Pobierz cały dokument
2000 10 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 21578 .pdf
Rozmiar 53 KB

2000 10 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 21578

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 14 października 2000 r. 
 
Prawdopodobieństwo i Statystyka 
 
Zadanie 1 
 

P(i) – prawdopodobieństwo, Ŝe od i-tego miejsca seria = 

5

2

1

 







=

  wpp

0

seria

gdy  

  

1

i

X

 

L – liczba serii = 

∑

=

16

1

i

i

X  

2

1

32

16

2

1

16

16

5

=

=

⋅

=

=

i

EX

EL

 

 
Zadanie 2 
 

0

X

X

=

 

(

)

(

)

i

i

i

i

X

X

X

X

ODL

J

X

−

=

≅

1

,

min

,

)

1

,

0

(

0

 

(

)

(

)

(

)

{

}

n

n

X

X

X

X

X

X

OD

−

−

−

=

1

,

min

,...,

1

,

min

,

1

,

min

min

2

2

1

1

 

dla 













∈

2

1

,

0

t

  

(

)

(

)

∫

∫

−

=

+

−

+

=

+

=

≤

−

t

t

i

i

t

t

t

t

X

X

P

0

1

1

2

1

1

..

..

1

,

min

 













≅

−

2

1

,

0

)

1

,

min(

J

f

X

X

 

[

]

=

−

−

=

>

−

=

<

n

t

t

P

t

P

)

5

,

0

(

2

1

)

(min

1

)

(min

 

1

)

5

,

0

(

2

−

−

=

n

n

Y

t

n

f

 

∫

∫

=

−

=

=

−

=

−

=

−

−

5

,

0

0

5

,

0

0

1

1

2

)

5

,

0

(

5

,

0

)

5

,

0

(

2

n

n

n

n

x

n

x

x

t

t

tn

EY

 

1

1

2

1

1

5

,

0

5

,

0

5

,

0

1

5

,

0

5

,

0

1

5

,

0

2

5

,

0

2

5

,

0

1

2

2

5

,

0

1

5

,

0

0

1

+

=

+

−

+

=

+

−

=

+

−

⋅

=













+

−

=

+

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

 
 
Zadanie 3 
 
EZ=0,  varZ=1,  Z ma rozkład normalny (0,1) 
Cov(Y+2X,X)=-2+2=0, z tego wynika Ŝe Z i X niezaleŜne i dwuwymiarowy normalny 
 

background image

( )

1

2

2

=

=

EZ

X

Z

E

 

( ) ( )

(

)

(

)

=

+

+

=

=

X

X

E

X

XY

E

X

Y

E

X

Z

E

2

2

2

4

4

1

 

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

4

1

4

8

4

4

X

X

Y

E

X

X

X

Y

E

X

X

Y

XE

X

Y

E

+

=

→

+

−

=

+

+

=

 

Z REGRESJI  

( )

(

)

X

m

x

σ

σ

ρ

m

X

Y

E

x

x

y

y

2

−

=

−

+

=

 

 
Zadanie 4 
 

)

1

,

0

(

J

X

i

≅

 

(

)

(

)

)

1

(

ln

ln

0

wykl

X

e

e

X

P

t

X

P

i

t

e

t

i

i

t

≅

−

→

=

=

<

=

≤

∫

 

n

Z  - iloczyn rozkł. Jednost. 

(

)

(

) (

)

(

) (

)

=

−

≥

−

=

−

≤

=

≤

=

≤

=

≤

∑

∑

−

a

n

X

P

n

a

X

P

a

Z

P

a

Z

P

a

Y

P

i

i

n

n

n

n

n

ln

2

ln

ln

2

ln

ln

ln

2

2

 

∫

∑

∞

−

−

=

⇔

=

Π

−

→





















−

−

≤

−

=















−

−

≥

−

−

=

u

x

CTG

u

n

i

u

dx

e

n

n

a

n

U

P

n

n

a

n

n

n

X

P

0

2

1

2

1

1

ln

2

ln

1

ln

2

ln

ln

2

2

4

4 8

4

4 7

6

 

spr: 

0

ln

2

ln

=

−

−

n

n

a

n

 

nln2=lna+n 
lna=n(ln2-1) 

)

(

2

2

)

1

2

(ln

D

e

e

e

a

n

n

n

n

→













=

=

=

−

 

 
Zadanie 5 
 













≅

+

2

1

2

2

wykl

Z

Y

 

(

)

2

2

2

t

e

t

Z

Y

P

−

=

>

+

 













Γ

≅

+













Γ

≅

2

1

,

1

2

1

,

2

1

2

2

2

Z

Y

X

5

,

0

5

,

0

2

2

2

2

5

,

0

)

1

(

2

1

2

3

1

,

2

1

−

−

=

Γ













Γ













Γ

≅













≅

+

+

→

x

x

B

Z

Y

X

X

 

[ ]

∫

=

=

=

=















≤

+

+

=

−

2

2

0

0

5

,

0

5

,

0

2

2

2

2

2

6

,

0

5

,

0

a

a

a

x

x

a

Z

Y

X

X

P

ODP

 

 
 
 
 

background image

Zadanie 6 
 

(

)













−

=













−

∑

∑

=

=

20

1

2

2

20

1

2

20

i

i

i

i

X

X

E

X

X

E

 















−

≅

−















≅















≅

5

,

,

10

,

,

10

,

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

σ

µ

µ

N

X

X

σ

µ

N

X

σ

µ

N

X

 

(

)

(

)

2

2

1

2

2

2

1

5

µ

µ

σ

X

X

E

−

+

=

−

 

(

) (

)

∑

=

+

+

=

+

+

+

=

20

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

10

10

20

10

10

i

i

µ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

X

E

 

=













+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

20

...

...

20

...

...

20

11

10

1

20

11

10

1

2

X

X

X

X

X

X

X

X

E

X

E

 

(

)

(

)

[

]

=

+

+

+

⋅

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

90

10

100

2

90

10

400

1

µ

µ

σ

µ

µ

µ

µ

σ

 

(

)

(

)

=















−

+

+









+

+

+

−

+

+

=

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

5

200

100

100

20

20

1

10

10

20

ˆ

µ

µ

σ

β

µ

µ

µ

µ

σ

µ

µ

σ

α

σ

E

[

]

(

)

=















−

+

+

−

+

+

=

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

5

10

5

5

19

µ

µ

σ

β

µ

µ

µ

µ

σ

α

 

(

)

)

5

(

5

19

2

2

1

2

β

α

µ

µ

β

α

σ

+

−

+













+

=

 

18

5

,

18

1

1

19

0

5

1

5

19

−

=

=

→

=

−

→









=

+

=

+

β

α

α

α

β

α

β

α

 

 
Zadanie 7 
 

(

)

(

)

∫

−

−













≅

−

=















=

=

>

=













<

=

<

−

−

−

−

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ln

t

t

e

θ

t

e

θ

θ

t

t

i

θ

wykl

e

x

x

θ

e

X

P

e

X

P

t

X

P

 

∑













Γ

≅

−

θ

n

X

i

1

,

ln

 

∏

=

−

=

n

i

θ

i

n

X

θ

L

1

1

1

1

 

∑













−

+

−

=

i

X

θ

θ

n

L

ln

1

1

ln

ln

 

∑

=

−

−

=

∂

∂

0

ln

1

2

i

X

θ

θ

n

θ

 

n

X

θ

θ

X

θ

n

i

i

∑

∑

−

=

→

=

+

ln

ˆ

0

ln

2

 

 
 

background image

(

)

n

θ

n

θ

θ

n

n

θ

θ

θ

θ

θ

θ

E

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

ˆ

ˆ

2

=













−

+

=

+

+

−

=

+

−

 

 
Zadanie 8 
 

)

,

(

β

α

X

Γ

≅

 

(

)

∫

∫

∫

=













Γ

=

Γ

=

Γ

=













≤

=

≤

=













≤

−

−

−

−

θ

t

w

t

θ

w

β

α

α

α

x

β

α

α

dw

θ

e

θ

w

α

β

α

β

e

x

α

β

θ

t

X

P

t

θ

X

P

θ

t

X

P

0

0

0

1

1

1

)

(

..

)

(

)

(

 

∫

∫













Γ

=

Γ













=

Γ













=

−

−

−

−

−

t

t

θ

w

β

α

α

θ

w

β

α

α

α

α

θ

β

α

t

F

e

w

α

θ

β

θ

e

θ

w

α

θ

θ

β

0

0

1

1

1

,

  

dla

  

)

(

)

(

1

)

(

 

czyli: 













Γ

=













≤

→

Γ

≅

θ

β

α

t

F

θ

t

X

P

β

α

X

,

  

dla

  

)

(

)

,

(

 

)

;

5

(

5

θ

S

Γ

≅

 

( )

62

,

1

247

,

3

2

)

10

(

2

1

5,

 

dla

 

2

2

2

5

≈

→

=

→

≅













Γ

=













≤

a

a

χ

a

F

θ

a

S

P

 

( )

24

,

10

483

,

20

2

)

10

(

2

1

5,

 

dla

 

2

1

2

2

5

≈

→

=

→

≅













Γ

−

=













>

a

a

χ

a

F

θ

a

S

P

 

 
Zadanie 9 
 
 

0

H  

1

H

 

k=5     













5

25

1

 













5

48

1

   

OG: 

0

H

 dla k: 

























−

























−

5

48

4

1

:

     

5

25

4

1

1

k

H

k

  do końca 

 

 

 

 

do k =25 dalej  

 

∞

>

=

  

25

k

 

dla

 

48

70

0

1

H

H

 

 
do K na pewno k>25 
k=25  

{

}

25

:

2

,

0

max

25

≥

→

=

x

K

P

 

(

)

(

)

∑

=

→

























−

=

<

−

=

≈

























−

=

≥

=

48

25

max

max

1

)

(

5

48

5

24

1

25

1

975

,

0

5

48

4

1

25

k

E

x

P

k

x

P

moc

 

 
 
 

background image

Zadanie 10 
 
OBLICZENIE STOPNI SWOBODY 

Estymujemy k prawdopodobieństw brzegowych tzn: 

j

j

j

n

n

n

⋅

=

+

2

2

1

 

Związane są jednym równaniem 

∑

→

=

⋅

WYNIK

n

j

k-1 niezaleŜnych węzłów 

2k-1 elementów tablicy moŜna wybrać poniewaŜ ostatni jako n-COŚ 
Z tego wynika: liczba stopni swobody: 2k-1-(k-1)=k 
 

Pobierz cały dokument
2000 10 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 21578 .pdf
Rozmiar 53 KB
Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2002 10 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21648
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 10 23 prawdopodobie stwo i statystykaid 18598
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670
2000.01.15 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron

Kontakt | Polityka prywatności