OBWODY ELEKTRYCZNE

i

Teoria Obwodów 1

Kurs powtórkowy

Kurs powtórkowy

Sierpie

ń

2011

Sierpie

ń

2011

w5

w5

Metoda potencjałów w

ę

złowych

[ ] [ ] [ ]

T

A

V

U

=

Zwi

ą

zek mi

ę

dzy potencjałami w w

ę

złach i napi

ę

ciami na gał

ę

ziach mo

ż

na

zapisa

ć

w postaci:

[ ]

1

1

0

w

j

w

V

V

V

V

V

−









⋅









=

=





⋅













Macierz kolumnowa potencjałów nie uwzgl

ę

dnia w

ę

zła zale

ż

nego ( w-tego )

co jest równoznaczne z przyj

ę

ciem,

ż

e jego potencjał wynosi zero.

Dla gał

ę

zi obowi

ą

zuje zwi

ą

zek

k

V

l

V

U

E

Z

I

Y

,

I Z

Metoda potencjałów w

ę

złowych

(

)

k

l

k

l

V

V

Z I

E

I

Y V

V

E

−

=

−

⇒

=

−

+

(

)

I

Y U

E

=

+

[ ] [ ] [ ] [ ]

(

)

[ ]

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

j

nxn

nxn

n

Y

I

Y

U

E

gdzie

Y

Y

Y









⋅









=

+

=





⋅













czyli

a w zapisie macierzowym dla dowolnego obwodu o n gał

ę

ziach

lub

[ ] [ ][ ] [ ][ ]

I

Y U

Y

E

=

+

Metoda potencjałów w

ę

złowych

[ ][ ]

1

1

j

j

n

n

Y E

Y

E

Y E

Y E









⋅









=





⋅













l

V

k

V

Y

Y E

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

0

T

A I

oraz

U

A

V

=

=

[ Y ] - macierz admitancji gał

ę

ziowych

- macierz pr

ą

dów

ź

ródłowych gał

ę

zi

uwzgl

ę

dniaj

ą

c

ż

e,

uzyskamy

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

0

T

T

A I

A Y

A

V

A Y

E

A Y

A

V

A Y

E

=

=

+

= −

minus gdy

ż

przyj

ę

li

ś

my w gał

ę

zi j-tej E

j

strzałkowane zgodnie z pr

ą

dem I

j

Metoda potencjałów w

ę

złowych

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]

[ ][ ][ ]

T

w

w

w

w

Y

A Y

A

Y

V

I

gdzie

I

A Y

E

=

=

= −

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ]

1

1

T

w

w

V

Y

I

A Y

A

A Y

E

−

−













=

=

−













Równanie to mo

ż

emy zapisa

ć

[ Y ]

w

- macierz admitancyjna w

ę

złowa

[ I ]

w

- macierz pr

ą

dów

ź

ródłowych w

ę

złowych

st

ą

d rozwi

ą

zanie równania

oraz

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

T

I

Y

U

E

Y

A

V

Y

E





=

+

=

+





Metoda potencjałów w

ę

złowych

[ ] [ ]

kl

w

Y

Y

=

kk

kj

k ty

wezel

Y

Y

−

=

∑

k l

kl

lk

klj

wezel

k ty

wezel

l ty

Y

Y

Y

≠

−

−

=

=

−

∑

kj

kj

wezel

k ty

E Y

−

∑

-suma admitancji wszystkich gał

ę

zi zbiegaj

ą

cych si

ę

w w

ęź

le k-tym

- admitancja gał

ę

zi wzajemnych w

ę

zła k-tego z l-tym ,

macierz symetryczna

- pr

ą

d

ź

ródłowy w

ę

złowy wezła k-tego , suma algebraiczna

iloczynów admitancji i sił elektromotorycznych gał

ę

zi

zbiegaj

ą

cych si

ę

w w

ęź

le k-tym, + gdy SEM skierowane

w stron

ę

wezła k-tego – gdy SEM od w

ę

zła

Rozwi

ą

zaniem s

ą

potencjały V

1

, V

2

,...V

w-1

Po rozwi

ą

zaniu oblicza si

ę

kolejno pr

ą

dy w gał

ę

ziach

(

) (

)

k

l

I

Y U

E

Y V

V

E

=

+

=

−

+

Metoda potencjałów w

ę

złowych

Przykład:

1

I

2

I

3

I

4

I

5

I

6

I

1

Z

2

Z

3

Z

4

Z

5

Z

6

Z

1

E

3

E

4

E

5

E

6

E

1

2

3

4

Metoda przekształcania

⇓

⇓

⇓

k

k

Z

k

Y E

E

Y

=

∑

∑

Z

k

Y

Y

=

∑

Z

k

Y

Y

=

∑

Z

k

k

I

Y E

=

∑

1

Y

2

Y

3

Y

1

1

E Y

2

2

E Y

3

3

E Y

1

Y

3

Y

2

Y

1

E

2

E

3

E

⇕

Z

Z

1

Z

2

Z

3

Z

1

2

3

Z

Z

Z

Z

Z

= + +

1

Z

2

Z

3

Z

Z

Z

1

Y

2

Y

3

Y

Z

Y

Wykorzystanie układu równowa

ż

nego

1

2

3

12

Z

23

Z

31

Z

1'

2'

3'

1

Z

2

Z

3

Z

≡

Zasada superpozycji

Odpowied

ź

obwodu elektrycznego

SLS jest równa sumie odpowiedzi
obwodu na ka

ż

de wymuszenie

znajduj

ą

ce si

ę

w obwodzie z

osobna.
( zakładamy,

ż

e w obwodzie

wyst

ę

puje tylko jedna

harmoniczna ).

SLS

k

E

l

I

SLS

k

E

SLS

l

I

+

Twierdzenie o wł

ą

czaniu

dodatkowych idealnych

ź

ródeł

W obwodzie rozgał

ęź

nym rozpływ pr

ą

dów

nie ulegnie zmianie, je

ż

eli do wszystkich

gał

ę

zi nale

żą

cych do tego samego k-tego

w

ę

zła wł

ą

czy si

ę

idealne

ź

ródło o tej

samej warto

ś

ci , argumencie, pulsacji i

zwrocie w stosunku do rozpatrywanego
w

ę

zła.

Twierdzenie to pozwala przesun

ąć

SEM z

jednej gał

ę

zi do wszystkich pozostałych

gał

ę

zi nale

żą

cych do tego samego k-tego

w

ę

zła.

Przykład:

⇓

k

k

k

E

E

E

E

E

E

E

Twierdzenie o

wł

ą

czaniu

dodatkowych

idealnych

ź

ródeł

W obwodzie rozgał

ęź

nym rozkład napi

ęć

w

wybranym oczku nie ulegnie zmianie, je

ż

eli

do ka

ż

dej gał

ę

zi wybranego oczka wł

ą

czy

ć

równolegle idealne

ź

ródło pr

ą

dowe o tej

samej warto

ś

ci , argumencie i zwrocie w

stosunku do przyj

ę

tego obiegu oczka.

Twierdzenie to pozwala na usuni

ę

cie

ź

ródła

pr

ą

dowego z wybranej gał

ę

zi obwodu.

Przykład:

I

I

I

I

I

I

I

I R

(

)

L

I

j X

⇓

⇓

⇓

Zamiana aktywnej gwiazdy na aktywny

trójk

ą

t lub operacja odwrotna

1

2

3

1

E

1

Z

2

Z

2

E

3

E

3

Z

1

12

E

12

E

31

Z

31

E

23

Z

23

E

2

3

≡

12

1

2

23

2

3

31

3

1

E

E

E

E

E

E

E

E

E

=

−

=

−

=

−

12

31

12

31

1

12

23

31

12

31

12

23

23

12

2

12

23

31

23

12

23

31

31

23

3

12

23

31

31

23

Z Z

E

E

E

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

E

E

E

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

E

E

E

Z

Z

Z

Z

Z







=

−







+

+









 



=

−



 



+

+



 









=

−







+

+







Twierdzenie Thevenina

A

B

Z

I

Do dwójnika aktywnego doł

ą

czono impedancj

ę

Z. Jak policzy

ć

pr

ą

d I ?

Léon Charles Thévenin (30 Marzec 1857 - 21 wrzesie

ń

1926)

był francuskim in

ż

ynierem ( telegrafu ).

Twierdzenie Thevenina

A

B

Z

0

U

Nic si

ę

nie zmieni je

ż

eli wł

ą

czy

ć

dwie SEM przeciwnie skierowane

( o tych samych warto

ś

ciach i argumentach ).

A

B

Z

0

E U

=

0

E U

=

Twierdzenie Thevenina

A

B

Z

0

E U

=

'

0

I

=

A

B

Z

0

E U

=

"

0

Z

U

I

Z Z

=

+

+

0

0

zw

z

z

zw

U

U

I

Z

Z

I

=

→

=

korzystaj

ą

c z zasady superpozycji

Dwójnik pasywny zast

ę

puje si

ę

impedancj

ą

Zw

Zwieraj

ą

c dwójnik

napi

ę

cie na zaciskach AB

0

0

w

w

U

U

Z I

Z

I

U

I

U

U

Z I

U

Z

I

=

→

=

=

→

=

−

+

Twierdzenie Thevenina

a wi

ę

c

0

U

w

Z

I

U

Z

dwójnik aktywny mo

ż

na przedstawi

ć

jako

ź

ródło napi

ę

cia

U

0

- napi

ę

cie na zaciskach AB dwójnika aktywnego w stanie jałowym obci

ąż

enia

Z

w

- impedancja dwójnika aktywnego w stanie zwarcia zacisków AB

Twierdzenie Nortona

w

Z

I

U

Z

0

zr

w

U

I

Z

=

w

Y

Y

Ź

ródło napi

ę

cia mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci

ź

ródła pr

ą

du

Lawry Edward Norton (1898 - 1983)
był in

ż

ynierem i naukowcem Bell

Labs,

w

zr

zr

zr

w

w

w

w

Z

I

I

U

I Z

I

Z

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Z Z

=

=

=

=

+

+

+

Dwójnik aktywny mo

ż

na przedstawi

ć

w postaci

ź

ródła pr

ą

dowego.

Metoda przekształcania

⇓

⇓

⇓

k

k

Z

k

Y E

E

Y

=

∑

∑

Z

k

Y

Y

=

∑

Z

k

Y

Y

=

∑

Z

k

k

I

Y E

=

∑

1

Y

2

Y

3

Y

1

1

E Y

2

2

E Y

3

3

E Y

1

Y

3

Y

2

Y

1

E

2

E

3

E

⇕

Z

Z

1

Z

2

Z

3

Z

1

2

3

Z

Z

Z

Z

Z

= + +

1

Z

2

Z

3

Z

Z

Z

1

Y

2

Y

3

Y

Z

Y

Wykorzystanie układów równowa

ż

nych

1

2

3

12

Z

23

Z

31

Z

1'

2'

3'

1

Z

2

Z

3

Z

≡

Zasada superpozycji

Odpowied

ź

obwodu elektrycznego SLS

jest równa sumie odpowiedzi obwodu na
ka

ż

de wymuszenie znajduj

ą

ce si

ę

w

obwodzie z osobna.
( zakładamy,

ż

e w obwodzie wyst

ę

puje

tylko jedna harmoniczna ).

SLS

k

E

l

I

SLS

k

E

SLS

l

I

+

Twierdzenie o wł

ą

czaniu

dodatkowych idealnych

ź

ródeł

W obwodzie rozgał

ęź

nym rozpływ pr

ą

dów

nie ulegnie zmianie, je

ż

eli do wszystkich

gał

ę

zi nale

żą

cych do tego samego k-tego

w

ę

zła wł

ą

czy si

ę

idealne

ź

ródło o tej

samej warto

ś

ci , argumencie, pulsacji i

zwrocie w stosunku do rozpatrywanego
w

ę

zła.

Twierdzenie to pozwala przesun

ąć

SEM z

jednej gał

ę

zi do wszystkich pozostałych

gał

ę

zi nale

żą

cych do tego samego k-tego

w

ę

zła.

Przykład:

⇓

k

k

k

E

E

E

E

E

E

E

Twierdzenie o

wł

ą

czaniu

dodatkowych

idealnych

ź

ródeł

W obwodzie rozgał

ęź

nym rozkład napi

ęć

w

wybranym oczku nie ulegnie zmianie, je

ż

eli

do ka

ż

dej gał

ę

zi wybranego oczka wł

ą

czy

ć

równolegle idealne

ź

ródło pr

ą

dowe o tej

samej warto

ś

ci , argumencie i zwrocie w

stosunku do przyj

ę

tego obiegu oczka.

Twierdzenie to pozwala na usuni

ę

cie

ź

ródła

pr

ą

dowego z wybranej gał

ę

zi obwodu.

Przykład:

I

I

I

I

I

I

I

I R

(

)

L

I

j X

⇓

⇓

⇓

Zamiana aktywnej gwiazdy na aktywny

trójk

ą

t lub operacja odwrotna

1

2

3

1

E

1

Z

2

Z

2

E

3

E

3

Z

1

12

E

12

E

31

Z

31

E

23

Z

23

E

2

3

≡

12

1

2

23

2

3

31

3

1

E

E

E

E

E

E

E

E

E

=

−

=

−

=

−

12

31

12

31

1

12

23

31

12

31

12

23

23

12

2

12

23

31

23

12

23

31

31

23

3

12

23

31

31

23

Z Z

E

E

E

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

E

E

E

Z

Z

Z

Z

Z

Z Z

E

E

E

Z

Z

Z

Z

Z







=

−







+

+









 



=

−



 



+

+



 









=

−







+

+





