Mechanika relatywistyczna 11
PRZEDZIAº CZASOPRZESTRZENNY (INTERWAº)
Zdarzenia - punkty (x, y, z, ct) w
czasoprzestrzeni - punkty Ñwiata
Linia Ñwiata - linia przedstawiajca
zaleónoÑ po»oóenia czstki od czasu w
czasoprzestrzeni
Zwyk»a przestrze½ ma metryk euklidesow
Czasoprzestrze½ ma metryk pseudoeuklidesow (czas róóni si jakoÑciowo
od przestrzeni)
lub
gdzie
- przedzia» czasoprzestrzenny midzy zdarzeniami; interwa» midzy
zdarzeniami
Przedzia» czasoprzestrzenny midzy dwoma danymi zdarzeniami jest
taki sam we wszystkich inercjalnych uk»adach odniesienia - jest
niezmiennikiem.
(przekszta»cenia Lorentza spe»niaj t zaleónoÑ)
Mechanika relatywistyczna 12
Relacja pomidzy czasem w»asnym czstki a przedzia»em
czasoprzestrzennym
Czas w»asny czstki jest niezmiennikiem.
W»asnoÑci przedzia»ów czasoprzestrzennych
Stoóek Ñwietlny (dla zdarze½ o
)
Stoóek przysz»oÑci zdarzenia A
Stoóek przesz»oÑci zdarzenia A
Przedzia» czasoprzestrzenny midzy dwoma danymi zdarzeniami jest równy
zeru, gdy zdarzenia te moóna po»czy jednym promieniem Ñwietlnym
Mechanika relatywistyczna 13
Przedzia» czasoprzestrzenny typu czasowego
Moóna wskaza taki uk»ad
, w którym
. Nie ma takiego
uk»adu, w którym
Zdarzenia dotyczce jednej czstki (o róónej od zera masie
spoczynkowej) mog by rozdzielone tylko interwa»em czasowym.
Dwa zdarzenia dotyczce jednej czstki, we wszystkich uk»adach
odniesienia nastpuj w tej samej kolejnoÑci czasowej.
Przedzia» czasoprzestrzenny typu przestrzennego
Moóna wskaza taki uk»ad
, w którym
. Nie ma takiego
uk»adu, w którym
Zdarzenia rozdzielone interwa»em przestrzennym nie mog by
zwizane przyczynowo.
Mechanika relatywistyczna 14
Mechanika relatywistyczna 15
PRZEKSZTAºCANIE I SKºADANIE PRDKOÐCI
Sk»adowe prdkoÑci czstki w uk»adach
Na podstawie przekszta»ce½ Lorentza
,
,
,
,
,
,
,
W szczególnoÑci dla ruchu w kierunku osi
(czyli dla
oraz
) mamy
,
Mechanika relatywistyczna 16
RELATYWISTYCZNY PD
Zachowanie pdu zdefiniowanego klasycznie podczas doskonale
niespróystego zderzenia kul
Przed zderzeniem
Po zderzeniu
jest zachowany w K
Przed zderzeniem
,
Po zderzeniu
nie jest zachowany w
Prawo zachowania pdu zdefiniowanego klasycznie nie jest niezmiennicze
wzgldem przekszta»ce½ Lorentza.
Relatywistyczna definicja pdu
f(v) - szukana bezwymiarowa funkcja taka, óe
, m - niezmiennik
Mechanika relatywistyczna 17
OkreÑlenie
na podstawie analizy relatywistycznego zderzenia spróystego
dwóch kul
Dla czstki 2:
6
6
6
Mechanika relatywistyczna 18
Pd relatywistyczny
Inna interpretacja relatywistycznego wzoru na pd
- masa relatywistyczna
m - masa spoczynkowa (m
0
)
zaleóy od v, nie jest niezmiennikiem.
Mechanika relatywistyczna 19
RELATYWISTYCZNY WZÓR NA ENERGI
Relatywistyczna energia kinetyczna czstki
W mechanice klasycznej by»o
W mechanice relatywistycznej dT definiuje si równieó jako prac
wykonan nad czstk w cigu czasu dt
Po sca»kowaniu
Ostatecznie
Dla ma»ych prdkoÑci
Mechanika relatywistyczna 20
Relatywistyczna energia ca»kowita czstki
energia ca»kowita czstki
energia kinetyczna czstki
energia spoczynkowa czstki
DoÑwiadczenia pokazuj, óe suma
wyraóe½ tego typu podlega zachowaniu
podczas zderze½ czstek.
Energia spoczynkowa cia»a z»oóonego z wielu czstek zawiera
S
energie spoczynkowe czstek sk»adowych
S
energie kinetyczne czstek sk»adowych wynikajce z ich ruchu
wzgldem Ñrodka masy
S
energi wzajemnego oddzia»ywania czstek
Mechanika relatywistyczna 21
Relatywistyczna zaleónoÑ midzy pdem i energi
Y
,
Pamitamy, óe
Mechanika relatywistyczna 22
Przekszta»cenia pdu i energii
,
,
,
Po pomnoóeniu przez m i podzieleniu przez
,
,
,
,
,
,
,
Mechanika relatywistyczna 23
Czterowektor energii-pdu
Czterowektor - wektor w czasoprzestrzeni
Czterowektor po»oóenia punktu Ñwiata
ct,
x,
y,
z
Czterowektor energii-pdu
E/c, p
x
,
p
y
,
p
z
Ogólnie dla czterowektora a :
Sk»adowe czterowektora a
t
, a
x
, a
y
, a
z
przekszta»caj si zgodnie z
przekszta»ceniami Lorentza,
Wyraóenie
jest niezmiennikiem.
Mechanika relatywistyczna 24
Prawo wzajemnoÑci masy relatywistycznej i energii
Czstki o zerowej masie spoczynkowej
Czstka o zerowej masie spoczynkowej (np. foton) zawsze porusza
si z prdkoÑci Ñwiat»a.
Dla fotonu
,