OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w5
w5
OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w5
w5
Metoda potencjałów w
ę
złowych
[ ] [ ] [ ]
T
A
V
U
=
Zwi
ą
zek mi
ę
dzy potencjałami w w
ę
złach i napi
ę
ciami na gał
ę
ziach mo
Ŝ
na
zapisa
ć
w postaci:
[ ]
1
1
0
w
j
w
V
V
V
V
V
−
⋅
=
=
⋅
Macierz kolumnowa potencjałów nie uwzgl
ę
dnia w
ę
zła zale
Ŝ
nego ( w-tego )
co jest równoznaczne z przyj
ę
ciem,
Ŝ
e jego potencjał wynosi zero.
Dla gał
ę
zi obowi
ą
zuje zwi
ą
zek
k
V
l
V
U
E
Z
I
Y
,
I Z
Metoda potencjałów w
ę
złowych
(
)
k
l
k
l
V
V
Z I
E
I
Y V
V
E
−
=
−
⇒
=
−
+
(
)
I
Y U
E
=
+
[ ] [ ] [ ] [ ]
(
)
[ ]
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
j
nxn
nxn
n
Y
I
Y
U
E
gdzie
Y
Y
Y
⋅
=
+
=
⋅
czyli
a w zapisie macierzowym dla dowolnego obwodu o n gał
ę
ziach
lub
[ ] [ ][ ] [ ][ ]
I
Y U
Y
E
=
+
Metoda potencjałów w
ę
złowych
[ ][ ]
1
1
j
j
n
n
Y E
Y
E
Y E
Y E
⋅
=
⋅
l
V
k
V
Y
Y E
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
0
T
A I
oraz
U
A
V
=
=
[ Y ] - macierz admitancji gał
ę
ziowych
- macierz pr
ą
dów
ź
ródłowych gał
ę
zi
uwzgl
ę
dniaj
ą
c
Ŝ
e,
uzyskamy
[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]
[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]
0
T
T
A I
A Y
A
V
A Y
E
A Y
A
V
A Y
E
=
=
+
= −
minus gdy
Ŝ
przyj
ę
li
ś
my w gał
ę
zi j-tej E
j
strzałkowane zgodnie z pr
ą
dem I
j
Metoda potencjałów w
ę
złowych
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ][ ]
[ ]
[ ][ ][ ]
T
w
w
w
w
Y
A Y
A
Y
V
I
gdzie
I
A Y
E
=
=
= −
[ ] [ ] [ ]
[ ][ ][ ]
[ ][ ][ ]
1
1
T
w
w
V
Y
I
A Y
A
A Y
E
−
−
=
=
−
Równanie to mo
Ŝ
emy zapisa
ć
[ Y ]
w
- macierz admitancyjna w
ę
złowa
[ I ]
w
- macierz pr
ą
dów
ź
ródłowych w
ę
złowych
st
ą
d rozwi
ą
zanie równania
oraz
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]
T
I
Y
U
E
Y
A
V
Y
E
=
+
=
+
Metoda potencjałów w
ę
złowych
[ ] [ ]
kl
w
Y
Y
=
kk
kj
k ty
wezel
Y
Y
−
=
∑
k l
kl
lk
klj
wezel
k ty
wezel
l ty
Y
Y
Y
≠
−
−
=
=
−
∑
kj
kj
wezel
k ty
E Y
−
∑
-suma admitancji wszystkich gał
ę
zi zbiegaj
ą
cych si
ę
w w
ęź
le k-tym
- admitancja gał
ę
zi wzajemnych w
ę
zła k-tego z l-tym ,
macierz symetryczna
- pr
ą
d
ź
ródłowy w
ę
złowy wezła k-tego , suma algebraiczna
iloczynów admitancji i sił elektromotorycznych gał
ę
zi
zbiegaj
ą
cych si
ę
w w
ęź
le k-tym, + gdy SEM skierowane
w stron
ę
wezła k-tego – gdy SEM od w
ę
zła
Rozwi
ą
zaniem s
ą
potencjały V
1
, V
2
,...V
w-1
Po rozwi
ą
zaniu oblicza si
ę
kolejno pr
ą
dy w gał
ę
ziach
(
) (
)
k
l
I
Y U
E
Y V
V
E
=
+
=
−
+
Metoda potencjałów w
ę
złowych
Przykład:
1
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
I
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
Z
1
E
3
E
4
E
5
E
6
E
1
2
3
4
Metoda przekształcania
⇓
⇓
⇓
k
k
Z
k
Y E
E
Y
=
∑
∑
Z
k
Y
Y
=
∑
Z
k
Y
Y
=
∑
Z
k
k
I
Y E
=
∑
1
Y
2
Y
3
Y
1
1
E Y
2
2
E Y
3
3
E Y
1
Y
3
Y
2
Y
1
E
2
E
3
E
⇕
Z
Z
1
Z
2
Z
3
Z
1
2
3
Z
Z
Z
Z
Z
= + +
1
Z
2
Z
3
Z
Z
Z
1
Y
2
Y
3
Y
Z
Y
Wykorzystanie układu równowa
Ŝ
nego
1
2
3
12
Z
23
Z
31
Z
1'
2'
3'
1
Z
2
Z
3
Z
≡
Zasada superpozycji
Odpowied
ź
obwodu elektrycznego
SLS jest równa sumie odpowiedzi
obwodu na ka
Ŝ
de wymuszenie
znajduj
ą
ce si
ę
w obwodzie z
osobna.
( zakładamy,
Ŝ
e w obwodzie
wyst
ę
puje tylko jedna
harmoniczna ).
SLS
k
E
l
I
SLS
k
E
SLS
l
I
+
Twierdzenie o wł
ą
czaniu
dodatkowych idealnych
ź
ródeł
W obwodzie rozgał
ęź
nym rozpływ pr
ą
dów
nie ulegnie zmianie, je
Ŝ
eli do wszystkich
gał
ę
zi nale
Ŝą
cych do tego samego k-tego
w
ę
zła wł
ą
czy si
ę
idealne
ź
ródło o tej
samej warto
ś
ci , argumencie, pulsacji i
zwrocie w stosunku do rozpatrywanego
w
ę
zła.
Twierdzenie to pozwala przesun
ąć
SEM z
jednej gał
ę
zi do wszystkich pozostałych
gał
ę
zi nale
Ŝą
cych do tego samego k-tego
w
ę
zła.
Przykład:
⇓
k
k
k
E
E
E
E
E
E
E
Twierdzenie o
wł
ą
czaniu
dodatkowych
idealnych
ź
ródeł
W obwodzie rozgał
ęź
nym rozkład napi
ęć
w
wybranym oczku nie ulegnie zmianie, je
Ŝ
eli
do ka
Ŝ
dej gał
ę
zi wybranego oczka wł
ą
czy
ć
równolegle idealne
ź
ródło pr
ą
dowe o tej
samej warto
ś
ci , argumencie i zwrocie w
stosunku do przyj
ę
tego obiegu oczka.
Twierdzenie to pozwala na usuni
ę
cie
ź
ródła
pr
ą
dowego z wybranej gał
ę
zi obwodu.
Przykład:
I
I
I
I
I
I
I
I R
(
)
L
I
j X
⇓
⇓
⇓
Zamiana aktywnej gwiazdy na aktywny
trójk
ą
t lub operacja odwrotna
1
2
3
1
E
1
Z
2
Z
2
E
3
E
3
Z
1
12
E
12
E
31
Z
31
E
23
Z
23
E
2
3
≡
12
1
2
23
2
3
31
3
1
E
E
E
E
E
E
E
E
E
=
−
=
−
=
−
12
31
12
31
1
12
23
31
12
31
12
23
23
12
2
12
23
31
23
12
23
31
31
23
3
12
23
31
31
23
Z Z
E
E
E
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
E
E
E
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
E
E
E
Z
Z
Z
Z
Z
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
Twierdzenie Thevenina
A
B
Z
I
Do dwójnika aktywnego doł
ą
czono impedancj
ę
Z. Jak policzy
ć
pr
ą
d I ?
Léon Charles Thévenin (30 Marzec 1857 - 21 wrzesie
ń
1926)
był francuskim in
Ŝ
ynierem ( telegrafu ).
Twierdzenie Thevenina
A
B
Z
0
U
Nic si
ę
nie zmieni je
Ŝ
eli wł
ą
czy
ć
dwie SEM przeciwnie skierowane
( o tych samych warto
ś
ciach i argumentach ).
A
B
Z
0
E U
=
0
E U
=
Twierdzenie Thevenina
A
B
Z
0
E U
=
'
0
I
=
A
B
Z
0
E U
=
"
0
Z
U
I
Z Z
=
+
+
0
0
zw
z
z
zw
U
U
I
Z
Z
I
=
→
=
korzystaj
ą
c z zasady superpozycji
Dwójnik pasywny zast
ę
puje si
ę
impedancj
ą
Zw
Zwieraj
ą
c dwójnik
napi
ę
cie na zaciskach AB
0
0
w
w
U
U
Z I
Z
I
U
I
U
U
Z I
U
Z
I
=
→
=
=
→
=
−
+
Twierdzenie Thevenina
a wi
ę
c
0
U
w
Z
I
U
Z
dwójnik aktywny mo
Ŝ
na przedstawi
ć
jako
ź
ródło napi
ę
cia
U
0
- napi
ę
cie na zaciskach AB dwójnika aktywnego w stanie jałowym obci
ąŜ
enia
Z
w
- impedancja dwójnika aktywnego w stanie zwarcia zacisków AB
Twierdzenie Nortona
w
Z
I
U
Z
0
zr
w
U
I
Z
=
w
Y
Y
Ź
ródło napi
ę
cia mo
Ŝ
na przedstawi
ć
w postaci
ź
ródła pr
ą
du
Lawry Edward Norton (1898 - 1983)
był in
Ŝ
ynierem i naukowcem Bell
Labs,
w
zr
zr
zr
w
w
w
w
Z
I
I
U
I Z
I
Z
Z
Z
Z
Z
Y
Y
Z Z
=
=
=
=
+
+
+
Dwójnik aktywny mo
Ŝ
na przedstawi
ć
w postaci
ź
ródła pr
ą
dowego.
Metoda przekształcania
⇓
⇓
⇓
k
k
Z
k
Y E
E
Y
=
∑
∑
Z
k
Y
Y
=
∑
Z
k
Y
Y
=
∑
Z
k
k
I
Y E
=
∑
1
Y
2
Y
3
Y
1
1
E Y
2
2
E Y
3
3
E Y
1
Y
3
Y
2
Y
1
E
2
E
3
E
⇕
Z
Z
1
Z
2
Z
3
Z
1
2
3
Z
Z
Z
Z
Z
= + +
1
Z
2
Z
3
Z
Z
Z
1
Y
2
Y
3
Y
Z
Y
Wykorzystanie układów równowa
Ŝ
nych
1
2
3
12
Z
23
Z
31
Z
1'
2'
3'
1
Z
2
Z
3
Z
≡
Zasada superpozycji
Odpowied
ź
obwodu elektrycznego SLS
jest równa sumie odpowiedzi obwodu na
ka
Ŝ
de wymuszenie znajduj
ą
ce si
ę
w
obwodzie z osobna.
( zakładamy,
Ŝ
e w obwodzie wyst
ę
puje
tylko jedna harmoniczna ).
SLS
k
E
l
I
SLS
k
E
SLS
l
I
+
Twierdzenie o wł
ą
czaniu
dodatkowych idealnych
ź
ródeł
W obwodzie rozgał
ęź
nym rozpływ pr
ą
dów
nie ulegnie zmianie, je
Ŝ
eli do wszystkich
gał
ę
zi nale
Ŝą
cych do tego samego k-tego
w
ę
zła wł
ą
czy si
ę
idealne
ź
ródło o tej
samej warto
ś
ci , argumencie, pulsacji i
zwrocie w stosunku do rozpatrywanego
w
ę
zła.
Twierdzenie to pozwala przesun
ąć
SEM z
jednej gał
ę
zi do wszystkich pozostałych
gał
ę
zi nale
Ŝą
cych do tego samego k-tego
w
ę
zła.
Przykład:
⇓
k
k
k
E
E
E
E
E
E
E
Twierdzenie o
wł
ą
czaniu
dodatkowych
idealnych
ź
ródeł
W obwodzie rozgał
ęź
nym rozkład napi
ęć
w
wybranym oczku nie ulegnie zmianie, je
Ŝ
eli
do ka
Ŝ
dej gał
ę
zi wybranego oczka wł
ą
czy
ć
równolegle idealne
ź
ródło pr
ą
dowe o tej
samej warto
ś
ci , argumencie i zwrocie w
stosunku do przyj
ę
tego obiegu oczka.
Twierdzenie to pozwala na usuni
ę
cie
ź
ródła
pr
ą
dowego z wybranej gał
ę
zi obwodu.
Przykład:
I
I
I
I
I
I
I
I R
(
)
L
I
j X
⇓
⇓
⇓
Zamiana aktywnej gwiazdy na aktywny
trójk
ą
t lub operacja odwrotna
1
2
3
1
E
1
Z
2
Z
2
E
3
E
3
Z
1
12
E
12
E
31
Z
31
E
23
Z
23
E
2
3
≡
12
1
2
23
2
3
31
3
1
E
E
E
E
E
E
E
E
E
=
−
=
−
=
−
12
31
12
31
1
12
23
31
12
31
12
23
23
12
2
12
23
31
23
12
23
31
31
23
3
12
23
31
31
23
Z Z
E
E
E
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
E
E
E
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
E
E
E
Z
Z
Z
Z
Z
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+