Politechnika Gdańska Teoria 

Sprężystości i Plastyczności M-SE4 

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 

 sem. VI KBI   r. 2005/2006 

Katedra Mechaniki Budowli 

  prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek 

 

ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 3 

- funkcje naprężeń Airy - 

 

1. Wyprowadzić równanie biharmoniczne, z niewiadomą funkcją naprężeń  Airy,  

w przypadku płaskiego stanu odkształceń (w płaszczyźnie 

) 

1 2

Ox x

....................................................................................................................................................... 
 

(

)

(

)

11

11

22

22

22

11

12

21

12

1

1

1

1

1

E

E

E

ν

ε

ν σ

ν

νσ

ε

ν σ

νσ

ν

ε

ε

σ

+

⎧

=

−

−

⎡

⎤

⎣

⎦

⎪

⎪

+

⎪

=

−

−

⎡

⎤

⎨

⎣

⎦

⎪

+

⎪

=

=

⎪⎩

 

 

Równanie nierozdzielności:  

2

2

2

11

22

12

2

2

2

1

1

2

2

0

x

x

x x

ε

ε

ε

∂

∂

∂

+

−

=

∂

∂

∂ ∂

 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

4

11

11

22

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

4

22

22

11

2

2

2

4

1

2

2

1

2

2

4

12

12

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 1

1

2

2

F

F

4

2

2

1

2

4

2

2

1

2

x

E

x

x

E

x

x

F

F

x

x

E

x

x

E

x

x

F

x x

E

x x

E

x

ε

σ

σ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ε

σ

σ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ε

σ

ν

⎛

⎞

⎛

∂

∂

∂

+

+

∂

=

−

−

=

−

−

⎜

⎟

⎜

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎛

⎞

⎛

∂

∂

∂

+

+

∂

=

−

−

=

−

−

⎜

⎟

⎜

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎝

+

∂

∂

+

∂

−

= −

=

⋅

∂ ∂

∂ ∂

∂

x

⎞

∂

⎟

∂ ∂ ⎠

⎞

∂

⎟

∂ ∂ ⎠

2

2

2

x

∂

 

 

Po podstawieniu:  

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

4

2

2

1

2

1

2

1

1

2 1

F

F

F

x

x

x x

ν

ν

ν

∂

∂

∂

−

+ −

+

−

=

∂

∂

∂ ∂

0

 

 Stąd   

4

4

4

4

4

2

2

1

2

1

2

2

0

F

F

F

x

x

x x

∂

∂

∂

+

+

=

∂

∂

∂ ∂

 

(

)

(

)

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

,

0

F

F

F x x

x

x

x

x

⎛

⎞⎛

∂ ⋅ ∂ ⋅

∂

∂

∆ ∆

=

+

+

=

⎜

⎟⎜

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠⎝

⎞

⎟

⎠

 

 - identyczna postać, jak w PSN 

 
 
 
 
 
 

2. 

Jakie warunki muszą spełniać stałe A, B, C, D i E, by funkcja 

 

(

)

4

3

2 2

3

1

2

1

1 2

1

2

1 2

2

,

F x x

Ax

Bx x

Cx x

Dx x

Ex

=

−

+

−

+

4

 mogła być funkcją naprężeń Airy w całym obszarze 

? 

2

R

................................................................................................................................................... 
 

 Składniki równania biharmonicznego:    

4

4

4

4

4

2

2

1

2

1

2

24 ,

24 ,

4

F

F

F

A

E

x

x

x x

∂

∂

∂

=

=

∂

∂

∂ ∂

C

=

0

 

 Stąd warunek 

3

3

A C

E

+ +

=

. Stałe B i D mogą przyjmować dowolne wartości. 

 
 

3. 

Czy tensor II walencji, reprezentowany macierzą:   

3

3

2

2

3

2 3

2

2

2 3

2 3

0

0

0

0
0

x

x

ax x

ax x

x x

⎡

⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

 

może być tensorem małych odkształceń na całej płaszczyźnie Ox

2

x

3

 w PSO?  

Uzasadnić odpowiedź. 

....................................................................................................................................................... 
 

 Równanie 

nierozdzielności w płaszczyźnie Ox

2

x

3

:  

2

2

2

33

23

22

3

3

3

2

2

3

2

0

x

x

x x

ε

ε

ε

∂

∂

∂

+

−

=

∂

∂

∂ ∂

 

 Składniki równania nierozdzielności:     

2

2

2

33

23

22

3

3

3

3

3

2

2

3

6 ,

2 ,

2

3

x

x

a

x

x

x x

ε

ε

ε

∂

∂

∂

= −

=

=

∂

∂

∂ ∂

x  

 Stąd warunek 

(

)

3

4 4

0

x

a

− −

=

. Warunek zadania spełniony jest jedynie przy 

. 

1

a

= −

 

 
 

x

2

x

1

Q 

P 

h 

g = 1

4. Wyznaczyć stan naprężenia w tarczy wspornikowej jak na rys. - obszar 

1

0,

2

x

h

x

h

>

− ≤

≤  . Przyjąć, że siły masowe są zerowe. 

  

( )

3

2

1 2

1 2

2

2

3

4

3

4

x x

Q

P

F

x x

h

h

⎛

⎞

=

−

+

⎜

⎟

⎝

⎠

x

x

h

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

h 

Naprężenia: 

(

)

2

11

1 2

2

3

2

2

22

2

1

2

2

2

2

2

12

2

2

3

1

2

3

2

2

0

3

3

1

4

4

F

P

Q

x x

x

h

h

F

x

x

F

Q

Q

h

x

x x

h

h

h

σ

σ

σ

∂

=

=

−

∂

∂

=

=

∂

⎛

⎞

∂

= −

= −

−

= −

−

⎜

⎟

∂ ∂

⎝

⎠

 

 

 

Zapisując       

( )

( )

(

)

3

2

1

1

2

2

1

,

2 ,

,

3

2

2

2

M x

Q x

A

h

I

h

S x

h

x

= −

=

=

=

−

 

 

otrzymujemy 

( )

( )

1

11

2

2

12

M x

P

x

A

I

Q S x

I g

σ

σ

= +

=