1

BLOK 2 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Odpowiedzi do zestawu do samodzielnego rozwi

ą

zania:

1.

•

Odległo

ść

jest warto

ś

ci

ą

bezwzgl

ę

dn

ą

przemieszczenia. Najpierw obliczmy przemieszczenie:

•

Punkt startu maszyny znajduje si

ę

w

0

x

0

=

.

Przemieszczenie obliczymy jako pole figury pomi

ę

dzy

wykresem funkcji a osi

ą

czasu, wzi

ę

te z odpowiednim

znakiem. Poniewa

ż

w zakresie czasu (0,2 s) figura ta

znajduje si

ę

pod osi

ą

czasu, nale

ż

y uwzgl

ę

dni

ć

znak

„minus”.

1

0

P

x

)

s

2

t

(

x

−

=

=

;

m

2

s

2

2

P

s

m

2

1

1

=

⋅

⋅

=

.

Czyli

m

2

)

s

2

t

(

x

−

=

=

St

ą

d odległo

ść

od punktu startu po pierwszych 2 s ruchu jest równa 2m.

•

Aby obliczy

ć

całkowit

ą

drog

ę

, nale

ż

y narysowa

ć

zale

ż

no

ść

szybko

ś

ci od czasu w tym ruchu.

Droga jest sum

ą

pól figur pomi

ę

dzy wykresem a osi

ą

OX.

m

11

P

P

s

2

1

=

+

=

•

m

7

|

m

9

m

2

|

|

P

P

|

|

r

|

2

1

=

+

−

=

+

−

=

∆

r

Całkowite

przemieszczenie jest sum

ą

pól figur pomi

ę

dzy

wykresem

)

t

(

v

x

, a osi

ą

czasu, przy czym pola le

żą

ce

poni

ż

ej osi czasu s

ą

brane ze znakiem minus.

•

Przedziałach czasu:

)

s

2

,

0

(

:

t

1

∆

- ruch opó

ź

niony (bo współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci jest ujemna, a tangens k

ą

ta

nachylenia wykresu, odpowiadaj

ą

cy współrz

ę

dnej przyspieszenia - jest dodatni; czyli

pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie maj

ą

przeciwne zwroty, zatem ruch opó

ź

niony); ruch

jednostajnie opó

ź

niony, bo zale

ż

no

ść

)

t

(

v

x

jest liniowa, a zatem tangens kata

nachylenia stycznej do wykresu jest stały (czyli współrz

ę

dna przyspieszenia jest stała)

)

s

5

,

2

(

:

t

2

∆

- ruch przyspieszony (bo współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci jest dodatnia, a tangens

k

ą

ta nachylenia wykresu, odpowiadaj

ą

cy współrz

ę

dnej przyspieszenia - jest dodatni; czyli

pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie maj

ą

te same zwroty, zatem ruch przyspieszony); wida

ć

tak

ż

e,

ż

e ruch jest jednostajnie opó

ź

niony, bo zale

ż

no

ść

)

t

(

v

x

jest liniowa, a zatem tangens

kata nachylenia stycznej do wykresu jest stały (czyli współrz

ę

dna przyspieszenia jest

stała)

Blok 2:

Zale

ż

no

ść

funkcyjna wielko

ś

ci fizycznych

2

BLOK 2 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

)

s

6

,

5

(

:

t

3

∆

ruch jednostajny, bo współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci si

ę

nie zmienia

)

s

7

,

6

(

:

t

4

∆

- ruch opó

ź

niony (bo współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci jest dodatnia, a tangens k

ą

ta

nachylenia wykresu, odpowiadaj

ą

cy współrz

ę

dnej przyspieszenia - jest

ujemny; czyli pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie maj

ą

przeciwne zwroty, zatem ruch opó

ź

niony);

wida

ć

tak

ż

e,

ż

e ruch ten jest jednostajnie opó

ź

niony, bo zale

ż

no

ść

)

t

(

v

x

jest liniowa, a

zatem tangens k

ą

ta nachylenia stycznej do wykresu jest stały (czyli współrz

ę

dna

przyspieszenia jest stała)

2. Poniewa

ż

ciało startuje od stanu spoczynku, szybko

ść

jest

równa polu figury pod wykresem warto

ś

ci przyspieszenia

od czasu:

s

m

2

s

m

2

1

3

s

3

2

u

=

⋅

=

3. Na wykresie przedstawiono zale

ż

no

ść

współrz

ę

dnej

pr

ę

dko

ś

ci od czasu. Poniewa

ż

współrz

ę

dna pr

ę

dko

ś

ci jest

w czasie całego ruchu dodatnia, to wykres szybko

ś

ci od

czasu b

ę

dzie identyczny.

Droga jest równa polu figury pomi

ę

dzy wykresem szybko

ś

ci

od czasu a osi

ą

czasu.

m

5

,

4

)

s

3

t

(

s

=

=

•

Wykres zale

ż

no

ś

ci współrz

ę

dnej przyspieszenia

tego ciała od czasu przedstawia rysunek:

4. Podany wykres przedstawia zale

ż

no

ść

szybko

ś

ci

pewnego ciała od czasu, dlatego mo

ż

na z niego

obliczy

ć

drogi przebyte przez to ciało podczas dwóch,

wyra

ź

nie oddzielonych etapów ruchu. Droga to pole

powierzchni figury zawartej pomi

ę

dzy wykresem

szybko

ś

ci od czasu a osi

ą

czasu.

Szybko

ść

ś

rednia:

t

s

u

ś

r

∆

∆

=

2

1

s

s

s

+

=

∆

,

2

2

1

1

P

s

,

P

s

=

=

,

min

2

t

=

s

m

583

,

0

min

m

35

min

2

min

1

)

60

40

(

min

1

40

u

min

m

min

m

2

1

min

m

2

1

ś

r

≈

=

⋅

+

+

⋅

⋅

=

3

BLOK 2 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Uwaga ogólna do poni

ż

szych zada

ń

:

W wielu równaniach pojawia si

ę

zapis:

|

v

|

|,

a

|

r

r

itp., maj

ą

cy zwróci

ć

uwag

ę

na to,

ż

e wielko

ść

ta jest

warto

ś

ci

ą

, a nie współrz

ę

dn

ą

wektora. Zapis ten jednak mo

ż

e razi

ć

lub wr

ę

cz sta

ć

si

ę

nieczytelny.

Dlatego mo

ż

na w nim pomin

ąć

moduł i wektor (np. zamiast

|

a

|

r

napisa

ć

a), ale tylko wówczas, gdy

mamy pewno

ść

,

ż

e pami

ę

tamy, i

ż

w tym miejscu nale

ż

y podczas wykonywania oblicze

ń

wstawi

ć

warto

ść

wektora.

5. Dane:

const

|

a

|

,

0

u

,

s

4

t

,

m

12

s

s

m

0

1

1

=

=

=

=

r

s

m

k

9

u

=

Szukane:

?

t

k

=

Analiza: ruch jednostajnie przyspieszony. Nale

ż

y skorzysta

ć

ze wzorów, które opisuj

ą

ten

ruch:

2

2

1

0

0

t

|

a

|

t

u

s

)

t

(

s

r

+

⋅

+

=

,

t

|

a

|

u

)

t

(

u

0

⋅

+

=

r

Rozwi

ą

zanie:

|

a

|

u

t

t

|

a

|

u

u

k

k

k

o

k

r

r

=

⇒

⋅

+

=

Jedyn

ą

nieznan

ą

wielko

ś

ci

ą

po prawej stronie równania jest

|

a

|

r

, ale mamy te

ż

inne dane, z

których mo

ż

emy skorzysta

ć

:

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

1

s

m

5

,

1

s

16

m

12

2

t

s

2

|

a

|

|

a

|

s

2

t

t

|

a

|

)

t

(

s

=

⋅

=

⋅

=

⇒

⋅

=

⇒

=

r

r

r

Zatem:

s

6

5

,

1

9

|

a

|

u

t

2

s

m

s

m

k

k

=

=

=

r

Odpowied

ź

: Sanki osi

ą

gaj

ą

szybko

ść

9 m/s po sze

ś

ciu sekundach ruchu.

6. Dane:

2

s

/

m

4

|

a

|

=

r

,

s

5

t

k

=

.

Szukane:

?

u

ś

r

=

Analiza: Ruch jednostajnie przyspieszony, szybko

ść

pocz

ą

tkowa

s

m

0

0

u

=

. Nale

ż

y skorzysta

ć

ze wzoru na drog

ę

w tym ruchu:

2

2

1

t

|

a

|

)

t

(

s

r

=

.

Rozwi

ą

zanie:

s

m

10

s

5

s

m

4

2

1

t

|

a

|

2

1

t

t

|

a

|

t

)

t

(

s

u

2

k

k

2
k

2

1

k

k

ś

r

=

⋅

⋅

=

=

=

=

r

r

Odpowied

ź

: Szybko

ść

ś

rednia w czasie pierwszych 5 sekund ruchu wyniosła 10 m/s.

4

BLOK 2 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

7. Po upływie 1 h, w punkcie o współrz

ę

dnej

0

x

=

znajdzie si

ę

auto, którego ruch opisywany jest prost

ą

I, czyli samochód ci

ęż

arowy(patrz rysunek obok).

Samochód ten startuje (

0

t

=

) w punkcie A,

znajduj

ą

cym si

ę

w punkcie o współrz

ę

dnej

km

100

x

A

0

−

=

.

Zatem prosta II opisuje ruch samochodu osobowego,

który startuje z punktu B znajduj

ą

cego si

ę

w punkcie

o współrz

ę

dnej

km

150

x

B

0

=

.

Odległo

ść

pomi

ę

dzy miastami A i B jest równa:

km

250

|

)

km

100

(

km

150

|

|

x

x

|

d

A

0

B

0

=

−

−

=

−

=

•

Współrz

ę

dn

ą

poło

ż

enia samochodu ci

ęż

arowego opisuje równanie:

t

|

v

|

x

)

t

(

x

A

A

0

A

⋅

+

=

r

, gdzie

h

km

100

h

1

km

100

tg

|

v

|

1

A

=

=

α

=

r

(

1

α

- jest k

ą

tem nachylenia

prostej I do osi czasu)

•

Współrz

ę

dn

ą

poło

ż

enia samochodu osobowego opisuje równanie:

t

|

v

|

x

)

t

(

x

B

B

0

B

⋅

−

=

r

, gdzie

h

km

7

,

66

h

5

,

1

km

100

|

tg

|

|

v

|

2

B

≈

−

=

α

=

r

Spotkanie samochodów opisuje układ równa

ń

(musz

ą

si

ę

oba znale

źć

w tym samym miejscu,

w tym samym czasie:







⋅

−

=

⋅

+

=

s

B

B

0

s

s

A

A

0

s

t

|

v

|

x

x

t

|

v

|

x

x

r

r

Sk

ą

d:









⋅

−

=

⋅

+

−

=

s

h

km

s

s

h

km

s

t

7

,

66

150

x

t

100

km

100

x







=

=

⇒

h

5

,

1

t

km

50

x

s

s

- współrz

ę

dna i czas spotkania

samochodów.
Zatem punkt spotkania znajduje si

ę

w odległo

ś

ci

km

150

|

)

km

100

(

km

50

|

|

x

x

|

L

A

0

s

=

−

−

=

−

=

od miasta A.

•

Kinematyczne równania ruchu dla samochodu ci

ęż

arowego:

t

|

v

|

x

)

t

(

x

A

A

0

A

⋅

+

=

r

i

const

|

v

|

A

=

r

, czyli:

t

100

km

100

)

t

(

x

h

km

A

⋅

+

−

=

Kinematyczne równania ruchu dla samochodu osobowego:

t

|

v

|

x

)

t

(

x

B

B

0

B

⋅

−

=

r

i

const

|

v

|

B

=

r

, czyli:

t

7

,

66

150

)

t

(

x

h

km

h

km

B

⋅

−

=

8. Dane:

s

/

m

12

|

v

|

0

=

r

o

30

=

α

Szukane;

?

)

h

(

v

max

=

r

Analiza: W najwy

ż

szym punkcie toru pionowa składowa pr

ę

dko

ś

ci jest równa zeru, czyli

pr

ę

dko

ść

jest równa tylko poziomej składowej pr

ę

dko

ś

ci, a ta w rzucie pionowym si

ę

nie

zmienia podczas całego ruchu.

Rozwi

ą

zanie:

x

0

v

v

r

r

=

oraz

s

m

s

m

o

s

m

0

x

0

6

2

1

12

30

sin

12

sin

|

v

|

|

v

|

=

⋅

=

⋅

=

α

⋅

=

r

r

.

Odpowied

ź

: W najwy

ż

szym punkcie toru pr

ę

dko

ść

ciała jest równoległa do osi OX, zwrócona

zgodnie ze zwrotem osi OX (równoległej do powierzchni Ziemi i zwróconej od miejsca startu

do miejsca l

ą

dowania) i ma warto

ść

równ

ą

s

m

6

.

5

BLOK 2 odpowiedzi do zada

ń

do samodzielnego rozwi

ą

zania

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

9. Dane:

1

2

II

t

t

t

−

=

∆

, gdzie

s

2

t

2

=

,

s

1

t

1

=

.

Szukane:

?

)

t

(

s

II

=

Analiza: Droga przebyta w ci

ą

gu drugiej sekundy ruchu jest równa ró

ż

nicy

1

2

s

s

−

, gdzie

1

s

to droga przebyta w ci

ą

gu jednej (pierwszej) sekundy ruchu, a

2

s

to droga przebyta w ci

ą

gu

pierwszych (pocz

ą

tkowych) dwóch sekund ruchu.

Wa

ż

ne: Kinematyczne równania ruchu opisuj

ą

stan ruchu po okre

ś

lonym czasie.

Nale

ż

y skorzysta

ć

z równania na drog

ę

w ruchu jednostajnie przyspieszonym, z

przyspieszeniem

a

r

i szybko

ś

ci

ą

pocz

ą

tkow

ą

równ

ą

0

u

0

=

:

2

2

1

t

|

a

|

)

t

(

s

r

=

Rozwi

ą

zanie:

)

t

(

s

)

t

(

s

)

t

(

s

1

2

II

−

=

m

15

]

)

s

1

(

)

s

2

[(

10

)

t

t

(

|

g

|

)

t

(

s

2

2

2

s

m

2

1

2

1

2
2

2

1

II

=

−

⋅

⋅

=

−

⋅

=

r

Odpowied

ź

: droga przebyta w ci

ą

gu drugiej sekundy ruch wynosi 15 m.

10. Dane:

o

1

60

=

α

,

2

1

z

z

=

,

|

v

|

|

v

|

02

01

r

r

=

Szukane:

?

2

=

α

Analiza: Rzut uko

ś

ny. Interesuje nas tylko pozioma składowa pr

ę

dko

ś

ci i przemieszczenie w

poziomie. Rzut uko

ś

ny mo

ż

na rozpatrywa

ć

jako zło

ż

enie dwóch, odbywaj

ą

cych si

ę

równocze

ś

nie ruchów: jednostajnego wzdłu

ż

osi poziomej (osi OX) i jednostajnie zmiennego

wzdłu

ż

osi pionowej (osi OY). Ruch w poziomie jest ruchem jednostajnym, z pr

ę

dko

ś

ci

ą

o

warto

ś

ci:

α

⋅

=

cos

|

v

|

|

v

|

0

x

0

r

r

. Zasi

ę

g jest równy warto

ś

ci poziomej składowej przemieszczenia.

( w tym przypadku: jest tak

ż

e równy drodze przebytej przez ciało wzdłu

ż

osi poziomej).

Ale czas musimy obliczy

ć

z równania na pionow

ą

składow

ą

pr

ę

dko

ś

ci osi

ą

gni

ę

t

ą

w punkcie

maksymalnym toru:

↑

↑

↑

↑

⋅

−

=

⇒

⋅

+

=

t

|

g

|

|

v

|

|

)

t

(

v

|

t

g

v

)

t

(

v

y

0

y

y

0

y

r

r

r

r

r

r

, przy czym

α

⋅

=

sin

|

v

|

|

v

|

0

y

0

r

r

,

0

)

t

(

v

y

=

↑

r

oraz

↑

⋅

=

t

2

t

k

(nie ma mowy o oporach ruchu).

|

g

|

sin

|

v

|

t

0

r

r

α

⋅

=

↑

Rozwi

ą

zanie:

1

k

1

0

1

k

x

0

1

t

cos

|

v

|

|

t

|

v

||

z

⋅

α

⋅

=

⋅

=

r

r

i

2

k

2

0

2

k

x

0

2

t

cos

|

v

|

|

t

|

v

||

z

⋅

α

⋅

=

⋅

=

r

r

oraz

1

1

k

t

2

t

↑

⋅

=

i

|

g

|

sin

|

v

|

t

1

0

1

r

r

α

⋅

=

↑

St

ą

d:

|

g

|

)

2

sin(

|

v

|

|

g

|

sin

cos

|

v

|

z

1

2

0

1

1

2

0

1

r

r

r

r

α

⋅

=

α

⋅

α

⋅

=

|

g

|

)

2

sin(

|

v

|

|

g

|

sin

cos

|

v

|

z

2

2

0

2

2

2

0

2

r

r

r

r

α

⋅

=

α

⋅

α

⋅

=

o

2

o

2

2

3

o

o

2

1

2

1

30

60

2

120

sin

)

60

2

sin(

)

2

sin(

)

2

sin(

z

z

=

α

⇒

=

α

⋅

⇒

=

=

⋅

=

α

=

α

⇒

=

Odpowied

ź

: Nale

ż

y rzuci

ć

kamie

ń

pod k

ą

tem 30

o

.