Blok 8: Ruch harmoniczny.

Wahadło matematyczne

Odpowiedzi do zestawu zadań do samodzielnego rozwiązania: 1. Każdy element każdej sprężyny rozciągany jest taką samą siłą o wartości F . ∆x = x + x 1

I

II

F

F

oraz x

1

=

i x

1

=

⇒ x = x .Z drugiej strony w treści zadania jest powiedziane, że: I

k

II

k

I

II

F1

F

kx ⇒

=

k =

.

1

1

x1

F

F

Zatem

1

1

x =

=

= x . Każda sprężyna zostanie rozciągnięta o x . Układ sprężyn I

1

F

k

1

1

x1

zostanie rozciągnięty o 2x .

1

2. Zależność okresu T drgań wahadła matematycznego od jego długości L , dana jest wzorem: L

T = 2π

, zatem odp. B

g

3. Ciężarki spoczywają, dlatego z I zasady dynamiki Newtona, dla każdego z tych ciężarków r

można napisać: F

= 0 , czyli:

wyp

r

r

r

r

r

F + F = 0 i F + F = 0 , gdzie F to oznaczenie siły sprężystości, z jaką sprężyna ciągnie 1

s

1

c

s2

c2

s

ciężarek. Pary sił działających na każdy ciężarek mają przeciwne zwroty, dlatego: F − F = 0 i F − F = 0 . Siły sprężystości F = k x , F = k x , a siły ciężkości: 1

s

1

c

s2

c2

1

s

1

1

s2

2

2

F = mg , F = mg

1

c

c2

Stąd: k x = mg i k x = mg ⇒ k x = k x .

1

1

2

2

1

1

2

2

Ponieważ x = 2x , to k x = k 2x ⇒ k = 2k 2

1

1

1

2

1

1

2

Odp. A

4. Położenie ciała w ruchu harmonicznym zależy od czasu: x(t) = A sin(ω ⋅ t + ϕ ) . Ponieważ 0

położenie równowagi oznacza, że x = 0 , to tym samym oznacza to, że sin(ω ⋅ t + ϕ ) = 0 .

0

Warto

2

ść przyspieszenia chwilowego dana jest wzorem a |

= Aω sin(ωt) | , co oznacza, że przy przechodzeniu przez położenie równowagi a = 0 . sin(ω ⋅ t + ϕ ) = 0 Z kolei, jeśli 0

sin(ω ⋅ t + ϕ ) = 0 , to cos(ω ⋅ t + ϕ ) = 1

± , a ponieważ wartość prędkości dana jest wzorem 0

0

v |

= Aωcos(ωt) | , to w położeniu równowagi prędkość osiąga wartość maksymalną.

Odp. A

r

r

F

5. Sprężyna wydłuża się zgodnie z równaniem: F = −kx , czyli F

kx ⇒

=

k =

. Okres drgań:

x

π

= 2

k

T

, a w ruchu harmonicznym: ω =

. Czyli

ω

m

−

2π

m

m

1 kg ⋅ 5 ⋅10 3 m

T =

= 2π

= 2π

x = 2 ⋅ 1

,

3 4 ⋅

≈ ,

0 44 s

k

k

F

1 N

m

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 1

BLOK 8 ODPOWIEDZI

L

L

18

12

1

1

6. T = 2

1

π

i T = 2

2

π

oraz f =

i f =

, przy czym T =

i T =

. Z tego

1

2

1

2

g

g

t

t

1

f

2

f

1

2

L

t

L

t

wynika, że 2

1

π

=

i 2

2

π

=

. Dodatkowo z treści zadania wiemy, że g

18

g

12

L − L = 10 cm = 1

,

0 m .

2

1

L

12

2

L

4

Zatem dziel

1

1

ąc równania na okresy stronami, otrzymujemy:

⇒

=

=

=

L

18

3

L

9

2

2

L − L = L

4

− L

5

= L

1

,

0 m ⇒

=

L = 1

,

0 8 m , a L =

0

,

0 8 m

2

1

2

9

2

9

2

2

1

k ⋅ x 2 (t)

7. E (t) =

i x(t) = A sin(ω ⋅ t + ϕ ) oraz ϕ = 0 , ponieważ powiedziano w zadaniu, że p

0

0

2

startujemy z położenia równowagi.

k ⋅ [A sin(ω ⋅ t)]2

Czyli E (t) =

.

p

2

π 2

2π

2

2

2

⋅

ω =

1

k [A sin( )]

A

ω m ⋅ A

, a t

1

= T oraz f = = 20 Hz , zatem E (t) 2

=

= k

=

,

p

T

4

T

2

2

2

k

gdzie skorzystano ze wzoru słusznego w przypadku ruchu harmonicznego: ω =

.

m

Ostatecznie:

2

ω m ⋅ A 2 (2 f π )2 m ⋅ A 2

4 2 (20 Hz)2 ⋅ 1

,

0 kg ⋅ 3

( ⋅10 2

−

π

m)2

E t

( ) =

=

=

≈ ,

0 7 J

p

2

2

2

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 2

BLOK 8 ODPOWIEDZI