Mechanika relatywistyczna 11

PRZEDZIAº CZASOPRZESTRZENNY (INTERWAº)

Zdarzenia - punkty (x, y, z, ct) w
czasoprzestrzeni - punkty Ñwiata

Linia  Ñwiata - linia przedstawiajca
zaleónoу po»oóenia czstki od czasu w
czasoprzestrzeni

Zwyk»a przestrze½ ma metryk“ euklidesow

Czasoprzestrze½ ma metryk“ pseudoeuklidesow (czas róóni si“ jakoÑciowo
od przestrzeni)

lub

         gdzie  

 - przedzia» czasoprzestrzenny mi“dzy zdarzeniami; interwa» mi“dzy

zdarzeniami

Przedzia» czasoprzestrzenny mi“dzy dwoma danymi zdarzeniami jest
taki sam we wszystkich inercjalnych uk»adach odniesienia - jest
niezmiennikiem.

  (przekszta»cenia Lorentza spe»niaj t“ zaleónoу)

Mechanika relatywistyczna 12

Relacja pomi“dzy czasem w»asnym czstki a przedzia»em
czasoprzestrzennym

Czas w»asny czstki jest niezmiennikiem.

W»asnoÑci przedzia»ów czasoprzestrzennych

Stoóek Ñwietlny (dla zdarze½ o 

)

Stoóek przysz»oÑci zdarzenia A

Stoóek przesz»oÑci zdarzenia A

Przedzia» czasoprzestrzenny mi“dzy dwoma danymi zdarzeniami jest równy
zeru, gdy zdarzenia te moóna po»czyƒ jednym promieniem Ñwietlnym

Mechanika relatywistyczna 13

Przedzia» czasoprzestrzenny typu czasowego

Moóna wskazaƒ taki uk»ad 

, w którym 

.  Nie ma takiego

uk»adu, w którym 

Zdarzenia dotyczce jednej czstki (o róónej od zera masie
spoczynkowej) mog byƒ rozdzielone tylko interwa»em czasowym.

 

Dwa zdarzenia dotyczce jednej czstki, we wszystkich uk»adach
odniesienia nast“puj w tej samej kolejnoÑci czasowej.

Przedzia» czasoprzestrzenny typu przestrzennego

Moóna wskazaƒ taki uk»ad 

, w którym 

.  Nie ma takiego

uk»adu, w którym 

Zdarzenia rozdzielone interwa»em przestrzennym nie mog byƒ
zwizane przyczynowo.

Mechanika relatywistyczna 14

Mechanika relatywistyczna 15

PRZEKSZTAºCANIE I SKºADANIE PR’DKOÐCI

Sk»adowe pr“dkoÑci czstki w uk»adach 

Na podstawie przekszta»ce½ Lorentza

,    

,    

,    

,     

,    

,     

,    

W  szczególnoÑci dla ruchu w kierunku osi 

 (czyli dla 

 oraz

) mamy

,   

  

  

Mechanika relatywistyczna 16

RELATYWISTYCZNY P’D

Zachowanie p“du zdefiniowanego klasycznie podczas doskonale
niespr“óystego zderzenia kul

Przed zderzeniem
   

Po zderzeniu
   

 jest zachowany w K

Przed zderzeniem

    

,    

Po zderzeniu

   

 nie jest zachowany w 

Prawo zachowania p“du zdefiniowanego klasycznie nie jest niezmiennicze
wzgl“dem przekszta»ce½ Lorentza.

Relatywistyczna definicja p“du

f(v) - szukana bezwymiarowa funkcja taka, óe

,  m - niezmiennik

Mechanika relatywistyczna 17

OkreÑlenie 

na podstawie analizy relatywistycznego zderzenia spr“óystego

dwóch kul

Dla czstki 2:

     6    

    6   

   6   

Mechanika relatywistyczna 18

P“d relatywistyczny

Inna interpretacja relatywistycznego wzoru na p“d

    -  masa relatywistyczna

m - masa spoczynkowa (m

0

)

 zaleóy od v, nie jest niezmiennikiem.

Mechanika relatywistyczna 19

RELATYWISTYCZNY WZÓR NA ENERGI’

Relatywistyczna energia kinetyczna czstki

W mechanice klasycznej by»o

     

W mechanice relatywistycznej dT definiuje si“ równieó jako prac“
wykonan nad czstk w cigu czasu dt

Po sca»kowaniu

Ostatecznie

Dla ma»ych pr“dkoÑci 

 

Mechanika relatywistyczna 20

Relatywistyczna energia ca»kowita czstki

energia ca»kowita czstki

energia kinetyczna czstki

energia spoczynkowa czstki

DoÑwiadczenia pokazuj, óe suma

wyraóe½ tego typu podlega zachowaniu
podczas zderze½ czstek.

Energia spoczynkowa cia»a z»oóonego z wielu czstek zawiera

S

energie spoczynkowe czstek sk»adowych

S

energie kinetyczne czstek sk»adowych wynikajce z ich ruchu
wzgl“dem Ñrodka masy

S

energi“ wzajemnego oddzia»ywania czstek

Mechanika relatywistyczna 21

Relatywistyczna zaleónoу mi“dzy p“dem i energi

      Y       

,

Pami“tamy, óe       

Mechanika relatywistyczna 22

Przekszta»cenia p“du i energii

,    

,    

,    

Po pomnoóeniu przez m i podzieleniu przez 

 , 

       

, 

,

,     

,

,

,

Mechanika relatywistyczna 23

Czterowektor energii-p“du

Czterowektor  -   wektor w czasoprzestrzeni

Czterowektor po»oóenia punktu Ñwiata

ct,

x,

y,

z

Czterowektor energii-p“du

E/c, p

x

,

p

y

,

p

z

Ogólnie dla czterowektora a :

Sk»adowe czterowektora  a

t

,  a

x

,  a

y

,  a

z

 przekszta»caj si“ zgodnie z

przekszta»ceniami Lorentza,

Wyraóenie 

   jest niezmiennikiem.

Mechanika relatywistyczna 24

Prawo wzajemnoÑci masy relatywistycznej i energii

Czstki o zerowej masie spoczynkowej

Czstka o zerowej masie spoczynkowej (np. foton) zawsze porusza
si“ z pr“dkoÑci Ñwiat»a.

Dla fotonu

,