LISTA 13 - Ca÷

ki wielokrotne.

Zadanie 1

Zbada´c, który z obszarów ograniczonych podanymi krzywymi jest

normalny wzgl ¾

edem osi Ox, a który wzgl ¾

edem osi Oy. Naszkicowa´c te ob-

szary.

a) y = x

2

; y =

p

x;

b) y = 0; x = 2; y = x

2

;

c) y =

1
x

; y = x; y = 2x (x > 0) ;

d) x

2

+ y

2

= 1;

e) y =

1; y = 1; x = 2

p

1

y

2

; x =

p

1

y

2

1;

f ) y = jsin xj ; y = 1; x =

2

; x =

2

:

Zadanie 2

Zamieni´c ca÷k ¾

e podwójn ¾

a

RR

D

f (x; y) dxdy na ca÷

ki iterowane, je·zeli

obszar D ograniczony jest podanymi krzywymi:

a) y = 1 +

p

2x

x

2

; x = 0; x = 2; y = 0;

b) y = x; xy = 1; y =

1
2

;

c) yx

2

= 1; y = 1; y = 2;

c) y = jx

1

j ; y = 2

jx

1

j ;

e) x = 0; x

2

+ y

2

= 1; y =

p

x (y

0);

f ) x = y

2

; y = x

2:

Zadanie 3

Narysowa´c obszary ca÷kowania, a nast ¾

epnie dokona´c zmiany ko-

lejno´sci ca÷kowania w podanych przyk÷adach:

a)

1

R

0

1

R

x

f (x; y) dy

dx;

b)

R

0

sin x

R

0

f (x; y) dy

dx;

c)

2

R

2

4

R

y

2

f (x; y) dx

!

dy;

d)

e

2

R

1

ln y

R

0

f (x; y) dx

!

dy:

Zadanie 4

Obliczy´c podane ca÷ki podwójne we wspó÷rz ¾

ednych prostok ¾

atnych:

a)

RR

D

(x

2

xy) dxdy, D =

f(x; y) 2 R

2

: y

x; y

3x

x

2

g ;

b)

RR

D

(3x

2y) dxdy, D =

f(x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

1

g ;

1

c)

RR

D

xydxdy

, D = f(x; y) 2 R

2

: y

6

x; y

p

x; x

0

g ;

d)

RR

D

ydxdy

, D =

n

(x; y)

2 R

2

: x

arcsin y; y

1

p

2

; x

0

o

:

Zadanie 5

Wprowadzaj ¾

ac wspó÷

rz ¾

edne biegunowe obliczy´c podane ca÷ki pod-

wójne:

a)

RR

D

e (

x

2

+y

2

)dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzyw ¾

a x

2

+y

2

= 2;

b)

RR

D

ydxdy

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x

2

+ y

2

= 4,

x

2

+ y

2

= 1, y = x, y = 0, (x

0, y

0),

c)

RR

D

1

(x

2

+y

2

)

2

dxdy

,

gdzie D

jest

obszarem ograniczonym

krzywymi:

x

2

+ y

2

= 4, x = 0, y = 1, (x

0, y

1),

d)

RR

D

xdxdy

,

gdzie

D

jest

obszarem

ograniczonym

krzywymi:

x

2

+ (y

1)

2

= 1, y = x, (x

y

).

Zadanie 6

Obliczy´c pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

a) x + y = 3; x = 0; y = 0;

b) x = y

2

; x = 1;

c) y = cos x; y = sin x; x =

4

; x =

4

;

d) xy = 1; y = x; y = 2x; (x > 0; y > 0),

e) y =

p

jxj; y = x

2

;

f ) x

2

+ (y

2)

2

= 4; y = x, (y

x

):

Zadanie 7

Wyznaczy´c moment statyczny oraz moment bezw÷adno´sci:

a) jednorodnego prostok ¾

ata o bokach a i b; wzgl ¾

edem boku a,

b) jednorodnego trójk ¾

ata prostok ¾

atnego o przyprostok ¾

atnych a i b; wzgl ¾

edem

przyprostok ¾

atnej a,

c) jednorodnego ko÷

a o promieniu R; wzgl ¾

edem stycznej,

d) jednorodnej ´cwiartki ko÷a o promieniu R; wzgl ¾

edem osi symetrii.

2

Zadanie 8

Wyznaczy´c wspó÷rz ¾

edne ´srodka masy oraz moment dewiacyjny:

a) jednorodnego prostok ¾

ata o bokach a i b;

b) jednorodnego trójk ¾

ata prostok ¾

atnego o przyprostok ¾

atnych a i b;

c) jednorodnego ko÷

a o promieniu R;

d) jednorodnej ´cwiartki ko÷a o promieniu R.

Zadanie 9

Obliczy´c podane ca÷ki potrójne po obszarach ograniczonych wska-

zanymi powierzchniami:

a)

RRR

U

xydxdydx

, gdzie U : y = 0; y = x; x =

p

9

z

2

; z = 0;

b)

RRR

U

ydxdydx

, gdzie U : z = y; z = 0; y = 1

x

2

;

c)

RRR

U

(x

2

+ y

2

) dxdydx, gdzie U : z = y

2

x

2

; x = 0; y = 1; y = x; z = 0;

d)

RRR

U

cos

z
y

dxdydx

, gdzie U : y =

6

; y = x; x =

2

; z = xy; z = 0;

e)

RRR

U

x

2

yzdxdydx

, gdzie U : x = 2; y =

x; y = x

2

; z = 0; z = x + y:

Zadanie 10

Wprowadzaj ¾

ac wspó÷

rz ¾

edne walcowe obliczy´c podane ca÷ki po ob-

szarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami:

a)

RRR

U

x

2

dxdydx

, gdzie U : z = 9

x

2

y

2

; z = 0;

b)

RRR

U

(x

2

+ y

2

) dxdydx, gdzie U : z = 2

p

x

2

+ y

2

; z = 8;

c)

RRR

U

z

2

dxdydx

, gdzie U : z =

p

8

x

2

y

2

; z =

p

x

2

+ y

2

;

d)

RRR

U

xyzdxdydx

, gdzie U : x

2

+ y

2

+ z

2

= 4:

Zadanie 11

Wprowadzaj ¾

ac wspó÷

rz ¾

edne sferyczne obliczy´c podane ca÷ki po-

trójne:

a)

RRR

U

z

2

p

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydx

, gdzie U jest obszarem ograniczonym po-

wierzchniami: z =

p

4

x

2

y

2

; z = 0;

b)

RRR

U

dxdydx

x

2

+y

2

+z

2

, gdzie U

jest obszarem ograniczonym powierzchniami:

z =

p

1

x

2

y

2

; z =

1
2

;

3

c)

RRR

U

(x

2

+ y

2

) dxdydx, gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzchnia-

mi: z =

p

9

x

2

y

2

; z =

p

x

2

+ y

2

;

d)

RRR

U

dxdydx

p

x

2

+y

2

+z

2

, gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzchniami:

x

2

+ y

2

+ z

2

= 4; x

2

+ y

2

+ z

2

= 16;

e)

RRR

U

p

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydx

, gdzie U jest obszarem ograniczonym powierzch-

niami: x

2

+ y

2

+ z

2

z = 0;

f )

RRR

U

xyzdxdydx

, gdzie U

jest obszarem ograniczonym powierzchniami:

x

2

+ y

2

+ z

2

= 4; x = 0; y = 0; z = 0 (I oktant).

Zadanie 12

Obliczy´c obj ¾

eto´sci obszarów ograniczonych podanymi powierzch-

niami:

a) 3x + 6y + 4z = 12; x = 0; y = 0; z = 0;

b) y = x

2

; y + z = 4; x = 0; z = 0;

c) y

2

+ z

2

= 1; y = x; x = 0;

d) x

2

+ y

2

+ z

2

= 16; x

2

+ y

2

= 4x;

e) x

2

+ y

2

+ z

2

= 9; z =

p

x

2

+ y

2

;

f ) z = 4x

2

+ y

2

; z = 4

3y

2

:

Bibliogra…a

[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. De…nicje, twierdze-

nia, wzory, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷

aw, 2001.

[2] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przyk÷

ady i zada-

nia, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷

aw, 2002.

4