Conjuntos
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa no
cotidiano: um agrupamento ou coleção de objetos. Vejamos alguns exemplos:
i) conjunto das vogais.
ii) conjunto dos países membros da União Europeia.
iii) conjunto das pessoas que formam a Equipe Pedagógica do Ponto dos
Concursos.
iv) conjunto dos números pares positivos.
Cada objeto que faz parte da formação do conjunto é chamado de elemento.
Nos exemplos acima, os elementos são, respectivamente:
i) a, e, i, o, u
ii) Alemanha, Áustria, Bélgica, Bulgária, Chipre, Dinamarca, Eslováquia,...
iii) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
É importante notar que um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um
nome, um número. Na realidade, o elemento de um conjunto pode ser qualquer
coisa!!!
"Guilherme, já que o elemento de um conjunto pode ser qualquer coisa, é
possível que um conjunto seja elemento de outro conjunto?"
É claro!!! Quando eu digo que o elemento de um conjunto pode ser qualquer
coisa, eu o faço literalmente.
Vejamos um exemplo: o conjunto dos estados que formam o Brasil é um
conjunto formado por estados que, por sua vez, são conjuntos de cidades.
Vejamos outro exemplo: O conjunto das seleções que disputaram a Copa do
Mundo de 2010 é um conjunto formado por times que, por sua vez, são
conjuntos de jogadores.
Normalmente utilizamos letras maiúsculas para indicar os conjuntos e
utilizamos letras minúsculas para indicar os elementos.
Relação de pertinência
Vamos considerar um conjunto A e um elemento x. Há aqui uma dicotomia: ou
o elemento x pertence ao conjunto A ou o elemento x não pertence ao conjunto
A.
Para indicar que x é elemento de A, escrevemos:
x E A (lê-se "x pertence ao conjunto A" ou "x é elemento do conjunto A").
Para indicar que x não é elemento de A, escrevemos:
x 6 A (lê-se "x não pertence ao conjunto A" ou "x não é elemento do conjunto
A").
Acostume-se com estas notações envolvendo traços inclinados. Normalmente
um traço inclinado "em cima" de um símbolo significa que devemos negá-lo.
Exemplos:
O símbolo = significa "igual". O símbolo
significa "diferente".
Bom, vamos voltar aos conjuntos.
Vamos considerar o conjunto V das vogais.
significa "não é igual", ou seja,
Observe que a ordem dos elementos não é importante, ou seja, trocando a
ordem que os elementos estão dispostos, o conjunto permanece inalterado.
Isto quer dizer que:
É importante também ressaltar o seguinte fato: PODEMOS, mas não DEVEMOS
repetir elemento em um mesmo conjunto, pois a repetição de elementos não
significa que foram introduzidos novos elementos.
Isto significa que os conjuntos
são iguais.
Vamos fazer uma analogia meio que "grosseira" para entendermos alguns
conceitos.
Imaginemos que um conjunto seja como uma sacola de supermercado que
contenha em seu interior os elementos.
No exemplo do conjunto V das vogais, a visualização seria:
i) Podemos ter um pacote sem nenhum objeto. Esse pacote corresponde ao
conceito de conjunto vazio, cuja representação matemática é { } ou a letra
grega 0 (phi)
Vamos agora com essa história das sacolas de supermercado tentar
compreender melhor o fato de que um conjunto pode ser elemento de outro
conjunto.
Vamos considerar dois conjuntos V e C , o primeiro com as vogais e o segundo
com as consoantes.
Esses pacotinhos correspondem a conjuntos cujos elementos são,
respectivamente, as vogais e as consoantes.
Coloquemos esses pacotinhos dentro de outro pacote, que chamaremos de A.
Podemos visualizar isto assim:
Em linguagem de conjuntos poderíamos escrever:
A =
A =
Portanto, o conjunto A tem dois elementos, V e C. Como V é elemento de A,
podemos escrever que
como C é elemento de A, podemos escrever que
Desta forma, podemos concluir que um conjunto pode ser elemento de
outro.
Vejamos um exemplo um pouco mais formal.
Considere o conjunto {a,b}. Este conjunto possui apenas dois elementos,
saber: a, b.
Podemos, então escrever que:
Formas de representação de um conjunto
Usualmente, há três maneiras de representar conjuntos.
1) Representação por extensão
Enumeram-se os elementos do conjunto, escrevendo-os entre chaves e
separando-os por vírgula (ou ponto e vírgula). Por exemplo, o conjunto dos
aprovados no AFRFB 2009.
A = {Carlos Beckenkamp, Gisele Sulsbach, Nádia Carolina, Patrícia Lamadrid,
Mário Machado, Júlio Marinho, Marcelo Mossi, . . . }
Observe que o conjunto A possui muitos elementos. Desta forma, a
representação por extensão muitas vezes é trabalhosa e cansativa. Por essa
razão, vamos aprender a segunda forma de representação de conjuntos.
Considere agora o conjunto
vermelho para destacar. O
Coloquei os seus elementos em
possui dois elementos,
Observe que os elementos do conjunto
Podemos então afirmar que:
são dois conjuntos.
pois os elementos de
Mas não podemos afirmar que
são conjuntos e não letras.
Voltando para a analogia das sacolas...
A visualização do conjunto
é a seguinte
2) Representação por compreensão
O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os
seus elementos.
Cardinal de um conjunto
O cardinal de um conjunto é por definição a quantidade de elementos deste
conjunto.
A expressão acima é lida assim: A é o conjunto dos elementos x tal que x é
uma pessoa aprovada no AFRFB 2009.
No lado esquerdo do traço escrevemos o elemento genérico que representa os
elementos do conjunto. No lado direito do traço, escrevemos a propriedade que
caracteriza os elementos do conjunto.
Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se
um dado elemento pertence ou não ao conjunto.
Carlos Beckenkamp pertence ao conjunto A? Sim, pois ele foi aprovado no
AFRFB 2009.
Gugu Liberato pertence ao conjunto A? Não, pois ele não foi aprovado no AFRFB
2009.
3) Representação por diagramação (diagrama de Euler-Venn)
Utilizamos uma curva fechada e não-entrelaçada para representar o conjunto.
O conjunto A possui 3 elementos (Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina),
logo o cardinal do conjunto A é 3.
Representamos esta informação assim:
2) Conjunto Unitário
É todo conjunto que tiver cardinal igual a 1 (um).
Exemplo:
Classificação dos conjuntos quanto à cardinalidade
1) Conjunto Vazio
É todo conjunto que tiver cardinal igual a 0 (zero).
Exemplos:
Lembre-se que quando repetimos elementos não estamos introduzindo
elementos no conjunto.
Já vi muito alunos, erradamente, representarem o conjunto vazio assim:
Está errado!!!
A que "ideia" corresponderia este conjunto
Lembra que falamos que o
conjunto vazio "corresponde" a uma sacola sem nada dentro? Fazendo uma
analogia, temos que a "ideia" de
é um conjunto que tem um elemento:
Ou seja, este conjunto
seria um pacote em cujo interior há outro pacote,
este último nada contendo
Conjunto Universo e Conjunto Solução
Chamamos de conjunto universo ou simplesmente universo o conjunto ao qual
pertencem todos os possíveis elementos de uma teoria ou situação problema.
Todo subconjunto restrito e determinado do conjunto universo é denominado
conjunto solução.
Quase sempre a resposta para algumas questões depende do conjunto universo
que é considerado.
Por exemplo: Resolva a equação x + 5 = 2 considerando como conjunto
universo o conjunto dos números naturais.
Veremos nas que o conjunto dos números naturais é o conjunto N =
Ora, resolver a equação
significa encontrar um número que somado ao
número 5 resulte no número 2.
Como estamos considerando como conjunto universo o conjunto dos números
naturais, podemos afirmar que não existe número natural tal que
Podemos então dizer que, considerando como conjunto universo o conjunto dos
números naturais, o conjunto solução da equação x + 5 = 2 é o conjunto vazio.
Vejamos outro exemplo: Resolva a equação x + 5 = 2 considerando como
conjunto universo o conjunto dos números inteiros.
Veremos que o conjunto dos números inteiros é o conjunto
Ora, resolver a equação x + 5 = 2 significa encontrar um número que somado ao
número 5 resulte no número 2.
Como estamos considerando como conjunto universo o conjunto dos números
inteiros, podemos afirmar que a solução desta equação é o número -3. Isto
porque -3 + 5 = 2.
Neste caso, o conjunto solução é o conjunto
Vejamos um exemplo bem ilustrativo.
Considere os dias da semana. Quais os dias que começam pela letra Q?
Neste caso, o conjunto universo é o conjunto A e o conjunto solução é o
conjunto B.
Estes conceitos serão muito utilizados na Teoria das Probabilidades.
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se todo elemento de A é também
elemento de B e reciprocamente, ou seja, todo elemento de B é também
elemento de A.
Exemplos:
Observe novamente que na definição de igualdade entre conjuntos não é
relevante a noção de ordem entre os elementos, como já foi comentado
anteriormente.
Observe também que a repetição de algum elemento na descrição do conjunto
é absolutamente inútil.
Utilizaremos sempre a notação mais simples.
Se A não é igual a B, escrevemos
Para que os conjuntos A e B não sejam
iguais, basta que exista algum elemento de A que não pertença a B ou que
exista algum elemento de B que não pertença a A.
Exercícios
01. Descreva os elementos dos seguintes conjuntos:
Resolução
Observe que não existe número que seja negativo e positivo simultaneamente.
Portanto, o conjunto C é o conjunto vazio.
02. Represente pelo método da compreensão os seguintes conjuntos
A = {Deodoro da Fonseca, Floriano Peixoto, Prudente de Morais,...,Getúlio
Vargas,..., Lula, Dilma}
B = {Salvador, Brasília, Rio de Janeiro}
C = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo}
Resolução
Subconjuntos
Considere o conjunto formado pelas letras a,b,c,d,e,f,g,h,i.
A partir do conjunto acima, podemos formar outros conjuntos. Vamos utilizar
apenas as vogais que pertencem ao conjunto A. Formamos então o conjunto V:
Observe que todos os elementos de V são também elementos de A. Dizemos
então que o conjunto V é subconjunto do conjunto A. Isto é verdade porque
todo elemento de V é elemento de A.
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo
elemento que pertencer a A também pertencer a B.
Exemplo: Considere o conjunto A = {a,b,c,d,e}. Vejamos algumas relações de
inclusão:
A notação matemática é a seguinte:
inclusão.
é denominado sinal de
pode ser lida das seguintes maneiras:
- A é subconjunto de B.
- A é parte de B.
- Todo elemento de A é elemento de B.
Podemos também escrever com a seguinte simbologia:
lida das seguintes maneiras:
- B contém A ou B inclui A.
Utilizando o gráfico de Euler-Venn temos:
Esta expressão é
Vejamos algumas relações de
indicamos que A não é subconjunto de B. Obviamente A
não é subconjunto de B somente se existe pelo menos um elemento de A que
não pertence a B.
Observe que há dois elementos comuns aos conjuntos A e B.
Interseção de Conjuntos
A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que
são comuns a A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também
Com a notação
Observação importante: Os símbolos
são utilizados para exprimir
relações entre elementos e conjuntos. Os símbolos
utilizados para exprimir relações entre conjuntos.
Operações com conjuntos
Vamos considerar dois conjuntos dados:
Utilizando o diagrama de Euler-Venn, temos o seguinte
pertencem a B. Designamos a interseção de A e B por
Vamos destacar no nosso exemplo anterior a interseção dos conjuntos A e B.
Reunião de conjuntos
Chamamos de união de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a
pelo menos um dos dois conjuntos iniciais. Abaixo, em cores, destacamos a
união de A e B.
Diferença
A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem
a A e não pertencem a 6. A figura abaixo representa a diferença entre os dois
conjuntos (destaque em cores):
Designamos a união de A e B por
(lê-se A união B).
A U B = {x\x e Aoux E B]
No nosso exemplo temos que
Designamos a diferença de A e B por
(lê-se A menos B).
No nosso exemplo temos que
Podemos também considerar a diferença de B e A. Neste caso, devemos
considerar os elementos de B que não pertencem a A.
Diferença simétrica
Dados dois conjuntos A e B , chama-se diferença simétrica de A com B o
Pelo diagrama acima, podemos facilmente perceber que
01. (CODEG 2013/CONSULPLAN) No diagrama a seguir, que representa os
conjuntos A e B , a região hachurada é indicada por
No nosso exemplo:
corresponde aos
elementos que pertence a
Portanto, podemos
escrever:
Resolução
No diagrama acima a região hachurada representa os elementos que pertencem
ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Portanto, a região hachurada
representa o conjunto A - B.
Vamos chamar este conjunto acima de C.
Letra C
Resolução
Na realidade a operação corresponde à diferença simétrica.
Precisamos calcular:
Vamos fazer por partes. Vamos começar com o que está dentro do parêntesis.
Comecemos com:
Pronto. Calculamos o que estava dentro do parêntesis. Agora podemos
continuar com a expressão original:
Diagramas de Euler-Verm e cardinalidade de conjuntos
Frequentemente é útil escrever dentro dos diagramas não os elementos
propriamente ditos, e sim o número de elementos do conjunto. O cardinal de
um conjunto é o seu número de elementos.
Vejamos um exemplo: Num grupo de motoristas há 28 que dirigem carro, 12
que dirigem moto e 8 que dirigem carro e moto. Quantos motoristas há nesse
grupo? Quantos só dirigem carro?
Resolução
Vamos representar com diagramas os conjuntos citados.
O problema falou explicitamente que 8 dirigem carro e moto. Este é o
número de elementos da interseção dos dois conjuntos.
Letra C
Sabemos que 28 pessoas dirigem carro e que, destes, 8 dirigem carro e moto.
Concluímos que 28 - 8 = 20 pessoas dirigem apenas carro (dirigem carro e não
dirigem moto).
Sabemos também que 12 pessoas dirigem moto. Como 8 pessoas dirigem carro
e moto, então 12 - 8 = 4 pessoas dirigem apenas moto.
Resposta: O total de motoristas é igual a 20 + 8 + 4 = 32. Vinte pessoas dirigem
apenas carro.
Observe que neste caso o total de pessoas corresponde ao número de
elementos da união dos dois conjuntos citados.
Poderíamos seguir o seguinte raciocínio:
Há 28 pessoas que dirigem carro e 12 pessoas que dirigem moto. O total de
pessoas "seria" igual a 28 + 12 = 40. O problema é que existem 8 pessoas que
foram contadas duas vezes. Neste caso, as pessoas que dirigem carro e moto
devem ser subtraídas deste resultado, pois elas foram contadas duas vezes. O
total de pessoas é igual a 40 - 8 = 32.
Vamos resumir a conta que fizemos para chegar neste resultado:
32 = 28 + 12 - 8
O "32" é o número de elementos da união
O "28" é o número de elementos do conjunto das pessoas que dirigem carro
(C).
O "12" é o número de elementos das pessoas que dirigem moto (M).
O "8" é o número de elementos das pessoas que dirigem carro e moto
Designando por n(X) o número de elementos do conjunto X chegamos à
seguinte fórmula:
Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é
dado por:
Há uma expressão parecida quando estão envolvidos três conjuntos
Vamos resolver algumas questões envolvendo estes conceitos.
03. (Fiscal de Rendas RJ 2010/ESAF) Em uma amostra de 100 empresas, 52
estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades
anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15
são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades
anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas
e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de
Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo?
a) 18
b) 15
c) 8
d) 0
e) 20
Resolução
Há uma fórmula muito útil para ser utilizada em problemas como este. É dada
uma situação envolvendo três conjuntos e é pedido o número de elementos da
interseção dos três conjuntos.
A fórmula é a seguinte... Considere A,B e C três conjuntos quaisquer e n(X)
representa o número de elementos do conjunto X.
Vamos considerar como conjunto universo a amostra de 100 empresas.
Denotaremos por R o conjunto dessas empresas que estão situadas no Rio de
Janeiro, E o conjunto das empresas exportadoras e S as empresas que são
sociedades anônimas.
Desta forma:
Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem
exportadoras 12 empresas. Desta forma,
52 estão situadas no Rio de Janeiro
04. (ATRFB 2009/ESAF) Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos
de idiomas estrangeiros para seus alunos. Em uma determinada série, 30
alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que
estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol.
Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos
que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10
alunos que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e
sabendo-se que todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um
idioma estrangeiro, quantos alunos dessa série estudam nessa escola?
a) 96.
b) 100.
c) 125.
d) 115.
e) 106.
Resolução
Resumindo as informações:
1) 30 alunos estudam francês
2) 45 estudam inglês
3) 40 estudam espanhol
4) 12 estudam francês e inglês
Letra C
38 são exportadoras
35 são sociedades anônimas
Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são
sociedades anônimas
Das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas
Vamos colocar estas informações na fórmula:
5) 3 estudam francês e espanhol
6) 7 estudam inglês e espanhol
7) 3 estudam inglês, francês e espanhol
8) 10 alunos estudam apenas alemão
Vamos começar pelas intersecções. Da sétima informação, temos que 3 alunos
fazem inglês, francês e espanhol.
Da sexta informação, temos que 7 alunos estudam inglês e espanhol. Destes 7,
3 já foram alocados na região amarela acima. Logo, faltam 4 alunos para serem
alocados na intersecção entre inglês e espanhol.
Agora vamos preencher a intersecção entre francês e espanhol. Da informação
5, temos que há 3 pessoas nesta intersecção. Todas estas 3 pessoas já estão
alocadas, pois são as mesmas que fazem as três línguas.
Por fim, vamos à intersecção entre inglês e francês. Da informação 4, temos
que são 12 pessoas nesta região. Três delas já foram alocadas. Faltam 9.
Terminadas as intersecções, vamos aos alunos que fazem apenas 1 língua.
Sabemos que 30 alunos estudam francês. 12 deles já foram alocados. Faltam
18.
45 estudam inglês. 16 deles já foram alocados. Faltam 29.
40 estudam espanhol. 7 deles já foram alocados. Faltam 33.
Além dos alunos acima, temos os 10 que estudam apenas alemão.
Somando todos eles, temos:
106.
Letra E
05. (AL-SP 2010/FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários
de uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente,
68% disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos
médicos e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em
relação ao total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam
exercícios físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina
recomendados pelos médicos representam
a) 43%
b) 60%
c) 68%
d) 83%
e) 100%
Resolução I
Temos dois conjuntos para trabalhar, a saber:
i) o conjunto formado pelas pessoas que praticam exercícios físicos
regularmente.
ii) o conjunto formado pelas pessoas que fazem todos os exames de rotina
recomendados pelos médicos.
Seja x o percentual de pessoas que pertencem aos dois conjuntos (interseção).
75% declararam praticar exercícios físicos regularmente. Como já temos x,
então ainda faltam 75% - x.
68% disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos
médicos. Como já temos x, então ainda faltam 68% - x.
Temos ainda 17% que não possuem nenhum dos dois hábitos.
17%
A soma total deve ser igual a 100%.
x = 60%
Letra B
Resolução II
Se 17% não possui nenhum dos hábitos, então a união dos dois conjuntos
representa 100% - 17% = 83%. Queremos calcular o número de elementos da
interseção.
06. (BAHIAGAS 2010/FCC) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que:
- 15 nunca foram vacinadas;
- 32 só foram vacinadas contra a doença A;
- 44 já foram vacinadas contra a doença A;
- 20 só foram vacinadas contra a doença C;
- 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C;
- 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças.
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi
vacinado contra ambas as doenças B e C é
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Resolução
Agora são 3 conjuntos.
As seguintes informações podem ser facilmente preenchidas no diagrama:
-15 nunca foram vacinadas;
- 32 só foram vacinadas contra a doença A
- 20 só foram vacinadas contra a doença C
- 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C
Nas regiões desconhecidas, vamos colocar incógnitas.
- 44 já foram vacinadas contra a doença A. Assim, concluímos que:
- 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. Assim, concluímos que:
Letra C
07. (BB 2011/FCC) Dos 36 funcionários de uma Agência do Banco do Brasil, sabe-se que:
apenas 7 são fumantes, 22 são do sexo masculino e 11 são mulheres que não fumam. Com
base nessas afirmações, é correto afirmar que o
a) número de homens que não fumam é 18.
b) número de homens fumantes é 5.
c) número de mulheres fumantes é 4.
d) total de funcionários do sexo feminino é 15.
e) total de funcionários não fumantes é 28.
Resolução
Esta é uma questão interessante. Não há interseção entre homens e mulheres.
Assim como não há interseção entre os fumantes e não fumantes. Então, como
construir um diagrama com estes quatro conjuntos?
A melhor saída é construir uma tabela.
Fumantes
Não-Fumantes
Homens
Mulheres
Sabemos que são 11 mulheres que não fumam.
DOS CONCURSOS
Fumantes
Não-Fumantes
Homens
Mulheres
11
Como são apenas 7 fumantes e o total de pessoas é 36, então o total de não-
fumantes é igual a 29. Dos não-fumantes (29), temos 11 mulheres. Assim, o
total de homens não-fumantes é igual a 29 - 11 = 18.
Fumantes
Não-Fumantes
Homens
18
Mulheres
11
Há um total de 22 homens. Como são 18 não-fumantes, então são 4 homens
fumantes.
Fumantes
Não-Fumantes
Homens
4
18
Mulheres
11
Já temos 4 + 18 + 11 = 33 pessoas na tabe a. Como o total é igual a 36, então
faltam 3 mulheres fumantes.
Fumantes
Não-Fumantes
Homens
4
18
Mulheres
3
11
a) número de homens que não fumam é 18. (Verdade)
b) número de homens fumantes é 5. (Falso, são 4.)
c) número de mulheres fumantes é 4. (Falso, são 3.)
d) total de funcionários do sexo feminino é 15. (Falso, são 14.)
e) total de funcionários não fumantes é 28. (Falso, são 29).
Letra A
Sistemas de numeração
Nosso próprio sistema de numeração (base dez ou decimal) é um exemplo de um sistema de
numeração posicionai.
Assim, por exemplo, o número 324 significa 300 + 20 + 4. Ou equivalentemente 324 = 3.100 +
2.10 + 4 = 3.10
2
+ 2.10
1
+4.10°.
Vejamos outro exemplo ainda na base 10. O número 23.405 significa 20.000 + 3000 + 400 + 5. Ou
seja, 23.405 = 2.10
4
+3.10
3
+4.10
2
+ 5.10°.
Resumindo a história: qualquer número na base 10 é uma soma de forma que cada parcela é igual
ao dígito da posição vezes uma potência de dez. E qual o expoente da base 10? Justamente a
posição, de forma que o algarismo das unidades tem posição 0, o algarismo das dezenas tem
posição 1, o algarismo das centenas tem posição 2 e assim sucessivamente.
E esse fato será verdadeiro em qualquer base de numeração, mudando portanto apenas a base
das potências convenientemente. Por exemplo, o número 324
(3)
(o índice
(3)
significa que o número
está representado na base 3) será escrito da seguinte forma no sistema decimal:
Observe que no sistema de base 3, apenas utilizamos 3 algarismos - 0,1,2. No sistema de
base 4, apenas utilizamos 4 algarismos - 0,1,2,3.
No sistema de base 10, utilizamos 10 algarismos - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a base
3,
devemos efetuar sucessivas divisões por
3, de acordo com o seguinte algoritmo.
Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em
O número 221 na base 3 é igual a 25 no sistema decimal.
vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda. Ou seja
Os números na base 10 não necessitam de índice, por convenção. Ou seja
08. (MEC 2008/FGV) No sistema de numeração na base 5, só são utilizados os algarismos 0, 1, 2,
3 e 4. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também
escritos nessa base como mostrado:
10
20
11
21
De acordo com esse padrão lógico, o número 151 na base decimal, ao ser representado na base
cinco, corresponderá a:
(A) 111
(B)1011
(C) 1101
(D)1110
(E) 1111
Resolução
Para efetuar o processo inverso, ou seja, transformar o número 25 da base 10 para a base 5,
devemos efetuar sucessivas divisões por 5, de acordo com o seguinte algoritmo.
Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em
vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda.
Desta forma,
Letra C
09. (AFRE-PB 2006 FCC) O sistema básico de registro de informações em um computador é o
binário. Sendo assim, o número binário 0011011101 corresponde ao decimal
(A) 301.
(B) 221.
(C) 201.
(D) 121.
(E) 91.
Resolução
O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e 1.
Letra B
10. (ISS-RJ 2010/ESAF) A seguir estão representados pelo sistema binário, formado apenas pelos
algarismos 0 e 1, os números naturais de 0 a 16 em ordem crescente: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110,
111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000. Qual é o número que corresponde
ao binário 111011?
a) 59
b) 60
c) 58
d) 61
e) 62
Resolução
O sistema binário é o de base 2. Só são utilizados dois algarismos: 0 e 1.
1 1 1 0 1 1 = 1.2
5
+ 1.2
4
+1.2
3
+0.2
2
+1.2
1
+1.2° = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59.
Letra A
11. (TTN - ESAF) Nos sistemas de numeração posicionai, cada dígito da sequência que
representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o
valor do expoente depende da posição do dígito na sequência. Entre tais sistemas, um dos mais
importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números.
Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema
binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 2
3
) + (0 x 2
2
) + (1 x 2
1
) + (1 x 2
o
) Assim, o resultado,
expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
De acordo com esse padrão lógico, o número 15 na base decimal, ao ser representado na base
binária, corresponderá a:
(A) 1000
(B)1010
(C)1100
(D)1111
(E)10000
Resolução
Para transformar o número 15 da base 10 para a base 2, devemos efetuar sucessivas divisões por
2, de acordo com o seguinte algoritmo.
Quando não pudermos mais continuar a divisão devemos parar. Então olharemos os números em
vermelho (os restos das divisões e o último quociente) da direita para a esquerda.
Número Decimal = 1.2
3
+ 0.2
2
+ 1.2
1
+ 1.2° = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Número Binário = 101
Número Decimal = 1.2
2
+ 0.2
1
+ 1.2
o
= 4 + 0 + 1= 5
Resposta: 11 + 5 = 16
Letra E
12. (TCE-RO 2007/CESGRANRIO) No sistema binário de numeração, só se utilizam os algarismos
0 e 1. Os números naturais, normalmente representados na base decimal, podem ser também
escritos na base binária como mostrado:
Letra D
1. Conjuntos Numéricos
Não podemos ter um curso de Matemática sem falar sobre números. O
engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso.
Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números...
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891),
escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc.,
posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra
agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o
desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-
européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida;
ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara
para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.
Por outro lado, mesmo sem definir os "números", todos nós temos uma noção
bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os
números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras:
"Os números governam o mundo".
Nesta parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas
propriedades.
Conjunto dos Números Naturais
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao
contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um
número do tipo:
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não
poderíamos imaginar alguém falando: "Tenho 3,4231 livros na minha estante".
A este conjunto N denominamos conjunto dos números naturais.
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos
com um asterisco sobrescrito à letra N.
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos.
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações
básicas: adição e multiplicação.
Você deve estar se perguntando: "E por que não subtração e divisão?"
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando
sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre
possível somar dois números naturais? É claro que sim!!
Podemos efetuar 2+3 = 5, 3+0 = 3 e assim por diante.
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por
isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à
adição.
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4 , 8 x 0 = 0...
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um
número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em
relação à multiplicação.
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora
respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!
Podemos efetuar 5 - 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto
dos números naturais) 3 - 5 . Isto porque o resultado desta operação é um
número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais
NÂO É FECHADO em relação à subtração.
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É
FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos
efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma
fração que não é um número natural).
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como
soma, adição, multiplicação, produto, etc.
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...
Operações com números naturais
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto
dos números naturais: adição e multiplicação.
3 Existência do elemento neutro da adição
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.
O símbolo "+" representa a operação de adição. O resultado da adição
chamado de soma.
Portanto "adição" e "soma" não têm o mesmo significado. Adição é o nome
operação. Soma é o resultado da adição.
Definimos então a operação de adição:
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.
Vejamos algumas propriedades importantes da adição.
1 Propriedade comutativa
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma.
Em símbolos:
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 + 3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.
2 Propriedade associativa
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas
primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que
devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos
parêntesis
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de
elemento neutro da adição.
A soma de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é
uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar
dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número
natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número
irracional, etc.
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte
cálculo:
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão
significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.
utilizaremos x quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e
utilizaremos . quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você
pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor
esteticamente e utilize... Ok?
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e
nomenclaturas.
4 Propriedade do fechamento
3 x 4 = 12
3a significa 3 vezes a.
nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de
parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a
multiplicação. Assim,
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos
Normalmente
Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar
a diferença entre "multiplicação" e "produto". Multiplicação é o nome da
operação e produto é o resultado da multiplicação.
5 Propriedade comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o
mesmo 12.
6 Propriedade associativa
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois
primeiros ou os dois últimos fatores.
7 Existência do elemento neutro da multiplicação
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:
Desta forma, podemos afirmar que
Lembre-se que ab significa a vezes b. Ou seja,
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.
O produto de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a
multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais.
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será
um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um
número irracional, etc.
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou
simplesmente propriedade distributiva.
9 Propriedade Distributiva
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos
um exemplo. Efetue 2 . (3 + 5).
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem
escritos os parêntesis, no caso, 2.3 + 5, deveríamos efetuar primeiramente
2 • 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2.3 + 5 = 6 + 5 = 11.
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia
das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão
dentro dos parêntesis.
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um
número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em
seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 • (3 + 5) podemos
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com "letras"... Por exemplo, a
expressão 2 • (x + 3) pode ser desenvolvida da seguinte maneira:
8 Propriedade do fechamento
Ou simplesmente:
13. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte
resposta: "O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos
substituídos por letras."
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos
a mesma operação R + Re obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao
fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma
unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de
valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10).
Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar
R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então,
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros
do acervo dessa biblioteca é um número
a) menor que 70000.
b) compreendido entre 70000 e 75000.
c) compreendido entre 75000 e 80000.
d) compreendido entre 80000 e 85000.
e) maior que 85000.
Resolução
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os
algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras
distintas correspondem a algarismos distintos.
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um
Ou seja, qual é o número que somado com ele
mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então
Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento
neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.
a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R
não pode ser 5.
Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 = 12.
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo
das unidades 2 no resultado e "subimos 1". Na coluna do meio devemos efetuar
R + R + 1 (este 1 é aquele que "subiu"). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então
escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3.
Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos
com o caso R = 6.
Chega-se a conclusão de que R=9.
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:
Logo, MARRA=81980.
Letra D
14. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada
letra representa um algarismo
O valor de A+B+C é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Resolução
1 A B
8
X
3
A B 8
4
1 A 2 8
X
3
A 2 8
4
Finalmente, o número A deve ser tal que 3.A termine em 2. Portanto, A = 4.
1
4
2 8
X
3
4
2
8 4
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo
rismo das unidades é igual a 4. Logo,
ao efetuarmos
o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.
deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a
6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo
das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois
Conjunto dos números inteiros
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em
relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação
"subtração" ampliaremos o conjunto dos números naturais.
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela
letra Z (inicial de zahl - número em alemão).
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto
Dizemos que o número -x é o simétrico ou oposto do número x.
Por exemplo, o número -5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico
de - 5 .
Neste conjunto Z destacam-se os seguintes subconjuntos:
(1) Conjunto Z* dos inteiros não nulos (diferentes de zero):
(2) Conjunto Z_ dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero)
(3) Conjunto Z, dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero)
(4) Conjunto Z- dos inteiros negativos (menores que zero)
(5) Conjunto Z+ dos inteiros positivos (maiores que zero)
Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros
positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o
número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é
neutro.
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto
(simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:
Podemos então definir a operação "subtração" da seguinte maneira:
Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa.
Basta olhar, por exemplo, que 5 - 3 = 2 e 3 - 5 = - 2 . A subtração também
não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à
subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros,
com certeza o resultado será um número inteiro.
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem
todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números
naturais é subconjunto dos números inteiros.
Regras dos sinais com números inteiros
As observações acima são conhecidas como "Regra dos sinais" para a
multiplicação (e divisão) de inteiros.
Sinais dos
números
iguais
Resultado
positivo
diferentes
negativo
Exemplos:
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir
o sinal.
Multiplicando (ou dividindo)
números de mesmo sinal
obtemos um resultado positivo.
Multiplicando (ou dividindo)
números de sinais opostos
obtemos um resultado negativo.
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números
repetir o sinal do maior.
15. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números
inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.
Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a
a) 12
b) 14
c) 15
d) 18
e) 21
Resolução
Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira
4
9
6
0
9
3
8
4
Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a
terceira linha representa a diferença.
Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 - 2 = 4. Portanto,
Z = 2.
Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17-9 = 8. Portanto,
X — l .
4
9
7
6
0
9
2
3
8
4
Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a
subtração.
4
9
7
6
1
0
9
2
3
8
8
4
Letra D
Conjunto dos números racionais
Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição,
multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de
definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2,
mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o
conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.
Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números
decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não...
O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado
denominador da fração.
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é
inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números
que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal
finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração.
Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.
Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.
Observe que o sinal - pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta
forma:
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais
finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.
Números decimais finitos são números como 1,47; 2,513 ; -3,0154.
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir
os seguintes passos:
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem
as casas decimais.
É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente
infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:
0,14141414141414141414141414141414141414141414....
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.
Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.
Pense em uma raça preguiçosa... pensou?
A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS!
Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações,
notações e símbolos... Tudo para escrever pouco.
Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma
preguiça enorme de escrever
(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+VÜ)
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se
repetem, ou seja, do período. Portanto,
Muito mais simples, não?
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são
números racionais e os números racionais são representados por frações, como
transformamos as dízimas periódicas em frações?
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que
costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que
fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que
utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o
método abaixo como o mais simples por diversas razões.
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso
para resolver uma simples questão de dízima periódica, não?
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma
simples questão de dízima periódica?
Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851...
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos
anteriormente.
Denominaremos "Número Completo" e abreviaremos por NC o número da
dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo,
NC = 312.851.
Denominaremos "Número fora da barra" e abreviaremos por NFB os números
que estão fora da barra. No nosso exemplo, NFB = 312.
Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número NC - NFB.
Por enquanto, nossa fração está assim:
E como fica o denominador?
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso,
há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no
denominador tantos 9's (noves) quantos forem os números embaixo da barra.
Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no
denominador.
Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar...
Vamos olhar agora para os números que estão "entre a vírgula e a barra".
Quantos são eles? 2!!!
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos
entre a vírgula e a barra.
Pronto!
Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por
99.900.
Muito fácil não??
E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.
Vamos praticar um pouco mais.
Transforme em fração o número 0,666666...
Vamos colocar na notação da barra.
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um
9 no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não
colocamos zeros no denominador.
Transforme em fração o número 0,13434343434.
Vamos colocar na notação da barra.
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9's no
denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto,
colocamos um zero no denominador..
Transforme em fração o número 0,999...
Vamos colocar na notação da barra.
Portanto, 0,999... = 1
Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!!! É IGUAL a 1!!!
A bem da verdade, 0,999...e1 representam o mesmo número. Apenas estão
escritos de maneiras diferentes.
16. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima
periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta
dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é
igual a:
A) 88
B) 89
C) 90
D) 91
E) 92
Resolução
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o
primeiro passo é escrever na notação da barra.
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um
9 no denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não
colocamos zeros no denominador.
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9's no
denominador.
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos
três zeros no denominador.
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível.
Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente
podemos simplificar o numerador e o denominador por 5.
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias
vezes.
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.
Exemplo:
Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 . 4 + 2 = 38.
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.
A questão pede para efetuar
Letra B
Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na
divisão propriamente dita.
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode
ser 0.
Assim, não há sentido na fração 5/0.
17. (ANVISA 2OIO/CETRO) Considere « = 0,00003 e 6 = 3.600.000. Desse modo,
b/a vale
a) cento e vinte trilhões.
b) cento e vinte bilhões.
c) um bilhão e duzentos milhões.
d) cento e vinte milhões.
e) um milhão, cento e vinte mil.
Resolução
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em
seguida "apagar as vírgulas".
Letra B
Subconjuntos Notáveis dos Racionais
Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do
conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los:
(1) Conjunto Q* dos racionais não nulos (diferentes de zero):
(2) Conjunto dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero):
(3) Conjunto Q+ dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero):
(4) Conjunto Q1 dos racionais negativos (menores que zero):
(5) Conjunto Q+ dos racionais positivos (maiores que zero):
Chama-se conjunto dos números reais - R - aquele formado por todos os
números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não
periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do
conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
Conjunto dos números irracionais
Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos
irracionais.
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não
é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais.
Alguns exemplos famosos:
A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas
casas decimais.
A constante de Coperland-Erdõs é a concatenação dos números primos nas
casas decimais.
Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e
denominador inteiros.
Números reais
Reta real
Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada
denominada Reta Real.
18. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos
N, dos números naturais.
Z, dos números inteiros.
Q, dos números racionais.
R, dos números reais.
Assinale a alternativa correta.
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.
(E) A equação 3x -1 = 0 não tem solução em Q.
Resolução
a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem
A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior
ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 - 5 = -2 e
b) Falsa. O conjunto Z = { . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } não possui um menor
elemento nem um maior elemento.
c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é
um número racional e todo número racional é um número real.
e) Vamos resolver a equação 3x -1 = 0.
Portanto, a alternativa E é falsa.
Letra C
19. (Agente Administrativo - Ministério dos Transportes 2OIO/CETRO) Em
relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:
Considere:
Ir = Conjunto dos números irracionais.
N = Conjunto dos números naturais.
Q = Conjunto dos números racionais.
R = Conjunto dos números reais.
Z = Conjunto dos números inteiros.
As afirmações verdadeiras estão contidas em
a) I apenas.
b) I e III apenas.
c) I, II e V apenas.
d) II, III, IV e V apenas.
e) I, II, III, IV e V.
Resolução
Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que
podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de
zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos
números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais.
Como vimos na questão anterior,
Assim,
I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois
IV é falsa, pois
V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado
por todos os números reais que não são racionais.
Letra C
20. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE)
Considere os conjuntos:
N dos números naturais,
Q dos números racionais,
Q+ números racionais não-negativos,
R dos números reais.
O número que expressa
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não
de N.
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.
c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.
d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.
Resolução
a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N.
b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo.
Por exemplo, 2,37 reais.
c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um
elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, l,72m.
d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um
número irracional.
e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional.
Letra B
21. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e
Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente.
Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido
entre
a) 800 e 1 000
b) 600 e 800
c) 400 e 600
d) 200 e 400
e) 100 e 200
Resolução
A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim:
Temos então:
O número (X4Y) que está dividindo, pode "passar para o segundo membro"
multiplicando.
2. Potências
A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência.
Observe:
• Toda potência de expoente 1 é igual a base.
Na potência 4
5
- 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de
vezes que o fator se repete).
Sendo a um número real e n um número inteiro maior que 1, define-se:
Exemplos
IMPORTANTE
Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.
Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da
potência é negativo.
Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.
• Toda potência de expoente 0 é igual a 1.
Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de
expoente positivo.
Exemplos
Propriedades Operatórias
Em palavras:
• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os
expoentes são adicionados.
• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes
são subtraídos.
• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os
expoentes são multiplicados.
Exemplos
22. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número
1 0
1 0
- 3 é :
a) 88
b) 89
c) 91
d) 95
e) 97
Resolução
Qual o significado de
Com dez fatores "x".
Portanto, IO
10
= 10.000.000.000
Letra A
23. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando
encontra-se:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 2
21
Resolução
Vamos relembrar algumas propriedades das potências.
Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base,
repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de
mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,
E da mesma forma que
Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão?
Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto:
Podemos colocar 2
18
em evidência:
Vamos colocar 3
n
em evidência no numerador e no denominador.
Letra C
24. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão
onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte
resultado:
a) 1/3
b) 1/27
c) 3
d) 27
e) 1/9
Resolução
Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas
na questão anterior.
Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil!
Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de n não influencia
na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que
vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o
número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.
Esta é a expressão. Vamos substituir n por 3.
Simplificando por 13...
Bem melhor, não?!
Letra B
25. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que
tal que 10* = 9.000 é:
a) 3,628
b) 3,746
c) 3,882
d) 3,015
e) 3,954
Resolução
Mas o enunciado nos disse que 3
Portanto:
Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar
a base e multiplicar os expoentes.
Letra E
1. Produtos Notáveis e fatoração
Há alguns produtos de polinómios que ocorrem com muita frequência na
álgebra e que são chamados de produtos notáveis.
Quadrado da soma de dois termos
Quadrado da diferença de dois termos
Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo
termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo 1. Desenvolva
Resolução
Exemplo 2.
Resolução
Desenvolva
Neste caso, para calcular
conservamos a base e multiplicamos os expoentes!
Resposta:
Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo
termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo 3.
Resolução
Desenvolva
Produto da soma pela diferença de dois termos
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
Exemplo 4. Desenvolva
Resposta:
Cubo da soma de dois termos
Para calcular
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo,
mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o
cubo do segundo termo.
Exemplo 5. Desenvolva
Resolução
Resposta:
Cubo da diferença de dois termos
calcular
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro
termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo
termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo,
menos o cubo do segundo termo. O processo é praticamente igual ao caso
anterior, só que os sinais vão se alternando.
Exemplo 6. Desenvolva
Resolução
Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar todos
os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No caso,
mmc(a,b, 5) = 5ab
Vamos multiplicar o primeiro termo por 5ab.
26. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que
Então, a
2
+ b
2
é igual a :
a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24
Resolução
Vamos multiplicar o segundo termo por 5ab.
Finalmente, multiplicar o último termo por 5ab.
E equação ficará assim
Colocando o número 5 em evidência:
Como o enunciado nos informou que a + b = 6:
Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de a
2
+ b
2
Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou
semelhança da expressão
nesta expressão, elevamos os números ao quadrado e em seguida somamos
os resultados.
nesta expressão, somamos os números e em seguida elevamos o resultado
ao quadrado.
Pois bem, esta expressão (a + b)
2
é muito famosa em Matemática. É tão famosa
e útil que é chamada de produto notável.
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão:
Você está lembrado qual é o valor de a + b? O enunciado nos informou que
a + b = 6. E o valor de ab, você está lembrado? Nós já calculamos e descobrimos
Portanto, a
2
+ b
2
= 21.
Letra D
27. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que:
a) 5
b) 5/2
c) 2/5
d) 3
e) 1/2
Resolução
Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos depois...
A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque forneceu
diretamente os valores de a + b e de ab. Agressiva porque trocou o expoente da
expressão pedida. Para calcular a
3
+ b
3
vamos ter um pouco mais de trabalho.
A conversa é bem parecida com a da questão passada.
Notou a semelhança da expressão a
3
+ b
3
com a expressão (a + b)
3
?
-> nesta expressão, elevamos os números ao cubo e em seguida somamos os resultados.
(a + b )
3
-> nesta expressão, somamos os números e em seguida elevamos o resultado ao cubo.
Pois bem, esta expressão (a + b)
3
é muito famosa em Matemática. É tão famosa
e útil que é chamada de produto notável.
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão:
(a +
b)
3
=
a
3
+ 3
a
2
b + 3 ab
2
+ b
3
"Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova!"
Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal!
Para calcular (a + b)
3
basta multiplicar (a + b)
2
por (a + b)
Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de a
3
+ b
3
.
(a + b )
3
= a
3
+ 3 a
2
b + 3
ab
2
+ b
3
Observe as duas parcelas do meio no segundo membro:
3
a
2
b + 3 ab
2
Podemos colocar a expressão 3ab em evidência.
Voltando ao produto notável:
Sabendo que
Letra A
3. Radicais
Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito.
Raízes de índice par
Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer
outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os
exemplos:
Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e
Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um
número positivo.
Portanto:
Desta maneira, é falso afirmar que
Por outro lado, podemos escrever que
sinal, e sim o sinal que o antecede.
Nâo é o radical que "causa" o
É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do
radical for par (trabalhando com números reais).
não existe porque não há um número real que elevado ao
quadrado dê -16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser
negativo.
Note a diferença:
Raízes de índice ímpar
Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando
negativo.
Potência de expoente racional
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número
natural não nulo, temos:
Observe:
Exemplos:
Propriedades
Considere a,b números reais não-negativos
um número natural
maior que 1 em um número inteiro qualquer.
Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo:
Racionalização de Denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que
aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração.
Grosso modo, racionalizar é "tirar" o radical do denominador.
Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração
por um número chamado fator racionalizante do denominador.
1º caso -> Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2
Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada,
multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e,
assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical.
O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!!
2
o
caso -> Racionalizando quando o denominador é um radical de índice
diferente de 2
Lembre-se que se a é um número não-negativo
Veja os exemplos:
Lembre-se que se a é um número não-negativo,
Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 - 3 = 2
3
o
caso -> Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de
dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
(primeiro + segundo) • (primeiro — segundo) = (primeiro)
2
— (segundo)
2
Pois bem, vamos ver um exemplo:
Para ensinar este 3
o
caso, falarei sobre um "produto notável"
Observe que o fator racionalizante de
(troca o sinal).
O fator racionalizante de 4
28. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade
a) 1
b) 3
c) 3
d) 5
e ) 7
Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o
denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou
seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o
radical.
Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o
denominador significar "acabar com o número irracional do denominador"
Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por
Desta forma:
Vamos lembrar o seguinte produto notável:
Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o
do enunciado.
Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos
multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre
que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o
numerador e o denominador pela soma dos radicais.
concluímos que a = 6 e b = 35
Como
O valor de a
2
- b é 6
2
- 35 = 36 - 35 = 1
Letra A
29. (APO/MPOG - 2008 - ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números
racionais. Sabe-se, também, que
Com essas informações, conclui-se que
Resolução
Racionalizando o denominador:
Para que z seja racional, o número que multiplica
Portanto,
Letra E
Comparação de radicais
Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a
seguinte propriedade:
Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos
multiplicar (ou dividir) o índice por certo número p e, para não alterar o valor
da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o expoente do radicando pelo mesmo
número p.
Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os
radicais ao mesmo índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de
4 e de 5. Que tal 20?
Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5
é igual a 20? Este número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o
expoente do primeiro radical por 4.
xy-
6 = 0
xy = 6
Exemplo:
deve ser igual a 0.
Exemplo: Quem é maior:
Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20?
Este número é 5. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do
segundo radical por 5.
é o mesmo que perguntar
quem é maior:
30. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores
ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação
Resolução
Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar,
devemos pensar em um número que seja múltiplo dos índices.
Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6?
Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6.
Devemos multiplicar 6 por 1 para obter 6.
Devemos multiplicar 3 por 2 para obter 6.
Desta forma:
Facilmente percebemos que
Portanto:
Letra C
Máximo Divisor Comum
Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o
primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do
primeiro. Desta forma temos que:
O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os
divisores do número em questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é:
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo
divisor comum (m.d.c.).
Vejamos...
Qual é o m.d.c. entre 8 e 12?
Vamos listar os divisores de cada número.
Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os
divisores comuns, qual é o maior? A resposta é 4. Portanto, mdc(8,12) = 4.
Vamos aprender um método mais rápido para calcular o m.d.c. na resolução
das questões.
31. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84
m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m
cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os
fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior
possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa
maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a
(A) 24.
(B) 36.
(C) 49.
(D) 64.
(E) 89.
Resolução
Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que
podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É
óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84.
Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem
que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84
dividido por 4 é igual a 21 e resto 0.
Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do
comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos
querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um
número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há
vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4.
O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior
possível.
Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum
de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior,
D de divisor e C de comum.
Vamos calcular o mdc(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração
simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três
números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos
procurar números que dividam simultaneamente os três números.
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2?
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente?
84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por
2 é igual a 30.
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2
é igual a 15.
Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5
simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos
multiplicar 2 - 2 - 3 = 12.
Conclusão: cada pedaço terá 12 metros.
O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo
do fio X será dividido em:
Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3?
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é
igual a 5.
Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 - 7 = 28 pedaços.
O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada
rolo do fio Y será dividido em:
Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 • 12 = 36 pedaços.
O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo
do fio Z será dividido em:
Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 . 5 = 25 pedaços.
Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a
28
+ 36 +
25 = 89.
Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o
seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços.
Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é
igual a 4 . 84m = 336 metros.
Letra E
32. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no
setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de
detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo
esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem
misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados
(A) 5 grupos.
(B) 8 grupos.
(C) 10 grupos.
(D) 12 grupos.
(E) 13 grupos.
Resolução
Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos
encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que
não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos,
portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. O
processo para o cálculo do MDC está descrito na questão anterior. Devemos
fatorar os números apenas por números que dividam os dois números
simultaneamente.
Portanto, mdc(240,160) = 2 • 2 • 2 . 2 . 5 = 80. Isto significa que cada grupo terá 80
detentos.
Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y
é igual a 3 . 144m = 432 metros.
Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é
igual a 5 • 60m = 300 metros.
O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 + 432 + 300 = 1.068 m.
Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos:
Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400
dividido por 80 é igual a 5).
Letra A
Mínimo Múltiplo Comum
Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do
conjunto dos números naturais pelo número 4.
Os múltiplos de 4 são {0,4,8,12,16,20,24,...}.
Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos.
Devemos nos lembrar dos seguintes fatos:
O zero é múltiplo de qualquer número.
Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo.
O único múltiplo de zero é o próprio zero.
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números
chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.).
Qual o m.m.c. entre 8 e 12?
Múltiplos de 8 = {0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,...}
Múltiplos de 12 = {0,12,24,36,48,60,72,84,...}
Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os
múltiplos comuns não-nulos, o menor é 24. Portanto, mrac(8,12) = 24.
Normalmente os problemas envolvendo mmc são aqueles que surgem
periodicidades. Por exemplo:
Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa
Manuella folga no seu trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje,
quando folgarão juntos novamente?
A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24
dias!
Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a
PRÓXIMA vez em que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi
anteriormente, percebemos que eles também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias,
O processo para calcular o mmc é muito parecido com o processo para calcular
o mdc, utilizando fatoração simultânea. A diferença é que no cálculo do mmc
nós continuamos a fatoração até que não seja mais possível fatorar.
Devemos pensar em um número que divida os dois simultaneamente. Que tal
2?
Devemos agora pensar em um número que divida simultaneamente 4 e 6. Que
Vejamos:
8,,12
tal 2?
Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar
a fatoração. Dividindo por 2 (repetimos o 3).
Desta forma, mmc(8,12) = 2-2-2-3 = 24
33. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos,
todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o
terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do
dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente,
no mês de novembro de 2009, dia
(A) 28, às 19 horas.
(B) 28, às 23 horas.
(C) 29, às 7 horas.
(D) 29, às 11 horas.
(E) 30, às 7 horas.
Resolução
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.
E agora dividimos por 3.
Desta forma, m.m.c.(4,8,10) = 2 . 2 . 2 • 5 = 40 horas. Isto significa que os 3
medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos
juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009.
Ora, sabemos que 40 horas = 24 horas + 16 horas = 1 dia + 16 horas
7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de
novembro de 2009.
7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov.
de 2009.
Letra B
34. (Agente Fiscalização Sanitária - Pref. de Sorocaba 2010/VUNESP) Antônio,
Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e
fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam
juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que
os três farão juntos, será no dia
(A) 15 de maio
(B) 26 de maio
(C) 25 de junho
(D) 30 de junho
(E) 27 de julho
Resolução
Para calcular o período que os três trabalham juntos, devemos calcular o
mínimo múltiplo comum de 10, 15 e 18.
Assim, mmc(10,15,18) = 2 . 3 . 3 . 5 = 90 dias. Observe que o problema não
considera meses de 30 dias. Devemos considerar a quantidade de dias que
cada mês realmente tem.
Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um
processo mnemónico muito fácil para a memorização destes meses.
Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo.
Para o nosso processo mnemónico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do
dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três
reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:
Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como
sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante,
conforme a figura abaixo:
Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não
tem mais "espaço" para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma
coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo:
Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que
estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28
ou 29 dias).
Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. Como o mês de março possui 31
dias, então vamos contar 4 dias em março.
O mês de abril tem 30 dias e o mês de maio tem 31 dias. Já contamos 4 + 30 +
31 = 65 dias. Para completar os 90 dias, precisamos de 9 0 - 6 5 = 25 dias, que
serão contados em junho. Portanto, próximo plantão, imediatamente após
esse, que os três farão juntos, será no dia 25 de junho.
35. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas
noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de
controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada
Letra C
18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam
simultaneamente o relógio de controle a cada
(A) 1 h 24 min.
(B) 1 h 18 min.
(C) 1 h 12 min.
(D) 1 h 06 min.
(E) 1 h.
Resolução
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.
36. (Técnico Administrativo TRT 24
a
Região 2011/FCC) Sabe-se que Vitor e
Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e,
sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6
dias. Assim sendo, se no último dia de Natal - 25/12/2010 - ambos estiveram
de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência
NÃO ocorrerá em
(A) 18 de maio.
(B) 24 de abril.
(C) 31 de março.
(D) 10 de fevereiro.
(E) 18 de janeiro.
Resolução
Desta forma, m.m.c. (36,24,18) = 2. 2. 2. 3. 3 = 72 minutos.
72 min = 60
min + 12 min = 1 h 12 min
Letra C
O intervalo das coincidências é calculado a partir do M.M.C. dos períodos.
Assim, mmc(6,8) = 2 . 2 . 2 . 3 = 24. Ou seja, os plantões coincidem a cada 24 dias.
Houve uma coincidência no dia 25 de dezembro de 2010. Vamos avançar de 24
em 24 dias.
A próxima coincidência será no dia 18 de janeiro (6 dias de dezembro mais 18
dias de janeiro = 24 dias).
Em seguida, há uma coincidência no dia 11 de fevereiro (13 dias em janeiro
mais 11 dias de fevereiro = 24 dias).
Já podemos marcar a alternativa D.
A próxima coincidência será no dia 7 de março (17 dias em fevereiro mais 7
dias de março = 24 dias).
Como 7 + 24 = 31, então a próxima coincidência é no dia 31 de março.
Correndo mais 24 dias, chegamos no dia 24 de abril.
Finalmente, a próxima coincidência será no dia 18 de maio (6 dias em abril +
18 dias de maio = 24 dias).
Gabarito: D
Sistemas Métricos
37. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a
cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a
uma altura mais próxima de:
a) 6km
b) 7km
c) 8km
d) 9km
e) 10km
Resolução
30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de
centímetro para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim,
914.440 cm = 9.144,40 m. E para transformar de metro para
quilometro devemos dividir o resultado por mil. Dessa forma, 9.144,40
m = 9,14440 km.
Letra D
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
km hm dam m dm cm mm
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda
devemos dividir por 10 a cada passagem.
Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir
por 100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km.
Significados dos prefixos:
k - quilo (1000)
h -hecto (100)
da - deca (10)
d - deci (1/10)
c - centi (1/100)
m - mili (1/1000)
O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do
litro e grama.
kl hl dal l dl cl ml
kg hg dag g dg cg mg
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda
devemos dividir por 10 a cada passagem.
Por exemplo: Transformar 8.432 dg (decigramas) para dag (decagramas).
Devemos andar duas casas para a esquerda, assim devemos dividir 8.432 por
100 obtendo 84,32 dag.
Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de
m
2
), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100.
Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos
de m
3
), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.
38. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP
o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se
um caminhão-tanque tem capacidade de 32m
3
, quantos caminhões seriam
necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m
3
=1000 litros)
a) 205
b) 210
c) 215
d) 220
e) 225
Resolução
O texto nos informou que 1m
3
=1000 litros. 7,2 milhões de litros = 7.200.000
litros. Pela relação dada temos que 7.200.000 litros = 7.200m
3
. Como cada
caminhão transporta 32 m
3
, o total de caminhões desaparecidos é 7.200/32 =
225.
Letra E
39. (DOCAS-PA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma caixa d'água cúbica tem
as arestas medindo 2 m de comprimento. Então essa caixa-d'água tem
capacidade para mais de 7.000 litros de água.
Resolução
O volume de uma caixa cúbica é o produto das três dimensões.
Assim,
V = 2m
x 2m x
2rn
= 8
m
3
Como 1 m
3
= 1.000 litros, então o volume da caixa é igual a 8.000 litros.
O item está certo.
40. (TJPA 2006/CESPE-UnB) A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042
km
2
, corresponde a 16,66% do território brasileiro e 26% da Amazônia. O
estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte, é dividido
em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas.
Com base no texto acima, assinale a opção correta.
A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m
2
de extensão.
B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território
brasileiro.
C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia.
D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km
2
.
Resolução
Vamos analisar cada alternativa de per si.
A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m
2
de extensão.
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda
devemos dividir por 10 a cada passagem.
O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do
litro e do grama.
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda
devemos dividir por 10 a cada passagem.
Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e
submúltiplos de m
2
), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir
por 100.
Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos
de m
3
), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.
Ora, o texto nos informou que a extensão do estado do Pará é de 1.248.042
km
2
. Queremos transformar esta medida para m
2
. Observe a seguinte tabela de
transformação de unidades:
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 100
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda
devemos dividir por 100 a cada passagem. Ora, multiplicar por 100 significa
adicionar 2 zeros (se o número for inteiro) ou deslocar a vírgula duas casas
decimais para a direita. Analogamente, dividir por 100 significa cortar 2 zeros
(se houver) ou deslocar a vírgula para a esquerda.
Para concluir o raciocínio: queremos efetuar a transformação de unidades de
km
2
para m
2
. Devemos andar 3 casas para direita (a cada passagem
adicionamos 2 zeros), então devemos acrescentar 6 zeros.
A alternativa A é falsa.
B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do
território brasileiro.
A extensão do Pará foi dada em termos percentuais (16,66% do território
nacional). Como fazer a comparação deste percentual com a fração 1/5?
Devemos transformar a fração 1/5 em porcentagem, para isto basta multiplicá-
la por 100%.
Como 16,66% é menor do que 20%, então a extensão do Pará corresponde a
menos de 1/5 do território brasileiro.
A alternativa B é falsa.
C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da
Amazônia.
Portanto
1.248.042 km
2
= 1.248.042.000.000 m
2
Da mesma maneira que foi resolvida a alternativa B, devemos transformar a
fração 7/25 para porcentagem.
Como a extensão do Pará é 26% da Amazônia, então corresponde a menos de
7/25 da Amazônia.
A alternativa C é verdadeira.
D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km
2
.
No estado do Pará há cerca de seis milhões de pessoas em 1.248.042 km
2
de
extensão. A densidade demográfica é de:
A alternativa D é falsa.
Gabarito oficial: Letra C
41. (TRT 4
a
Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem
a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade
da madeira é 0,93 g/cm
3
, quantos gramas de madeira foram usados na
confecção desse peso de papel?
(A) 494,18
(B) 476,16
(C) 458,18
(D) 49,418
(E) 47,616
Resolução
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10
a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda
devemos dividir por 10 a cada passagem.
A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros,
devemos multiplicar por 10.
0,8
dm
= 8
cm
Sendo a aresta de um cubo, o seu volume é igual a a
3
. Portanto, o volume do
cubo dado é igual a:
V = a
3
= 8
3
=
512
cm
3
A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo.
Portanto
Letra B
42. (CREA/SP 2010/VUNESP) De um caminhão de entrega são descarregadas
500 caixas iguais de mercadorias, em forma de paralelepípedo, medindo cada
uma 40 cm de comprimento por 30 cm de largura e por 20 cm de altura. Essas
caixas empilhadas e justapostas vão ocupar um volume de
Dado: volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura
(A) 12 m
3
(B) 120 L.
(C) 1.200 L.
(D) 12.000 m
3
(E) 120.000 cm
3
Resolução
É importante saber que 1 dm
3
(decímetro cúbico) corresponde a 1 litro. Desta
forma, para saber o volume de cada paralelepípedo em litros, devemos
transformar todas as suas medidas para decímetro.
1 decímetro é o mesmo que 10 centímetros. Portanto:
40
cm
= 4
dm
30
cm
= 3
dm
20 cm = 2 dm
Portanto, o volume de cada paralelepípedo é igual a 24 litros.
Tem-se 500 caixas no total e o volume ocupado por elas é igual a:
500 . 24 litros = 12.000 litros
Por enquanto não encontramos alternativas, mas lembre-se que 1 m
3
é o
mesmo que 1.000 litros. Desta forma, 12.000 litros equivalem a 12 m
3
.
Letra A
Sistemas de Medidas de Tempo
43. (IBGE 2009/CESGRANRIO) Certo nadador levou 150 segundos para
completar uma prova de natação. Esse tempo corresponde a
a) um minuto e meio.
b) dois minutos.
c) dois minutos e meio.
d) três minutos.
e) três minutos e meio.
Resolução
Sabemos que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta forma, para transformar
150 segundos para minutos, devemos dividir 150 por 60.
Poderíamos também ter pensado assim:
1 minuto = 60 segundos
2 minutos = 120 segundos
Para completar os 150 segundos, precisamos de mais 30 segundos (meio
minuto).
Assim, 150 segundos = 2 minutos e meio.
Letra C
O volume de cada paralelepípedo é igual a
44. (TJ-RO 2OO8/CESGRANRIO) Aos domingos, é possível fazer um passeio de 7 km pela antiga
Estrada de Ferro Madeira-Mamoré, indo de Porto Velho até Cachoeira de Santo Antônio. Esse
passeio acontece em quatro horários: 9h, 10h 30min, 15h e 16h 30min. Um turista pretendia
fazer o passeio no segundo horário da manhã, mas chegou atrasado à estação e, assim, teve
que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário seguinte. A que horas esse turista chegou à
estação?
a) 10 h 55 min.
b) l l h 15 min.
c) l l h 25 min.
d) l l h 45 min.
e) l l h 55 min.
Resolução
O turista pretendia fazer o passeio no segundo horário (às 10h 30 min). Ele
chegou atrasado e teve que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário
seguinte (15 horas).
Para calcular o horário de chegada do turista, devemos subtrair 3 horas e 35
minutos de 15 horas.
Resolução
O turista pretendia fazer o passeio no segundo horário (às 10h 30 min). Ele
chegou atrasado e teve que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário
seguinte (15 horas).
Para calcular o horário de chegada do turista, devemos subtrair 3 horas e 35
minutos de 15 horas.
15 horas 0 min
—3 horas 35 min
Para efetuar tal subtração, vamos "emprestar" 1 hora para a casa dos minutos.
Assim, podemos dizer que 15 horas = 14 horas e 60 minutos.
Letra C
45. (METRO-SP 2007/FCC) Suponha que em uma parede da área de embarque
de uma estação do Metrô há um relógio digital que registra horas, minutos e
segundos. Salomé perguntou a um Agente de Estação qual o horário de
chegada do próximo trem, e ele, apontando para o relógio digital, respondeu:
"O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam as
horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira
vez." Se no momento em que Salomé fez a pergunta o relógio marcava
07:55:38 (7 horas, 55 minutos e 38 segundos), então ela ainda teve que
esperar pelo trem
(A) 4 minutos e 32 segundos.
(B) 4 minutos e 22 segundos.
(C) 4 minutos e 12 segundos.
(D) 3 minutos e 42 segundos.
(E) 3 minutos e 32 segundos.
Resolução
"O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam as
horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira
vez."
Quando o relógio marcar 08h, os minutos passarão de 59 para 00 e os
segundos também passarão de 59 para 00 (e obviamente as horas mudarão de
07 para 08).
Assim, devemos calcular o intervalo de tempo entre 07:55:38 e 08:00:00.
Se o relógio tivesse marcando exatamente 07:55, então faltariam 5 minutos
para as 8 horas. Como já se passaram 38 segundos, então devemos tirar 38
segundos de 5 minutos.
5 min — 38 s = 4 min 22 s
Letra B
Poderíamos ter utilizado um raciocínio parecido com o da questão
anterior.
Como 1 hora equivale a 60 minutos, então podemos dizer que 8 horas = 7
horas + 60 minutos.
Como 1 minuto = 60 segundos, então podemos escrever que 8 horas = 7 horas
+ 59 min + 60 segundos.
Letra B
46. (METRO-SP 2007/FCC) Se um trem leva 2 minutos para percorrer o trajeto
entre duas estações, o esperado é que outro trem, cuja velocidade média é
80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo trajeto em
(A) 2 minutos e 40 segundos.
(B) 2 minutos e 30 segundos.
(C) 2 minutos e 20 segundos.
(D) 2 minutos e 15 segundos.
(E) 2 minutos e 5 segundos.
Resolução
Vamos considerar que a velocidade do trem na primeira situação é igual a 100.
Neste caso, o trem gasta 2 minutos para percorrer o trajeto. Como a velocidade
do outro trem é igual a 80% da velocidade do primeiro trem, então a sua
velocidade será igual a 80. Qual o tempo gasto por ele?
Vamos armar a regra de três.
x = 2 minutos e 30 segundos.
Letra B
47. (METRO-SP 2010/FCC) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da
Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um
mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada
78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a
cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às
(A) 19h42min.
(B) 21h48min.
(C) 21h36min.
(D) 23h42min.
(E) 23h48min.
Resolução
Velocidade
100
80
Tempo (min)
2
Diminuindo a velocidade, o tempo gasto para percorrer o trajeto aumentará. As
grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a coluna das
velocidades no momento de armar a proporção.
Para calcular o período de coincidência dos eventos, devemos calcular o MMC
entre 78 e 84.
Concluímos que eles se encontram a cada 18 horas e 12 minutos.
Eles se encontraram às 5 horas e 30 minutos. O próximo encontro será às:
Assim, rnmc(78,84) = 2 x 2 x 3 x 7 x 13 = 1.092 minutos.
Vamos dividir este tempo por 60 para transformá-lo em horas.
Letra D
48. (DOCAS PA 2006/CESPE-UnB) Considere que o guarda portuário Pedro
substituiu Carlos, com problemas de saúde, durante 12 dias e, em cada dia,
durante 2 horas e 25 minutos. Nessa situação, para que Carlos retribua a Pedro
o mesmo espaço de tempo trabalhado, deve substituí-lo durante 29 horas.
Resolução
O tempo total de substituição deve ser igual a 12 vezes 2 horas e 25 minutos.
12 x 2 horas = 24 horas.
12 x 25 minutos = 300 minutos = 300/60 = 5 horas.
O tempo total é igual a 24h + 5 h = 29 horas.
O item está certo.
Operações com frações
49. (TRF 3
a
Região 2014/FCC) Um técnico precisava arquivar x processos em
seu dia de trabalho. Outro técnico precisava arquivar y processos, diferente de
x, em seu dia de trabalho. O primeiro técnico arquivou, no período da manhã,
2/3 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde,
esse técnico arquivou 3/8 dos processos que arquivara pela manhã e ainda
restaram 14 processos para serem arquivados. O segundo técnico arquivou, no
período da manhã, 3/5 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No
período da tarde, o segundo técnico arquivou 5/18 dos processos que arquivara
pela manhã e ainda restaram 42 processos para serem arquivados. Dessa
forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais processos no
período da tarde superou o que o outro arquivou, também no período da tarde,
em um número de processos igual a
(A) 42.
(B) 18.
(C) 12.
(D) 30.
(E) 15.
Resolução
O primeiro técnico arquivou 2/3 dos processos que precisava arquivar, ou seja,
2/3 de x.
No período da tarde, esse técnico arquivou 3/8 dos processos que arquivara
pela manhã. Assim, à tarde ele arquivou
Se somarmos os processos que ele arquivou pela manha (2x/3), os processos
que arquivou à tarde (x/4) e os processos que restaram (14) teremos como
resultado o próprio x, que é o total de processos que ele precisava arquivar.
Vamos multiplicar todos os membros da equação por 12, que é o mmc entre 3
e 4.
No caso das frações, devemos dividir 12 pelo denominador e multiplicar o
resultado pelo numerador.
Observe que 12 dividido por 3 é 4. 4 vezes 2x = 8x.
12 dividido por 4 é 3. 3 vezes x = 3x.
8x + 3x
+ 168 =
12x
x = 168
Vamos agora calcular o número de processos do segundo técnico.
O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 3/5 dos processos que
precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, o segundo técnico
arquivou 5/18 dos processos que arquivara pela manhã e ainda restaram 42
processos para serem arquivados.
Assim, ele arquivou 3/5 de y pela manhã, 5/18 de 3/5 de y à tarde e ainda
restaram 42 processos. A soma desses valores é igual a y.
Vamos multiplicar todos os membros da equação por 30, que é o mmc entre 5
e 6.
Olhe para primeira fração. Vamos dividir 30 pelo seu denominador e multiplicar
o resultado pelo numerador. 30 dividido por 5 é 6. 6 vezes 3y é 18y.
Olhe para a segunda fração. 30 dividido por 6 é 5 e vezes y é 5y.
O primeiro técnico deveria arquivar 168 processos o segundo técnico, 180
processos.
AGORA PRESTE MUITA ATENÇÃO À PERGUNTA DO ENUNCIADO!!!
Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou mais processos
no período da tarde superou o que o outro arquivou, também no período da
tarde, em um número de processos igual a
Perceba então que não queremos apenas a diferença entre x e y. Queremos
saber a diferença entre as quantidades arquivadas no período da tarde.
O primeiro técnico, no período da tarde, arquivou:
50. (Câmara Municipal de São Paulo 2014/FCC) Um funcionário de uma
empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou
3/8 da tarefa na 1
a
semana. Na 2
a
semana, ele executou 1/3 do que havia
executado na 1
a
semana. Na 3
a
e 4
a
semanas, o funcionário termina a execução
da tarefa e verifica que na 3
a
semana executou o dobro do que havia executado
na 4
a
semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário
executou na 4
a
semana é igual a
a) 5/16
b) 1/6
c) 8/24
d) 1/4
e) 2/5
Resolução
Na primeira semana ele executou 3/8 da tarefa.
Na segunda semana, ele executou 1/3 do que havia executado na primeira
semana, ou seja:
1 3 1 3 1
Somando a primeira e a segunda semana, temos:
O segundo técnico, no período da tarde, arquivou
A diferença entre essas quantidades é 12.
Essa foi uma ótima casca de banana, mas quem marcasse 180 - 168 = 12
também iria acertar a questão (na sorte).
Letra C
Portanto, nas duas primeiras semanas ele executou metade da tarde. Sobrará a
outra metade para a terceira e a quarta semana.
Vamos considerar que a fração executada na quarta semana seja igual a x. Na
3
a
semana executou o dobro do que havia executado na 4
a
semana, ou seja,
2x.
Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4
a
semana é igual a 1/6.
Letra B
51. (Sergipe-Gás 2013/FCC) Uma máquina gira 1 volta e 2/3 de volta, em
sentido horário e gasta 20 segundos nesse movimento. Em seguida ela gira 1/3
de volta em sentido contrário e gasta 10 segundos nesse movimento. A
máquina segue realizando sempre esses dois tipos de movimentos, um após o
outro e sempre iniciando da posição que parou no movimento anterior. Após 4
minutos e 50 segundos a máquina para. Em relação à posição inicial, a máquina
parou na posição correspondente a um giro, no sentido horário, de
a) zero volta
b) 2/3 de volta
c) - 1/3 de volta
d) 1/2 de volta
e) 1/3 de volta
Resolução
Vamos ver o que acontece em 30 segundos. A máquina gira 1 volta e 2/3 de
volta em sentido horário e depois retorna no sentido contrário 1/3 de volta. No
final dos 30 segundos:
Assim, a cada 30 segundos, ele dá uma volta completa (ou seja, passa pela sua
posição inicial) e avança mais 1/3 de volta. Conclusão: a cada 30 segundos a
sua posição avança 1/3 de volta. Em 60 segundos ele avança 2/3 de volta e em
90 segundos ele chega na posição inicial.
Percebeu? Depois de 90 segundos ele para na posição inicial, é como se não
tivesse saído do lugar.
Queremos saber a posição final após 4 minutos e 50 segundos, que é igual a
290 segundos.
No 90° segundo ele está na posição inicial. No 180° segundo ele está na posição
inicial. No 270° segundo ele está na posição inicial. Só faltam agora 20
segundos para finalizar o movimento. E o que a máquina faz em 20 segundos?
Gira 1 volta e 2/3 de volta! Portanto, a máquina finalizará o movimento a 2/3
de volta em relação a posição inicial.
52. (DPE-RS 2013/FCC) Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são homens e
3/5 falam inglês. Sabendo que 1/12 dos funcionários são mulheres que não
falam inglês, pode-se concluir que os homens que falam inglês representam,
em relação ao total de funcionários, uma fração equivalente a
(A) 3/10
(B) 7/20
(C) 2/5
(D) 9/20
(E) 1/2
Resolução
Se você quiser evitar trabalhar com frações, pode colocar um valor para o total
de funcionários da empresa. De preferência escolha um número que seja
múltiplo de 3, 5 e 12. Por exemplo, vamos dizer que a empresa tem 60
funcionários.
2/3 dos funcionários são homens.
Letra B
Consequentemente, são 20 mulheres.
3/5 falam inglês.
Consequentemente, 24 não falam inglês.
1/12 dos funcionários são mulheres que não falam inglês.
Falam Inglês
Não falam inglês
Total
Homens
40
Mulheres
5
20
Total
36
24
60
São 20 mulheres. Como 5 não falam inglês, então 15 falam inglês.
São 24 pessoas que não falam inglês das quais 5 são mulheres. Portanto, 19
homens não falam inglês.
Falam Inglês
Não falam inglês
Total
Homens
19
40
Mulheres
15
5
20
Total
36
24
60
Como são 40 homens e 19 não falam inglês, então 21 homens falam inglês.
Falam Inglês
Não falam inglês
Total
Homens
21
19
40
Mulheres
15
5
20
Total
36
24
60
Veja o que a questão pede: pode-se concluir que os homens que falam inglês
representam, em relação ao total de funcionários, uma fração equivalente a:
São 21 homens que falam inglês em um total de 60 pessoas. A fração pedida é:
Vou montar uma tabelinha para colocar os dados.
Letra B
53. (TRT 9
a
Região 2013/FCC) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos
alunos matriculados foram aprovados em novembro, logo após as provas finais.
Todos os demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperação.
Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovação após a prova de recuperação,
o total de aprovados na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos
matriculados nessa disciplina é igual a
(A) 136.
(B) 127.
(C) 130.
Vamos calcular mmc(9,15).
9,15 3
3,5 3
1,5 5
1,1
mmc (9,15) = 3 • 3 • 5 = 45
Vamos multiplicar todos os membros da equação por 45.
No caso das frações, primeiro dividimos 45 pelo denominador e multiplicamos o
resultado pelo numerador.
35x + 6x = 123-45
41x = 123-45
Observe que 123/41 = 3.
Letra D
x = 3 - 45 = 135
54. (TRT 15
a
Região) Em um Tribunal havia um percentual de 30% de
funcionários fumantes. Após intensa campanha de conscientização sobre os
(D) 135.
(E) 126.
Resolução
Vamos considerar que o número de alunos matriculados é igual a x.
7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro. Isto significa que
2/9 dos alunos ainda não foram aprovados e farão uma prova de recuperação
em dezembro. 3/5 destes 2/9 conseguiram aprovação após a recuperação.
O total de aprovados na disciplina é igual a 123.
riscos do tabagismo, 6 em cada 9 fumantes pararam de fumar. Considerando
que os funcionários que anteriormente eram não fumantes permaneceram com
essa mesma postura, a nova porcentagem de funcionários fumantes desse
Tribunal passou a ser de
(A) 8%.
(B) 12%.
(C) 10%.
(D) 16%.
(E) 14%.
Resolução
Vamos considerar que o total de pessoas no tribunal seja de 100 pessoas.
30% são fumantes, ou seja, 30 pessoas são fumantes.
6 em cada 9 fumantes pararam de fumar. Isto quer dizer que 6/9 = 2/3 dos
fumantes pararam de fumar.
10 pessoas continuam a fumar. Como o total de pessoas é 100, então ainda
temos 10% de fumantes.
55. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Tiago é capaz de cortar a grama do jardim de sua
casa em 2/3 do tempo que seu irmão Gabriel faria o mesmo serviço e em 1/3
do tempo que seu outro irmão, Rodrigo, conseguiria. Se os três decidirem
cortar a grama do jardim juntos, levarão 10 minutos. O tempo, em minutos,
que Gabriel e Rodrigo levariam para cortar a grama do jardim de sua casa
(A) 15
(B) 18
(C) 20
(D) 27
(E) 30
Resolução
Se Tiago é capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 2/3 do tempo
que Gabriel faria, então enquanto Tiago corta a grama do jardim todo, Gabriel
corta apenas 2/3 da grama.
Letra C
juntos é
Se Tiago é capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 1/3 do tempo
que Rodrigo faria, então enquanto Tiago corta a grama do jardim todo, Rodrigo
corta apenas 1/3 da grama.
Juntando as duas informações temos o seguinte: o tempo que Tiago leva para
cortar a grama toda do jardim é igual ao tempo que Gabriel e Rodrigo (juntos)
levam para cortar a grama toda (pois 2/3 + 1/3 = 1).
Ou seja, Tiago tem a mesma capacidade de trabalhar de Gabriel e Rodrigo
juntos.
Se os três decidem cortar a grama do jardim juntos e levam 10 minutos, isto
quer dizer que nestes 10 minutos Tiago cortou metade da grama e Gabriel e
Rodrigo (juntos) cortaram a outra metade.
Se Gabriel e Rodrigo cortam metade da grama em 10 minutos, eles cortam a
grama toda em 20 minutos.
Letra C
Problemas envolvendo múltiplos, divisores e restos
(SABESP 2014/FCC) Para responder às questões de números 56 e 57, considere
as informações abaixo.
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois
comprimidos do remédio Y a cada 5 horas. O tratamento com os comprimidos
deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, a
dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da manhã.
Sabe-se que Luiz realizou o tratamento completo cumprindo rigorosamente as
instruções de doses e horários.
56. Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a
(A) 90.
(B) 88.
(C) 96.
(D) 92.
(E) 66.
Resolução
O tratamento durará 5 dias e meio. Como cada dia tem 24 horas, o tempo total
do tratamento será de 5,5 x 24 = 132 horas.
Luiz toma o remédio X a cada 3 horas, assim ele tomará o remédio X 132/3 =
44 vezes. Como em cada vez que ele toma o remédio X ele deve ingerir apenas
um comprimido, então ele deve ingerir 44 comprimidos do remédio X.
Luiz toma o remédio Y a cada 5 horas. Dividindo 132 por 5, teremos 26 e resto
2, ou seja, ele tomará o remédio Y 26 vezes. Em cada vez que ele toma o
remédio Y ele deve ingerir dois comprimidos. Portanto, ele deve tomar 26 x 2 =
52 comprimidos do remédio Y.
O total de comprimidos ingeridos por Luiz é igual a 44 + 52 = 96.
Letra C
57. Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou,
simultaneamente, as doses dos remédios X e Y foi no sábado às
(A) 11 horas.
(B) 8 horas.
(C) 23 horas.
(D) 13 horas.
(E) 16 horas.
Resolução
Luiz toma o remédio X a cada 3 horas e o remédio Y a cada 5 horas. Para saber
de quanto em quanto tempo ele toma os dois remédios simultaneamente,
devemos calcular o MMC (mínimo múltiplo comum) entre 3 e 5. Para tanto,
vamos fatorar os dois números simultaneamente.
3,5 3
1,5 5
1,1
Concluímos que mmc(3,5) = 3x5 = 15, ou seja, Luiz toma os dois remédios
simultaneamente a cada 15 horas.
Dividindo 132 por 15, obteremos quociente 8 e resto 12. Isto significa que ele
tomará os dois remédios juntos 8 vezes. Como o intervalo é de 15 horas, a
oitava e última vez em que ele tomará os dois remédios juntos será daqui a 8 x
15 = 120 horas. Cada dia tem 24 horas, portanto 120 horas = 120/24 = 5 dias.
Ele começou o tratamento tomando os dois remédios juntos na segunda-feira
às 8 da manhã. A última vez em que ele tomará os dois remédios juntos será
exatamente 5 dias depois, ou seja, sábado às 8 da manhã.
Letra B
58. (SEFAZ-SP 2009/FCC) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto
é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010
terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia I
o
de janeiro
cairá numa segunda-feira será
(A) 2013
(B) 2014
(C) 2016
(D) 2018
(E) 2019
Resolução
Para verificar se um ano é bissexto ou não, devemos dividir o ano por 4 e
verificar o resto. Se o resto for igual a 0, então o ano é bissexto e tem 366 dias,
caso contrário, não será um ano bissexto e terá 365 dias.
Gosto de dar uma boa dica para verificar se um ano é ou não bissexto. Para
começar, os anos bissextos devem ser pares. Ora, sabemos que os anos pares
ou são anos de Copa do Mundo ou são anos de Olimpíadas.
Se o ano for de Copa do Mundo, então não é bissexto.
Se o ano for de Olimpíada, então o ano é bissexto.
Quando dividimos 2010 por 4, obtemos resto igual a 2. O ano de 2010 não é
um ano bissexto porque não é divisível por 4, portanto tem 365 dias. Estamos
em Copa do Mundo, 2010 não é, portanto, um ano bissexto.
Para saber o número de semanas em um ano, basta dividir 365 por 7.
Gostou?
Isto significa que os anos não bissextos possuem 52 semanas completas e mais
1 dia. Ou seja, cada dia da semana aparece em um ano exatamente 52 vezes,
sendo que um desses dias aparece 53 vezes. O dia da semana que aparece 53
vezes é o dia que começa e termina o ano. No caso de 2010, este dia é sexta-
feira. Concluímos que o ano de 2010 começou na sexta-feira e terminará na
sexta-feira.
Se o ano for bissexto, serão dois dias que aparecerão duas vezes: o dia da
semana que começará o ano (1
o
de janeiro) e o dia da semana que for 2 de
janeiro. Seguindo o mesmo raciocínio, o dia da semana de 31 de dezembro é o
mesmo de 2 de janeiro.
Se 2010 terminará na sexta-feira, então 2011 (que também não é bissexto
porque é ímpar) começará e terminará no sábado.
2012 é um ano bissexto (é divisível por 4 e será ano de Olimpíada). Como 2011
terminará no sábado, então 2012 começará no domingo. O dia 2 de janeiro será
uma segunda-feira. Portanto, 2012 terminará na segunda-feira.
Seguindo mesmo raciocínio, 2013, que não é bissexto (porque é ímpar),
começa e termina na terça-feira. 2014 (também não é bissexto porque o resto
da divisão por 4 é igual a 2. Lembre-se que 2014 será a Copa do Mundo no
Brasil) começa e termina na quarta-feira, 2015 (também não é bissexto porque
é ímpar) começa e termina na quinta-feira.
2016 (basta dividir 2016 por 4 e verificar que o resto da divisão é 0) é um ano
bissexto e começará na sexta-feira. O dia 2 de janeiro de 2016 será um sábado.
Portanto, 2016 terminará no sábado.
O ano de 2017, que não é bissexto (porque é ímpar), começará e terminará no
domingo.
Assim, o ano de 2018 começará na segunda-feira.
(SEFAZ-SP 2009/FCC) Instruções: Para responder às questões de números 59 e
60, considere o texto e o quadro abaixo. O tabuleiro a seguir é usado em um
jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 6
o
ano.
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado
o número 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa
onde se encontra pela pontuação obtida no dado. O resto dessa divisão indicará
a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por exemplo, se na primeira
rodada um jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da divisão
de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador que
primeiro atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor.
59. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua
dinâmica depende dos números marcados nas diversas casas do tabuleiro. O
número 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvesse
qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número
Letra D
(A) 77
(B) 81
(C) 84
(D) 87
(E) 96
Resolução
O número a ser trocado, deve possuir os mesmos restos das divisões de 27 por
1, 2, 3, 4, 5 e 6 respectivamente.
Obviamente não precisamos testar as divisões por 1, já que qualquer número
inteiro dividido por 1 deixa resto 0.
O resto da divisão de 77 por 2 é igual a 1.
O resto da divisão de 77 por 3 é igual a 2.
O resto da divisão de 77 por 4 é igual a 1.
O resto da divisão de 77 por 5 é igual a 2.
O resto da divisão de 77 por 6 é igual a 5.
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa A é falsa.
(B) 81
O resto da divisão de 81 por 2 é igual a 1.
O resto da divisão de 81 por 3 é igual a 0.
O resto da divisão de 81 por 4 é igual a 1.
O resto da divisão de 81 por 5 é igual a 1.
O resto da divisão de 81 por 6 é igual a 3.
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa B é falsa.
(C) 84
O resto da divisão de 84 por 2 é igual a 0.
O resto da divisão de 84 por 3 é igual a 0.
O resto da divisão de 84 por 4 é igual a 0.
O resto da divisão de 84 por 5 é igual a 4.
O resto da divisão de 84 por 6 é igual a 0.
O resto da divisão de
O resto da divisão de
O resto da divisão de
O resto da divisão de
O resto da divisão de
27 por 2 é igual a 1
27 por 3 é igual a 0
27 por 4 é igual a 3
27 por 5 é igual a 2
27 por 6 é igual a 3
(A) 77
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa C é falsa.
O resto da divisão de 87 por 2 é igual a 1.
O resto da divisão de 87 por 3 é igual a 0.
O resto da divisão de 87 por 4 é igual a 3.
O resto da divisão de 87 por 5 é igual a 2.
O resto da divisão de 87 por 6 é igual a 3.
A lista de restos coincidiu e a resposta é a letra D.
O resto da divisão de 96 por 2 é igual a 0.
O resto da divisão de 96 por 3 é igual a 0.
O resto da divisão de 96 por 4 é igual a 0.
O resto da divisão de 96 por 5 é igual a 1.
O resto da divisão de 96 por 6 é igual a 0.
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa E é falsa.
Não precisaríamos efetuar todas as divisões. Quando você percebe que algum
resto não coincide, podemos eliminar a alternativa e verificar a próxima.
60. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Se um jogador cair em uma determinada casa do
tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o jogo, pois não conseguirá mais avançar
a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é chamada de "buraco negro".
Para que um jogador caia no "buraco negro", ele deverá, necessariamente,
estar numa outra casa específica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obter
pontuação igual a
(A) 2
( B ) 3
( C ) 4
(D) 5
( E ) 6
(D) 87
(E) 96
Resolução
O "buraco negro" é uma casa que a pessoa fica presa, ou seja, o número de
casas a serem avançadas ao lançar o dado é igual a 0. Isto significa que é um
número divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Para encontrar um número que seja
divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devemos calcular o mínimo múltiplo comum entre
eles.
Desta forma,
mmc(
1,2,3,4,5,6) = 2 • 2 • 3 • 5 = 60.
Isto significa que os múltiplos de
60 são divisíveis (deixam resto 0) por 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
O único número apresentado no jogo que é múltiplo de 60 é o próprio 60. Este
é o buraco negro.
Perceba: quando dividimos 60 por 1, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar
parado.
Quando dividimos 60 por 2, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado.
Quando dividimos 60 por 3, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado.
Quando dividimos 60 por 4, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado.
Quando dividimos 60 por 5, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado.
Quando dividimos 60 por 6, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado.
Interessante, não?
Bom, vamos voltar à questão.
Se o aluno estiver na casa de número 8 há alguma chance de ele avançar
apenas uma casa para cair no buraco negro?
Vejamos:
8 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado.
8 dividido por 2 deixa resto 0 e o aluno fica parado.
8 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avança duas casas e pula o buraco
negro.
8 dividido por 4 deixa resto 0 e o aluno fica parado.
8 dividido por 5 deixa resto 3, o aluno avança três casas e pula o buraco negro.
8 dividido por 6 deixa resto 2, o aluno avança 2 casas e pula o buraco negro.
Esta não é a casa que procuramos.
Se o aluno estiver na casa de número 41 há alguma chance de ele avançar
duas casas para cair no buraco negro?
41 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado.
41 dividido por 2 deixa resto 1, o aluno avança apenas uma casa e não cai no
buraco negro.
41 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avança duas casas e cai no buraco
negro.
Esta é a casa que nos interessa. Portanto, o aluno deve estar na casa de
número 41 e obter 3 pontos no dado.
Letra B
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