Egz. z metod numerycznych (18) Dzienne Nazwisko i imię ................................................ gr ........
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ZAD1 ZAD2 ZAD3 ZAD4
EGZ
LAB
Σ
OCENA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1 (6+6 pkt).
a) Ocenić w przybliŜeniu błąd bezwzględny i błąd względny, jaki popełniamy, obliczając wartość funkcji trzech zmiennych
z = f(x,y,z) ,
jeŜeli przyjęte do obliczeń x,y i z są niedokładne, przy czym oszacowania ∆x, ∆y i ∆z są niewielkie.
b) Podać oceny przybliŜone błędów, gdy f (x , y, z) = xyz.
Ad a. Wyprowadzić oceny przybliŜone ∆f i δf .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2 (5+4 pkt).
W przedziale [a,b] danych jest (n+1) punktów x0 , x1 , .... , xn , przy czym a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Punkty xi (i = 0, 1, 2, ...., n) są węzłami funkcji sklejanej.
a) Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Od ilu parametrów zaleŜy taka funkcja ?
b) Narysować wszystkie funkcje bazowe Φi takie, Ŝe Φi(x0) = 1.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3 (8+7 pkt).
2
⌠
RozwaŜamy zagadnienie przybliŜonego obliczania całki f (x) dx .
⌡0
a) Omówić prosty wzór trapezów i wzór Gaussa-Legendre'a oparty na 2 węzłach.
2
⌠
b) Za pomocą tych wzorów wyznaczyć przybliŜoną wartość całki (x + 2⋅ x − 1 ) dx .
⌡0
Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad a. Wyprowadzić wzory, przedstawić interpretację geometryczną.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 4 (4+10 pkt).
Zakładamy, Ŝe zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x0) = y0 (*)
ma jednoznaczne rozwiązanie rozwijalne w szereg Taylora w pewnym otoczeniu punktu x0.
a) Omówić metodę rozwijania w szereg Taylora rozwiązania zagadnienia (*).
b) Wyznaczyć dwa pierwsze i trzy pierwsze wyrazy takiego rozwinięcia, gdy y ' = - xy2 + 2x + 27 , y(2) = 4.
Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2.
Zadanie 3.
Zadanie 4.
4
4
4
3.5
3
3.75
3
3.5
2
2.5
2
3.25
1
1.5
1
3 2 2.25 2.5 2.75 3
0
0.5
x0 x1 x2 x3 x4 x5
y - rozwiązanie dokładne
0 0.5 1 1.5 2
y = x + 2⋅ x − 1