OBLICZENIA GEODEZYJNE

+x

d P

Zależność:

α

PA

=α

AP

+180º

układ geodezyjny

lub:

α

α

PA

=α

AP

+200

g

-y

0

+y

Kąty kierunkowe można również obliczać za
pomocą tzw. czwartaków. Czwartak jakiegoś
kierunku jest to kąt ostry jaki tworzy dany
kierunek z osią x.

-x

+x

IV

+x

I

P α

PA

P

P

α

AP

A

A φ φ A

+y

φ A

+y

A φ

P

P

III

II

Kąt kierunkowy α, liczony jest od dodatniego kierunku osi x (w prawo) do kierunku danego.
Wartość α=

0º : 360º

0

g

: 400

g

Zależności pomiędzy czwartakami φ, a kątami

kierunkowymi α

Ćwiartka

Znaki

α

AP

Oznaczenie

Δy

Δx

I

+

+

φ

NO

II

+

-

180º - φ

SO

III

-

-

180º + φ

SW

IV

-

+

360º - φ

NW

OBLICZENIA GEODEZYJNE mają często miejsce w czasie wykonywania pomiarów
geodezyjnych (np.: pomiary sytuacyjne, pomiary ciągów poligonowych, ciągów sytuacyjnych i
ciągów poligonowych).

1. OBLICZANIE DŁUGOŚCI ODCINKA d

PK

:

+x

Dane:

K(x

K

,y

K

)

Punkt początkowy P(x

P

,y

P

)

Δx

PK

-d-

Punkt końcowy K(x

K

,y

K

)

P(x

P

,y

P

)

Obliczenia:
Obliczamy przyrosty współrzędnych

Δy

PK

+y

Δx

PK

= x

K

– x

P

Δy

PK

= y

K

– x

P

d

y

x

d

PK

PK

PK

=

∆

+

∆

=

2

2

RYSOWAĆ W SKALI I WE WŁAŚCIWEJ ĆWIARTCE!!!

2. OBLICZANIE AZYMUTU KIERUNKU PRZECHODZĄCEGO PRZEZ DWA

PUNKTY O ZNANYCH WSPÓŁRZĘDNYCH:

Azymut – kąt zawarty między kierunkiem północy a danym kierunkiem.
W zadaniu tym należy wyraźnie określić czy będzie to azymut kierunku biegnącego z punktu P do
K czy też odwrotnie (α

PK

lub α

KP

)

+x

α

KP

np. obliczamy α

PK

:

K

Kolejność obliczeń:

α

PK

1) obliczenie przyrostów Δy i Δx
2) obliczenie

|

|

|

|

x

y

tg

∆

∆

=

ϕ

P

3) wyznaczenie kąta φ z tablic (czwartak)
4) uwzględnienie znaków przyrostów

+y

5) obliczenie azymutu α
6) obliczenie kontrolne:

y

x

y

x

tg

∆

−

∆

∆

+

∆

=

ψ

Przykład: Obliczyć azymut kierunku wychodzącego z punktu nr 37 w współrzędnych: x

37

=368,52m

i y

37

=516,26m i przechodzącego przez punkt nr 36 o współrzędnych: x

36

=246,56m i y

36

=179,80m.

+x

516,26

37

758773369

,

2

96

,

121

46

,

336

37

36

37

36

=

=

=

−

−

−

−

x

x

y

y

tg

ϕ

czwartak: φ=70,07543531 – tyle stopni
0, 07543531x60=4,52611845 – tyle minut
0,52611845x60=31,567107 – tyle sekund

179,80

36

φ=70º04’31”

246,56

368,52

+y

azymut: α

37-36

=180º+70º04’31”= 250º04’31”

3. OBLICZANIE WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTU LEŻĄCEGO NA PROSTEJ:
+x

Dane:

B(x

B

,y

B

)

A(x

A

,y

A

), B(x

B

,y

B

), l

A-B

, l

A-P

l

A-B

(z bezpośrednich pomiarów w terenie)

l

A-P

P(x

P

,y

P

) Δx

A-B

Obliczenia: P(x

P

,y

P

)

Δx

A-P

Δy

A-P

Na podstawie twierdzenia Talesa:

A(x

A

,y

A

)

P

A

P

A

B

A

B

A

l

y

l

y

−

−

−

−

∆

∆

=

+y

y

P

=y

A

+Δy

A-P

=y

A

+

⋅

−

−

B

A

P

A

l

l

Δy

A-B

P

A

P

A

B

A

B

A

l

x

l

x

−

−

−

−

∆

∆

=

x

P

=x

A

+Δx

A-P

=x

A

+

⋅

−

−

B

A

P

A

l

l

Δx

A-B

Obliczenie kontrolne: obliczamy l

A-B

ze współrzędnych punktów A i B oraz l

A-B

po obliczeniu

współrzędnych punktu P:x

p

,y

p

.

Przykład: Obliczyć współrzędne punktu pomierzonego na prostej:
+x

2

α

2-1

Dane: X

Y

φ -a-

Pkt. 1 (575,88m ; 381,48m)

dx

Pkt. 2 (659,47m ; 312,51m)

dy P

a=75,66m

1
+y

Obliczenia: P(x

P

,y

P

)

1) Obliczam czwartak i azymut:

cc

c

g

x

y

tg

66

90

43

824803

,

0

62

,

83

97

,

68

1

2

1

2

=

→

=

=

=

−

+

∆

∆

−

−

ϕ

ϕ

ćwiartka II → α

2-1

=200

g

– φ=156

g

09

c

34

cc

2) Obliczam przyrost współrzędnych:

dx=a∙cosα

2-1

=-a∙cosφ=-75,66∙0,771448=-58,37m

dy=a∙sinα

2-1

=a∙sinφ=75,66∙0,636293=48,14m

3) Obliczam współrzędne punktu P:

x

P

=x

2

+dx=659,47-58,37=601,10m

y

P

=y

2

+dy=312,51+48,14=360,65m

4) Obliczenia kontrolne:

L

2-P

=

66

,

75

5765

,

5724

)

14

,

48

(

)

37

,

58

(

)

(

)

(

2

2

2

2

2

2

=

=

+

−

=

−

+

−

y

y

x

x

P

P

4. OBLICZANIE KĄTA POMIĘDZY DOWOLNYMI BOKAMI NA PODSTAWIE

WSPÓŁRZĘDNYCH:

N

α

CL

L

Dane:
Współrzędne punktów L, C i P

α

CP

P

Obliczenia: kąt β

β

C

Zadanie polega na obliczeniu kąta β jako różnicy argumentów boków
CL i CP (wzorem Hausbrandta)

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

y

y

x

x

x

y

y

x

tg

∆

⋅

∆

+

∆

⋅

∆

∆

⋅

∆

−

∆

⋅

∆

=

β

Przykład:
Dane: L(x=345,15 ; y=620,30) ; P(x=300,75 ; y=640,60) ; C(x=260,15 ; y=560,10).
Δx

CL

=+85,00

Δy

CL

=+60,20

Δx

CP

=+40,60

Δy

CP

=+80,50

53011052

,

0

1

,

8297

38

,

4398

1

,

4846

3451

12

,

2444

5

,

6842

+

=

=

=

+

−

β

tg

27,92853315 – tyle stopni
0,92853315x60=55,71198876 – tyle minut
0,71198876x60=42,7193256 – tyle sekund
β=27º55’43”

5. WYZNACZENIE POŁOŻENIA PUNKTU METODĄ WCIĘCIA W PRZÓD:

N

N

C

Dane:

-a-

Współrzędne punktów A i b oraz kąty α i β z

β

BC

-b-

bezpośrednich pomiarów w terenie

Obliczenia: Współrzędne punktu C

β β

BA

α

B

A
α

AB

α

AC

1) obliczenie długości boku a
2) obliczenie azymutu boku BC
3) obliczenie współrzędnych punktu C

x

C

=x

B

+Δx

BC

y

C

=y

B

+Δy

BC

4) obliczenie współrzędnych punktu C wychodząc z punktu A (obliczenie kontrolne)
5) wyznaczenie ostatecznej wartości współrzędnej punktu C, jako średniej arytmetycznej z obu

obliczeń:

2

2

II

I

c

II

i

c

y

y

y

x

x

x

+

=

+

=

Obliczenia szczegółowe:

Z trójkąta ABC otrzymujemy:

[

]

[

]

)

(

180

sin

sin

)

(

180

sin

sin

β

α

β

β

α

α

+

−

⋅

=

+

−

⋅

=

°

°

AB

b

AB

a

gdzie:

BC

BA

AB

AC

AB

AC

BC

BA

BA

BC

BA

BC

BA

AB

B

A

B

A

AB

A

B

A

B

bo

b

y

b

x

bo

a

y

a

x

x

x

y

y

tg

y

y

x

x

AB

α

β

α

α

α

α

α

α

β

α

β

α

β

α

α

α

α

=

−







−

⋅

=

∆

−

⋅

=

∆

=

−







−

⋅

=

∆

−

⋅

=

∆

+

=

−

−

=

−

+

−

=

)

sin(

)

cos(

)

sin(

)

cos(

180

)

(

)

(

2

2

°

Następnie obliczamy dwukrotnie współrzędne punktu C (z punktu A i B) i obliczamy wartości
średnie.
OSTATECZNIE:
z punktu B:

z punktu A:

x

C

’=x

B

+Δx

BC

x

C

”=x

A

+Δx

AC

y

C

’=y

B

+Δy

BC

y

C

”=y

A

+Δy

AC

2

"

'

C

C

C

x

x

x

+

=

2

"

'

C

C

C

y

y

y

+

=

6. OBLICZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTU POMIERZONEGO NA

PROSTOPADŁEJ:

+x

B

Dane:

Q α

Q-P

A(x

A

,y

A

)

.

-a-

B(x

B

,y

B

)

h

α

A-B

a, h (z bezpośrednich pomiarów w terenie)

A

∠

AQP=90º

P

Obliczenia: P(x

P

,y

P

)

+y

Przykład:
Dane: A(712,00m

416,38m)

B(936,20m

368,00m)

a=120,50m

h=21,50m

1) Obliczam czwartak i azymut:

°

177108

,

12

215789

,

0

20

,

224

38

,

48

=

→

=

−

=

∆

∆

=

−

−

ϕ

ϕ

A

B

A

B

x

y

tg

IV ćwiartka: α

A-B

=360º-φ=347,822892º

2) Obliczam przyrost współrzędnych z A do Q:

sinα

A-B

=-0,210934

cosα

A-B

=0,977500

dy

A-Q

=120,50 sinα

A-B

=-25,42m

dx

A-Q

=120,50 cosα

A-B

=117,76m

3) Obliczam współrzędne punktu Q:

x

Q

=x

A

+dx

A-Q

=829,79m

y

Q

=y

A

+dy

A-Q

=390,96m

4) Obliczam azymut α

Q-P

:

α

Q-P

=α

A-B

- 90º=257,822892

III ćwiartka

5) Obliczam przyrost współrzędnych z Q do P:

sinα

Q-P

=sin(α

A-B

- 90º)=-cosα

A-B

cosα

Q-P

=cos(α

A-B

- 90º)=sinα

A-B

dy

Q-P

=21,50(-cosα

A-B

)=-21,02m

dx

Q-P

=21,50(-sinα

A-B

)=-4,54m

6) Obliczam współrzędne punktu P:

X

P

=x

Q

+dx

Q-P

=825,25m

y

P

=y

Q

+dy

Q-P

=369,94m

7) Obliczenia kontrolne:

m

QB

h

BP

m

y

x

AB

m

y

x

BP

AB

AB

PB

PB

96

,

110

36

,

229

97

,

110

2

2

2

2

2

2

=

+

=

=

∆

+

∆

=

=

∆

+

∆

=

7. OBLICZANIE POWIERZCHNI:

Obliczanie powierzchni pomierzonej figury w terenie lub na mapie można wykonać:

1) metodą analityczną – na podstawie elementów pomierzonych w terenie (długość, kąty). Jest

to metoda najdokładniejsza

2) metodą graficzną – na podstawie elementów pomierzonych na mapie
3) metodą mechaniczną – na podstawie mapy, za pomocą przyrządów zwanych planimetrami
4) metodą kombinowaną – na podstawie elementów pomierzonych częściowo w terenie,

częściowo graficznie na mapie.

Ad. 1)
Obowiązują tu rozmaite wzory (np. dla trójkąta dowolnego)

A
α

-b-

-c-

h

c

h

b

C γ h

a

β B

-a-

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

:

)

)(

)(

(

)

(

2

)

(

2

)

(

2

sin

sin

sin

c

b

a

c

b

a

s

gdzie

c

s

b

s

a

s

s

P

ctg

ctg

c

ctg

ctg

b

ctg

ctg

a

P

ac

bc

ab

P

h

c

h

b

h

a

P

+

+

=

−

−

−

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

β

α

γ

α

γ

β

β

α

γ

PAMIĘTAĆ O TYM, JAKĄ WARTOŚĆ WYLICZAMY: P CZY 2P!!!

+x

3

1

Metoda współrzędnych biegunowych

r

1

n=1,2,3... wierzchołków wieloboków

r

2

φ

1

φ

2

φ

3

r

3

2P=r

1

r

2

sin(φ

2

– φ

1

)+r

2

r

3

sin(φ

3

– φ

2

) – r

1

r

3

sin(φ

3

– φ

1

)

+y

kontrola obliczenia różnic

Można wymienić też wiele innych wzorów!!!

 Obliczanie powierzchni dowolnego wieloboku ze współrzędnych:

+x
1(x

1

,y

1

)

kierunek obliczania

5(x

5

,y

5

)

2(x

2

,y

2

)

4(x

4

,y

4

)

3(x

3

,y

3

)

∑

∑

=

=

−

+

=

=

−

+

−

=

−

−

=

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

i

x

x

y

P

y

y

x

P

1

1

1

1

1

1

)

(

2

)

(

2

Są to wzory Gaussa na obliczanie powierzchni dowolnego wieloboku.

Wzory kontrolne:

0

)

(

0

)

(

1

1

1

1

1

1

=

−

=

−

∑

∑

=

=

−

+

=

=

−

+

n

i

i

i

i

n

i

i

i

i

x

x

y

y

Wskazówka: Wielobok należy opisać liczbami zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Przykład:

Punkt

współrzędne w metrach

a=y

i+1

-y

i-1

b=x

i+1

-x

i-1

x

i

∙a

i

y

i

∙b

i

y

i

x

i

(4)

(+36,21)

(-25,16)

1

+15,42

+2,31

+5,11

+48,81

+11,80

+752,65

2

+41,32

+23,65

+57,21

+1,97

+1353,02

+84,40

3

+72,63

+4,28

-5,11

-48,81

-21,87

-3545,07

4

+36,21

-25,16

+57,21

-1,97

+1439,40

-71,33

(1)

(+15,42)

(+2,31)

Σ=0

Σ=0

+x

2

∑

−

=

+

+

3

1

1

1

1

)

sin(

2

i

i

i

r

r

P

ϕ

ϕ

0

)

(

1

1

=

−

∑

+

n

i

i

ϕ

ϕ

20

10

1

3

10 20 30 40 50 60 70 +y
-10

-20

4

AD. 2)
Przy obliczaniu powierzchni na mapie metodą graficzną (jak i mechaniczną) należy uwzględnić
skurcz papieru (mapy).
Wielkość skurczu określa się na podstawie bezpośredniego pomiaru tzw. ramy sekcyjnej (jej
wymiarów) i porównanie wyników pomiaru z wymiarami, jakie rama sekcyjna powinna mieć.

-a-

rama

OZNACZENIA:

sekcyjna

a,b – wymiary jakie powinna mieć rama sekcyjna

-b-

a’,b’ – wymiary ramy pomierzone na mapie

Skurcz w kierunku boku a wynosi:

%

100

'

%

⋅

−

=

a

a

a

p

Skurcz w kierunku boku b wynosi:

%

100

'

%

⋅

−

=

b

b

b

q

Skurcz powierzchniowy:

ΔP%=p%+q%

Skurcz liniowy w dowolnym kierunku:

K%=P%sin

2

α +q%cos

2

α

Pomierzoną na mapie długość odcinka l’ należy zmienić o pewną wartość, aby otrzymać odcinek l
poprawiony o skurcz papieru:











 +

=

%

100

%

1

'

k

l

l

Oznaczając przez P’ powierzchnię obliczoną na mapie, a przez P powierzchnię poprawioną ze
względu na skurcz mapy otrzymamy:













∆

+

=

%

100

%

1

'

P

P

P

Metody graficzne należą do mniej dokładnych sposobów obliczania powierzchni. Obarczone są:

 błędami pomiaru
 błędami grafiki wykreślonej mapy
 błędami odczytów na podziałce
 błędami określenia skurczu papieru

Ad. 3)
Obliczanie powierzchni metodą
mechaniczną wykonuje się za pomocą
planimetru. Najczęściej stosowany jest
planimetr biegunowy. Części składowe
planimetru:

- ramie biegunowe i wodzące
- biegun

- wodzik
- kółko kompensacyjne
- licznik (odczyty z licznika są zawsze w postaci liczby czterocyfrowej: I z tarczy poziomej, II i III
z bębna, IV z noniusza)
- kółko całkujące (połączone jest z mechanizmem łączącym jego obroty; skład: noniusz, bęben,
tarcza pozioma).
Sposób pomiaru: Biegun planimetru ustawia się na zewnątrz lub wewnątrz figury (lepiej wewnątrz),
której powierzchnia ma być zmierzona, po czym wodzikiem oprowadza się daną figurę dookoła po
jej konturze. Z licznika planimetru odczytuje się ilość obrotów kółka całkującego.

P = C

1

∙ n

P – powierzchnia
C

1

– stała planimetru

n – ilość obrotów kółka (różnica odczytów przed i po oprowadzeniu danej figury → n=O

2

– O

1

)

Wyznaczanie stałej planimetru C

1

:

o zależy od długości ramienia wodzącego (przede wszystkim)
o zależy od gatunku papieru (minimalnie)

Wyznaczanie stałej planimetru C

1

polega na zmierzeniu za pomocą planimetru powierzchni takiej

figury, której wielkość pola jest znana (np. kwadrat o boku 10cm).

1

2

zn

zn

1

O

O

P

n

P

C

−

=

=

P

zn

– powierzchnia znana

W celu wyznaczenia stałej planimetru C

1

z większą dokładnością, powierzchnię znaną obwodzi się

wielokrotnie w dwóch położeniach planimetru.

W

B

W

I położenie

II położenie

B

Zmieniając odpowiednio długości ramienia wodzącego można uzyskać żądaną wartość stałej C

1

.

Wyznaczanie stałej planimetru C

1

w żądanych jednostkach z uwzględnieniem skali mapy:

np.: chcemy wyznaczyć C

1

w m

2

dla mapy w skali 1:M

DANE: P

zn

w m

2

, n=O

2

– O

1

6

2

zn

2

1

10

n

M

P

]

[m

C

⋅

⋅

=

np.: P

zn

=10 000mm

2

, skala 1:500, n=1000

2

6

2

2

1

m

5

,

2

10

1000

500

0000

1

]

[m

C

=

⋅

⋅

=

– stała z dokładnością do czterech miejsc po przecinku

Uwagi dotyczące pomiaru powierzchni planimetrem kompensacyjnym:

•

powierzchnia rysunkowa mapy ma być płaszczyzną gładką i poziomą

•

stałą C

1

należy wyznaczać na papierze, na którym wykreślona jest mapa

•

biegun należy umieścić w takim miejscu, aby kółko całkujące i kompensacyjne toczyły się
przy obwodzeniu zawsze po arkuszu mapy

•

kąt pomiędzy promieniem wodzącym i biegunowym musi mieścić się w granicach
30º<α<150º

•

należy obrać taki punkt wyjściowy wodzika, aby kółko całkujące toczyło się powoli, a
nawet ślizgało się bez zmiany odczytów przy rozpoczęciu i kończeniu obwodzenia

•

wodzik należy prowadzić ruchem jednostajnym starając się nie zbaczać z konturu
mierzonej figury (nie przy linijce!!!)

•

figurę należy obwodzić wielokrotnie w dwóch położeniach bieguna (około 5 razy)

•

duże figury, których nie można objąć ramieniem wodzącym planimetru przy jednym
położeniu bieguna, należy dzielić na części i planimetrować kolejno.