R

ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ρ

ρ

ω

ρ

−

−

=

+

→

−

=

→

= =

Szeroko

ść

pasma przepuszczania szeregowej gał

ę

zi RLC jest odwrotnie proporcjonalna

do dobroci tej gał

ę

zi.

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0

1

2

3

4

5

,

,

C

L

U U U

U

C

U

L

U

r

ω

ω

2

2

2

2

2

2

1

1

1

r

r

L

r

r

r

r

r

L

U

LU

U

LI

R

L

R

C

R

U

R

R

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ρ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ρ

ω

ρ

ω

ω

ω













=

=

=

=













+

−

+

−



















 



=









+

−











 



2

2

1

1

r

C

r

r

U

I

U

C

R

R

ω

ρ

ω

ω

ω

ρ

ω

ω

ω

=

=









+

−











 



Napi

ę

cie na cewce i kondensatorze ( efekt przepi

ę

cia )

Mo

ż

na udowodni

ć

,

ż

e U

L

oraz U

C

przybieraj

ą

warto

ś

ci maksymalne gdy :

1

2

R

ρ

>

podobnie

Rezonans napi

ęć

w gał

ę

zi

szeregowej RLC

1

2

R

ρ

<

gdy U

C

i U

L

warto

ś

ci ekstremalne nie wyst

ę

puj

ą

.

U

Rezonans pr

ą

dów ( równoległy )

E

I

R

L

C

1

1

R

L

C

Y

Y

Y

Y

j

j C

R

L

ω

ω

=

+

+

= −

+

Rezonans równoległy ( pr

ą

dów ), mo

ż

e wyst

ą

pi

ć

w obwodzie zawieraj

ą

cym

poł

ą

czenie równoległe elementów RLC. Istnieje wiele struktur obwodów w których

mo

ż

e powsta

ć

rezonans pr

ą

dów. Warunkiem jest równoległe poł

ą

czenie cewki i

kondensatora, przy czym zarówno cewka, jak i kondensator mog

ą

by

ć

poł

ą

czone

w układzie z innymi elementami rezystancyjnymi.

Najprostszy obwód rezonansu równoległego RLC

(

)

1

1

,

1

1

(

)

R

R

L

L

C

C

R

L

C

I

EY

E

R

I

EY

a

I

EY

E

j

L

I

EY

E j C

I

I

I

I

E

j

C

R

L

ω

ω

ω

ω

=

=





=

=

=

−









=

=





=

+

+

=

+

−









Rezonans pr

ą

dów ( równoległy )

(

)

0

1

1

L

C

C

L

C

L

C

L

r

I

I

j B

B

E

B

B

B

B

C

L

LC

ω

ω

ω

+

=

−

= →

=

=

→

=

→

=

E

I

R

I

C

I

L

I

(

)

(

)

R

L

C

C

L

I

I

I

I

G

j B

B

E

G E

=

+

+

=

+

−

=

Rezonans pr

ą

dów gdy:

Do rezonansu mo

ż

e doj

ść

przez regulacj

ę

ω

lub L lub C.

charakter obwodu – rezystancyjny

( )

,

0

E I

ϕ

=

=

∢

mo

ż

liwo

ść

wyst

ą

pienia przet

ęż

enia

Rezonans pr

ą

dów ( równoległy )

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

1

2

3

4

5

Y

ω

ind

.

poj

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

1

2

3

4

5

ω

I

w dostrojeniu ( rezonansie ) admitancja jest najmniejsza .

Rezonans pr

ą

dów ( równoległy )

L

R

L

C

R

C

U

I

(

) (

)

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

1

1

L

L

C

C

R

L

Z

R

j L

Y

j

Z

Z

R

C

Z

R

j

Y

j

C

Z

Z

I

G

G

j B

B

U

ω

ω

ω

ω

=

+

→

=

−

=

−

→

=

+

=

+

+

−









Zarówno cewka, jak i kondensator mog

ą

by

ć

poł

ą

czone w układzie z innymi

elementami rezystancyjnymi.

warunek rezonansu

φ

= 0

→

Im {Y} = 0

→

B

2

-B

1

=0

→

B

2

=B

1

czyli

2

2

2

2

1

2

1

1

L

r

C

L

R

L

C

C

L

Z

Z

LC

R

C

ω

ω

ω

−

=

→

=

−

Rezonans pr

ą

dów ( równoległy )

lub

L

C

L

C

L

L

R

i

R

C

C

L

L

R

i

R

C

C

<

<

>

>

warunek wyst

ą

pienia rezonansu

U

C

I

L

I

składowe bierne pr

ą

dów składowych poł

ą

czenia równoległego znosz

ą

si

ę

Rezonans pr

ą

dów ( równoległy )

Znaczenie rezonansu

Rezonans równoległy i szeregowy, maj

ą

głównie zastosowanie w układach filtrów

i generatorów, w których pełni

ą

rol

ę

układu wzmacniaj

ą

cego sygnał w okre

ś

lonym

zakresie cz

ę

stotliwo

ś

ci i tłumi

ą

cego w pozostałym.

- układy generatorów cz

ę

stotliwo

ś

ci

- w urz

ą

dzeniach nadawczych i odbiorczych ( filtry cz

ę

stotliwo

ś

ciowe rezonansowe )

- przy przesyle wielu sygnałów jedn

ą

lini

ą

transmisyjn

ą

- kompensacja mocy biernej
-przepi

ę

cia rezonansowe np. przy zał

ą

czaniu generatora na kabel nieobci

ąż

ony;

-szczególnie gdy cz

ę

stotliwo

ść

rezonansowa jest bliska cz

ę

stotliwo

ś

ci generatora.

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

L

X

C

X

-60

-40

-20

0

20

40

60

0

0,5

1

1,5

2

2,5

B

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe dwójników idealnych jednoelementowych

L i C pokazano na rysunku.

L

C

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

Impedancja ( admitancja ) dwójników bezstratnych dwuelementowych jest wielko

ś

ci

ą

urojon

ą

i jest funkcj

ą

pulsacji ( cz

ę

stotliwo

ś

ci ).

Impedancj

ę

dwójników wieloelementowych mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci ilorazu

wielomianów

( )

( )

( )

2

0

1

2

2

0

1

2

n

n

m

m

A

a

a

a

a

Z

j

j

B

b

b

b

b

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

+ ⋅⋅⋅⋅⋅+

=

=

+

+

+ ⋅⋅⋅⋅⋅ +

Funkacja ta przybiera warto

ś

ci równe zera dla pulsacji b

ę

d

ą

cych pierwiastkami

równania A(

ω

)=0 . Pulsacje, które na charakterystyce cz

ę

stotliwo

ś

ciowej wyznaczaj

ą

zera funkcji, s

ą

pulsacjami rezonansowymi typu Im { Z } = 0

( rezonans szeregowy, napi

ę

ciowy ), odpowiadaj

ą

stanom zwarcia ( U=0 ) i nazywamy

je zerami funkcji. Oznacza si

ę

je zwykle indeksami parzystymi.

Dla pulsacji b

ę

d

ą

cych pierwiastkami równania B(

ω

)=0 funkcja asymptotycznie d

ąż

y do

niesko

ń

czono

ś

ci. Punkty odpowiadaj

ą

ce na charakterystyce tym pulsacjom nazywamy

biegunami. S

ą

one pulsacjami rezonansowymi typu Im{Y}=0 ( tzn. Im{Z}

→∞

), czyli

odpowiadaj

ą

stanom rozwarcia ( przerwy ). Oznacza si

ę

je indeksami nieparzystymi..

Charakterystyki cz

ę

stotliwo

ś

ciowe

Przykład

1

C

2

C

1

L

2

L

C

1

=2

µ

F; L

1

=1mH; C

2

=1

µ

F; L

2

= 2mH

Doprowadzi

ć

impedancj

ę

dwójnika w funkcji pulsacji do postaci ułamka wielomianów

i policzy

ć

zera i bieguny funkcji.

Narysowa

ć

wykres Z(

ω

).

Kompensacja mocy biernej

L

R

L

C

U

I

U

L

I

ϕ

ϕ

P

S

Q

przed zał

ą

czeniem kondensatora

Kompensacja mocy biernej

U

L

I

ϕ

I

C

I

'

ϕ

ϕ

P

S

L

Q

'

ϕ

'

S

'

Q

C

Q

2

2

2

2

'

'

(

)

L

C

S

P

Q

P

Q

Q

=

+

=

+

−

po zał

ą

czeniu kondensatora

po kompensacji

W wyniku kompensacji maleje moc pozorna
a wi

ę

c i wypadkowy pr

ą

d I. Zmniejszaj

ą

si

ę

straty mocy na linii

∆

P

L

=R

L

I

2

.

Przed kompensacj

ą

Q = Q

L

= P tg

φ

Po kompensacji

Q’ = P tg

φ

’ =Q

L

-Q

C

=P tg

φ

– Q

C

Moc bierna kondensatora ( kompensatora )

2

2

(

')

(

')

C

Q

CU

P tg

tg

P

C

tg

tg

U

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

=

=

−

=

−