SNM

- sem.II -

dr Anita Tlałka - 1

Całki wielokrotne

Zad.1

Całkę podwójną

RR

D

f (x, y) dxdy zamień na całki iterowane, jeżeli obszar D jest ograniczony

przez:

a) y = x, y = −x, x = 1;

b) y = x, y = −x, y = 1;

c) y = x, y =

1

x

, y = 5;

d) y = ln x, y = −x + 1, y = 1;

e) y = ln x, x = e

2

, y = 1;

f) y = arctgx, y =

π

4

x

2

;

g) x

2

+ y

2

= 9;

h) y = |x| − 1, y =

√

1 − x

2

;

i) y = x

2

, y = −x

2

, x = y

2

, x = −y

2

.

Zad.2

Oblicz:

a)

RR

D

xy dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = x, y = 2x, x = −1, x = 2;

b)

RR

D

xy dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi y = x

2

, x = y

2

;

c)

RR

D

(2x + y) dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez x = 0, y = 0, x + y = 3;

d)

RR

D

sin(x + y) dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = 0, y = x, y + x =

π

2

;

e)

RR

D

x

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie obszar D jest ograniczony przez y = x, x = 2y, x = 2.

f)

RR

D

(

1

3

√

x + 1

+ x)ye

y

2[3

3

q

(

π

2

+ 1)

2

+

π

2

4

− 3

3

q

(arcsin y + 1)

2

− (arcsin y)

2

]

dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-

ny przez y = 0, y = sin x dla 0 ¬ x ¬

π

2

;

g)

RR

D

ln(1 + x

2

+ y

2

) dxdy, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 25, x ¬ 0};

h)

RR

D

ln(x

2

+ y

2

)

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ e

2

, x

2

+ y

2

­ 1};

i)

RR

D

x

2

√

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 1, y ­ x};

j)

RR

D

√

4 − x

2

− y

2

dxdy, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 2x, y ­ 0};

k)

RR

D

dxdy

√

x

2

+ y

2

, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

­ 1, x

2

+ y

2

¬ 4, y ­ x};

l)

RR

D

y dxdy , gdzie D = {(x, y) : y ­ 0, x

2

+ y

2

¬ 2x};

SNM

- sem.II -

dr Anita Tlałka - 2

m)

2

R

0

√

y
2

R

y2

4

e

1

x+1

2

√

x(1 −

√

x

3

)(x + 1)

2

dxdy;

n)

√

2

R

0

√

2

√

2 y

R

y

2

2ye

x

x −

x

4

8

dxdy;

o)

3

R

0

√

4x−x

2

R

2

√

3−

√

12−x

2

√

x

2

+ y

2

dydx;

p)

9

R

0

3

R

√

y

sin (πx

3

) dxdy.

Zad.3

Za pomocą całki podwójnej oblicz pole obszaru ograniczonego przez:

a) y = −x

2

+ 4; y = 3

√

x; y = 0 dla x ¬ 0;

b) y = x, y =

1
x

, y = 2;

c) x = 4 − y

2

, x = y − 2;

d) y = x

2

, y = −x

2

+ x + 1;

e) y = 3x

2

− 4x, x = −1, x = 1, y = 0;

f) y

2

= x, y

2

= 2x, xy = 2, xy = 4;

g) x

2

+ y

2

= 2y, x

2

+ y

2

= 4y, y = x, y =

√

3x.

Zad.4

Za pomocą całki podwójnej oblicz objętość bryły ograniczonej przez przez:

a) z =

√

x

2

+ y

2

, z = 4;

b) z = x

2

+ y

2

= 4, z = 4;

c) z = x

2

+ y

2

, z =

√

x

2

+ y

2

;

d) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

= 1, z = 0;

e) x + y + z = 1 oraz płaszczyzny układu współrzędnych;

f) x

2

+ y

2

= 1, z = y − 1, z = 0;

g) z = 7 − x

2

, z = −2, y = −1, y = 4;

h) z =

√

x

2

+ y

2

, z = 6 − x

2

− y

2

;

i)

x

2

16

+

y

2

9

= 1, z =

x

2

16

+

y

2

9

, z = 0;

j) z =

√

x

2

+ y

2

, z = 1, z = 2;

k) z

2

= x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

= 1;

l)

x

2

9

+

y

2

4

= 1, z = x

2

+ y

2

, z = x

2

+ y

2

+ 4;

m) x

2

+ y

2

− 4z

2

= 0, x

2

+ y

2

− 8z = 0;

SNM

- sem.II -

dr Anita Tlałka - 3

n) y

2

+ z

2

− x = 1, x = 0.

Zad.5

Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:

a) części stożka z =

√

x

2

+ y

2

ograniczonego powierzchnią x

2

+ y

2

= 4;

b) wyciętego walcem

x

2

9

+

y

2

4

= 1 z paraboloidy z =

x

2

6

+

y

2

4

;

c) walca parabolicznego z = x

2

wyciętego płaszczyznami y = 2x, y = 3x, x =

√

2;

d) paraboloidy z =

x

2

2

+

y

2

2

zawartej wewnątrz walca x

2

+ y

2

= 4;

e) wyciętego walcem x

2

+ y

2

= 4 ze sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 9;

f) wyciętego walcem x

2

+ y

2

= 2x ze sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 4.

Zad.6

Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej ρ:

a) x

2

+ y

2

¬ x, x

2

+ y

2

¬ y, ρ(x, y) =

1

(1 − x

2

− y

2

)

2

;

b) 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2x, ρ(x, y) = 1.

Zad.7

Oblicz:

a)

RRR

V

1

(x + y + z)

3

dxdydz, gdzie V jest zawarty pomiędzy płaszczyznami układu współrzęd-

nych i płaszczyzną x + y + z = 1;

b)

RRR

dxdydz

(x + y + z + 1)

3

, gdzie obszar V jest bryłą ograniczoną płaszczyznami x + z = 3, y = 2

i płaszczyznami układu współrzędnych;

c)

RRR

V

(2x + 3y − z) dxdydz, gdzie V jest graniastosłupem ograniczonym płaszczyznami x = 0,

y = 0, z = 0, z = 3 i x + y = 2;

d)

RRR

V

(4 + z) dxdydz, gdzie V jest obszarem −1 ¬ x ¬ 1, y

2

¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2;

e)

RRR

V

(x

2

+ y

2

) dxdydz, gdzie V jest obszarem x

2

+ y

2

+ z

2

¬ a

2

i z ­ 0;

f)

RRR

V

(x

2

+ y

2

) dxdydz, gdzie V jest obszarem 1 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4, y ­ 0;

g)

RRR

V

dxdydz

x

2

+ y

2

+ z

2

, gdzie V jest obszarem x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, x ¬ 0, y ¬ 0, z ­ 0;

h)

RRR

V

√

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchnią x

2

+ y

2

+ z

2

= z;

i)

RRR

V

√

x

2

+ y

2

dxdydz, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchnią x

2

+ y

2

= z

2

i płaszczy-

znami z = −1, z = 1;

j)

RRR

V

√

x

2

+ y

2

dxdydz, gdzie V jest ograniczony przez z

2

= x

2

+ y

2

, z = −1, z = 5;

SNM

- sem.II -

dr Anita Tlałka - 4

k)

RRR

V

z dxdydz, gdzie bryła V jest ograniczona płaszczyzną z = h i powierzchnią z

2

=

h

2

R

2

(x

2

+ y

2

);

l)

RRR

V

z

2

dxdydz, gdzie V jest częścią wspólną obszarów x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4, x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4z;

m)

RRR

V

z

2

dxdydz, gdzie V jest obszarem x

2

+ y

2

+ (z − 1)

2

¬ 1;

n)

RRR

V

x dxdydz, gdzie V jest ograniczony przez x

2

+ y

2

= −2z + 9, x = 0, y = 0, z = 0 (dla

x ­ 0, y ­ 0);

o)

RRR

V

x

2

dxdydz, gdzie V jest ograniczony powierzchnią

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1;

p)

RRR

V

x

2

dxdydz, gdzie V jest obszarem x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4x;

r)

RRR

V

yz dxdydz

√

4 − x

2

− y

2

, gdzie bryła V jest ograniczona powierzchnią z

2

= 2x

2

+ 2y

2

oraz płasz-

czyznami x = 0, y = 0 i z = 2 dla x ­ 0, y ­ 0 i z ­ 0.

Zad.8

Korzystając z całki potrójnej oblicz objętość bryły:

a) ograniczonej przez 2x + y + z = 12, z = 0, y = 2

√

3x, y = 0;

b) ograniczonej przez x + y + z = 4, x = 3, y = 2 i płaszczyznami układu współrzędnych;

c) ograniczonej przez x

2

+ y

2

= az i x

2

+ y

2

= z

2

;

c) ograniczonej przez z = 4x

2

+ y

2

, z = 4 − 3y

2

;

d) ograniczonej przez x

2

+ y

2

= 1, z = y + 1, z = −1;

e) ograniczonej przez

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1, x + z = 2a i x − z = 2a;

f)

x

2

4

+

y

2

9

¬ 1, 0 ¬ z ¬

x

2

4

+

y

2

9

;

g) x

2

+ y

2

= 2z

2

(dla x

2

+ y

2

¬ 2z

2

) i x

2

+ y

2

= 3 − z (dla x

2

+ y

2

¬ 3 − z);

h) ograniczonej przez 4x

2

+ 9y

2

= 36z

2

, 4x

2

+ 9y

2

= 36 i płaszczyzną z = 0;

i) ograniczonej przez x

2

+ y

2

+ z

2

= 2x;

j) x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, x

2

+ y

2

¬ a

2

, gdzie 0 ¬ a ¬ R;

k) x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, x

2

+ y

2

­ a

2

, gdzie 0 ¬ a ¬ R;

l) ograniczonej przez x

2

+ y

2

+ z

2

= 4 i x

2

+ y

2

= 3z

2

;

m) x

2

+ y

2

+ z

2

­ 4, x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9, x

2

+ y

2

¬ z

2

;

n) ograniczonej przez z

2

= x

2

+ y

2

, z = 4;

o) ograniczonej przez z

2

= x

2

+ y

2

, z = −4, z = 8;

p) ograniczonej przez z

2

= x

2

+ y

2

, z = x

2

+ y

2

;

r) zawartej wewnątrz x

2

+ y

2

= z

2

oraz ograniczonej powierzchnią x

2

+ y

2

+ z

2

= 81;

SNM

- sem.II -

dr Anita Tlałka - 5

Zad.9

Korzystając z całki potrójnej oblicz masę obszaru V o gętości ρ:

a) 0 ¬ x ¬ a, 0 ¬ y ¬ b, 0 ¬ z ¬ c (a, b, c > 0), gdzie ρ(x, y, z) = x + y + z;

b) x

2

+ y

2

¬ 4, z ¬ 2

√

x

2

+ y

2

, z ­ 0, gdzie ρ(x, y, z) = x

2

+ y

2

;

c) x

2

+ y

2

¬ 2x, 0 ¬ z ¬ 1, y ­ 0, gdzie ρ(x, y, z) = z

√

x

2

+ y

2

.