2000 10 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 21578

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 14 października 2000 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

P(i) – prawdopodobieństwo, że od i-tego miejsca seria =

5

2

1

=

wpp

0

seria

gdy

1

i

X

L – liczba serii =

=

16

1

i

i

X

2

1

32

16

2

1

16

16

5

=

=

=

=

i

EX

EL


Zadanie 2

0

X

X

=

(

)

(

)

i

i

i

i

X

X

X

X

ODL

J

X

=

1

,

min

,

)

1

,

0

(

0

(

)

(

)

(

)

{

}

n

n

X

X

X

X

X

X

OD

=

1

,

min

,...,

1

,

min

,

1

,

min

min

2

2

1

1

dla

2

1

,

0

t

(

)

(

)

=

+

+

=

+

=

t

t

i

i

t

t

t

t

X

X

P

0

1

1

2

1

1

..

..

1

,

min

2

1

,

0

)

1

,

min(

J

f

X

X

[

]

=

=

>

=

<

n

t

t

P

t

P

)

5

,

0

(

2

1

)

(min

1

)

(min

1

)

5

,

0

(

2

=

n

n

Y

t

n

f

=

=

=

=

=

5

,

0

0

5

,

0

0

1

1

2

)

5

,

0

(

5

,

0

)

5

,

0

(

2

n

n

n

n

x

n

x

x

t

t

tn

EY

1

1

2

1

1

5

,

0

5

,

0

5

,

0

1

5

,

0

5

,

0

1

5

,

0

2

5

,

0

2

5

,

0

1

2

2

5

,

0

1

5

,

0

0

1

+

=

+

+

=

+

=

+

=

+

=

+

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n



Zadanie 3

EZ=0, varZ=1, Z ma rozkład normalny (0,1)
Cov(Y+2X,X)=-2+2=0, z tego wynika że Z i X niezależne i dwuwymiarowy normalny

background image

( )

1

2

2

=

=

EZ

X

Z

E

( ) ( )

(

)

(

)

=

+

+

=

=

X

X

E

X

XY

E

X

Y

E

X

Z

E

2

2

2

4

4

1

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

4

1

4

8

4

4

X

X

Y

E

X

X

X

Y

E

X

X

Y

XE

X

Y

E

+

=

+

=

+

+

=

Z REGRESJI

( )

(

)

X

m

x

σ

σ

ρ

m

X

Y

E

x

x

y

y

2

=

+

=


Zadanie 4

)

1

,

0

(

J

X

i

(

)

(

)

)

1

(

ln

ln

0

wykl

X

e

e

X

P

t

X

P

i

t

e

t

i

i

t

=

=

<

=

n

Z - iloczyn rozkł. Jednost.

(

)

(

) (

)

(

) (

)

=

=

=

=

=

a

n

X

P

n

a

X

P

a

Z

P

a

Z

P

a

Y

P

i

i

n

n

n

n

n

ln

2

ln

ln

2

ln

ln

ln

2

2

=

=

Π





=



=

u

x

CTG

u

n

i

u

dx

e

n

n

a

n

U

P

n

n

a

n

n

n

X

P

0

2

1

2

1

1

ln

2

ln

1

ln

2

ln

ln

2

2

4

4 8

4

4 7

6

spr:

0

ln

2

ln

=

n

n

a

n

nln2=lna+n
lna=n(ln2-1)

)

(

2

2

)

1

2

(ln

D

e

e

e

a

n

n

n

n

=

=

=


Zadanie 5

+

2

1

2

2

wykl

Z

Y

(

)

2

2

2

t

e

t

Z

Y

P

=

>

+

Γ

+

Γ

2

1

,

1

2

1

,

2

1

2

2

2

Z

Y

X

5

,

0

5

,

0

2

2

2

2

5

,

0

)

1

(

2

1

2

3

1

,

2

1

=

Γ

Γ

Γ

+

+

x

x

B

Z

Y

X

X

[ ]

=

=

=

=



+

+

=

2

2

0

0

5

,

0

5

,

0

2

2

2

2

2

6

,

0

5

,

0

a

a

a

x

x

a

Z

Y

X

X

P

ODP




background image

Zadanie 6

(

)





=





=

=

20

1

2

2

20

1

2

20

i

i

i

i

X

X

E

X

X

E







5

,

,

10

,

,

10

,

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

σ

µ

µ

N

X

X

σ

µ

N

X

σ

µ

N

X

(

)

(

)

2

2

1

2

2

2

1

5

µ

µ

σ

X

X

E

+

=

(

) (

)

=

+

+

=

+

+

+

=

20

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

10

10

20

10

10

i

i

µ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

X

E

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

20

...

...

20

...

...

20

11

10

1

20

11

10

1

2

X

X

X

X

X

X

X

X

E

X

E

(

)

(

)

[

]

=

+

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

90

10

100

2

90

10

400

1

µ

µ

σ

µ

µ

µ

µ

σ

(

)

(

)

=



+

+





+

+

+

+

+

=

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

5

200

100

100

20

20

1

10

10

20

ˆ

µ

µ

σ

β

µ

µ

µ

µ

σ

µ

µ

σ

α

σ

E

[

]

(

)

=



+

+

+

+

=

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

5

10

5

5

19

µ

µ

σ

β

µ

µ

µ

µ

σ

α

(

)

)

5

(

5

19

2

2

1

2

β

α

µ

µ

β

α

σ

+

+

+

=

18

5

,

18

1

1

19

0

5

1

5

19

=

=

=



=

+

=

+

β

α

α

α

β

α

β

α


Zadanie 7

(

)

(

)

=



=

=

>

=

<

=

<

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ln

t

t

e

θ

t

e

θ

θ

t

t

i

θ

wykl

e

x

x

θ

e

X

P

e

X

P

t

X

P

Γ

θ

n

X

i

1

,

ln

=

=

n

i

θ

i

n

X

θ

L

1

1

1

1

+

=

i

X

θ

θ

n

L

ln

1

1

ln

ln

=

=

0

ln

1

2

i

X

θ

θ

n

θ

n

X

θ

θ

X

θ

n

i

i

=

=

+

ln

ˆ

0

ln

2


background image

(

)

n

θ

n

θ

θ

n

n

θ

θ

θ

θ

θ

θ

E

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

ˆ

ˆ

2

=

+

=

+

+

=

+


Zadanie 8

)

,

(

β

α

X

Γ

(

)

=

Γ

=

Γ

=

Γ

=

=

=

θ

t

w

t

θ

w

β

α

α

α

x

β

α

α

dw

θ

e

θ

w

α

β

α

β

e

x

α

β

θ

t

X

P

t

θ

X

P

θ

t

X

P

0

0

0

1

1

1

)

(

..

)

(

)

(

Γ

=

Γ

=

Γ

=

t

t

θ

w

β

α

α

θ

w

β

α

α

α

α

θ

β

α

t

F

e

w

α

θ

β

θ

e

θ

w

α

θ

θ

β

0

0

1

1

1

,

dla

)

(

)

(

1

)

(

czyli:

Γ

=

Γ

θ

β

α

t

F

θ

t

X

P

β

α

X

,

dla

)

(

)

,

(

)

;

5

(

5

θ

S

Γ

( )

62

,

1

247

,

3

2

)

10

(

2

1

5,

dla

2

2

2

5

=

Γ

=

a

a

χ

a

F

θ

a

S

P

( )

24

,

10

483

,

20

2

)

10

(

2

1

5,

dla

2

1

2

2

5

=

Γ

=

>

a

a

χ

a

F

θ

a

S

P


Zadanie 9

0

H

1

H

k=5





5

25

1





5

48

1

OG:

0

H

dla k:

















5

48

4

1

:

5

25

4

1

1

k

H

k

do końca

do k =25 dalej

>

=

25

k

dla

48

70

0

1

H

H


do K na pewno k>25
k=25

{

}

25

:

2

,

0

max

25

=

x

K

P

(

)

(

)

=









=

<

=









=

=

48

25

max

max

1

)

(

5

48

5

24

1

25

1

975

,

0

5

48

4

1

25

k

E

x

P

k

x

P

moc



background image

Zadanie 10

OBLICZENIE STOPNI SWOBODY

Estymujemy k prawdopodobieństw brzegowych tzn:

j

j

j

n

n

n

=

+

2

2

1

Związane są jednym równaniem

=

WYNIK

n

j

k-1 niezależnych węzłów

2k-1 elementów tablicy można wybrać ponieważ ostatni jako n-COŚ
Z tego wynika: liczba stopni swobody: 2k-1-(k-1)=k


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2002 10 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21648
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 10 23 prawdopodobie stwo i statystykaid 18598
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670

więcej podobnych podstron