Mec hanika relatywis tyczn a 1

PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ

Przestrze½ i czas w mechanice klasycznej

W chwili t = 0 pocztki obu uk»adów wspó»rz“dnych pokrywa»y si“.

Pierwszy i ostatni zwizek s s»uszne tylko dla 

.

  

Zasada wzgl“dnoÑci Galileusza
Za pomoc doÑwiadcze½ mechanicznych nie moóna ustaliƒ, czy
dany uk»ad spoczywa, czy porusza si“ ruchem jednostajnym po
linii prostej. 

Inercjalny uk»ad odniesienia
Jest to uk»ad odniesienia, w którym wolny od oddzia»ywa½
zewn“trznych punkt materialny znajduje si“ w stanie spoczynku lub
porusza si“ ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Mec hanika relatywis tyczn a 2

Postulaty Einsteina

Zasada wzgl“dnoÑci Einsteina

Wszystkie prawa przyrody s takie same we wszystkich
inercjalnych uk»adach odniesienia.

lub

Równania wyraóajce prawa przyrody s niezmiennicze
wzgl“dem przekszta»ce½ wspó»rz“dnych i czasu,
wynikajcych z przejÑcia z jednego inercjalnego uk»adu
odniesienia  do drugiego.

Zasada sta»oÑci pr“dkoÑci swiat»a

Pr“dkoу  Ñwiat»a w próóni jest taka sama we wszystkich
inercjalnych uk»adach odniesienia i nie zaleóy od ruchu
ïróde» i odbiorników Ñwiat»a. 

Pr“dkoу Ñwiat»a jest pr“dkoÑci graniczn. òaden sygna», óadne
dzia»anie jednego cia»a na drugie nie moóe rozchodziƒ si“ z
pr“dkoÑci wi“ksz od pr“dkoÑci Ñwiat»a w próóni. Jest to
równieó prawo przyrody, a wi“c zgodnie z zasad wzgl“dnoÑci ta
pr“dkoу graniczna powinna byƒ taka sama we wszystkich
inercjalnych uk»adach odniesienia.

Mec hanika relatywis tyczn a 3

Dwa zdarzenia jednoczesne w jednym uk»adzie odniesienia mog nie byƒ
jednoczesne w innym uk»adzie odniesienia.

Zdarzenie       - punkt podany przez wspó»rz“dne x, y,  z i t (a dok»adniej

przez  x,  y,  z i ct) w czterowymiarowej przestrzeni
(czasoprzestrzeni).

Przyk»ad siatki s»uócej do okreÑlania miejsca i czasu zdarze½ w danym
uk»adzie inercjalnym.
Przestrze½ i czas s jednorodne.

Mec hanika relatywis tyczn a 4

TRANSFORMACJE PRZESTRZENNO-CZASOWE

Uk»ady 

s inercjalne, a wi“c

równoprawne.  Przekszta»cenie
w s p ó » r z “ d n y c h   i   c z a s u   z

musi mieƒ t“ sam form“ co

przekszta»cenie wspó»rz“dnych i

czasu z 

Jedyna róónica: znak przy v

0

Szukane przekszta»cenia wspó»rz“dnych przestrzeni i czasu maj postaƒ

Aby znalepostaƒ funkcji f

i

 weïmy np. pod uwag“ róóniczk“ dx

wspó»rz“dnej x

Z jednorodnoÑci czasu i przestrzeni wynika, óe dla ustalonych wartoÑci

wartoу   dx   musi byƒ taka sama dla dowolnych punktów

, czyli óe pochodne czstkowe w powyószym wzorze s sta»e,

niezaleóne od wartoÑci wspó»rz“dnych 

. Mamy wi“c

albo

To samo moóna pokazaƒ dla y, z i t

Wniosek: funkcje f

1

, f

2

, f

3

 i f

4

 s liniowe

Mec hanika relatywis tyczn a 5

Przekszta»cenia wspó»rz“dnych y i z

Pary wspó»rz“dnych 

przyjmuj wartoу 0 równoczeÑnie, czyli jedyn

moóliw liniow transformacj tych wspó»rz“dnych jest

- sta»a

Na mocy równoprawnoÑci uk»adów 

zachodzi teó

- ta sama sta»a

Po pomnoóeniu tych równa½ stronami otrzymujemy

Ze wzgl“du na przyj“ty zgodny kierunek osi 

 wybieramy 

, czyli

ostatecznie

Podobnie, pary wspó»rz“dnych 

przyjmuj wartoу 0 równoczeÑnie,

czyli zachodzi równieó

Mec hanika relatywis tyczn a 6

Przekszta»cenia x i t

 nie zaleó od x i t, wi“c  x i t

nie zaleó od 

. 

x i t s liniowymi funkcjami 

 - sta»a

 - ta sama sta»a (

równoprawne)

Y

Mec hanika relatywis tyczn a 7

Przekszta»cenia Lorentza

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Podstawowe w»aÑciwoÑci przekszta»ce½ Lorentza

     - dla

 przechodz w przekszta»cenia Galileusza.,

     - dla 

staj si“ urojone dla 

,

     - przybieraj symetryczn postaƒ, jeóeli s zapisane z uóyciem

zmiennych 

zamiast  x i t

,

,

,

Mec hanika relatywis tyczn a 8

KONSEKWENCJE PRZEKSZTAºCE¼ LORENTZA

Jednoczesnoу zdarze½ w róónych uk»adach odniesienia

  - dwa zdarzenia równoczesne w uk»adzie K

W uk»adzie 

znak róónicy 

 zaleóy

od znaku   i znaku róónicy

Dwa przestrzennie rozdzielone zdarzenia równoczesne w jednym
uk»adzie odniesienia nie s równoczesne w innym uk»adzie odniesienia.

D»ugoу cia» w róónych uk»adach odniesienia

      -

d»ugoу pr“ta w uk»adzie 

  -

d»ugoу pr“ta w uk»adzie 

. Wspó»rz“dne 

 i

ko½ców pr“ta w uk»adzie K okreÑlone s w

tej samej chwili czasu 

Mec hanika relatywis tyczn a 9

Do wyboru s dwie transformacje

Wybieramy drug ze wzgl“du na obecnoу w niej czasu w uk»adzie K

Zachodzi wi“c

6

   - d»ugoу w»asna pr“ta.

Zjawisko Fitzgeralda-Lorentza
Poruszajce si“ cia»a skracaj swe rozmiary w kierunku ruchu, przy
czym skrócenie to jest tym wi“ksze im wi“ksza jest pr“dkoу tego ruchu.

Odst“p czasu mi“dzy zdarzeniami zachodzcymi w tym samym punkcie
przestrzeni

dwa zdarzenia o tej samej

wartoÑci wspó»rz“dnej 

 w

uk»adzie 

Moóliwe transformacje

Na podstawie pierwszej z nich zachodzi

Mechanika relatywistyczna 10

Dla pojedynczej czstki

   - czas w»asny, czas mierzony na zegarze poruszajcym si“ wraz z

czstk

   -

czas  t mierzony zegarem, który porusza

si“ wzgl“dem danego cia»a jest zawsze
wi“kszy od czasu w»asnego cia»a 

Dylatacja czasu     - poruszajcy si“ zegar chodzi wolniej od zegara

spoczywajcego, 

.

Powstanie i rozpad mezonu