Egz. z metod numerycznych (19) Dzienne

Nazwisko i imię ................................................ gr ........

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ZAD1

ZAD2

ZAD3

ZAD4

EGZ

LAB

ΣΣΣΣ

OCENA

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 1 (5+7 pkt).
a) Omówić metodę stycznych rozwiązywania równania f(x) = 0. Podać założenia o funkcji f i o punkcie
startowym zapewniające zbieżność do pierwiastka ciągu przybliżeń x

k

(k = 0,1, ... ) generowanego za

pomocą tej metody.

b) Zbadać zbieżność ciągu x

k

( )

, gdy f x

( )

x

2

x

−

2

−

=

i punkt startowy x

0

2

−

=

.Wyznaczyć pierwsze

przybliżenie x

1

. Obliczenia zilustrować graficznie.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 2 (4+6 pkt).
Danych jest (n+1) różnych punktów x

0

x

1

,

....

,

x

n

,

oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach

y

0

= f(x

0

), y

1

= f(x

1

), ...., y

n

= f(x

n

).

Rozważamy interpolację funkcji y = f(x) wielomianem.

a) Omówić zadanie interpolacji Lagrange'a.
b) Zdefiniować ilorazy różnicowe 1-go rzędu. Podać postać Lagrange'a i postać Newtona wielomianu
interpolacyjnego dla 2 węzłów.

Ad a. Sformułować zadanie, omówić problem rozwiązywalności.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 3 (8+4 pkt).
Danych jest (n+1) różnych punktów x

0

x

1

,

....

,

x

n

,

oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach

y

0

= f(x

0

), y

1

= f(x

1

), ...., y

n

= f(x

n

).

Rozważamy aproksymację średniokwadratową dyskretną funkcji y = f(x).

a) Sformułować zadanie aproksymacji wielomianowej. Omówić przypadek, gdy funkcja przybliżająca jest stałą.
b) Dokonać aproksymacji funkcji y = f(x) stałą, gdy f(0.5) = 1.5, f(1) = 1.8, f(1.5) = 1.3 oraz f(2) = 1.4 .
Obliczenia zilustrować graficznie.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 4 (10+6 pkt).
Zakładamy, że zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x

0

) = y

0

(*)

ma jednoznaczne rozwiązanie na [x

0

,b].

a) Omówić jawną i niejawną metodę Eulera rozwiązywania zagadnienia (*).
b) Dane jest zagadnienie początkowe y ' = x - 2y + 2 , y(2) = 1. Za pomocą jawnej i niejawnej metody
Eulera obliczyć y

1

oraz y

2

, gdy h = 1. Obliczenia zilustrować graficznie.

Ad a. Przybliżone rozwiązanie wyznaczamy w punktach równoodległych x

i

= x

0

+ ih (i = 1, 2, ..., n), gdzie

h = (b-x

0

)/n jest krokiem całkowania; --- wzory, interpretacja geometryczna, iteracyjne rozwiązywanie

wzorów niejawnych.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(19)

Zadanie 1.

Zadanie 3.

Zadanie 4.

3 2

1

0 1

2 3

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.5

1

1.5

2

2.5

0.5

1

1.5

2

2

2.5

3

3.5

4

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y - rozwiązanie dokładne

y

x

2

x

−

2

−

=