Zajęcia 6.

Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii

Strona 1 z 4

mgr Emilia Modranka

[e-mail]

P

OSTAĆ POTĘGOWA I WYKŁADNICZA MODELI

Postać liniowa modelu

M

ODEL PRZYCZYNOWO

-

SKUTKOWY

–

LINIOWY

M

ODEL TRENDU

LINIOWEGO

t

t

t

X

Y













1

1

0

t

t

t

Y













1

0

α

o

Interpretacja: wartość zmiennej objaśnianej w

przypadku, w którym wszystkie zmienne

objaśniające przyjęłyby wartość zero. W

modelach

przyczynowo-skutkowych

parametr nieinterpretowany.

α

1

Interpretacja: Wzrost zmiennej X1 o jednostkę

powoduje

wzrost

wartości

zmiennej

zależnej Y średnio o

α

1

jednostek zmiennej

zależnej (jeśli mamy więcej niż jedna

zmienna

objaśniająca

–

dodajemy

założenie ceteris paribus – stałym poziomie

wartości

pozostałych

zmiennych

objaśniających)

α

o

Interpretacja: wartość zmiennej objaśnianej w

okresie poprzedzającym zakres próby (t=0)
według oszacowań modelu wyniosła

α

o

jednostek zmiennej objaśnianej

α

1

Interpretacja: Z okresu na okres, wartości

zmiennej objaśnianej rosły średnio w
przybliżeniu o

α

1

jednostek Y

Postać potęgowa modelu

M

ODEL PRZYCZYNOWO

-

SKUTKOWY

–

POTĘGOWY

M

ODEL TRENDU

POTĘGOWEGO

t

e

X

Y

t

t













1

1

0

,

t

k

e

X

X

X

Y

kt

t

t

t























...

2

1

2

1

0

t

e

t

Y

t













1

0

α

0

Interpretacja - poziom zmiennej zależnej Y, gdy

wszystkie zmienne objaśniające przyjmują

wartość 1.

α

1

Interpretacja: Wraz ze wzrostem zmiennej X

1

o 1%,

wartość Y rośnie w przybliżeniu o

α

1

%

(uwaga: nie mnożymy wartości parametru

przez 100, wartość jest już wyrażona w %),

przy założeniu ceteris paribus (w modelu z

wieloma zmiennymi objaśniającymi)

α

0

=exp(lnα

0

) -

poziom zmiennej zależnej Y, gdy

wszystkie zmienne objaśniające (tutaj t)

przyjmują wartość 1

α

1

Interpretacja: Z okresu na okres, wartości

zmiennej objaśnianej rosły średnio w
przybliżeniu o

α

1

% (uwaga: nie mnożymy

wartości parametru przez 100, wartość jest

już wyrażona w %)

0



- poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające przyjmują wartośd 1.

k







,...,

,

2

1

- elastycznośd zmiennej zależnej Y względem zmiennej objaśniającej w wykładniku której

znajduje się parametr.

S

PROWADZANIE FUNKCJI

POTĘGOWEJ

DO POSTACI LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW

ln

|

1

1

0

t

e

X

Y

t

t













,

ponieważ

b

a

b

a

log

log

)

log(







to:

t

e

X

Y

t

t







ln

ln

ln

ln

1

1

0







,

Wiemy, że:

a

b

a

b

ln

ln





e

X

Y

t

t

t

ln

ln

ln

ln

1

1

0

















,

Skoro

1

log

ln





e

e

e

,

t

t

t

X

Y















1

1

0

ln

ln

ln

Zajęcia 6.

Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii

Strona 2 z 4

mgr Emilia Modranka

[e-mail]

Postać wykładnicza modelu

M

ODEL PRZYCZYNOWO

-

SKUTKOWY

–

WYKŁADNICZY

M

ODEL TRENDU

WYKŁADNICZEGO

t

t

e

Y

X

t













1

1

0

t

kt

t

t

e

Y

X

k

X

X

t























...

2

1

2

1

0

t

e

Y

t

t













1

0

α

0

=exp(lnα

0

) -

poziom zmiennej zależnej Y, gdy

wszystkie

zmienne

objaśniające

(X)

przyjmują wartość 0.

α

1

Interpretacja:

α

1

jest stopą wzrostu. Wzrost

zmiennej X1 o jednostkę powoduje zmianę
zmiennej objaśnianej Y w przybliżeniu o
(

α

1

-1)100

%

α

0

=exp(lnα

0

) -

poziom zmiennej zależnej Y, gdy

wszystkie zmienne objaśniające (tutaj t)

przyjmują wartość 0, czyli podobnie jak w

modelu liniowym jest to wartość w okresie

poprzedzającym zakres próby, t=0.

α

1

Interpretacja:

α

1

jest stopą wzrostu. Z okresu na

okres, wartości zmiennej objaśnianej rosły
średnio w przybliżeniu o (

α

1

-1)100

%

S

PROWADZANIE FUNKCJI

WYKŁADNICZEJ

DO POSTACI LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW

ln

|

1

1

0

t

t

e

Y

X

t













t

t

e

Y

X

t







ln

ln

ln

ln

1

1

0







t

t

t

X

Y















1

1

0

ln

ln

ln

)

exp(ln

1

ln

1

1







czyli

e



D

WUCZYNNIKOWA FUNKCJA

C

OBBA

-D

OUGLASA

Jest najlepiej rozpoznawalną funkcją produkcji.









e

L

K

V

t

t

t









V – wielkość produkcji,

K – kapitał, majątek trwały

L – praca
ξ – składnik losowy
α, β, γ – dodatnie parametry
Jest to model nieliniowy i aby oszacowad jego parametry za pomocą MNK, należy go sprowadzid do postaci
liniowej względem parametrów, przez obustronne zlogarytmowanie:

ln

|









e

L

K

V

t

t

t









=>





















t

t

t

L

K

V

ln

ln

ln

ln

Procentowe przyrosty produkcji w zależności od przyrostów kapitału i siły roboczej

%

100

1

1

1

%

100





























































L

L

K

K

V

V

FUNKCJA

C

OBBA

-D

OUGLASA Z POSTĘPEM TECHNICZNO

-

ORGANIZACYJNYM

Szacowanie wpływu postępu techniczno-organizacyjnego za pomocą funkcji Cobba-Douglasa polega na
zdynamizowaniu (dołączeniu zmiennej czasowej) w sposób multiplikatywny modelu.











e

e

L

K

V

t

t

t

t













gdzie:

V – wielkość produkcji,

K – kapitał, majątek trwały

L – praca,

t – zmienna czasowa

ξ – składnik losowy,

α, β, γ, δ – dodatnie parametry

Zajęcia 6.

Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii

Strona 3 z 4

mgr Emilia Modranka

[e-mail]

Jest to model nieliniowy i aby oszacowad jego parametry za pomocą MNK, należy go sprowadzid do postaci
liniowej względem parametrów, przez obustronne zlogarytmowanie:



























t

L

K

V

t

t

t

ln

ln

ln

ln

δ – miernik neutralnego postępu technicznego.

Z okresu na okres produkcja dzięki postępowi techniczno-organizacyjnemu wzrasta średnio o (e

δ

-1)100%. lub w

przybliżeniu δ100%.

Zadanie 12

1

Dane są oszacowania parametrów modelu trendu wykładniczego

%

695

,

7

,

955

,

0

,

073324

,

0

)

00806

,

0

(

)

05003

,

0

(

10537

,

0

37228

,

0

ˆ

log

2













V

R

S

t

y

t

gdzie:

y

- produkcja przedsiębiorstwa w latach 1988-1997 (mln szt.), t – zmienna czasowa

przyjmująca wartości kolejnych liczb naturalnych.

Rozwiązanie 12
Parametry strukturalne modelu są statystycznie istotne, można zatem powrócić do postaci
wykładniczej. Po odlogarytmowaniu (czyli podniesieniu liczby e do potęgi o wykładnikach parametru
zerowego i przy zmiennej czasowej.

t

t

y

275

,

1

2356

ˆ





W 1987 roku, tj. w roku poprzedzającym pierwszy badany rok (t=0), wielkość produkcji w
przedsiębiorstwie kształtowała się na poziomie 2356 mln sztuk (α

0

) i w rozpatrywanym okresie

wzrastała średnio o (1,275-1)·100%, tj. 0 27,3%. Stopa wzrostu produkcji wyniosła 127,3%.

Zadanie 13

2

Na podstawie oszacowań parametrów dwuczynnikowej funkcji Cobba-Douglasa, oraz oszacowań
parametrów struktury stochastycznej:

0015

,

0

,

0015

,

0

,

0106

,

0

0819

,

13

3315

,

20

7572

,

14

)

0388

,

0

(

)

0222

,

0

(

)

1757

,

0

(

ln

5080

,

0

4521

,

0

5926

,

2

ln

2















e

e

t

t

t

V

S

L

K

V

1. Dokonać weryfikacji modelu;
2. Zapisać model w postaci potęgowej
3. Obliczyć elastyczności produkcji względem czynników produkcji oraz zinterpretować

otrzymane wyniki;

4. O ile procent wzrośnie produkcja, jeśli wartość majątku trwałego wzrośnie o 3%, a liczba

zatrudnionych zmniejszy się o 2%;

Rozwiązanie 13

1. Jednoprocentowy wzrost nakładów inwestycyjnych (K) powoduje w przybliżeniu wzrost

wielkości produkcji o 0,4521%, gdy pozostałe czynniki są na stałym poziomie.
Jednoprocentowy wzrost liczby pracujących powoduje w przybliżeniu wzrost wielkości
produkcji o 0,5080%, przy założeniu, że pozostałe czynniki są na stałym poziomie.

2.

5080

4521

,

0

5926

,

2

t

t

t

L

K

e

V







3. Zgodnie z definicją elastyczności wielkości produkcji względem kapitału:







K

K

V

V

KV

VK

K

V

















/

1

zadanie 18. *w:+ Kukuła K. (red.), (2003), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo PWN, s.

65.

2

zadanie 28. *w:+ Kukuła K. (red.), (2003), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo PWN, s.

154.

Zajęcia 6.

Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii

Strona 4 z 4

mgr Emilia Modranka

[e-mail]

i pracy







L

L

V

V

LV

VL

L

V

















/

Interpretacja elastyczności w przybliżeniu:

Parametr przy zmiennej K: Zwiększenie majątku trwałego o 1% spowoduje średnio rzecz biorąc wzrost
produkcji o około 0,4521%, przy założeniu że średnia liczba zatrudnienia nie ulegnie zmianie.
Parametr przy zmiennej L: Wzrost średniej liczby zatrudnionych o 1% będzie powodować (średnio rzecz
biorąc) wzrost produkcji o 0,5080%.

Dokładne obliczenie przyrostów względnych, przy dowolnych lub jednoczesnych zmianach

względnych argumentów.

%

100

1

1

1

%

100





























































L

L

K

K

V

V

Jednoprocentowy wzrost zatrudnienia będzie wywoływał następujący względny przyrost produkcji
czystej:

%

100

1

1

%

100













































L

L

V

V

, gdzie

01

,

0





L

L

%

5068

,

0

%

100

)

1

)

01

,

0

1

((

%

100

5080

,

0















V

V

4. Aby odpowiedzieć na pytanie o ile procent zmieni się produkcja, jeśli K zmieni się o

%

100













 

K

K

i jednocześnie L zmieni się o

%

100













 

L

L

%

100

%

100































L

L

K

K

V

V

W przybliżeniu

%

3403

,

0

5080

,

0

%)

2

(

4521

,

0

%

3

%

100

















V

V

Dokładnie













%

3105

,

0

%

100

1

02

,

0

1

03

,

0

1

%

100

5080

,

0

4521

,

0

















V

V

Jeśli kapitał produkcyjny wzrośnie o 3% a liczba zatrudnionych wzrośnie 2%, to wielkość produkcji
wzrośnie o 0,3105%