Egz. z metod numerycznych (19) Dzienne Nazwisko i imię ................................................ gr ........
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ZAD1
ZAD2 ZAD3 ZAD4
EGZ
LAB
Σ
OCENA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1 (5+7 pkt).
a) Omówić metodę stycznych rozwiązywania równania f(x) = 0. Podać załoŜenia o funkcji f i o punkcie startowym zapewniające zbieŜność do pierwiastka ciągu przybliŜeń xk (k = 0,1, ... ) generowanego za pomocą tej metody.
2
b) Zbadać zbieŜność ciągu (x
( )
k), gdy f x = x − x − 2 i punkt startowy x0 = −2.Wyznaczyć pierwsze przybliŜenie x1. Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2 (4+6 pkt).
Danych jest (n+1) róŜnych punktów x0 , x1 , .... , xn oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach y0 = f(x0), y1 = f(x1), ...., yn = f(xn).
RozwaŜamy interpolację funkcji y = f(x) wielomianem.
a) Omówić zadanie interpolacji Lagrange'a.
b) Zdefiniować ilorazy róŜnicowe 1-go rzędu. Podać postać Lagrange'a i postać Newtona wielomianu interpolacyjnego dla 2 węzłów.
Ad a. Sformułować zadanie, omówić problem rozwiązywalności.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3 (8+4 pkt).
Danych jest (n+1) róŜnych punktów x0 , x1 , .... , xn oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach y0 = f(x0), y1 = f(x1), ...., yn = f(xn).
RozwaŜamy aproksymację średniokwadratową dyskretną funkcji y = f(x).
a) Sformułować zadanie aproksymacji wielomianowej. Omówić przypadek, gdy funkcja przybliŜająca jest stałą.
b) Dokonać aproksymacji funkcji y = f(x) stałą, gdy f(0.5) = 1.5, f(1) = 1.8, f(1.5) = 1.3 oraz f(2) = 1.4 .
Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 4 (10+6 pkt).
Zakładamy, Ŝe zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x0) = y0 (*)
ma jednoznaczne rozwiązanie na [x0,b].
a) Omówić jawną i niejawną metodę Eulera rozwiązywania zagadnienia (*).
b) Dane jest zagadnienie początkowe y ' = x - 2y + 2 , y(2) = 1. Za pomocą jawnej i niejawnej metody Eulera obliczyć y1 oraz y2 , gdy h = 1. Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad a. PrzybliŜone rozwiązanie wyznaczamy w punktach równoodległych xi = x0 + ih (i = 1, 2, ..., n), gdzie h = (b-x0)/n jest krokiem całkowania; --- wzory, interpretacja geometryczna, iteracyjne rozwiązywanie wzorów niejawnych.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1.
Zadanie 3.
Zadanie 4.
9
2
3.5
8
1.5
3
7
6
1
2.5
5
0.5
4
2
3
0 0.5
1
1.5
2
2.5
1.5
2
1
1 2 2.5 3 3.5 4
3 2
1
0 1
2 3
1
y - rozwiązanie dokładne
2
2
y = x − x − 2
3