OBWODY ELEKTRYCZNE

i

Teoria Obwodów 1

Sierpie

ń

2011

Sierpie

ń

2011

w7

w7

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Dwa elementy (obwody ) elektryczne usytuowane wzgl

ę

dem siebie tak,

ż

e pole

magnetyczne jednego z nich przenika przez drugi ( nawet gdy przenikanie jest

cz

ęś

ciowe ), nazywamy elementami

sprz

ęż

onymi magnetycznie

.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

u

1

u

2

i

2

i

1

Φ

1

Φ

2

u

1

u

2

i

2

i

1

Φ

1

Φ

2

u

1

L

1

R

1

i

1

u

2

L

2

R

2

i

2

M

u

1

L

1

R

1

i

1

u

2

L

2

R

2

i

2

M

1

2

1

1 1

1

2

1

2

2 2

2

di

di

u

R i

L

M

dt

dt

di

di

u

R i

L

M

dt

dt

=

+

±

=

+

±

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

w zapisie zespolonym ( przebieg czasowy pr

ą

du harmoniczny )

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

M

M

U

R

j L I

j M I

R

jX

I

jX I

U

R

j L I

j M I

R

jX

I

jX I

ω

ω

ω

ω

=

+

±

=

+

±

=

+

±

=

+

±

X

1

=

ω

L

1

, X

2

=

ω

L

2

– reaktancja własna elementu

X

M

=

ω

M – reaktancja indukcji wzajemnej

(jX

1

)I

1

, (jX

2

)I

2

– napi

ę

cie samoindukcji

(jX

M

)I

1

, (jX

M

)I

2

– napi

ę

cie indukcji wzajemnej

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Sprz

ęż

enie zgodne i przeciwne

Sprz

ęż

enie magnetyczne jest zgodne ( dodatnie ), gdy strumienie magnetyczne

poszczególnych cewek dodaj

ą

si

ę

( a w sensie obwodowym gdy składowe napi

ę

cia

samoindukcji i indukcyjno

ś

ci wzajemnej sumuj

ą

si

ę

).

Sprz

ęż

enie magnetyczne jest przeciwne ( ujemne ) , gdy strumienie magnetyczne

poszczególnych cewek odejmuj

ą

si

ę

( a w sensie obwodowym gdy składowe napi

ę

cia

samoindukcji i indukcyjno

ś

ci wzajemnej odejmuj

ą

si

ę

).

W rozwi

ą

zaniach praktycznych i rozwa

ż

aniach teoretycznych w celu prostego

okre

ś

lenia rodzaju sprz

ęż

enia (±) mi

ę

dzy cewkami stosuje si

ę

oznaczenie zacisków

tworz

ą

cych par

ę

tzw. zacisków jednakoimiennych i oznaczamy (*, º, •,

∆

,

↑

lub w

inny sposób ).
Je

ż

eli pr

ą

dy dopływaj

ą

lub wypływaj

ą

jednocze

ś

nie do zacisków jednakoimiennych

to wówczas mamy do czynienia ze sprz

ęż

eniem zgodnym.

W przeciwnym przypadku mamy do czynienia ze sprz

ęż

eniem przeciwnym.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Wyznaczanie zacisków jednakoimiennych

1

L

+

−

2

L

+

−

M

E

miernik magnetoelektryczny

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Poł

ą

czenie szeregowe cewek magnetycznie sprz

ęż

onych

zgodne

przeciwne

1

R

2

R

2

L

1

L

M

∗

∗

I

1

R

2

R

2

L

1

L

M

∗

∗

I

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Sprzężenie zgodne

1

1

j

j

U

R I

L I

M I

ω

ω

=

+

+

+

2

2

j

j

R I

L I

M I

ω

ω

+

+

1

U





2

U





Po uporządkowaniu

(

)

1

2

1

2

j

2

U

R

R

L

L

M

I

ω

=

+

+

+ +









Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

lub

U

Z

I

=

=

(

)

1

2

1

2

j

2

R

R

L

L

M

ω

+

+

+ +

Impedancja – sprzężenie zgodne

j

Z

R

L

ω

= +

gdzie

2

1

R

R

R

+

=

M

L

L

L

2

2

1

+

+

=

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

W przypadku, gdy

sprzężenie dodatnie

to,

indukcyjność wypadkowa

(

)

2

1

L

L

L

+

>

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Sprzężenie zgodne

2

U

2

R I

U

1

U

1

R I

1

j L I

ω

2

j L I

ω

j M I

ω

j M I

ω

I

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Sprzężenie przeciwne

1

1

j

j

U

R I

L I

M I

ω

ω

=

+

−

+

2

2

j

j

R I

L I

M I

ω

ω

+

−

1

U





2

U





Po uporządkowaniu

(

)

1

2

1

2

j

2

U

R

R

L

L

M

I

ω

=

+

+

+ −









Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

lub

U

Z

I

=

=

(

)

1

2

1

2

j

2

R

R

L

L

M

ω

+

+

+ −

Impedancja– sprzężenie przeciwne

j

Z

R

L

ω

= +

gdzie

2

1

R

R

R

+

=

1

2

2

L

L

L

M

=

+

−

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

W przypadku, gdy

sprzężenie przeciwne

to, indukcyjność wypadkowa

1

2

M

L L

=

=

−

+

=

M

L

L

L

2

2

1

=

−

+

2

1

2

1

2

L

L

L

L

(

)

1

2

L

L

L

<

+

załóżmy, że k=1, czyli , przybiera wartość największą.

(

)

0

2

2

1

≥

−

=

L

L

wtedy

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Sprzężenie przeciwne

2

U

2

R I

U

1

U

1

R I

1

j L I

ω

2

j L I

ω

j M I

ω

j M I

ω

I

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Poł

ą

czenie równoległe

I

2

I

I

1

R

2

R

1

L

2

L

1

Połączenie równoległe dwóch rzeczywistych

cewek magnetycznie sprzężonych

M

U

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

poł

ą

czenie zgodne

I

2

I

I

1

R

2

R

1

L

2

L

1

M

U

∗

∗

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

1

2

2

2

1

M

M

U

Z I

Z I

U

Z I

Z I

=

+

=

+

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

M

M

M

M

Z

Z

I

U

Z Z

Z

Z

Z

I

U

Z Z

Z

−

=

−

−

=

−

1

2

1

2

2

1

2

2

M

M

Z

Z

Z

I

I

I

U

Z Z

Z

+

−

= +

=

−

gdzie
Z

1

=R

1

+jX

1

, Z

2

=R

2

+jX

2

a
Z

M

=jX

M

2

1

2

1

2

2

M

M

U

Z Z

Z

Z

I

Z

Z

Z

−

=

=

+

−

PPK

Impedancja wypadkowa

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

I

2

I

I

1

R

2

R

1

L

2

L

1

M

U

∗

∗

sprz

ęż

enie przeciwne

1

1

2

2

2

1

M

M

U

Z I

Z I

U

Z I

Z I

=

−

=

−

gdzie
Z

1

=R

1

+jX

1

, Z

2

=R

2

+jX

2

a
Z

M

= - jX

M

→

Z

Mzg

→

- Z

Mprz

│

Z

Mzg

│

=

│

Z

Mprz

│

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

M

M

M

M

Z

Z

I

U

Z Z

Z

Z

Z

I

U

Z Z

Z

+

=

−

+

=

−

1

2

1

2

2

1

2

2

M

M

Z

Z

Z

I

I

I

U

Z Z

Z

+

+

= +

=

−

2

1

2

1

2

2

M

M

U

Z Z

Z

Z

I

Z

Z

Z

−

=

=

+

+

PPK

Impedancja wypadkowa

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

I

2

I

I

1

X

2

X

M

X

∗

∗

Rozprz

ę

ganie gał

ę

zi o wspólnym w

ęź

le

Sprz

ęż

enie zgodne

1

I

2

I

I

1

M

X

X

−

2

M

X

X

−

M

X

równowa

ż

ny układowi

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

I

2

I

I

1

X

2

X

M

X

∗

∗

sprz

ęż

enie przeciwne

równowa

ż

ny układowi

1

I

2

I

I

1

M

X

X

+

2

M

X

X

+

M

X

−

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

inny przypadek, sprz

ęż

enie zgodne

1

I

2

I

I

1

X

2

X

M

X

∗

∗

układ równowa

ż

ny

?

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Równania obwodów ze sprz

ęż

eniami

1

R

2

R

3

R

1

L

2

L

3

L

13

M

12

M

23

M

∗

∗

•

•

□

□

1

I

1

E

2

E

3

I

2

I

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

3

1

2

1

1

3

1 1

1

12

13

3

1

2

3 3

3

13

23

3

2

1

2

2

3

2 2

2

12

23

3

1

2

3 3

3

13

23

1

2

3

di

di

di

e

u

u

R i

L

M

M

dt

dt

dt

di

di

di

R i

L

M

M

dt

dt

dt

di

di

di

e

u

u

R i

L

M

M

dt

dt

dt

di

di

di

R i

L

M

M

dt

dt

dt

i

i

i





= + =

+

−

+

+













+

+

+

+













− = − =

+

−

+

+













−

+

+

+









= +

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

12

2

13

3

1

3

3

3

13

1

23

2

2

2

2

12

1

23

3

2

3

3

3

13

1

23

2

1

2

3

M

M

M

M

M

M

M

M

E

U

U

Z I

Z

I

Z

I

Z I

Z

I

Z

I

E

U

U

Z I

Z

I

Z

I

Z I

Z

I

Z

I

I

I

I

=

+

=

−

+

+

+

+

+

−

=

−

=

−

+

+

−

+

+

=

+

w zapisie zespolonym

układ trzech równa

ń

o trzech niewiadomych.

Napi

ę

cie w gał

ę

zi jest kombinacj

ą

liniow

ą

pr

ą

dów w gał

ę

ziach pozostałych

(

)

1

1

12

2

13

3

1

M

M

U

Z I

Z

I

Z

I

=

−

+

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

1

2

2

k

k

kk

k

kn

n

k

k

U

Z I

Z

I

Z I

Z I

E

=

+

+ +

+ +

−

i

i

11

1

1

1

1

1

1

1

k

n

k

kk

kn

k

k

k

n

nk

nn

n

n

n

U

Z

Z

Z

I

E

U

Z

Z

Z

I

E

U

Z

Z

Z

I

E

⋅ ±

⋅ ±







 

 









 

 



⋅

⋅

⋅

⋅







 

 









 

 



=

−

±

⋅

±







 

 



⋅

⋅

⋅

⋅







 

 









 

 



±

⋅ ±

⋅



 

 







i

ogólnie mo

ż

na napisa

ć

:

przechodz

ą

c na zapis macierzowy

czyli

[ ] [ ][ ] [ ]

U

Z

I

E

=

−

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

[ ] [ ] [ ]

0

B

U

⋅

=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1

B

Z

I

B

E

NPK

n

w

rownan

⋅

⋅

=

⋅

⇒

→ − +

podstawiamy do

i otrzymujemy

oraz

[ ] [ ] [ ]

0

1

A

I

PPK

w

rownan

⋅

=

⇒

→ −

analogicznie jak w przypadku bez sprz

ęż

e

ń

z tym,

ż

e macierz kwadratowa [ Z ] nie

jest diagonalna, lecz zawiera wyrazy ró

ż

ne od zera poza przek

ą

tn

ą

.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

[ ] [ ] [ ]

T

o

I

B

I

=

[ ][ ]

[ ][ ][ ] [ ][ ]

0

B U

B Z

I

B E

=

⇒

=

[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]

T

o

B Z

B

I

B E

=

Równania pr

ą

dów oczkowych ( Maxwella )

Pami

ę

tamy,

ż

e

NPK

podstawiaj

ą

c otrzymamy

lub skróconym zapisie

[ ] [ ] [ ]

o

o

o

Z

I

E

=

pami

ę

tamy,

ż

e teraz macierz [ Z ] jest niediagonalna.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

[ ] [ ][ ] [ ]

U

Z

I

E

=

−

[ ] [ ] [ ] [ ]

(

)

1

I

Z

U

E

−

=

+

[ ] [ ] [ ]

T

U

A

V

=

Równania potencjałów w

ę

złowych

Z równania

oblicza si

ę

dalej

oraz

[ ] [ ] [ ]

0

A

I

⋅

=

st

ą

d

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1

1

1

1

0

T

T

A I

A Z

A

V

A Z

E

A Z

A

V

A Z

E

−

−

−

−

=

=

+

= −

normalnie w miejsce [ Z ]

→

[ Y ]

jest to równanie potencjałów w

ę

złowych.

W tej postaci najbardziej pracochłonne jest obliczanie [ Z

]-1.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

I

2

I

1

L

2

L

M

∗

∗

(

)

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1 2

1 2

I

I

I

I

I

I

j

j

M

j

j

M

S

j M I

I

j MI e

I e

MI I e

X I I e

ω

ω

ω

∗

Ψ

Ψ

Π

Π

+Ψ −Ψ

+Ψ −Ψ

=

=

=

=

=

Przekazywanie energii przez sprz

ęż

enie magnetyczne

Moc pobierana z układu ( pozorna ) przez pierwsz

ą

gał

ąź

(

ź

ródło )

moc czynna pobierana z układu

{ }

(

)

1

1

1 2

2

1

1 2

1

2

Re

cos(

)

2

sin

M

M

M

I

I

M

I

I

P

S

X I I

X I I

Π

=

=

+ Ψ − Ψ =

=

Ψ − Ψ

wniosek:
gdy 0<

Ψ

I1

-

Ψ

I2

<

Π

wtedy jest pobierana moc czynna z sieci przez pierwsz

ą

gał

ąź

( P

M1

>0 ) i oddaje do drugiej cewki.

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Energia z cewki 1

→

2 w wyniku sprz

ęż

enia

Z symetrii

(

)

2

1 2

2

1

1 2

1

2

1

sin(

)

sin

M

M

I

I

M

I

I

M

P

X I I

X I I

P

=

Ψ − Ψ =

= −

Ψ − Ψ

= −

Wniosek:
Energia ( moc ) jak

ą

pobiera z układu gał

ąź

pierwsza, w wyniku sprz

ęż

enia jest

oddawana do układu przez gał

ąź

drug

ą

.

Jest to energia przekazywana przez sprz

ęż

enie, przy czym ta gał

ąź

przekazuje,

której pr

ą

d wyprzedza w fazie przebieg drugiego pr

ą

du ( przy sprz

ęż

eniu dodatnim ).

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

R

2

R

3

L

4

R

2

L

3

R

0

g

I

=

1

I

3

I

1

3

2

4

;

U

U

U

U

=

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

3

1

1

3

3

3

1

3

4

2

2

1

3

1

3

3

1

3

2

2

4

R I

R

j L I

j M I

R I

R

j L

I

j M I

R

j M I

R

j L I

R

j L I

R

j M I

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

+

−

=

+

−

+

=

+

+

=

+

Przykład:

Wyznaczy

ć

warunek równowagi mostka ze sprz

ęż

eniem.

(

)(

) (

)(

)

1

4

3

3

2

2

R

j M

R

j M

R

j L

R

j L

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

(

)

(

)

2

2

2

3

2

3

1

4

1

4

2

3

2

3

L L

M

R R

R R

R

R

M

L R

R L

ω

−

=

−

+

=

−

po uporz

ą

dkowaniu i porównaniu cz

ęś

ci rzeczywistych i

urojonych otrzymamy warunek równowagi

po podzieleniu stronami

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Transformator - Transformator powietrzny

Transformatorem powietrznym nazywamy układ dwóch cewek magnetycznie
sprz

ęż

onych nawini

ę

tych na korpus wykonany z dielektryka o wzgl

ę

dnej

przenikalno

ś

ci magnetycznej

µ

r

=1, które nie s

ą

ze sob

ą

poł

ą

czone galwanicznie

Zadaniem transformatora jest przekazywanie energii z jednego obwodu do drugiego.

Transformator dwuuzwojeniowy – uzwojenie pierwotne i wtórne

Zaciski pierwotne – wej

ś

ciowe

Zaciski wtórne – wyj

ś

ciowe

Przekładnia

1

2

w

n

w

=

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

1

R

2

R

1

L

2

L

1

U

2

U

1

I

2

I

o

Z

M

∗ ∗

po rozprz

ę

gni

ę

ciu – schemat zast

ę

pczy

1

U

o

Z

2

U

2

L

M

−

2

R

1

R

1

L

M

−

M

1

I

2

I

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

(

)

(

)

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

2

we

we

o

U

R

j L I

j M I

U

U

U

R

j L I

j M I

I

Z

Z

I

U

Z I

ω

ω

ω

ω

=

+

−

−

=

+

−

→

=

→

=

=

ze schematu zast

ę

pczego

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

we

o

o

o

Z

R

j

L

M

j M R

j

L

M

Z

j M R

j

L

M

Z

R

j

L

M

R

j L

Z

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

= +

−

+

+

−

+

=

+

−

+









= +

−

+

+

+

w stanie jałowym Z

o

→∞

Z

1weo

=R

1

+j

ω

L

1

Obwody magnetycznie sprz

ęż

one

Wykres wskazowy

1

I

2

I

1

U

2

U

2

1

j M I

ω

−

2

o

R I

2

o

jX I

2

2

R I

2

2

j L I

ω