ki wielokrotne.
De…nicja 1 (obszary normalne wzgl ¾
edem osi uk÷
adu)
1. Obszar domkni ¾
ety D nazywamy obszarem normalnym wzgl ¾
edem osi Ox,
je·zeli mo·zna go zapisać w postaci:
D = (x; y) 2 R2 : a
x
b; g (x)
y
h (x) ;
gdzie funkcje g i h s ¾
a ci ¾
ag÷
e na [a; b] oraz g (x) < h (x) dla ka·zdego x 2 (a; b).
2. Obszar domkni ¾
ety D nazywamy obszarem normalnym wzgl ¾
edem osi Oy,
je·zeli mo·zna go zapisać w postaci:
D = (x; y) 2 R2 : c
y
d; p (x)
x
q (x) ;
gdzie funkcje p i q s ¾
a ci ¾
ag÷
e na [c; d] oraz p (x) < q (x) dla ka·zdego y 2 (c; d).
Twierdzenie 2 (ca÷
ki iterowane po obszarach normalnych)
1. Je·zeli funkcja f jest ci ¾
ag÷
a na obszarze domkni ¾
etym
D = (x; y) 2 R2 : a
x
b; g (x)
y
h (x)
normalnym wzgl ¾
edem osi Ox, to
!
RR
b
R
h(x)
R
f (x; y) dxdy =
f (x; y) dy
dx:
D
a
g(x)
2. Je·zeli funkcja f jest ci ¾
ag÷
a na obszarze domkni ¾
etym
D = (x; y) 2 R2 : c
y
d; p (x)
x
q (x) ;
normalnym wzgl ¾
edem osi Oy, to
!
RR
d
R
q(y)
R
f (x; y) dxdy =
f (x; y) dx
dy:
D
c
p(y)
De…nicja 3 (obszar regularny na p÷
aszczyźnie)
Sum ¾
e skończonej liczby obszarów normalnych (wzgl ¾
edem osi Ox i Oy) o
parami roz÷¾
acznych wn ¾
etrzach nazywamy obszarem na p÷
aszczyźnie.
De…nicja 4 (wspó÷
rz ¾
edne biegunowe)
Po÷
o·zenie punktu P na p÷aszczyźnie mo·zna opisać par ¾
a liczb ('; %), gdzie
' - oznacza miar ¾
e k ¾
ata mi ¾
edzy dodatni ¾
a cz ¾
eści ¾
a osi Ox a promieniem wodz ¾
a-
cym punktu P , 0
' < 2 ,
% - oznacza odleg÷
ość punktu P od pocz ¾
atku uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych, 0
% < 1.
Par ¾
e liczb ('; %) nazywamy wspó÷
rz ¾
ednymi biegunowymi punktu p÷
aszczyzny.
1
edzy wspó÷
rz ¾
ednymi biegunowymi i kartezjańskimi)
Wspó÷
rz ¾
edne kartezjańskie (x; y) punktu p÷aszczyzny danego we wspó÷rz ¾
ednych
biegunowych ('; %) określone s ¾
a wzorami:
x = % cos ';
B :
y = % sin ':
Uwaga 6 Przekszta÷
cenie B, które punktowi ('; %) przyporz ¾
adkowuje punkt
(x; y) określony powy·zszymi wzorami, nazywamy przekszta÷ceniem biegunowym.
De…nicja 7 (jakobian przeksta÷
cenia)
Jakobianem przekszta÷
cenia T (u; v) = ( (u; v) ; (u; v)) nazywamy funkcj ¾
e
określon ¾
a wzorem:
@
(u; v)
@
(u; v)
J
@u
@v
T (u; v) = det
@
:
(u; v)
@ (u; v)
@u
@v
Uwaga 8 Jakobian przekszta÷
cenia biegunowego B jest funkcj ¾
a postaci:
cos '
% sin '
JB ('; %) = det
= % sin2 ' + cos2 ' = %:
sin '
% cos '
Twierdzenie 9 (wspó÷
rz ¾
edne biegunowe w ca÷
ce podwójnej)
Niech
1. obszar
we wspó÷
rz ¾
ednych biegunowych b ¾
edzie regularny,
2. funkcja f b ¾
edzie ci ¾
ag÷
a na obszarze D, który jest obrazem zbioru przez
przekszta÷
cenie biegunowe D = B ( ) :
Wtedy
RR
RR
f (x; y) dxdy =
f (% cos '; % sin ') jJB ('; %)j d%d' =
D
RR f (%cos';%sin')%d%d':
Uwaga 10 Je·zeli we wspó÷rz ¾
ednych biegunowych obszar
ma postać:
= f('; %) :
'
; g (')
%
h (')g ;
gdzie funkcje nieujemne g i h s ¾
a ci ¾
ag÷
e na przedziale [ ; ]
[0; 2 ], to
!
RR
R
h(')
R
f (% cos '; % sin ') %d%d' =
f (% cos '; % sin ') %d%
d':
g(')
2
De…nicja 11 Masa obszaru D o g ¾
estości powierzchniowej masy
wyra·za
si ¾
e wzorem:
RR
M =
(x; y) dxdy:
D
De…nicja 12 Momenty statyczne wzgl ¾
edem osi Ox i Oy obszaru D o g ¾
estości
powierzchniowej masy
wyra·za si ¾
e wzorem:
RR
M Sx =
y (x; y) dxdy;
D
RR
M Sy =
x (x; y) dxdy:
D
De…nicja 13 Wspó÷
rz ¾
edneśrodka masy obszaru D o g ¾
estości powierzchniowej
masy
wyra·zaj ¾
a si ¾
e wzorami:
M S
M S
x
y
x
C =
oraz y
:
M
C =
M
De…nicja 14 Momenty bezw÷
adności wzgl ¾
edem osi Ox, Oy obszaru D o g ¾
e-
stości powierzchniowej masy
wyra·za si ¾
e wzorami:
RR
Ix =
y2 (x; y) dxdy;
D
RR
Iy =
x2 (x; y) dxdy:
D
Moment bezw÷
adności wzgl ¾
edem punktu O obszaru D o g ¾
estości powierzch-
niowej masy
wyra·za si ¾
e wzorem:
RR
IO =
x2 + y2
(x; y) dxdy:
D
De…nicja 15 Moment dewiacyjny wzgl ¾
edem osi Ox i Oy obszaru D o g ¾
e-
stości powierzchniowej masy
wyra·za si ¾
e wzorem:
RR
Ixy =
xy (x; y) dxdy:
D
De…nicja 16 (obszar normalny wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny xOy)
Obszar domkni ¾
ety U nazywamy obszarem normalnym wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny
xOy, je·zeli mo·zna go zapisać w postaci: U = (x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 Dxy; d (x; y) z
g (x; y) ;
gdzie Dxy jest obszarem regularnym na p÷aszczyźnie xOy, a funkcja d i g s ¾
a
ci ¾
ag÷
e na Dxy, przy czym d (x; y) < g (x; y) dla punktów (x; y) nale·z ¾
acych do
wn ¾
etrza obszaru Dxy:
3
ka iterowana po obszarze normalnym)
Je·zeli funkcja f jest ci ¾
ag÷
a na obszarze domkni ¾
etym
U = (x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 Dxy; d (x; y) z
g (x; y)
normalny wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny xOy, gdzie funkcja d i g s ¾
a ci ¾
ag÷
e na obszarze
regularnym Dxy, to
!
RRR
RR
g(x;y)
R
f (x; y; z) dxdydz =
f (x; y; z) dz
dxdy:
U
Dxy
d(x;y)
Uwaga 18 Je·zeli obszar U normalny wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny xOy mo·zna za-
pisać w postaci
U = (x; y; z) 2 R3 : a
x
b; d (x)
y
g (x) ; d (x; y)
z
g (x; y) ;
to zachodzi równość
!
!
RRR
b
R
g(x)
R
g(x;y)
R
f (x; y; z) dxdydz =
f (x; y; z) dz
dy
dx:
U
a
d(x)
d(x;y)
De…nicja 19 (jakobian przekszta÷
cenia)
Jakobianem przekszta÷
cenia T (u; v; w) = ( (u; v; w) ; (u; v; w) ; (u; v; w)) nazywamy funkcj ¾
e określon ¾
a wzorem:
2
3
@
(u; v; w)
@
(u; v; w)
@
(u; v; w)
@u
@v
@w
J
4 @
5
T (u; v; w) = det
(u; v; w)
@ (u; v; w) @ (u; v; w)
:
@u
@v
@w
@
(u; v; w)
@
(u; v; w)
@
(u; v; w)
@u
@v
@v
Twierdzenie 20 (o zamianie zmiennych w ca÷
ce potrójnej)
Niech
1. odwzorowanie
8
< x = (u; v; w) ;
T :
y = (u; v; w) ;
: z = (u; v; w) :
przekszta÷
ca ró·znowartościowe wn ¾
etrze obszaru regularnego
na wn ¾
etrze ob-
szaru regularnego V ,
2. funkcje ; ;
maj ¾
a ci ¾
ag÷
e pochodne cz ¾
astkowe rz ¾
edu pierwszego na pewnym
zbiorze otwartym zawieraj ¾
acym obszar
,
3. funkcja f b ¾
edzie ci ¾
ag÷
a na obszarze V ,
4. jakobian JT jest ró·zny od zera wewn ¾
atrz obszaru
.
Wtedy
RRR f (x;y;z)dxdydz =
V
RRR
=
f ( (u; v; w) ; (u; v; w) ;
(u; v; w)) jJT (u; v; w)j dudvdw:
4
rz ¾
edne walcowe)
Po÷
o·zenie punktu P w przestrzenie mo·zna opisać trójk ¾
a liczb ('; ; h), gdzie
' - oznacza miar ¾
e k ¾
ata mi ¾
edzy rzutem promienia wodz ¾
acego punktu P na
p÷
aszczyzn ¾
e xOy, a dodatni ¾
a cz ¾
eści ¾
a osi Ox, 0
' < 2 ,
- oznacza odleg÷
ość rzutu punktu P na p÷aszczyźnie xOy od pocz ¾
atku uk÷
adu
wspó÷
rz ¾
ednych, 0
< 1,
h - oznacza odleg÷
ość (dodatni ¾
a dla z > 0 i ujemn ¾
a dla z < 0) punktu P od
p÷
aszczyzny xOy,
1 < h < 1.
Trójk ¾
e liczb ('; ; h) nazywamy wspó÷
rz ¾
ednymi walcowymi punktu przestrzeni.
Fakt 22 (zale·zność mi ¾
edzy wspó÷
rz ¾
ednymi walcowymi i kartezjańskimi)
Wspó÷
rz ¾
edne kartezjańskie (x; y; z) punktu przestrzeni danego we wspó÷rz ¾
ed-
nych walcowych ('; ; h) określone s ¾
a wzorami:
8
< x = cos ';
W :
y =
sin ';
: z = h:
Uwaga 23 Przekszta÷
cenie W, które punktowi ('; ; h) przyporz ¾
adkowuje
punkt (x; y; z) określony powy·zszymi wzorami, nazywamy przekszta÷ceniem walcowym.
Uwaga 24 Jakobian przekszta÷
cenia walcowego W jest funkcj ¾
a postaci:
2
3
sin ' cos ' 0
J
4
5
W ('; ; h) = det
cos '
sin ' 0
=
:
0
0
1
Twierdzenie 25 (wspó÷
rz ¾
edne walcowe w ca÷
ce potrójnej)
Niech
1. obszar
we wspó÷
rz ¾
ednych walcowych b ¾
edzie obszarem normalny,
2. funkcja f b ¾
edzie ci ¾
ag÷
a na obszarze U , który jest obrazem obszaru przy
przekszta÷
ceniu walcowym U = W ( ) :
Wtedy
RRR
RRR
f (x; y; z) dxdydz =
f ( cos '; sin '; h) dhd d':
U
5
ednych walcowych obszar
ma postać:
= ('; ; h) 2 R3 :
'
; d (')
g (') ; d ('; )
h
g ('; ) ;
gdzie funkcje d i g s ¾
a ci ¾
ag÷
e na przedziale [ ; ]
[0; 2 ], a funkcje d i g s ¾
a
ci ¾
ag÷
e na obszarze
('; ) 2 R2 :
'
; d (')
g (') ; to
RRR f ( cos'; sin';h) dhd d'
!
!
R
g(')
R
g('; )
R
=
f ( cos '; sin '; h) dz
d
d':
d(')
d('; )
Uwaga 27 Wspó÷
rz ¾
edne walcowe stosujemy g÷
ównie wtedy, gdy obszar ca÷
ko-
wania jest ograniczony fragmentami powierzchni walców, sfer, sto·zków lub p÷
aszczyzn.
De…nicja 28 (wspó÷
rz ¾
edne sferyczne)
Po÷
o·zenie punktu P w przestrzeni mo·zna opisać tójk ¾
a liczb ('; ; ), gdzie
' - oznacza miar ¾
e k ¾
ata pomi ¾
edzy rzutem promienia wodz ¾
acego punktu P na
p÷
aszczyźnie xOy, a dodatni ¾
a cz ¾
eści ¾
a osi Ox; 0
' < 2 ,
- oznacza miar ¾
e k ¾
ata mi ¾
edzy promieniem wodz ¾
acym punktu P , a p÷
aszczyzn ¾
a
xOy,
;
2
2
- oznacza odleg÷
ość punktu P od pocz ¾
atku uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych, 0
< 1:
Trójk ¾
e liczb ('; ; ) nazywamy wspó÷
rz ¾
ednymi sferycznymi punktu przestrzeni.
Fakt 29 (zale·zność mi ¾
edzy wspó÷
rz ¾
ednymi sferycznymi i kartezjańskimi)
Wspó÷
rz ¾
edne kartezjańskie punktu (x; y; z) w przestrzenie danego we wspó÷rz ¾
ed-
nych sferycznych ('; ; ) określone s ¾
a wzorami:
8
< x = cos ' cos ;
S :
y =
sin ' cos ;
: z = sin :
Uwaga 30 (zale·zność mi ¾
edzy wspó÷
rz ¾
ednymi sferycznymi i kartezjańskimi)
Przekszta÷
cenie S, które punktowi ('; ; ) przyporz ¾
adkowuje punkt (x; y; z)
określony powy·zszymi wzorami, nazywamy przekszta÷ceniem sferycznym.
Uwaga 31 Jakobian przekszta÷
cenia sferycznego S jest funkcj ¾
a postaci:
2
3
sin ' cos
cos ' sin cos ' cos
J
4
5
W ('; ; h) = det
cos ' cos
sin ' sin
sin ' cos
= 2 cos :
0
cos
sin
6
rz ¾
edne sferyczne w ca÷
ce potrójnej)
Niech
1. obszar
we wspó÷
rz ¾
ednych sferycznych b ¾
edzie obszarem normalnym,
2. funkcja f b ¾
edzie ci ¾
ag÷
a na obszarze U , który jest obrazem obszaru przy
przekszta÷
ceniu sferycznym U = S ( ) :
Wtedy
RRR f (x;y;z)dxdydz
U
RRR
=
f ( cos ' cos ; sin ' cos ; sin ) 2 cos d d d': Uwaga 33 Je·zeli we wspó÷rz ¾
ednych sferycznych obszar
ma postać:
('; ; ) 2 R3 :
'
; d (')
g (') ; d ('; )
g ('; ) ;
gdzie funkcje d i g s ¾
a ci ¾
ag÷
e na przedziale [ ; ]
[0; 2 ], a funkcje d i g s ¾
a
ci ¾
ag÷
e na obszarze
('; ) 2 R2 :
'
; d (')
g (') ; to
RRR f ( cos'cos ; sin'cos ; sin ) 2 cos d d d'
!
!
R
g(')
R
g('; )
R
=
f ( cos ' cos ; sin ' cos ; sin ) d d
d':
d(')
d('; )
Uwaga 34 Wspó÷
rz ¾
edne sferyczne stosujemy g÷
ównie do opisu obszarów ca÷
-
kowania, które s ¾
a ograniczone fragmentami powierzchni sfer, sto·zków lub p÷
aszczyzn.
Bibliogra…a
[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. De…nicje, twierdze-nia, wzory, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷
aw, 2001.
7