Wykład 02 Modelowanie w Mechanice.

Tylko materia nieożywiona jest obiektem Mechaniki.

Zjawiska w atomie 10

- 15

m.

Promień naszej galaktyki

20

10

4•

≅

G

R

m. (40 rzędów)

My badamy zjawiska od mikrometrów (nanometrów) do

tysięcy kilometrów. (12 rzędów wielkości).

Modele bez cząsteczkowej struktury materii!

Opis najbliższy to fizyka statystyczna.

Sąsiedzi Mechaniki to:

Termodynamika Techniczna

Elektrodynamika.

Posługujemy się pojęciami: punkt materialny

(ma masę, nie odkształca się, pomijalnie małe rozmiary)

Fizycznie nieskończenie mała (masa, objętość)

d x

d y

y

d z

z

x

Matematyk – nieskończenie mała.

Fizyk – ale zawiera dostateczną liczbę cząstek aby

można uśredniać wielkości i stosować pojęcia takie jak

temperatura, gęstość masy. Różnica między punktem

materialnym a fizycznie nieskończenie małą –

Fizycznie nieskończenie mała może się odkształcać.

Fizycznie nieskończenie mała może gromadzić

energię potencjalną.

Model jest poprawny, jeśli wyniki rozważań zgodnych z

modelem są zgodne z eksperymentem fizycznym.

Eksperyment fizyczny jest powtarzalny, pomiar o

znanej (szacowanej) dokładności. W Mechanice pomiar

poprawny nie zmienia zjawiska w sposób mierzalny.

Siła i jej model

Prawo Newtona

ł

    ·    



Pojęcie pierwotne? Masa.

Siła jest przyczyną ruchu to jest nasz model.

Naprawdę siła jest przejawem oddziaływania innego

układu lub obiektu.

Przykłady sił

Siła ciężkości

m g

Siła przyciągania

F

r

r

r

m

M

G

F

r

r

2

=

Stała grawitacyjna

11

10

673

,

6

−

•

=

G

m

3

/(kg s

2

)

Siła Lorentza działająca na punkt mat. o ładunku

e

B

V

e

E

e

F

r

r

r

r

×

+

=

(Przykład oddziaływania)

Ciepły nadmuch

Moment siły względem punktu

P

x

y

z

r

P

D

r

D

F

D:

[

]

P

P

P

z

y

x

P

,

,

,

[

]

D

D

D

z

y

x

D

,

,

   



  



  



Obliczenia.

P

P

P

P

z

k

y

j

x

i

r

r

r

r

r

+

+

=

D

D

D

D

z

k

y

j

x

i

r

r

r

r

r

+

+

=

Wektor od punktu

 do punktu . Składowe liczymy

Od składowej końca odejmujemy składową początku.



   



 



  



 



  



 



! 



 "   #











 







 







 















#

Moment siły względem punktu

To samo, ale patrzymy na płaszczyznę wektora

F

r

i p. P.

r

PD

F

P

D



 

 $ %

 

 ||%



! 



 "   '

 $ %

 

 ||%

( " 

 



 $ %

 " 

)!)  )

 $ %

) ))

P

D







 $*+,-+$ .



 ||.



Moment siły względem osi

P

x

y

z

r

P

D

r

D

F

T

τ

Dane

[

]

P

P

P

z

y

x

P

,

,

,

[

]

D

D

D

z

y

x

D

,

,

,

[

]

T

T

T

z

y

x

T

,

,

z

y

x

F

k

F

j

F

i

F

r

r

r

r

+

+

=

.

Punkty P oraz T należą do osi. Te punkty ją określają.

Obliczenia.

Etap I. Policzyć moment siły względem punktu P.

Etap II Policzyć wersor

τ

r

(styczny do osi, jednostkowy)

Etap III Zrzutować moment siły względem punktu P na

wersor

τ

r

.

Realizacja etapu II.

Wektor styczny do osi

(

)

(

)

(

)

P

T

P

T

P

T

z

z

k

y

y

j

x

x

i

s

−

+

−

+

−

=

r

r

r

r

Wersor styczny do osi

s

s

r

r

=

τ

.

Realizacja etapu III

Rzut na wersor to iloczyn skalarny z wersorem.

Wartość momentu siły względem osi

τ

r

r

∗

M

Moment siły względem osi

(

)

τ

τ

r

r

r

,

M

=

Jaki ma kierunek? Jaki ma zwrot? Jaką ma długość?

Redukcja układów sił

Siły działające na „punkt materialny”

Zasada superpozycji.

Jeśli na punkt materialny działa wiele sił to ich działanie

jest takie jak działanie siły sumarycznej.

Zawsze chcemy, aby tak było. (Układ liniowy).

( )

∑

=

=

N

n

n

sum

F

F

1

r

r

F

(1)

F

(2)

F

(3)

Indeks w nawiasie

F

sum

Siły działające na „ośrodek odkształcalny”

Redukcja sił, zastępowanie siłą sumaryczną i …?

Siły działające na „bryłę nieodkształcalną”

(bryła sztywna).

Siła sumaryczna. Wzór jak dla punktu, ale gdzie ją

przyłożyć? W zależności od wyboru punktu inny

moment sił działających na układ?

F

(1)

P

(1)

P

(2)

P

(3)

F

(2)

F

(3)

Nazwy przypadków szczególnych.

Zerowy układ sił.

0

r

r

=

sum

F

oraz (jednocześnie)

0

r

r

=

P

sum

M

P

sum

M

r

oznacza sumę momentów sił względem punktu P

Punkt P jest tym razem dowolny!

!

,/0

  ∑

2



3

245

" 

2



2

 

2

 





2

   '

2

 



(   '

2

 



( 

  '

2

 



(

Przykład zerowego układu sił – siły działające na punkt

materialny o sile wypadkowej równej

0.

Dwójka zerowa

F

- F

Para sił. Dwie siły takie, że,

0

r

r

=

sum

F

oraz

0

r

r

≠

P

sum

M

P

sum

M

r

nie zależy od wyboru punktu P.

Rysunek w płaszczyźnie działania sił

F

(1)

F

(2)

M

h

x

y

( )

( )

0

2

1

r

r

r

r

=

+

=

F

F

F

sum

oraz

( )

h

F

k

M

P

sum

1

r

r

r

=

Twierdzenie o zmianie bieguna.

P

B

F

(1)

F

(2)

F

(3)

Dane punkt P, układ sił F

(n)

n = 1, 2, … N wraz z ich

punktami przyłożenia. Obliczamy sumę sił i

sumaryczny moment układu sił względem punktu P.

Problem – jak obliczyć moment układu sił względem B?

!

,/0

  ∑

2



3

245

" 

2



2

 

2

 





2

   '

2

 



(   '

2

 



( 

  '

2

 



(

Moment sumaryczny względem punktu B

!

,/07

  ∑

72



3

245

" 

2



72

 

2

 

7



72

   '

2

 

7

(   '

2

 

7

( 

  '

2

 

7

(

72

 

2

 

7

  



 

7

 

2

 





czyli

!

,/07

 

7

 " 

,/0

  8

2



3

245

" 

2



Jeżeli

0

r

r

=

sum

F

to moment sumaryczny nie zależy o

położenia bieguna!

Jeżeli policzyliśmy siłę sumaryczną i moment układu sił

względem wybranego bieguna to policzenie momentu

układu sił względem innego bieguna wymaga tylko

dodania członu – iloczyn wektorowy promienia

przesunięcia i siły sumarycznej.

Wektor wypadkowy układu sił

F

(1)

P

(1)

P

(2)

P

(3)

F

(2)

F

(3)

F

sum

W

Szukamy punktu W gdzie należy przyłożyć

wypadkową. Oznaczamy

O

sum

M

r

moment układu sił

względem punku O, czyli początku układu.

Z twierdzenia o zmianie bieguna wynika moment

układu sił względem punktu W

O

sum

sum

W

sum

M

F

w

M

r

r

r

r

+

×

=

,

gdzie

w

w

w

z

k

y

j

x

i

w

r

r

r

r

+

+

=

Punkt W ma być wybrany tak, aby moment sumaryczny

względem niego był równy 0

r

. Obliczamy

w

w

w

z

y

x

,

,

.

Układ równań

O

sum

sum

M

F

w

r

r

r

−

=

×

Gdy

0

r

r

=

sum

F

to absurd.

Wyznacznik układu jest zawsze równy 0, nie ma

jednoznacznego rozwiązania.

Myślenie godne Mechanika, gdy już znajdziemy

rozwiązanie, to mogę do niego dodać wektor

równoległy do

sum

F

r

.

Możemy wskazać tylko taką prostą, jej kierunek

jest taki jak kierunek wektora sumarycznego.

Oś centralna (środkowa)

Taka oś, że kierunek jest identyczny z kierunkiem

sum

F

r

a moment układu sił względem punktów leżących na tej

osi jest równoległy do tej osi. Następuje redukcja

układu do siły wypadkowej

sum

F

r

i pary sił, której

moment ma ten sam kierunek. Skrętnik.

Wzory są trudne i pomijam.

Dwa układy sił działających na bryłę sztywną, są

równoważne, gdy mają jednakowe siły sumaryczne i

jednakowe sumaryczne momenty sił względem tego

samego punktu.

Równowaga sił

Dokonujemy myślowego (wirtualnego)

oswobodzenia.

Działających na punkt materialny F

sum

= 0

Działających na bryłę nieodkształcalną.

F

sum

= 0;

M

sum P

= 0.

W dalszym toku wykładu wyjaśnimy pojęcie stabilności

układu: stabilność równowagi i ruchu.